Уравнение индентирования
On the basis of the known relations used in the automatic indentation method, the equation, which reflects the basic regularities of this process and establishes the direct connection between parameters of the indentation diagram, hardness, and the normal elasticity modulus, is analytically deduced....
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3822 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Уравнение индентирования / С.А. Фирстов, В.Ф. Горбань, Э.П. Печковский, Н.А. Мамека // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 100-106. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859739564202000384 |
|---|---|
| author | Фирстов, С.А. Горбань, В.Ф. Печковский, Э.П. Мамека, Н.А. |
| author_facet | Фирстов, С.А. Горбань, В.Ф. Печковский, Э.П. Мамека, Н.А. |
| citation_txt | Уравнение индентирования / С.А. Фирстов, В.Ф. Горбань, Э.П. Печковский, Н.А. Мамека // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 100-106. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | On the basis of the known relations used in the automatic indentation method, the equation, which reflects the basic regularities of this process and establishes the direct connection between parameters of the indentation diagram, hardness, and the normal elasticity modulus, is analytically deduced. The physical essence of this equation is determined. Experimental confirmation is obtained at the indentation of materials of different kinds more than 30 names. Indentation constants which reflect the presence of a basic opportunity of the existence of limit values for the indentation depth of an indentor and the hardness of materials are established. Opportunities to use the obtained relations are shown.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:30:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
МАТЕРIАЛОЗНАВСТВО
УДК 620.178.1:539.533
© 2007
Академик НАН Украины С. А. Фирстов, В.Ф. Горбань,
Э.П. Печковский, Н.А. Мамека
Уравнение индентирования
On the basis of the known relations used in the automatic indentation method, the equation,
which reflects the basic regularities of this process and establishes the direct connection between
parameters of the indentation diagram, hardness, and the normal elasticity modulus, is analyti-
cally deduced. The physical essence of this equation is determined. Experimental confirmation
is obtained at the indentation of materials of different kinds more than 30 names. Indentation
constants which reflect the presence of a basic opportunity of the existence of limit values for the
indentation depth of an indentor and the hardness of materials are established. Opportunities
to use the obtained relations are shown.
Важным направлением в исследовании механических свойств материалов является метод
индентирования, включающий автоматическую запись кинетической диаграммы нагруз-
ка — глубина отпечатка P — h. В последнее десятилетие этот метод получил широкое
распространение при изучении материалов, обладающих особыми свойствами [1–12]. Он
позволяет определить твердость, модуль Юнга, полную работу индентирования, ее упру-
гую и неупругую составляющие.
Одной из важных характеристик материала является отношение его твердости H к
модулю нормальной упругости E (модулю Юнга) — H/E. Известно [1–3], что величина
H/E характеризует способность материала сопротивляться изменению размеров и фор-
мы в процессе деформации. Она отражает сложившиеся на основании стандартных ме-
ханических испытаний материалов представления о соотношении их пластичности. Вели-
чина H/E используется также для характеристики способности материалов к износу при
трении (отражает деформационные свойства грубой поверхности при контакте с гладкой
поверхностью).
Для экспериментального вычисления величины отношения H/E возникает необходи-
мость в достоверном и точном определении значений твердости и модуля Юнга. При этом
весьма рационально определять модуль упругости и твердость непосредственно в одном
эксперименте по индентированию материала.
Авторы статьи [4], используя автоматически записанные диаграммы индентирования
(рис. 1) (в частности, их ветви разгружения), первыми применили данный метод для опре-
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 1. Схемы диаграммы автоматического индентирования (а) и взаимодействия индентора с материа-
лом (б ). (Пояснения см. в тексте.)
деления модуля Юнга. В основе их модели (в случае упругопластической деформации мате-
риала под индентором) лежит представление о том, что “если разгружение осуществляется
после прекращения процессов релаксации под отпечатком, то начальная стадия разгру-
жения является чисто упругой. На этом этапе нагружение и разгружение — обратимые
процессы и могут быть описаны методами теории упругости”. В результате было получено
уравнение, которое можно выразить таким образом:
E∗ =
(
dP
dh
)
hmax
√
π
2
√
F
, (1)
где E∗ — так называемый эффективный (“контактный”) модуль упругости; F — площадь
проекции отпечатка. Величина (dP/dh)hmax
характеризует наклон ветви разгружения на
начальном участке; определяется дифференцированием функции, связывающей нагрузку
с глубиной внедрения в условиях упругой деформации.
Величина E∗ учитывает упругое взаимодействие материала с индентором:
1
E∗
=
1 − ν2
E
+
1 − ν2
0
E0
, (2)
здесь E — модуль Юнга материала, а индекс “0” относится к индентору.
В последующих работах [5, 6] были использованы представления авторов статьи [4],
во-первых, для детализации методики определения модуля Юнга и, во-вторых, на полу-
чение достоверных значений твердости. Особое внимание обращено на то, что глубина
внедрения индентора, которая фиксируется на диаграмме индентирования, не совпадает
с той глубиной отпечатка, на протяжении которой имеет место контакт между индентором
и материалом. В связи с этим была введена [5, 6] величина hc — глубина внедрения, на про-
тяжении которой осуществляется контакт между индентором и материалом после полного
нагружения — до Pmax (см. рис. 1). В этой части отпечатка имеет место упругопластическая
деформация и возможное разрушение материала, а также упругая деформация индентора.
Часть глубины внедрения индентора, на протяжении которой контакт с материалом отсут-
ствует в результате образовавшегося в материале углубления (sink-in) вокруг индентора,
названа hs. В этой части отпечатка имеет место полностью упругая деформация материала.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 101
В работах [5, 6] на основании модели [4] и собственного экспериментального материала
была предложена конкретная методика для определения величины hc (см. рис. 1):
hc = hmax − 0,72
Pmax
(
dP
dh
)
hmax
, (3)
hs = 0,72
Pmax
(
dP
dh
)
hmax
. (4)
Величина hs вычисляется на начальном участке ветви разгружения после окончания
процесса релаксации напряжений в материале, т. е. при Pmax(hmax). Число 0,72 — константа
формы индентора [6]. Соответственно, площадь проекции “контактной” части отпечатка
определяется как F = 5,196 · tg2 α · h2
c , а величина твердости — с помощью выражения H =
= βPmax/h
2
c , где β — коэффициент, учитывающий форму индентора. Например, если Pmax
выразить в граммах, hc — в микронах, H — в гигапаскалях, то для индентора Берковича
(α = 65◦) величина β = 0,418.
Несмотря на сравнительно большое количество работ, посвященных применению метода
автоматического индентирования для установления механических свойств материалов, не-
которые его аспекты остаются недостаточно проработанными. В частности, мало внимания
уделялось установлению соотношений показателей диаграммы индентирования между со-
бой и с механическими свойствами материалов, имеющих значительные различия по хими-
ческому и фазовому составам, структурному состоянию, способу получения, применительно
к одинаковым условиям нагружения. Это относится и к определению величины отношения
H/E методом индентирования.
В настоящей работе поставлена цель установить функциональную связь отношения
прочностных характеристик материала H/E∗ с показателями автоматически записанной
диаграммы индентирования. Отношение H/E∗ или H/E (для материалов с неизвестным
коэффициентом Пуассона) представляет большой интерес. Как будет обсуждаться ниже
и как следует из публикаций [7, 8], твердость материалов может достигать значительных
величин — E/10–E/6. В этой связи в работе [9] введено представление о теоретической
(предельной) твердости для материала с данным модулем Юнга. А именно, теоретическая
твердость — это твердость, при которой отпечаток индентора возникает в результате плас-
тического деформирования при напряжении, равном теоретической прочности на сдвиг.
Методика эксперимента. Микроиндентирование проводили на установке “Микрон-
гамма” при комнатной температуре (нагрузка в пределах до P = 3H) алмазной пирами-
дой Берковича (α = 65◦) с автоматически выполняемыми нагружением и разгружением,
а также записью диаграмм нагружения, выдержки и разгружения в координатах P — h
(нагрузка — глубина внедрения индентора). Точность определения нагрузки P составляла
10−3 Н, глубины внедрения h индентора ±2,5 нм. Значения характеристик Pmax, hmax, hf ,
hc, hs, H, E∗, E определялись, вычислялись и фиксировались автоматически с использова-
нием формул и работ [5, 6] (в частности, твердость H определяли как отношение нагрузки
к площади проекции отпечатка на глубине hc: H = 0,418Pmax/h
2
c).
Основные изученные материалы: металлы и сплавы с различным типом кристалличес-
кой решетки и в различных структурных состояниях (в том числе и в наноструктурном) —
Al, Cr, Fe, Mg, Ti, Cu, Zr, W, Si (100), Cu — 20% Zr, Ni — Al — Re, (Ti, W) C — Co, Cr —
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 2. Зависимость величины H/E∗ от отношения неупругой части работы индентирования к полной
работе (а) и от величины отношения hs/hc (б ):
а — результаты работы [2], полученные расчетным путем; б — результаты настоящей работы. Выполнены
графическое представление уравнения индентирования (6), его экспериментальная проверка и построение
тарировочной зависимости для индентора Берковича. Затемненными точками обозначены предельные зна-
чения соответствующих величин.
Цифры на диаграмме — номера материалов: 1 — Al; 2 — Fe; 3 — Mg; 4 — Cr; 5 — Ti; 6 — Cu; 7 — W;
8 — Cu — 20% Zr (деформированный); 9 — Ni — 3% Al — 12% Re; 10 — Zr (деформированный); 11 — Ti
(деформированный); 12 — Ti — 20% V; 13 — W — 6% Co; 14 — Ti3SiC2 (наноламинат); 15 — W — 8% Co;
16 — Al — 40% Cu — 18% Fe (квазикристалл); 17 — Cr — ZrCr2 (эвтектика); 18 — Si монокристалл (111);
19 — W — 45% Ti — 10% Co; 20 — Ti — 25% Zr — 10% Ni — 10% Cu — 5% Co (рентгеноаморфный); 21 —
SiO2 (аморфный); 22 — Ti — 41% Zr — 17% Ni (квазикристалл); 23 — TiN (пленка); 24 — Co — 4% Fe — 8%
Si — 3% B (аморфный); 25 — SiC; 26 — Si (аморфный)
ZrCr2, Ti — 20% V, Al — Cu — Fe, Ti — Zr — Ni, Ti — Zr — Mn — Sn; керамические — SiC,
TiC, TiN, Ti3SiC2; материалы в аморфном и аморфно-нанокристаллическом состояниях —
Si, SiO2, Со — Fe — Si — B.
Экспериментальные результаты и их обсуждение. На рис. 2 результаты опреде-
ления H/E∗ представлены в зависимости от отношения неупругой части работы инденти-
рования к полной работе (рис. 2, а в [2, 9]) и от отношения величины hs/hc (рис. 2, б — на-
стоящее сообщение). Как следует из сравнения этих графиков, в обоих случаях отмечается
зависимость, близкая к прямолинейной, но в случае рис. 2, б разброс значений существенно
меньше. Зависимость, представленная на рис. 2, б, имеет глубокий смысл. Она получена
на основе выражений (1) и (4). Выразив каждое из них через величину (dP/dh)hmax
, при-
равниваем их между собой, а в полученном соотношении связь нагрузки Pmax с площадью
проекции отпечатка выражаем через твердость H и глубину внедрения hc. Аналитически
это выразим следующим образом:
(
dP
dh
)
hmax
= 2E∗
√
F√
π
= 0,72
Pmax
hs
,
2E∗
0,72
√
π
=
Pmax
F
·
√
F
hs
,
где F = 5,196 tg2 α · h2
c — площадь проекции отпечатка на глубине hc, а Pmax/F = H.
В результате выполненных преобразований получим выражение:
H
E∗
= K
hs
hc
, (5)
где K = 2/(0,72
√
π ·
√
5,196 tg α) = 0,687/ tg α = 0,687 ctg α — константа формы индентора.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 103
Для используемого в работе индентора Берковича величина K = 0,3206; в результате
уравнение (5) преобразуем к виду
H
E∗
= 0,3206
hs
hc
. (6)
Принимая допущение, что перемещения индентора пропорциональны деформациям [1],
можно сказать, что в уравнениях (5) и (6) (в соответствии с рис. 1 и с выражениями (3)
и (4)) величина отношения hs/hc характеризует долю полностью упругой деформации ма-
териала (в той части отпечатка материала, которая имеет место в углублении вокруг ин-
дентора — здесь происходит только упругая деформация материала) в упругопластической
деформации системы материал — индентор (в той части отпечатка материала, которая
находится в контакте с индентором — здесь материал деформируется упругопластически,
индентор — упруго). Таким образом, величина отношения твердости к модулю упруго-
сти прямо пропорциональна величине, которая характеризует относительную полностью
упругую (“чисто” упругую) деформацию материала. Аналогичное соотношение, в котором
рассматривается общая упругая деформация материала в системе материал — индентор,
представлено в работе [1].
Следует обратить внимание на то, что поскольку для данного материала и данных усло-
вий индентирования величина отношения H/E∗ постоянная, а, следовательно, при нараста-
нии нагрузки в процессе автоматического индентирования, когда значения hs и hc непре-
рывно увеличиваются, их отношение hs/hc также будет оставаться постоянным (см. рис. 1).
Результаты обработки экспериментальных данных по индентированию изученных в ра-
боте материалов представлены на рис. 2, б. Как видно, имеет место не только строго прямо-
линейная зависимость, отвечающая уравнению индентирования (5), но и совпадение кон-
станты пропорциональности, равной 0,32 для индентора Берковича в соответствии с урав-
нением (6). Эта прямая линия является фактически тарировочной для данных условий
индентирования материалов.
Анализ соотношений (3) и (4) показал, что величины hs и hc в дополнение к своей особен-
ности сохранять постоянным их отношение при увеличении нагрузки обладают свойством
иметь предельные значения.
Действительно, в соответствии с [4], функция, описывающая ветвь разгружения на на-
чальном участке в предельном случае полностью упругой деформации, имеет такой же вид,
как и ветвь нагружения, т. е. Pmax = λh2
max (ветви нагружения и разгружения совпадают).
Возможность существования такой ситуации подтверждена экспериментально, например,
на алмазе [10], а также в нашей работе на кварце и аморфных материалах при исполь-
зовании индентора с большими углами заточки. С другой стороны, дифференцирование
величины (dP/dh)hmax
с учетом “предельной” функции ветви разгружения приводит к со-
отношению (dP/dh)hmax
= 2λhmax. Заменив в выражении (4) числитель и знаменатель на
соответствующие им предельные величины, получаем максимальное предельное значение
глубины внедрения hs индентора (см. рис. 1):
hmax
s = 0,36hmax. (7)
Так как величина hs может иметь предельное максимальное значение (7), т. е. hs 6
6 0,36hmax, следовательно, соответствующее ему значение величины hc будет являться пре-
дельным минимальным (см. рис. 1). Подставив выражение (7) в (3), получаем выражение
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
для минимального предельного значения глубины внедрения индентора: hmin
c = 0,64hmax,
т. е. hc > 0,64hmax.
Отношение предельных значений величин hs и hc, как видно, равно
hmax
s
hmin
c
= 0,5625. (8)
Как следует из приведенных рассуждений, отношение (8) является предельной констан-
той индентирования независимо от материала и условий индентирования. Действительно,
она определяется только двумя числами: константой формы индентора, равной 0,72 [6],
и показателем степени n в уравнении Pmax = βhn
max, описывающем ветвь нагружения.
В условиях же соблюдения закона подобия отпечатка при индентировании всегда n = 2.
Подстановка константы индентирования (8) в уравнение индентирования (5) приводит
его к виду, из которого следует принципиальная возможность существования предельного
значения твердости Hпред материала: Hпред = 0,386 ctg α ·E∗. Как видно, оно определяется
эффективным (“контактным”) модулем упругости E∗ материала (прямо пропорционально)
и углом α при вершине индентора (снижается с уменьшением общей деформации материала
под индентором). Применительно к индентору Берковича (уравнение (6)) оно принимает
вид:
Hпред
E∗
= 0,1803 или Hпред = 0,1803E∗. (9)
Точка с “предельными” координатами hmax
s /hmin
c = 0,5625 и Hпред/E∗ = 0,1803, нанесен-
ная на зависимость рис. 2, располагается на продолжении тарировочной прямой и находится
в полном соответствии с экспериментальными данными.
Формула (9) позволяет определить предельное значение твердости Hпред конкретного
материала, используя величину “контактного” модуля нормальной упругости E∗. Если же
воспользоваться модулем Юнга E, то необходимо, как следует из соотношения (2), исполь-
зовать величину коэффициента Пуассона ν. В этом случае применительно к индентору
Берковича и принятого в работе значения ν = 0,25 (в случае, когда значение ν для данного
материала не было известно) получается выражение: Hпред = 0,192E/(1 + 0,00087E).
Расчет показывает, что предельные значения твердости материалов могут достигать
значительных величин. Например, при индентировании алмаза, для которого принимается
значение модуля нормальной упругости E = 1160 ГПа, являющегося самым высоким из
числа известных материалов, можно ожидать и самое высокое значение твердости. Действи-
тельно, использование алмазного индентора Берковича и коэффициента Пуассона ν = 0,07
дает расчетное значение Hпред = 105 ГПа. Это значение с большой точностью совпадает
с известными значениями, приведенными в работах [11, 12].
Выполненный в работе [6] анализ результатов, представленных в статье [2], показал, что
приведенная на рис. 2, а зависимость может быть в первом приближении аппроксимиро-
вана выражением H/E∗ ≈ 0,2 − 0,2(Wt − Wu)/Wt. Из него следует, что, во-первых, связь
между величиной H/E∗ и упругопластическими характеристиками материалов в форме со-
отношения выполненных работ может быть линейной. Во-вторых, величина H/E∗ должна
иметь предельное значение в районе H/E∗ ≈ 0,2. Результаты настоящей работы, пред-
ставленные на рис. 2, б, показывают, что в рамках рассмотренной модели индентирования
величина H/E∗ строго линейно связана с отношением hs/hc и эти отношения имеют вполне
определенные предельные численные значения — выражения (8) и (9).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 105
Очевидно, что для материала с данным модулем упругости отношение Hпред/E∗ не мо-
жет превысить 0,1803 (для индентора Берковича), а реальная предельная теоретическая
твердость при формировании упругопластического отпечатка будет ниже этой величины.
Отметим, что наиболее высокие значения удельной твердости (H/E∗ ≈ 0,14–0,15) отве-
чают аморфным или аморфно-нанокристаллическим (квазикристаллическим) состояниям
(см. рис. 2, б ). Дальнейшие исследования таких предельно упрочненных материалов по-
зволят уточнить значения теоретической прочности материалов с различным типом связи
и различной структурой.
Наличие уравнения индентирования (5) позволяет контролировать корректность выпол-
нения эксперимента на предмет получения достоверных значений твердости (в том числе
и предельных), модуля нормальной упругости, а также характеристик упругой и упруго-
пластической деформации. Таким контролирующим фактором является соответствие по-
лученных данных уравнению (5), т. е. расположение экспериментальных точек на тариро-
вочной прямой (см. рис. 2).
Таким образом, аналитически полученное и экспериментально подтвержденное урав-
нение (5) является фундаментальным уравнением индентирования, так как оно отражает
закономерности процесса индентирования и непосредственно устанавливает связь прочност-
ных характеристик материала (т. е. возникающих в нем напряжений) в области полностью
упругой (E∗) и упругопластической (H) деформаций с основными показателями автомати-
чески записанной диаграммы индентирования (в первую очередь, величин глубины внед-
рения hs и hc).
1. Мильман Ю.В. Новые методики микромеханических испытаний материалов методом локального
нагружения жестким индентором // Сучасне матерiалознавство ХХI сторiччя. – Київ: Наук. думка,
1998. – С. 637–656.
2. Cheng Yang-Tse, Cheng Che-Min. Relationships between hardness, elastic modulus, and the work of
indentation // Appl. Phys. Lett. – 1998. – 73, No 5. – P. 614–616.
3. Галанов Б.А., Григорьев О.Н. Аналитическая модель индентирования хрупких материалов // Элект-
рон. микроскоп. и прочность материалов. – 2006. – 13. – С. 4–42.
4. Булычев С.И., Алехин В.П., Шоршоров М.Х., Терновский А.П. Исследование механических свойств
материалов с помощью кинетической диаграммы нагрузка – глубина отпечатка при микровдавлива-
нии // Пробл. прочности. – 1976. – № 9. – С. 79–83.
5. Doener M. F., Nix W.D. Indentation problems // J. Mater. Res. – 1986. – 1. – P. 601–614.
6. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation:
Advances in understanding and refinements to methodology // Ibid. – 2004. – 19. – P. 3–20.
7. Musel J. Hard and superhard nanocomposite coatings // Surface and Coat. Technol. – 2000. – 125. –
P. 322–330.
8. Veprek S. The search for novel, superhard materials // J. Vac. Sci. and Technol. – 1999. – 17. – P. 2401–2420.
9. Фирстов С.А., Рогуль Т. Г. Теоретическая (предельная) твердость // Доп. НАН України. – 2007. –
№ 4. – С. 110–114.
10. McHargue C. J. Indentation testing of thin films and hard materials // Thin Solid Films. – 1988. – 162. –
P. 363–375.
11. Григорьев О.Н. Исследование пластических и прочностных свойств сверхтвердых материалов мето-
дами микровдавливания // Порошк. металлургия. – 1982. – № 1. – С. 74–84.
12. Gielisse P. J. Mechanical properties of diamond films and related materials // Proc. of the Third Intern.
Simp. on Diamond Films. – Sn.-Petersburg, June 16–19, 1996. – Sn. – Petersburg, 1996. – P. 281–295.
Поступило в редакцию 14.05.2007Институт проблем материаловедения
им. И.Н. Францевича НАН Украины, Киев
106 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3822 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:30:42Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фирстов, С.А. Горбань, В.Ф. Печковский, Э.П. Мамека, Н.А. 2009-07-10T11:25:01Z 2009-07-10T11:25:01Z 2007 Уравнение индентирования / С.А. Фирстов, В.Ф. Горбань, Э.П. Печковский, Н.А. Мамека // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 100-106. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3822 620.178.1:539.533 On the basis of the known relations used in the automatic indentation method, the equation, which reflects the basic regularities of this process and establishes the direct connection between parameters of the indentation diagram, hardness, and the normal elasticity modulus, is analytically deduced. The physical essence of this equation is determined. Experimental confirmation is obtained at the indentation of materials of different kinds more than 30 names. Indentation constants which reflect the presence of a basic opportunity of the existence of limit values for the indentation depth of an indentor and the hardness of materials are established. Opportunities to use the obtained relations are shown. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Матеріалознавство Уравнение индентирования Article published earlier |
| spellingShingle | Уравнение индентирования Фирстов, С.А. Горбань, В.Ф. Печковский, Э.П. Мамека, Н.А. Матеріалознавство |
| title | Уравнение индентирования |
| title_full | Уравнение индентирования |
| title_fullStr | Уравнение индентирования |
| title_full_unstemmed | Уравнение индентирования |
| title_short | Уравнение индентирования |
| title_sort | уравнение индентирования |
| topic | Матеріалознавство |
| topic_facet | Матеріалознавство |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3822 |
| work_keys_str_mv | AT firstovsa uravnenieindentirovaniâ AT gorbanʹvf uravnenieindentirovaniâ AT pečkovskiiép uravnenieindentirovaniâ AT mamekana uravnenieindentirovaniâ |