Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов
We give a solution of the problem on transient processes in RL- and RC-circuits under an input rectangular pulse voltage represented in the form of a special expansion.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3819 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 94-99. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860159402954194944 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 94-99. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We give a solution of the problem on transient processes in RL- and RC-circuits under an input rectangular pulse voltage represented in the form of a special expansion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:54:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621Ю31(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об аналитической интерпретации процессов в RL-,
RC -цепях с учетом особого разложения входных
прямоугольных импульсов
We give a solution of the problem on transient processes in RL- and RC-circuits under an input
rectangular pulse voltage represented in the form of a special expansion.
В работах [1–3] представлено обоснование применимости особого разложения скачкообраз-
ной функции E1(t) в виде
E1(t) = E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
Uak =
Ua1
ωk
, Ua1 =
E
πω1
,
n
∑
k=1
Uak = E, ωk = kω1,
(1)
где 1(t) — единичная функция
(
1(t) = 1 при t > 0
1(t) = 0 при t < 0
)
; E — величина функции E1(t);
α — коэффициент затухания; t — время; Uak, ωk — амплитуда и круговая частота k-й
гармоники соответственно.
В работе [1] приведен расчет переходных процессов в RL-, RC -цепях при скачкообраз-
ном входном напряжении E1(t). В реальных условиях бывает, что на вход RL-, RC -цепей
поступают одиночные или периодические прямоугольные импульсы с амплитудой E, дли-
тельностью τ и паузой τn при периодических импульсах. В этом случае одиночный прямо-
угольный импульс с бесконечно малыми передним и задним фронтами представляет собой
сумму скачкообразных функций E1(t) и E1(t−τ), которая при рассмотрении рис. 1 и учете
разложения (1) имеет вид
E(0, τ) = E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − E[1 − ℓ−α(t−τ)] −
− ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ). (2)
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 1
Рис. 2
Из рис. 1 видно, что во время t = (0 ÷ τ) величина импульса после затухания, опре-
деляемого коэффициентом затухания α, когда выражение ℓ−αt в (2) станет равным нулю,
принимает значение E. Кроме того, при t = 0 E(0, τ) = E, так как
n
∑
k=1
Uak = E, что соот-
ветствует условию существования скачкообразной функции
{
1(t) = 1 при t > 0
1(t) = 0 при t < 0
}
. При
t = ∞ E(0, τ) = 0, т. е. импульса нет.
Если принять, что коэффициент затухания α = ∞, то в промежутке t = (0÷τ) E(0, τ) =
= E, а после t = τ E(0, τ) = 0, что подтверждает правильность (2).
Таким образом, импульс E(0, τ) формируем с помощью разности скачкообразных функ-
ций E1(t) − E1(t − τ), представленных в виде особого разложения (2). Будем считать, что
такой прямоугольный импульс существует в промежутке (0 ÷ τ) с учетом только E1(t) =
= E[1− ℓ−αt] + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. Разность E1(t)−E1(t− τ) возникает в момент τ и после
него, так как E1(t − τ) =
{
E при t > τ
0 при t < τ
}
.
В данной задаче предполагаем, что рассматриваемый прямоугольный импульс подается
на вход RL и RC цепей, представленных на рис. 2, а, б соответственно, где Кл — ключ;
R — резистор; L — индуктивность; C — емкость.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 95
Дифференциальные уравнения этих схем в данном случае следующие:
E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − E[1 − ℓ−α(t−τ)] − ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ) =
= Ri + L
di
dt
, (3)
E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − E[1 − ℓ−α(t−τ)] − ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ) =
= UC + RC
dUC
dt
, (4)
где i, UC — ток в цепи RL и напряжение на емкости C в цепи RC соответственно.
В выражениях (3), (4) cos ωk(t − τ) представим в виде разложения cos ωk(t − τ) =
= (cos ωkt) cos ωkτ +(sinωkt) sin ωkτ . В дальнейшем рассмотрим изменение тока i(t) в RL-це-
пи, а затем, ввиду идентичной формы уравнений (3) и (4), осуществим выводы относительно
напряжения UC в RC -цепи. При решении используем операционный метод с изображения-
ми Карсона [4]. Изображение, соответствующее оригиналу, представленному в левых частях
уравнений (3), (4), имеет вид
E(p) = E
α
p + α
− E + Eℓατ p
p + α
+
n
∑
k=1
Uak
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
k
−
− ℓ−ατ
n
∑
k=1
Uak(cos ωkτ)
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
k
− ℓ−ατ
n
∑
k=1
Uak(sin ωkτ)
ωkp
(p + α)2 + ω2
k
. (5)
На основании (5) изображение, соответствующее (3), имеет вид E(p) = I(p)(R + Lp),
откуда, с учетом (5), запишем изображение тока
I(p) =
Eα
L
1
(p + α)(p + δ)
−
E
L(p + δ)
+
Eℓατ
L
p
(p + α)(p + δ)
+
+
n
∑
k=1
Uak
L
p(p + α)
(p + δ)[(p + α)2+ω2
k
]
− ℓ−ατ
n
∑
k=1
Uak
L
(cos ωkτ)
p(p + α)
(p + δ)[(p + α)2+ω2
k
]
−
− ℓ−ατ
n
∑
k=1
Uak
L
(sin ωkτ)
ωkp
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k
]
, (6)
где δ = R/L — коэффициент затухания в RL-цепи.
Оригинал тока i(t) состоит из шести слагаемых, которые включены в (6). Поэтому будем
определять оригиналы этих слагаемых, а затем представим выражение общего оригинала
i(t), пользуясь таблицами [4].
Для первых трех слагаемых в (6) оригинал имеет вид
i1(t) =
Eα
L
[
1
αδ
+
1
α−δ
(
1
α
ℓ−αt−
1
δ
ℓ−δt
)]
−
E
L
1
δ
(1−ℓ−δt)+
Eℓατ
L
[
1
α−δ
(−ℓ−αt+ℓ−δt)
]
. (7)
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Оригиналы, соответствующие остальным слагаемым в (6), будем находить для k-го сла-
гаемого в своей сумме
( n
∑
k=1
· · ·
)
, а затем результаты складывать. Заметим, что второе и тре-
тье слагаемое в (6) имеют похожий вид. Поэтому для k-й составляющей этих слагаемых
осуществим следующее представление:
Uak
L
(1 − ℓ−ατ cos ωkτ)
p(p + α)
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k
]
. (8)
Оригинал изображения (8) находим по таблицам Т.39 и Т.40 из [4] в виде
Ukpα
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k
]
⇄ Uk
α
(α − δ)2 + ω2
k
×
×
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α) sin ωkt]
}
= i2(t), (9)
Ukp
2
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k
]
⇄ Uk
1
(α − δ)2 + ω2
k
×
×
{
−δℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[ωkδ cos ωkt + (ω2
k + α2 − αδ) sin ωkt]
}
= i3(t), (10)
где Uk =
Uak
L
(1 − ℓ−ατ cos ωkτ ).
Далее перейдем к определению оригинала изображения
Uak
L
ℓ−ατωk sinωkτ
p
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k
]
,
который находится по таблице Т.39 из [4] в виде
Ek
1
(α − δ)2 + ω2
k
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α) sin ωkt]
}
= i4(t), (11)
где Ek =
Uak
L
ℓ−ατωk sin ωkτ .
Складывая выражения (7) и в своих суммах
( n
∑
k=1
· · ·
)
выражения (9), (10), (11), получим
в результате общий оригинал тока i(t) в виде
i(t) =
Eα
L
[
1
αδ
+
1
α − δ
(
1
α
ℓ−αt −
1
δ
ℓ−δt
)]
−
E
Lδ
(1 − ℓ−δt) +
+
Eℓατ
L
[
1
α − δ
(−ℓ−αt + ℓ−δt)
]
+
1
L
n
∑
k=1
Uak
α
(α − δ)2 + ω2
k
×
×
{
ℓ−δt+
ℓ−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α) sin ωkt]
}
+
Uak
L
(1 − ℓ−ατ cos ωkτ) ×
×
1
(α − δ)2 + ω2
k
{
−δℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[ωkδ cos ωkt + (ω2
k + α2 − αδ) sin ωkt]
}
−
−
Uak
L
ℓ−ατωk(sin ωkτ)
{
ℓ−δt +
ℓ−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α) sin ωkt]
}
. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 97
Выражение (12) отражает процесс изменения тока i(t) в RL-цепи при включении на ее
вход одиночного прямоугольного импульса (0÷τ), описываемого в виде особого разложения
скачкообразной функции [1]. Заметим, что при проверке (2) путем подстановки t = 0 и t =
= ∞, т. е. до начала входного импульса и после его прохождения i (при t = ∞) ток i(t) = 0,
а в промежутке времени (0 ÷ τ) ток i(t) описывается выражением (12). В случае, если на
входе RL-цепи будет следовать ряд прямоугольных импульсов с длительностью пауз такой,
что ток i(t) в течение паузы равен нулю, то для расчета тока при последующих импульсах
выражение (12) также справедливо.
Следует отметить, что при расчете переходных процессов в рассматриваемых цепях при
входных прямоугольных импульсах надо брать во внимание для переднего фронта входное
напряжение вида (1), а для заднего фронта −E[1 − ℓ−α(t−τ)] − ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ)
при условии для последнего при t = 0 не нулевые начальные условия, т. е. для тока i(t)
E/R и напряжения UC0
.
Переходный процесс тока i(t) при включении RL-цепи на напряжение (1) имеет вид
i(t) =
Eα
L
[
1
αδ
+
1
α − δ
(
1
α
ℓ−αt −
1
δ
ℓ−δt
)]
+
+
n
∑
k=1
Uak
L
1
(α − δ)2 + ω2
k
{(α − δ)ℓ−δt + ℓ−αt[−(α − δ) cos ωkt + ωk sinωkt]}. (13)
При t = 0 (0) = 0, при t = ∞ i(∞) = E/(Lδ) = E/R, т. е. данная проверка подтверждает
правильность (13). Если предположить, что коэффициент затухания α = ∞, то тогда (13)
принимает вид
i(t) =
E
Lδ
(1 − ℓ−δt) =
E
R
(1 − ℓ−δt). (14)
Выражение (14) является результатом расчета переходного процесса тока i(t) в RL-цепи
классическим методом. А это значит, что решение в виде (13) при условии α = ∞ не
противоречит известным методам [4, 5].
Рассмотрение переходного процесса i(t) во время заднего фронта входного прямоуголь-
ного импульса при наличии установившегося значения тока i(t) = E/R можно считать
искусственно привязанным к нулевому отсчету времени. А это означает, что выражение
переходного процесса тока i(t) будет следующим:
i(t) = E(1 − ℓ−δt) −
Eα
L
[
1
αδ
+
1
α − δ
(
1
α
ℓ−αt −
1
δ
ℓ−δt
)]
−
−
n
∑
k=1
Uak
L
1
(α − δ)2 + ω2
k
{(α − δ)ℓ−δt + ℓ−αt[−(α − δ) cos ωkt + ωk sinωkt]}. (15)
Проверка (15) дает такие результаты: при t = 0 i(t) = E(1 − ℓ−δt)/R, при t = ∞ i(t) = 0,
при α = ∞ i(t) = E(1− ℓ−δt)ℓ−δt, что также подтверждает правильность данного решения.
При такой проверке считаем, что α ≫ δ и экспонента (1− ℓ−αt) на вершине импульса равна
единице, т. е. во входном напряжении полностью произошло затухание составляющих.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Далее перейдем к RC -цепи (см. рис. 2, б ). Сравнивая уравнения (3) и (4), не вдаваясь
в физику процесса, видим, что они по форме идентичны. Правые части их могут быть
выражены следующим образом:
L
(
R
L
i +
di
dt
)
и RC
(
1
RC
Uc +
dUc
dt
)
.
В RL-цепи R/L = δ, а в RC -цепи δ = 1/(RC), где еще раз отметим δ — коэффициент
затухания.
С учетом δ эти правые части имеют вид
R
δ
(
δi +
di
dt
)
и
1
δ
(
δUc +
dUc
dt
)
.
Как видим, выражения за исключением множителя R в первом выражении по форме
одинаковые. Левые части уравнений (3) и (4) также одинаковые. Поэтому можно считать,
что выражение (12) по форме подходит для описания переходного процесса Uc(t) в RC -цепи
((12) необходимо разделить на R).
Исходя из такого рассуждения, расчет переходного процесса Uc в RC -цепи опустим.
Конечно, выражение (12) является более громоздким по сравнению с выражениями ис-
следуемых переходных процессов известными методами [4, 5]. Однако, как было отмечено
в работах [1, 3], представление скачкообразных входных сигналов электроцепей в виде осо-
бого разложения более точно отражает физику начального участка переходного процесса.
Именно это преимущество заставляет автора исследовать переходные процессы в различ-
ных цепях, представляя математически скачкообразные входные сигналы в виде особого
разложения.
1. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Укра-
їни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
2. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Там само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
3. Божко А. Е. Аргументация новой концепции о переходных процессах в электроцепях с позиций вол-
новой механики // Там само. – 2006. – № 3. – С. 83–88.
4. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 c.
Поступило в редакцию 30.11.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 99
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3819 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:54:10Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2009-07-10T11:22:36Z 2009-07-10T11:22:36Z 2007 Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 94-99. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3819 621Ю31(0758) We give a solution of the problem on transient processes in RL- and RC-circuits under an input rectangular pulse voltage represented in the form of a special expansion. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов Article published earlier |
| spellingShingle | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| title_full | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| title_fullStr | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| title_full_unstemmed | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| title_short | Об аналитической интерпретации процессов в RL-, RC-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| title_sort | об аналитической интерпретации процессов в rl-, rc-цепях с учетом особого разложения входных прямоугольных импульсов |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3819 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae obanalitičeskoiinterpretaciiprocessovvrlrccepâhsučetomosobogorazloženiâvhodnyhprâmougolʹnyhimpulʹsov |