Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил
Отримано умови існування регулярних прецесій гіростата під дією потенційних та гіроскопічних сил у припущенні, що величина гіростатичного моменту залежить від часу. Досліджено зв'язок цих умов з умовами існування регулярних прецесій гіростата під дією сили тяжіння. The conditions of the existen...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38507 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 66-72. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592028945383424 |
|---|---|
| author | Мазнев, А.В. |
| author_facet | Мазнев, А.В. |
| citation_txt | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 66-72. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано умови існування регулярних прецесій гіростата під дією потенційних та гіроскопічних сил у припущенні, що величина гіростатичного моменту залежить від часу. Досліджено зв'язок цих умов з умовами існування регулярних прецесій гіростата під дією сили тяжіння.
The conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence of potential and gyroscopic forces supposing that the gyrostat moment depends on the time are obtained. Their connection with the conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence of gravity is studied.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:25:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.38
© 2011
А.В. Мазнев
Регулярные прецессии гиростата с переменным
гиростатическим моментом под действием
потенциальных и гироскопических сил
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
Отримано умови iснування регулярних прецесiй гiростата пiд дiєю потенцiйних та
гiроскопiчних сил у припущеннi, що величина гiростатичного моменту залежить вiд
часу. Дослiджено зв’язок цих умов з умовами iснування регулярних прецесiй гiростата
пiд дiєю сили тяжiння.
Регулярные прецессии являются рабочими режимами многих конструкций современной
техники. Примером регулярной прецессии может служить движение волчка Лагранжа в по-
ле силы тяжести [1], которое описано во многих учебниках по теоретической механике.
Обзор основных результатов, полученных в динамике твердого тела в области исследо-
вания прецессий, приведен в работе [2]. В этой работе рассмотрены прецессии гиростата
в случае, когда величина гиростатического момента в системе координат, связанной с ги-
ростатом, постоянна. Поэтому изучение прецессий гиростата при условии, что величина
гиростатического момента является функцией времени [3], является актуальным. В [1, 4, 5]
изучены условия существования некоторых классов прецессий гиростата под действием си-
лы тяжести. Данная работа посвящена исследованию условий существования регулярных
прецессий гиростата с переменным гиростатическим моментом, описываемых уравнениями
класса Кирхгофа [6].
Постановка задачи. Пусть момент количества движения гиростата в определении [3]
выражается формулой x = Aω + λ(t) · α, где ω — угловая скорость; A — тензор инерции
гиростата; α — неизменный в теле-носителе единичный вектор; λ(t) — ограниченная, диф-
ференцируемая функция времени. Предположим, что гиростат намагничен, несет на себе
электрические заряды и находится под действием электрических, магнитных, ньютоновс-
ких и лоренцевых сил. Тогда уравнения движения гиростата можно записать в виде [3, 6]
Aω̇ = Aω × ω − λ̇(t) · α+ ω × (Bν − λ(t) · α) + ν × (Cν − s), (1)
ν̇ = ν × ω. (2)
В уравнениях (1), (2) приняты обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) — угловая скорость те-
ла-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) — единичный вектор, указывающий направление магнитного
поля; A — тензор инерции гиростата с компонентами Aij [3]; s = (s1, s2, s3) — единичный
вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; α = (α1, α2, α3) —
единичный вектор, характеризующий гиростатический момент λ(t) = λ(t) · α; B = (Bij),
C = (Cij) — постоянные матрицы третьего порядка; точка над переменными ν, ω, λ(t)
обозначает относительную производную по времени.
Уравнения (1), (2) имеют интегралы
ν · ν = 1, (Aω + λ(t)α) · ν −
1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k — произвольная постоянная.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Пусть подвижная система координат связана с вектором a следующим образом: a =
= (0, 0, 1). Тогда регулярную прецессию гиростата можно задать с помощью инвариантных
соотношений [2]
a · ν = a0, ω = na+mν. (4)
В формулах (4) вектор ν имеет компоненты
ν1 = a′
0
sinnt, ν2 = a′
0
cosnt, ν3 = a0 (a0 = cos θ0, a′
0
= sin θ0), (5)
а величины n и m постоянны. Последние определяют скорости собственного вращения
и прецессии гиростата.
Отметим, что подстановка величин (5) и ω из (4) в уравнение (2) приводит к тождеству,
что означает: интегрирование уравнения (2) выполнено. Поэтому внесем выражение ω из (4)
в уравнение (1)
λ̇(t)α+ nm[Sp(A)(ν × a)− 2(Aν × a)]− λ(t)[n(α× a) +m(α× ν)]− n2(Aa× a)−
−m2(Aν × ν)− n(a×Bν)−m(ν ×Bν)− ν × (Cν − s) = 0. (6)
При рассмотрении уравнений, которые получаются путем скалярного умножения левой
части уравнения (6) на независимые векторы a, ν, a × ν, подвижную систему координат
выберем, не нарушая общности задачи, так, чтобы α = (α1, 0, α3). Получим
α3λ̇(t) = a′
0
mα1λ(t) cos nt− P2 cos 2nt+ P ′
2
sin 2nt+ P1 cosnt− P ′
1
sinnt, (7)
λ̇(t)(a′
0
α1 sinnt+ a0α3) + a′
0
nα1λ(t) cosnt−Q2 cos 2nt+Q′
2
sin 2nt+
+Q1 cosnt−Q′
1 sinnt = 0, (8)
a′0α1λ̇(t) cos nt+ a′0λ(t)[m(a′0α3 − a0α1 sinnt)− nα1 sinnt] +R2 cos 2nt+
+R′
2 sin 2nt−R1 cosnt−R′
1 sinnt+R0 = 0. (9)
В уравнениях (7)–(9) введены обозначения
P2 = a′
0
2
(C12 +mB12 −m2A12),
P ′
2 =
a2
0′
2
[C22 − C11 +m(B22 −B11)−m2(A22 −A11)],
P1 = a′
0
(s1 − a0C13 − a0mB13 + a0m
2A13),
P ′
1 = a′0(s2 − a0C23 − a0mB23 + a0m
2A23),
Q2 = a′0
2
n(B12 − 2mA12),
Q′
2
=
a′
0
2
2
n[(B22 −B11)− 2m(A22 −A11)],
Q1 = a′0n[(n+ 2a0m)A13 − a0B13],
Q′
1 = a′0n[(n+ 2a0m)A23 − a0B23], (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 67
R2 =
a′
0
2
2
[a0(C22 − C11) + (n + a0m)(B22 −B11)−m(2n + a0m)(A22 −A11)],
R′
2
= a′
0
2
[a0C12 + (n+ a0m)B12 −m(2n + a0m)A12],
R1 = a′0[a0s2 − (2a20 − 1)C23 − (a0n+ (2a20 − 1)m)B23 +
+ (n2 + 2a0mn+ (2a20 − 1)m2)A13],
R′
1
=a′
0
[a0s1−(2a2
0
−1)C13−(a0n+(2a2
0
−1)m)B13+(n2+2a0mn+(2a2
0
−1)m2)A23],
R0 = a′
0
2
[
s3 +
a0
2
(C11 + C22 − 2C33) +
1
2
n(B22 +B11) +
+
1
2
a0m(B11 +B22 − 2B33) +mnA33 −
a0
2
m2(A11 +A22 − 2A33)
]
.
При исследовании прецессий можно использовать и интеграл моментов (3). На основа-
нии (4), (10) преобразуем его к следующему виду:
λ(t)(a′0α1 sinnt+a0α3)=
1
2n
Q′
2 cos 2nt+
1
2n
Q2 sin 2nt−
1
n
Q′
1 cosnt−
1
n
Q1 sinnt+S0, (11)
где
S0 = k +
1
4
[a′
0
2
(B11 +B22) + 2a2
0
B33]−
m
2
[a′
0
2
(A11 +A22) + 2a2
0
A33]. (12)
Особый случай. Рассмотрим случай, когда интеграл моментов из (11) становится тож-
деством. Так как λ(t) 6= 0, то из (11) вытекают равенства
α1 = 0, a0 = 0, Q′
2
= 0, Q2 = 0, Q′
1
= 0, Q1 = 0, S0 = 0. (13)
Так как α2
1 + α2
3 = 1, то в силу (13) из уравнения (7) следует
λ(t) = −
1
2n
P2 sin 2nt−
1
2n
P ′
2 cos 2nt+
1
n
P1 sinnt+
1
n
P ′
1 cosnt+ λ0. (14)
Из условий (13) на основании обозначений (10) имеем
A13 = A23 = 0, B12 = 2mA12, B22 −B11 = 2m(A22 −A11). (15)
Поскольку при наличии ограничений (13) выражения R2 и R′
2 из системы (10) обращаются
в нуль, то подстановка λ(t) из (14) в уравнение (9) приводит к равенствам
C12 = −m2A12, C22 − C11 = −m2(A22 −A11),
ms1 = n(C13 +mB13), ms2 = n(C23 +mB23),
λ0 = −
1
m
[
s3 +mnA33 +
n
2
(B11 +B22)
]
.
(16)
Тогда выражение (14) упрощается
λ(t) =
s1
n
sinnt+
s2
n
cosnt+ λ0. (17)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Следовательно, в случае α1 = 0, α3 = 1 (α = a), a0 = 0 условиями существования регу-
лярных прецессий гиростата служат условия (15)–(17). Из (15) следует, что горизонтальная
ось, проходящая через вектор a, является главной осью в гиростате. Соотношения (15)–(17)
показывают, что в классическом случае (Cij = 0, Bij = 0) гиростатический момент не изме-
няется по величине. То есть аналога построенного решения (4), (5), (17) в задаче о движении
гиростата под действием силы тяжести не существует.
Случай α1 = 0, α3 = 1. Пусть в уравнениях (7)–(9), (11) имеют место равенства α1 =
= 0, α3 = 1. Тогда из уравнения (7) вытекает равенство (14), т. е. функция λ(t) имеет пе-
риодический характер. Поскольку соотношение (11) является первым интегралом, то вместо
уравнения (8) можно рассматривать (11).
Внесем выражение (14) в уравнения (9), (11) и потребуем, чтобы полученные равенства
были тождествами по t. Тогда, учитывая обозначения (10), (12), получим следующие усло-
вия на параметры:
B12 = 2mA12, B22 −B11 = 2m(A22 −A11),
C12 = −m2A12, C22 − C11 = −m2(A22 −A11),
C13 = −
1
a0
m(n+ a0m)A13, C23 = −
1
a0
m(n+ a0m)A23,
s1 =
1
a0
(n+ a0m)[a0B13 − (n+ 2a0m)A13],
s2 =
1
a0
(n+ a0m)[a0B23 − (n+ 2a0m)A23],
λ0 = −
1
m
[
s3 +
a0
2
(C11 + C22 − 2C33) +
n
2
(B11 +B22) +
+
1
2
a0m(B11 +B22 − 2B33) +mnA33 −
a0m
2
2
(A11 +A22 − 2A33)
]
,
S0 = a0λ0.
(18)
При условиях (18) функция (14) принимает вид
λ(t) =
1
n
P1 sinnt+
1
n
P ′
1
cosnt+ λ0, (19)
где
P1 = −
a′
0
n
a0
[(n+ 2a0m)A13 − a0B13], P ′
1
= −
a′
0
n
a0
[(n + 2a0m)A23 − a0B23].
Рассмотрим случай, когда движение гиростата происходит под действием силы тяжести.
Положим в формулах (18), (19) Bij = 0, Cij = 0. Тогда из (18) следуют равенства
A12 = 0, A22 = A11, s1 = s2 = 0, n+ a0m = 0. (20)
При этом величины A13 и A23 одновременно не обращаются в нуль. То есть с учетом ра-
венств (20) можно утверждать, что гиростат по распределению масс не является гироскопом
Лагранжа. Поскольку эллипсоид инерции в неподвижной точке описывается уравнением
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 69
A11(x
2 + y2) + 2A13xz + 2A23yz + A33z
2 = const, то можно утверждать, что в полученном
решении
ν1 = a′0 sinnt, ν2 = a′0 cosnt, ν3 = a0,
ω1 = a′0m sinnt, ω2 = a′0m cosnt, ω3 = 0,
λ(t) = −a′
0
mA13 sinnt− a′
0
mA23 cosnt+
1
2m
[a0m
2(2A11 +A33)− 2s3],
(21)
условия на компоненты тензора инерции такие же, как в решении Гриоли [7]. Представляет
интерес условие n = −a0m, определяющее связь между скоростями собственного вращения
и прецессии.
В случае (18), (19) указанные выше свойства не выполняются. В частности, в нем отсут-
ствует условие на компоненты тензора инерции, что означает произвольное распределение
масс гиростата. При этом представление условий существования прецессий гиростата с пе-
ременным гиростатическим моментом в виде (18) целесообразно в силу возможности ана-
лиза общности условий (18) и условий прецессионных движений гиростата с постоянным
гиростатическим моментом [2, с. 48].
Отметим, что для решения (21) вектор гиростатического момента λ(t) = λ(t) · α в силу
равенств α1 = 0, α2 = 0, α3 = 1 направлен по вектору a (т. е. по оси собственного вра-
щения гиростата). Это свойство можно учесть на практике при построении управляющего
момента λ(t).
Случай α3 = 0, α1 = 1. В этом случае α · a = 0, т. е. гиростатический момент ортого-
нален оси собственного вращения гиростата. Из уравнений (7), (11) вытекает равенство
2n(P2 cos 2nt− P ′
2
sin 2nt− P1 cosnt+ P ′
1
sinnt) sinnt−
−m(Q′
2
cos 2nt+Q2 sin 2nt− 2Q′
1
cosnt− 2Q1 sinnt+ 2nS0) cos nt = 0. (22)
Равенство (22) должно быть тождеством по t. Из этого условия вытекают соотношения
Q2 = 0, P2 = 0, nP ′
2 −
m
2
Q′
2 = 0, nP ′
2 +
m
2
Q′
2 + 2nmS0 = 0,
nP1 −mQ1 = 0, P ′
1 = 0, Q′
1 = 0.
(23)
Для сохранения симметрии условий существования прецессий рассмотрим случай P1 = 0,
Q1 = 0. Тогда из (23) в силу обозначений (10) имеем
B12 = 2mA12, C22 − C11 =
m
2
(B11 −B22), C12 = −m2A12, (24)
a0B13 − (n+ 2a0m)A13 = 0, a0B23 − (n+ 2a0m)A23 = 0, (25)
s1 = a0C13 −m(n+ a0m)A13, s2 = a0C23 −m(n+ a0m)A23. (26)
На основании условий (23) функция λ(t) из (11) примет вид
λ(t) = −
Q′
2
a′
0
n
sinnt. (27)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Подставим выражение (27) в уравнение (9) и потребуем, чтобы полученное равенство было
тождеством по t. Тогда с учетом условий (25), (26) получим
s1 = 0, s2 = 0, C13 = m2A13 −mB13, C23 = m2A23 −mB23,
s3 +
a0
2
(C11 + C22 − 2C33) +m(n+ a0m)A33 −
m(2a0m− n)
2
A22 −
−
mn
2
A11 +
(3n+ a0m)
4
B11 +
(3a0m+ n)
4
B22 − a0mB33 = 0.
(28)
Таким образом, условиями существования регулярных прецессий в случае α3 = 0, α1 = 1
служат равенства (24), (25), (28). Зависимость λ(t) определяется формулой (27), в которой
Q′
2 =
a′
0
2
n
2
[B22 −B11 − 2m(A22 −A11)] 6= 0.
Рассмотрим случай действия на гиростат силы тяжести. Положим в соотношениях (24),
(25), (28) Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3). Тогда получим равенства A13 = A23 = 0 и
s3 +
1
2
mA33(2n + a0m)− a0m
2A22 = 0. (29)
Из (29) следует, что в общем случае s3 6= 0. Учитывая условия s2 = s1 = 0, заключаем,
что вектор s коллинеарен вектору a, который определяет ось собственного вращения ги-
ростата. В силу обозначений (10) величина Q′
2 из формулы (27) принимает значение:
a′0
2
nm(A11 −A22). Поэтому при A22 6= A11 значение λ(t) 6= 0. Следовательно, в класси-
ческом случае следует предполагать A22 6= A11, что означает несуществование регуляр-
ной прецессии для симметричного гиростата с переменным моментом количества движе-
ния λ(t).
Таким образом, в данной работе доказано существование регулярной прецессии ω =
= na +mν (ν = (a′
0
sinnt, a′
0
cosnt, a0)) в трех случаях. Для первого случая: α ‖ a, a0 = 0;
для второго случая: α ‖ a, a0 6= 0; для третьего случая: α ⊥ a. В этих случаях функция
λ(t) является тригонометрическим многочленом первого порядка. Полученные результа-
ты отличаются от результатов для прецессий с постоянным по величине гиростатическим
моментом [2].
1. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Тр. Ин-та
прикл. математики и механики. – 2009. – 19. – С. 30–35.
2. Горр Г. В., Мазнев А. В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в
динамике систем связных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с.
3. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика тв. тела. – 1972. –
Вып. 4. – С. 52–73.
4. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик // Там
же. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.
5. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гироста-
тическим моментом // Там же. – 2009. – Вып. 39. – С. 42–49.
6. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The
equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5, No 5. – P. 742–
745.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 71
7. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante
asimmetrico // Ann. Mat. Pura et Appl. – 1947. – 4, No 26. – f. 3–4. – P. 271–281.
Поступило в редакцию 16.11.2010Донецкий национальный университет
A.V. Maznyev
Gyrostat regular precessions of with variable gyrostat moment under
the influence of potential and gyroscopic forces
The conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence of potential and
gyroscopic forces supposing that the gyrostat moment depends on the time are obtained. Their
connection with the conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence
of gravity is studied.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38507 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:25:19Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мазнев, А.В. 2012-11-11T18:14:58Z 2012-11-11T18:14:58Z 2011 Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 66-72. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38507 531.38 Отримано умови існування регулярних прецесій гіростата під дією потенційних та гіроскопічних сил у припущенні, що величина гіростатичного моменту залежить від часу. Досліджено зв'язок цих умов з умовами існування регулярних прецесій гіростата під дією сили тяжіння. The conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence of potential and gyroscopic forces supposing that the gyrostat moment depends on the time are obtained. Their connection with the conditions of the existence of gyrostat regular precessions under the influence of gravity is studied. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Gyrostat regular precessions of with variable gyrostat moment under the influence of potential and gyroscopic forces Article published earlier |
| spellingShingle | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил Мазнев, А.В. Механіка |
| title | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_alt | Gyrostat regular precessions of with variable gyrostat moment under the influence of potential and gyroscopic forces |
| title_full | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short | Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort | регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38507 |
| work_keys_str_mv | AT maznevav regulârnyeprecessiigirostatasperemennymgirostatičeskimmomentompoddeistviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil AT maznevav gyrostatregularprecessionsofwithvariablegyrostatmomentundertheinfluenceofpotentialandgyroscopicforces |