О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях
Досліджено проблему неперервного або гомеоморфного продовження на межу так званих кільцевих Q-гомеоморфізмів між областями на ріманових многовидах. Знайдено умови на функцію Q(x) та межі областей, при яких всякий кільцевий Q-гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорі...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38509 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 7-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860182097891688448 |
|---|---|
| author | Афанасьева, Е.С. |
| author_facet | Афанасьева, Е.С. |
| citation_txt | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 7-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено проблему неперервного або гомеоморфного продовження на межу так званих кільцевих Q-гомеоморфізмів між областями на ріманових многовидах. Знайдено умови на функцію Q(x) та межі областей, при яких всякий кільцевий Q-гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорія може бути застосованою, зокрема, до класів Соболєва.
The problem of continuous and homeomorphic extensions to the boundary of the so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds is studied. A number of conditions on functions Q(x) and boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary are found. The theory can be applied, in particular, to Sobolev's classes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
© 2011
Е.С. Афанасьева
О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов
на римановых многообразиях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Дослiджено проблему неперервного або гомеоморфного продовження на межу так зва-
них кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено
умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких всякий кiльцевий Q-гомеоморфiзм
допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiя може бути засто-
сованою, зокрема, до класiв Соболєва.
Риманом был определен способ введения метрики через положительно определенную (не-
вырожденную) квадратичную форму, которая в дальнейшем получила название римановой
метрики. Однако понятие “многообразие” было впервые четко введено позже Пуанкаре.
В свою очередь, систематическое изучение гладких многообразий началось после 1912 г.
Параллельно этой теории длительное время развивалась и теория отображений в рам-
ках конформных и квазиконформных отображений. Бельтрами, Каратеодори, Кристоф-
фель, Гаусс, Риман и другие внесли свой вклад в развитие теории отображений. Отметим,
что конформные отображения и их обобщения играют важную роль в развитии теории
потенциала, математической физики, римановых поверхностей и топологии.
В работе [1] для квазиконформных отображений было получено модульное неравен-
ство, которое впоследствии легло в основу определения так называемых Q-гомеоморфиз-
мов. В последние годы на плоскости и в пространстве активно изучается более широкий
класс кольцевых Q-гомеоморфизмов (см., напр., [2–6]). Это понятие мотивировано коль-
цевым определением квазиконформности по Герингу [7] и представляет собой обобщение
и локализацию даного определения, которое впервые было введено и использовалось для
изучения уравнений Бельтрами на плоскости в работе [5].
1. Предварительные замечания. Напомним некоторые определения, которые можно
найти, напр., в [8–10].
n-мерное топологическое многообразие M
n — это хаусдорфово топологическое прост-
ранство со счетным базисом, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомео-
морфную R
n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 7
Картой на многообразии M
n называется пара (U,ϕ), где U — открытое подмножество
пространства M
n, а ϕ— гомеоморфизм подмножества U на открытое подмножество коорди-
натного пространства R
n, каждой точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответст-
вие набор из n чисел, ее локальных координат. Дифференцируемое (гладкое) многообразие —
многообразие с картами (Uα, ϕα), локальные координаты которых связаны дифференци-
руемым (гладким) образом.
Римановым многообразием (Mn, g) называется гладкое многообразие вместе с заданным
на нем метрическим тензором g. Римановой метрикой на многообразии (Mn, g) называется
положительно определенное (невырожденное) симметричное тензорное поле
g = gij(x) =
g11 . . . g1n
. . . . . . . . .
gn1 . . . gnn
,
которое определяется только в координатных картах с правилом перехода
′gij(v) = gkl(u(v))
∂uk
∂vi
∂ul
∂vj
. (1)
Элемент длины на (Mn, g) задается инвариантной дифференциальной формой
ds2 = gijdx
idxj , (2)
где gij — метрический тензор, xi — локальные координаты.
Напомним также, что элемент объема на (Mn, g) определяется инвариантой формой
dv =
√
|det gij |dx
1 · · · dxn, (3)
а элемент площади гладкой поверхности H на (Mn, g) определяется инвариантной формой
dA =
√
|det g∗αβ |du1 · · · dun−1, (4)
где g∗αβ — риманова метрика на H, порожденная исходной римановой метрикой gij по фор-
муле
g∗αβ(u) = gij(x(u))
∂xi
∂uα
∂xj
∂uβ
.
Здесь x(u) — гладкая параметризация поверхности H.
Пусть Γ = {γ} — семейство кривых на n-мерном римановом многообразии (Mn, g). Изме-
римая по Борелю неотрицательная функция ρ : Mn → R+, n > 2, называется допустимой
для Γ, если условие
∫
γ
ρds > 1 (5)
выполнено для каждой кривой γ ∈ Γ, где в соответствии с формулой (2)
ds =
√
gij(x(t))
dxi
dt
dxj
dt
dt, (6)
если x(t) — гладкая параметризация кривой γ в локальных координатах.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Конформным модулем семейства кривых Γ называем величину
M(Γ) := inf
ρ∈admΓ
∫
Mn
ρndv, (7)
где нижняя грань берется по всем допустимым для Γ функциям.
Пусть (Mn, g) — риманово многообразие, n > 2. Говорим, что функция ϕ : Mn → R имеет
конечное среднее колебание в точке x0 ∈ M
n, сокр. ϕ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)− ϕε| dv(x) <∞ ∀x0 ∈ M
n, (8)
где
ϕε = ϕε,x0
= −
∫
B(x0,ε)
ϕ(x) dv(x) =
1
v(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
ϕ(x) dv(x) — (9)
среднее значение функции ϕ(x) по геодезическому шару B(x0, ε) = {x ∈ M
n : d(x, x0) < ε}
относительно меры объема v. Напомним, что геодезическое расстояние d(x, x0) — инфимум
длин кривых, соединяющих две точки x и x0 (см. [10, с. 94]). Пишем также ϕ ∈ FMO, если
ϕ ∈ FMO(x0) для всех x0 ∈ M
n.
Следующая концепция является естественным обобщением кольцевого определения ква-
зиконформных отображений по Герингу (см. [7]).
Пусть D — область на римановом многообразии (Mn, g), D∗ — область на римановом
многообразии (Mn
∗ , g
∗) (n > 2) и пусть Q : D → [0,∞] — измеримая функция. В даль-
нейшем предполагаем, что приведенное ниже геодезическое кольцо является достаточно
малым, таким, что оно попадает в нормальную окрестность соответствующей точки. По-
ложим A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ D : r1 < d(x, x0) < r2} — геодезическое кольцо, где d —
геодезическое расстояние на (Mn, g). Далее ∆(E,F ;D) обозначает семейство всех путей γ,
соединяющих множества E и F в D. Будем говорить, что гомеоморфизм f : D → D∗ на-
зывается кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если
M(∆(fC0, fC1,D∗)) 6
∫
A∩D
Q(x)ηn(d(x, x0)) dv(x) (10)
выполняется для любого геодезического кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < ∞, любых
двух континуумов (компактных связных множеств) C0 ⊂ B(x0, r1) и C1 ⊂ M
n \ B(x0, r2)
и любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2
∫
r1
η(r) dr > 1.
Будем также говорить, что f является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D, если (10)
выполнено для всех точек x0 ∈ D.
Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма было впервые введено в связи с исследованиями
уравнений Бельтрами в [5] на плоскости и затем в [4] в пространстве.
2. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов. Область D называется
локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется
окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что V
⋂
D связно. Заметим, что любая жордановая
область D локально связна в любой своей граничной точке (см. [11, c. 66]).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 9
Будем также говорить, что граница ∂D — слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, если для
любого числа P > 0 и любой окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U
такая, что
M(∆(E,F ;D)) > P (11)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V .
Будем говорить, что граница области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, если для
любой окрестности U точки x0 найдется компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0
и число δ > 0 такие, что
M(∆(E,F ;D)) > δ (12)
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V . Граница ∂D называется сильно
достижимой и слабо плоской, если соответствующие свойства имеют место в каждой точке
границы (см. [12]).
Теорема 1. Пусть D и D∗ — области на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn
∗
, g∗),
n > 2, соответственно и пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а ∂D∗ сильно дос-
тижима, D и D∗ компактны. Если Q ∈ FMO(x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм
f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn
∗ , g
∗).
Теорема 2. Пусть D — область на (Mn, g), локально связная на границе, D∗ — область
на (Mn
∗ , g
∗) со слабо плоской границей, замыкания D и D∗ компактны и Q ∈ L1(D). Тогда
обратный гомеоморфизм g = f−1 : D∗ → D допускает (непрерывное) продолжение g : D∗ →
→ D.
Теорема 3. Пусть D — область на (Mn, g), локально связная на границе, D∗ — область
на (Mn
∗
, g∗) со слабо плоской (сильно достижимой) границей, замыкания D и D∗ ком-
пактны и Q ∈ L1(D). Если Q принадлежит FMO, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм
f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗.
Теорема 4. Пусть D — область на (Mn, g) с локально связной границей, D∗ — область
на (Mn
∗ , g
∗) со слабо плоской (сильно достижимой) границей, замыкания D и D∗ ком-
пактны, Q ∈ L1(D) и где 0 < ε(x0) < d0 = sup
x∈D
d(x, x0).
ε(x0)
∫
0
dt
(
∫
S(x0,r)
Q(x) dA
)1/(n−1)
= ∞ ∀x0 ∈ ∂D. (13)
где функция Q определена на пересечении геодезических сфер Si = S(x0, ri) с областью
D на многообразии (Mn, g) и Q(x) ≡ 0 вне D. Тогда каждый кольцевой Q-гомеоморфизм
f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗.
Здесь функция Q предполагается продолженной нулем вне области D.
3. Следствия для гомеоморфизмов класса Соболева. Говорим, что f : Mn → M
n
∗
является ACLn-отображением или из класса Соболева W 1,n
loc (M
n), если для любых пара-
метрических шаров B = (B,φ) на (Mn, g) и B∗ = (B∗, ψ) на (Mn
∗
, g∗) таких, что f(B) ⊂ B∗,
ψ ◦ f ◦ φ−1 является ACL-отображением и частные производные от ψ ◦ f ◦ φ−1 локально
Ln-интегрируемы на φ(B) (см., напр., [13]).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Функция f , определенная на параметрическом шаре B = (B,φ) риманового многообра-
зия (Mn, g) с локальным параметром φ(p) = (x1, . . . , xn) (p ∈ B), является абсолютно не-
прерывной на линиях (ACL), если f ◦ φ−1, является ACL на φ(B). Более того, функция f ,
определенная на (Mn, g), является ACL, если ограничение f |B является ACL для любого
параметрического шара B на (Mn, g) (см., напр., [13]).
Развитая выше теория применима для гомеоморфизмов указанного класса с KI ∈
∈ L1
loc(D), так как такие гомеоморфизмы являются кольцевыми Q-гомеоморфизмами с Q =
= KI , где KI — внутренняя дилатация отображения f :
KI(x, f) =
J(x, f)
ln(x, f)
.
Здесь
J(x, f) = lim
r→0
v(f(B(x, r)))
v(B(x, r))
п. в., l(x, f) = lim inf
y→x
d∗(f(x), f(y))
d(x, y)
.
Теорема 5. Пусть D — область на (Mn, g), D∗ — область на (Mn
∗ , g
∗) и пусть f : D →
→ D∗ гомеоморфизм класса Соболева W 1,n
loc (D) с f−1 ∈ W
1,n
loc (D∗). Если KI(x, f) ∈ L1
loc(D),
то f является кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = KI(x, f).
Таким образом, теоремы 1–4 имеют место, в частности, для гомеоморфизмов f класса
Соболева W 1,n
loc с локально суммируемой внутренней дилатацией.
1. Bishop C. J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397–1420.
2. Миклюков В.М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. – Волгоград:
Изд-во Волгогр. ун-та, 2005. – 273 с.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
4. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфиз-
мов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361–1376.
5. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solution of Beltrami equation // J. d’Anal. Math. – 2005. –
96. – P. 117–150.
6. Смоловая Е.С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах //
Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682–689.
7. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. –
P. 353–393.
8. Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, manifolds and physics. – Amsterdam:
Elsevier, 1977. – 649 p.
9. Позняк Э.Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1990. –
384 с.
10. Lee J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. – New York: Springer, 1997. – 224 p.
11. Wilder R. L. Topology of manifolds. – New York: AMS, 1949. – 404 p.
12. Ryazanov V., Salimov R. Weakly flat spaces and boundaries in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. –
2007. – 4, No 2. – P. 199–234.
13. Nakai M., Tanaka H. Existence of quasiconformal mappings between Riemannian manifolds // Kodai
Math. J. – 1982. – 5. – P. 122–131.
Поступило в редакцию 08.11.2010Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 11
E. S. Afanas’eva
About the boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on
Riemannian manifolds
The problem of continuous and homeomorphic extensions to the boundary of the so-called ring
Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds is studied. A number of conditions
on functions Q(x) and boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits
a continuous or homeomorphic extension to the boundary are found. The theory can be applied, in
particular, to Sobolev’s classes.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38509 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Афанасьева, Е.С. 2012-11-11T18:17:27Z 2012-11-11T18:17:27Z 2011 О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 7-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38509 517.5 Досліджено проблему неперервного або гомеоморфного продовження на межу так званих кільцевих Q-гомеоморфізмів між областями на ріманових многовидах. Знайдено умови на функцію Q(x) та межі областей, при яких всякий кільцевий Q-гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорія може бути застосованою, зокрема, до класів Соболєва. The problem of continuous and homeomorphic extensions to the boundary of the so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds is studied. A number of conditions on functions Q(x) and boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary are found. The theory can be applied, in particular, to Sobolev's classes. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях About the boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on Riemannian manifolds Article published earlier |
| spellingShingle | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях Афанасьева, Е.С. Математика |
| title | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| title_alt | About the boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on Riemannian manifolds |
| title_full | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| title_fullStr | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| title_full_unstemmed | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| title_short | О граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| title_sort | о граничном поведении кольцевых q-гомеоморфизмов на римановых многообразиях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38509 |
| work_keys_str_mv | AT afanasʹevaes ograničnompovedeniikolʹcevyhqgomeomorfizmovnarimanovyhmnogoobraziâh AT afanasʹevaes abouttheboundarybehaviorofringqhomeomorphismsonriemannianmanifolds |