Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло
Робота присвячена побудові методу Монте-Карло для обчислення інтегралів по обмеженій області, який дозволяє знаходити значення цих інтегралів із заданою точністю та надійністю, тобто побудові оцінок для цих інтегралів. The paper is devoted to the Monte Carlo method construction for integrals over a...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38510 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло / Ю.В. Козаченко, Ю.Ю. Млавець // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267691234820096 |
|---|---|
| author | Козаченко, Ю.В. Млавець, Ю.Ю. |
| author_facet | Козаченко, Ю.В. Млавець, Ю.Ю. |
| citation_txt | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло / Ю.В. Козаченко, Ю.Ю. Млавець // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Робота присвячена побудові методу Монте-Карло для обчислення інтегралів по обмеженій області, який дозволяє знаходити значення цих інтегралів із заданою точністю та надійністю, тобто побудові оцінок для цих інтегралів.
The paper is devoted to the Monte Carlo method construction for integrals over a limited area, which allows one to find the values of these integrals with given accuracy and reliability, that is to the construction of bounds for these integrals.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2011
Ю.В. Козаченко, Ю. Ю. Млавець
Точнiсть та надiйнiсть пiдрахунку iнтегралiв методом
Монте-Карло
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Робота присвячена побудовi методу Монте-Карло для обчислення iнтегралiв по обме-
женiй областi, який дозволяє знаходити значення цих iнтегралiв iз заданою точнiстю
та надiйнiстю, тобто побудовi оцiнок для цих iнтегралiв.
1. Випадковi процеси з просторiв Орлiча випадкових величин.
Означення 1 [1]. Парна неперервна опукла функцiя U = (U(x), x ∈ R) називається
C-функцiєю, якщо U(0) = 0 i U(x) монотонно зростає при x > 0.
Означення 2 [1]. Нехай U — довiльна C-функцiя. Простором Орлiча випадкових ве-
личин LU (Ω) називається така сiм’я випадкових величин, що для кожної ξ ∈ LU (Ω) iснує
така константа rξ > 0, що EU(ξ/rξ) < ∞.
Простiр Орлiча LU(Ω) є банаховим простором вiдносно норми ‖ξ‖U = inf{r > 0;
EU(ξ/r) 6 1}, яка називається нормою Люксембурга.
Означення 3 [1]. Будемо говорити, що C-функцiя задовольняє g-умову, якщо iснують
такi константи z0 > 0, K > 0 i A > 0, що для всiх x > z0 i y > z0 виконується нерiвнiсть
U(x)U(y) 6 AU(Kxy).
П р и к л ад 1 . Функцiя U(x) = a|x|α, x ∈ R, a > 0, α > 1 задовольняє g-умову при K = 1,
A = a i z0 = 0. C-функцiя U(x) = exp{ϕ(x)} − 1, x ∈ R, що ϕ = (ϕ(x), x ∈ R) довiльна C-функцiя
задовольняє g-умову при K = 1, A = 1 i z0 = 2 (якщо ϕ(x) = |x|α, α > 1 тодi z0 = 21/α).
Означення 4. Простiр Орлiча LU (Ω) має властивiсть H, якщо для будь-яких центрова-
них, незалежних випадкових величин ξ1, ξ2, . . . , ξn з простору LU (Ω) виконується нерiвнiсть
∥
∥
∥
∥
∥
n
∑
i=1
ξi
∥
∥
∥
∥
∥
2
U
6 CU
n
∑
i=1
‖ξi‖2U ,
де CU — деяка абсолютна константа.
Приклади просторiв Орлiча, що мають властивiсть H, наведенi в роботах [1–4]. Зокре-
ма, в роботi [2] показано, що цю властивiсть мають простори Lp(Ω) (U(x) = |x|p), а в ро-
ботах [1, 3] показано, що цю властивiсть мають простори LU (Ω), породженi функцiями
U(x) = exp{|x|α} − 1, 1 6 α 6 2, |x| > x1, де x1 — деяка константа.
Означення 5. Нехай X = {X(t), t ∈ T} — випадковий процес, T — певна множина iнде-
ксiв, X — належить простору Орлiча LU (Ω), коли при кожному t ∈ T випадкова величина
X(t) ∈ LU (Ω).
Нехай ρ(t, s) = ‖X(t) −X(s)‖U — псевдометрика, що породжується в T процесом X =
= {X(t), t ∈ T} ∈ LU (Ω). Розглянемо псевдометричний простiр (T, ρ). Нехай Nρ(v) — ме-
трична масивнiсть простору (T, ρ), тобто число замкнених куль радiуса v, що покривають
множину T.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
2. Точнiсть та надiйнiсть при обчисленнi iнтегралiв методом Монте-Карло.
Нехай {S,A, µ} — вимiрний простiр, µ — σ-скiнченна мiра, p(s) > 0, s ∈ S — така функцiя,
що
∫
S
p(s) dµ(s) = 1. Нехай m(A), A ∈ A — мiра, яка визначається так: m(A) =
∫
A
p(s) dµ(s).
Оскiльки m(A) є ймовiрнiсною мiрою, то простiр {S,A, µ} є ймовiрнiсним простором.
Нехай f(s) — вимiрна функцiя на {S,A, µ}. Розглянемо
∫
S
f(s)p(s) dµ(s) = I (вважа-
ється, що цей iнтеграл iснує). Ми можемо розглянути f(s) = f як випадковi величини
з {S,A, µ} i
∫
S
f(s)p(s) dµ(s) =
∫
S
f(s) dm(s) = Ef .
Нехай ξi, i = 1, . . . , n, — незалежнi копiї для випадкової величини f , Zn =
1
n
n
∑
i=1
ξi, тодi
Zn → Eξ1 = I з iмовiрнiстю одиниця. Розглянемо Zn як оцiнку для I .
Означення 6. Zn наближає I з надiйнiстю 1 − δ (0 < δ < 1) i точнiстю ε > 0, якщо
виконується така нерiвнiсть:
P{|Zn − I| > ε} 6 δ.
Теорема 1. Нехай випадкова величина f належить простору LU (Ω), який має вла-
стивiсть H з константою CU . Тодi Zn наближає I з надiйнiстю 1 − δ i точнiстю ε,
якщо виконується нерiвнiсть
n >
(
RU−1(1/δ)
ε
)2
,
де R =
(
1+
dU
U−1(1)
)
‖f‖U , dU — константа з нерiвностi E|ξ| 6 dU‖ξ‖U (див. теорему 2.3.2
з [1]).
3. Точнiсть та надiйнiсть при обчисленнi iнтегралiв, залежних вiд параме-
тра, методом Монте-Карло. Розглянемо iнтеграл
∫
S
f(s, t)p(s) dµ(s) = I(t). I нехай всi
припущення в п. 2 вiрнi, але функцiя f(s, t) залежить вiд t ∈ T, де (T,w) — компактний
метричний простiр. Нехай f(s, t) — неперервна функцiя вiдносно t.
Розглянемо
∫
S
f(t, s)p(s) dµ(s) = I(t) i нехай цей iнтеграл iснує. Розглянемо f(t, s) як
випадковий процес на {S,A,m} i I(t) =
∫
S
f(t, s)p(s) dµ(s) =
∫
S
f(t, s)dm(s) = Ef(t).
Нехай ξi(t), i = 1, 2, . . . , n, — незалежнi копiї випадкового процесу f(t), Zn(t) =
=
1
n
n
∑
i=1
ξi(t), то Zn(t) → Ef(t) = I(t) з iмовiрнiстю одиниця для будь-якого t ∈ T.
Означення 7. Zn(t) наближається до I(t) у просторi C(T) з надiйнiстю 1 − δ > 0
i точнiстю ε > 0, якщо виконується така нерiвнiсть:
P
{
sup
t∈T
|Zn(t)− I(t)| > ε
}
6 δ.
Теорема 2. Нехай випадковий процес f(t) належить простору LU (Ω), де LU (Ω) має
властивiсть H з константою CU та функцiя U задовольняє умову g. Iснує неперервна,
зростаюча функцiя σ = (σ(h), 0 6 h 6 δ0), δ0 = sup
t,s∈T
ρ(t, s), що
sup
ρ(t,s)6h
‖f(t)− f(s)‖U 6 σ(h)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 19
i
δ0
∫
0
U (−1)(Nw(σ
(−1)(u)))du < ∞. Тодi Zn(t) наближає I(t) з надiйнiстю 1− δ i точнiстю ε
в просторi C(T), якщо виконується така нерiвнiсть:
U
(
ε
√
n
B̌(t0, θ)
)−1
< δ,
де
B̌(t0, θ) = sup
t∈T
‖f(t)− I(t)‖U +
1
θ(1− θ)
δ0θ
∫
0
ν(Nw(σ
(−1)
1 (u)) du,
σ1(h) =
(
1 +
dU
U−1(1)
)
σ(h), δ0 = σ1
(
sup
t,s∈T
w(t, s)
)
, 0 < θ < 1, ν(n)
мажоруюча характеристика LU (Ω) (див. [1]).
Точнiсть та надiйнiсть обчислення iнтегралiв за обмеженою областю вивчалися в ро-
ботi [5].
1. Buldygin V.V., Kozachenko Yu.V. Metric characterization of random variables and random processes. –
Providence, RI: AMS, 2000. – 256 p.
2. Мацак И.К., Пличко А.И. Некоторые неравенства для сумм независимых случайных величин в
банаховых пространствах // Теория вероятностей и матем. статистика. – 1988. – № 38. – С. 81–88.
3. Абжанов E.А., Козаченко Ю.В. Моментные нормы в некоторых пространствах Орлича // Там же. –
1989. – № 41. – С. 3–9.
4. Багро С. В. Некоторые вероятностные неравенства и центральная предельная теорема в функцио-
нальных пространствах // Там же. – 1991. – № 44. – С. 8–16.
5. Kurbanmuradov O., Sabelfeld K. Exponential bounds for the probability deviations of sums of random
fields // Monte Carlo Methods and Appl. – 2006. – 12, No 3–4. – P. 211–229.
Надiйшло до редакцiї 10.11.2010Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ДВНЗ “Ужгородський нацiональний унiверситет”
Yu.V. Kozachenko, Yu.Yu. Mlavets
The accuracy and reliability of the calculation of integrals by the Monte
Carlo method
The paper is devoted to the Monte Carlo method construction for integrals over a limited area,
which allows one to find the values of these integrals with given accuracy and reliability, that is to
the construction of bounds for these integrals.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38510 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:13Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Козаченко, Ю.В. Млавець, Ю.Ю. 2012-11-11T18:23:47Z 2012-11-11T18:23:47Z 2011 Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло / Ю.В. Козаченко, Ю.Ю. Млавець // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 18-20. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38510 519.21 Робота присвячена побудові методу Монте-Карло для обчислення інтегралів по обмеженій області, який дозволяє знаходити значення цих інтегралів із заданою точністю та надійністю, тобто побудові оцінок для цих інтегралів. The paper is devoted to the Monte Carlo method construction for integrals over a limited area, which allows one to find the values of these integrals with given accuracy and reliability, that is to the construction of bounds for these integrals. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло The accuracy and reliability of the calculation of integrals by the Monte Carlo method Article published earlier |
| spellingShingle | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло Козаченко, Ю.В. Млавець, Ю.Ю. Математика |
| title | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло |
| title_alt | The accuracy and reliability of the calculation of integrals by the Monte Carlo method |
| title_full | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло |
| title_fullStr | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло |
| title_full_unstemmed | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло |
| title_short | Точність та надійність підрахунку інтегралів методом Монте-Карло |
| title_sort | точність та надійність підрахунку інтегралів методом монте-карло |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38510 |
| work_keys_str_mv | AT kozačenkoûv točnístʹtanadíinístʹpídrahunkuíntegralívmetodommontekarlo AT mlavecʹûû točnístʹtanadíinístʹpídrahunkuíntegralívmetodommontekarlo AT kozačenkoûv theaccuracyandreliabilityofthecalculationofintegralsbythemontecarlomethod AT mlavecʹûû theaccuracyandreliabilityofthecalculationofintegralsbythemontecarlomethod |