Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга
Запропоновано підхід розподілу лінійних і нелінійних параметрів моделі при оптимальному їх оцінюванні за допомогою критеріїв ризику, який дозволяє зменшити розмірність простору оцінюваних параметрів в техніці Монте-Карло при пошуку глобального мінімуму критеріїв ризику до розмірності простору лише н...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38515 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 103-107. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860093572892590080 |
|---|---|
| author | Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. |
| author_facet | Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. |
| citation_txt | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 103-107. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано підхід розподілу лінійних і нелінійних параметрів моделі при оптимальному їх оцінюванні за допомогою критеріїв ризику, який дозволяє зменшити розмірність простору оцінюваних параметрів в техніці Монте-Карло при пошуку глобального мінімуму критеріїв ризику до розмірності простору лише нелінійних параметрів. Це особливо відчутно при оцінці моделей ''старіння'' при дослідженні геофізичних об'єктів, моделі яких саме і відрізняються великою розмірністю. Запропонований підхід до рішення проілюстрований обробкою і аналізом даних, отриманих в польових спостереженнях в режимі моніторингу.
In the problem of optimal estimation of model parameters using risk criteria, we propose an approach to the separation of linear parameters from nonlinear ones. In the problem of finding a global minimum of risk criteria, our approach leads to a decrease of the dimension of the space of free variables up to the dimension of the space of nonlinear parameters. This allows one to obtain a simpler minimization problem, which can be solved more efficiently via Monte-Carlo methods. Such an improvement is very significant in the estimation of models of the object ''aging'' at the investigation of geophysical objects, models of which typically have high dimensionality. We illustrate the proposed method with the processing and analysis of data obtained during the field observations in the regime of monitoring.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:24:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.834
© 2011
В.С. Мостовой, С. В. Мостовой
Оптимальные оценки нелинейных параметров
в моделях сейсмоакустического мониторинга
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
Запропоновано пiдхiд розподiлу лiнiйних i нелiнiйних параметрiв моделi при оптималь-
ному їх оцiнюваннi за допомогою критерiїв ризику, який дозволяє зменшити розмiр-
нiсть простору оцiнюваних параметрiв в технiцi Монте-Карло при пошуку глобально-
го мiнiмуму критерiїв ризику до розмiрностi простору лише нелiнiйних параметрiв. Це
особливо вiдчутно при оцiнцi моделей “старiння” при дослiдженнi геофiзичних об’єктiв,
моделi яких саме i вiдрiзняються великою розмiрнiстю. Запропонований пiдхiд до рiшен-
ня проiлюстрований обробкою i аналiзом даних, отриманих в польових спостереженнях
в режимi монiторингу.
Особенность динамического анализа различных систем в режиме мониторинга заключает-
ся в следующем: режим обработки наблюденных данных и принятия решения о состоянии
объекта мониторинга должны быть выполнены в режиме, близком к реальному времени,
в то время как системы часто описываются достаточно сложными моделями с большой
размерностью вектора свободных параметров последних. Причем лишь часть этих пара-
метров входит в модель линейно, а большая их часть входит нелинейно. В таких случаях
существенную роль играет априорная изученность процессов, что позволяет упростить про-
цесс оценки свободных параметров, при этом естественно строить такую процедуру оцени-
вания параметров, которая базируется на бейесовских оценках и, тем самым, учитывает
имеющуюся у исследователей априорную информацию. В результате мониторинга анализ
изменения во времени множества свободных параметров позволяет говорить о состоянии
объекта исследования и прогнозировать его поведение в будущем. Описанный подход пред-
ставляется плодотворным в оценке состояния исторически ценных архитектурных памят-
ников и их возможной реакцией на землетрясения и создания относительно оптимального
уровня сопротивления сейсмическим событиям [1].
Математическая модель оценки параметров. Динамические системы моделиру-
ются суперпозицией периодических или квазипериодических процессов, которые и пред-
ставляют предмет анализа, поскольку дают возможность прогнозировать по предыстории
поведение системы в будущем.
Существенную роль в создании алгоритмов анализа играет тот факт, что в модели дина-
мического процесса M(Λ, t) есть хотя бы часть свободных параметров, входящих в модель
линейно. Это позволяет ускорить процесс обработки и анализа данных, получаемых в ре-
зультате мониторинга. Модель процесса строим в виде многообразия [2], отображающего
модель в точку N -мерного пространства RN через свободные параметры модели, где N —
количество этих параметров. M(Λ, t) кроме времени зависит еще и от множества свободных
параметров Λ. Результат мониторинга процесса y(t,Λ, α) может быть представлен так:
y(t,Λ, α) = M(Λ, t) + α(t), t ∈ (0, T ), (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 103
где множество параметров, отраженных в данной модели, упорядочены в прямоугольную
матрицу свободных параметров, подлежащих оценке; α(t) — источник случайности, т. е.
флуктуационные возмущения, которые не позволяют точно воспроизвести множество Λ;
T — область наблюдения во времени. Источником случайности кроме аддитивной помехи
α(t) являются и флуктуации параметров модели.
Выбираем такую модель, в которой множество ее свободных параметров содержит под-
множество, входящее в модель линейно. Упорядочив его в вектор h = {hk}, k = 1, n, и выде-
лив из множества параметров Λ это подмножество, оставив в Λ лишь нелинейно входящие
параметры, приходим к модели вида
M(Λ, t) =
nl∑
k=1
hk· exp{−λk,1t} sin(λk,2t− λk,3), (2)
где Λ
〈k〉 — векторы-столбцы в матрице нелинейных параметров всего множества Λ. Пос-
кольку Λ
〈k〉 в Λ, относящиеся к k-й подмодели Mk(Λ
〈k〉, t), могут иметь различную размер-
ность nk, то выбрав max
k
(nk) = n и заполнив в каждом векторе Λ
〈k〉 позиции, начиная
с номера nk+1 до номера n нулями, мы получим прямоугольную матрицу нелинейно входя-
щих в модель параметров Λ размерностью n × nl.
Целью анализа является построение оптимальных оценок Λ̂ с помощью множества
˜̂
Λ =
=
{
Λ̂r(y(t, α(t)))
}
решающих правил. При выборе решающего правила в качестве крите-
рия оптимальности на множестве из R решающих правил и наблюденных данных y(t, α(t))
выбираем критерий среднего риска R(Λ̂r(y(t, α))) [3]:
R(Λ̂r(y(t, α))) =
∑
r
L(Λ̂r(y(t, α),Λ)) · P
(
Λ
y(t, α)
)
. (3)
Здесь L(Λ̂r(y(t, α),Λ)) — функция потерь, которая зависит от оценки свободных параме-
тров, которые принимаются как решение по решающему правилу Λ̂r(y(t, α)) с номером r,
и истинного значения этих параметров Λ. Вид функции L(Λ̂r(y(t, α),Λ)) с помощью теории
не определяется, он выбирается из инженерных или интуитивных соображений, чем боль-
ше “соответствует истине” принятое решение, тем меньше должно быть значение функции
потерь или хотя бы не больше.
˜̂
Λ(y(t, α)) — множество из R решающих правил. В послед-
нем выражении P (Λ/y(t, α)) — это условная вероятность значения нелинейных свободных
параметров при условии реализации y(t, α).
Учитывая формулу Бейеса [4], средний риск с точностью до константы принимает вид:
R
(
Λ̂r(y(t, α)) = C ·
∑
Λ∈Λ̃
L(Λ̂r(y(t, α),Λ)) · P
(
y(t, α)
Λ
)
· P (Λ)
)
, (4)
где C = (P (y(t, α)))−1, величина, обратная полной вероятности P (y(t, α)), зависит только
от реализации y(t, α). Оптимальную оценку Λ̂
∗
параметров модели получаем минимизацией
среднего риска на множестве решающих правил Λ̂r(y(t, α)):
Λ̂
∗
= min
Λ̂r(y(t,α))∈
˜̂
Λ
R(Λ̂r(y(t, α))); r = 1, R. (5)
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Функция потерь в расчетах имела вид
L(Λ̂r(y(t, α),Λ)) =
0, если ‖Λ̂r −Λ‖ 6 Ω,
1
Ω
, если ‖Λ̂r −Λ‖ ≻ Ω.
(6)
Если норма разности вектора оценок параметров модели не превосходит фиксированной
величины Ω, то наблюдатель потерь не несет, в противном случае несет потерю 1/Ω.
Модель объекта исследования. Такой подход был применен авторами для обработки
и анализа данных, полученных в полевых наблюдениях мониторинга объекта, спектральные
характеристики которого лежат (0,1–8 Гц) в сейсмической области частот. Особенностью
эксперимента было то обстоятельство, что за время мониторинга характеристики объекта
менялись по определенной программе, и целью эксперимента было оценить эти изменения
в пространстве параметров модели объекта. Размерность вектора параметров изменялась
в зависимости от выбираемой модели в пределах от 12 до 20. Поскольку объект описывал-
ся множеством линейно и нелинейно входящих в модель параметров, а поиск глобального
минимума критерия оптимальности оценок для каждого из решающих правил осуществ-
лялся в зависимости от гипотезы об аддитивной помехе α(ti). Эта помеха моделировалась,
в общем случае, нестационарным гауссовым шумом. Решающее правило было следующим:
принималась оценка, минимизирующая уклонение модели от наблюденных данных в нор-
ме Гильбертова пространства. Скалярное произведение для двух функций 〈y(t), f(t)〉r в их
дискретном представлении выбиралось как для двух векторов таким образом:
〈y(t), f(t)〉r = k(σr) ·
∑
i,j
y(ti)f(tj)Wr(ti, tj); r = 1, R; i, j = 1,M. (7)
В функции (7) — Wr(ti, tj) матрица, обратная к матрице ковариаций аддитивного фона α(t)
с параметрами σr; k(σr) — коэффициент, зависящий от определителя матрицы ковариаций
σr (где M — это размерность вектора дискретного представления функций на временном
интервале T с интервалом квантования ∆ так, что M∆ = T ); R — как уже отмечалось
ранее, количество решающих привал.
Приведенный выше алгоритм в расчетах описывался двумя типами решающих правил.
Одно из них было основано на предположении о высокочастотной помехе с фиксирован-
ным множеством значений мощности такого процесса. Такой процесс можно моделировать
белым шумом [3], в этом случае ядро (7) будет:
k(σr)Wr(ti, tj) =
1
σr
· δ(ti − tj). (8)
Норма уклонения одной функции от другой (норма разности) —
√
〈y(t)− f(t), y(t)− f(t)〉r =
1
σr
√∑
i
(y(ti)− f(ti))2. (9)
Второе решающее правило основано на гипотезе о низкочастотном стационарном нормаль-
ном шуме с фиксированным множеством параметров, определяющих этот шум [6]. Расчеты
по данным мониторинга объекта показали, что гипотеза о высокочастотной помехе дает
лучшее согласие модели объекта с наблюденными данными.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 105
Модель объекта мониторинга. Гипотеза заключалась в том, что объект описываем
линейной комбинацией из nl осцилляторов, каждый из которых являет собой подмодель
(случай (2)):
Mk(Λ
〈k〉, t) =
nl−1∑
s=0
hk· exp{−λk,s+1 · t} sin(λk,s+2 · t− λk,s+3). (10)
Модель (2) принимает вид
M(Λ, t) =
nl∑
k=1
hk·
nl−1∑
s=0
exp{−λk,1 · t} sin(λk,2 · t− λk,3). (11)
Относительно вектора h и наблюденных данных y(t), при фиксированных значениях мат-
рицы Λ, используя метрику решающего правила с номером n, мы получаем систему ли-
нейных уравнений:
Ψrhr = Ir; r = 1, R. (12)
Здесь матрица с индексом r имеет элементы
Ψr
k,s =
1
σr
M∑
i=0
nl∑
k=1
Mk(Λ
〈k〉, ti) ·Ms(Λ
〈s〉, ti); s = 0, nl − 1. (13)
Вектор Ir правой части уравнения (12) вычислялся по формуле
Ir = {Irs}; Irs =
1
σr
M∑
i=0
y(ti) ·Ms(Λ
〈s〉, ti). (14)
Нужно отметить, что бейесовский подход к принятию решения в геофизике применяется
широко. Достаточно отметить недавнюю работу [4].
Обработка наблюденных данных.Она осуществлялась по такому алгоритму: мето-
дом Монте-Карло, по априорным распределениям, выбрасывалась псевдослучайная точка
в пространстве нелинейных параметров. Для этой точки для модели объекта (формула (10))
и наблюденных данных решением системы линейных уравнений (12) для линейных пара-
метров вычислялась точка в подпространстве линейных параметров. Совокупность нели-
нейных и линейных свободных параметров модели, полученных таким образом, исполь-
зовалась для оценки локального минимума в нелинейной задаче как начальная точка для
алгоритма в методе Ливенберга–Маквардта [7]. Такая процедура выполнялась многократно,
в результате чего вычислялась оценка минимума миниморума на множестве псевдослучай-
ных точек. Такая оценка по вероятности сходится к глобальному минимуму. В 12-мерном
пространстве свободных параметров модели объект отображался в точку с такими компо-
нентами:
λT = {7,313 · 10−3; 2,962; 0,698; 0,94; 0,114; 9,028; 0,452;−0,203;−0,231; 11,284;
6,069 · 10−3; 3,369}.
106 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Здесь нулевая, четвертая и восьмая компоненты — это показатель в экспоненте затуха-
ния соответственно первой второй и третьей гармоник. Первая, пятая и девятая компонен-
ты — это круговая частота соответственно первой второй и третьей гармоник в радианах.
Вторая, шестая и десятая компоненты — это амплитуды гармоник в относительных едини-
цах. Третья, седьмая и одиннадцатая компоненты — это фазовый сдвиг в радианах.
Таким образом, предложен подход разделения линейных и нелинейных параметров мо-
дели, при оптимальном их оценивании с помощью критериев риска, что позволяет умень-
шить размерность пространства оцениваемых параметров в технике Монте-Карло при поис-
ке глобального минимума критериев риска до размерности пространства лишь нелинейных
параметров. Это особенно ощутимо при оценке моделей с большой размерностью свободных
параметров, что типично для задач геофизики. Обработка данных мониторинга объекта
с меняющимися характеристиками по предложенному алгоритму позволила в пространстве
свободных параметров модели оценить даже незначительные изменения в состоянии объек-
та, т. е. положении точки в пространстве его характеристик.
1. Математическая энциклопедия. Т. 3. – Москва: Сов. энциклопедия, 1977. – 742 с.
2. Большаков И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума. – Москва: Сов.
радио, 1969. – 453 с.
3. Tassios T.P. Seismic engineering of monuments // Bull. earthquake eng. – 2010. – 8, No 6. – P. 1231–1265.
4. Imoto M. Hypocenter determination with prior information for clustering earthquakes // Geophys. J. Int. –
2010. – 182, is. 3. – P. 1374–1382.
5. Математическая энциклопедия. Т. 1. – Москва: Сов. энциклопедия, 1977. – 402 с.
6. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. – Москва: Сов. радио, 1971. –
423 с.
7. Marquardt D. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters // SIAM J. Appl.
Math. – 1963. – 11. – P. 431–441.
Поступило в редакцию 18.02.2011Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
V. S. Mostovyi, S.V. Mostovyi
Optimal estimations of nonlinear parameters in models of
seismoacoustic monitoring
In the problem of optimal estimation of model parameters using risk criteria, we propose an
approach to the separation of linear parameters from nonlinear ones. In the problem of finding
a global minimum of risk criteria, our approach leads to a decrease of the dimension of the space of
free variables up to the dimension of the space of nonlinear parameters. This allows one to obtain a
simpler minimization problem, which can be solved more efficiently via Monte-Carlo methods. Such
an improvement is very significant in the estimation of models of the object “aging” at the investi-
gation of geophysical objects, models of which typically have high dimensionality. We illustrate the
proposed method with the processing and analysis of data obtained during the field observations in
the regime of monitoring.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 107
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38515 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:24:05Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. 2012-11-11T18:44:07Z 2012-11-11T18:44:07Z 2011 Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 103-107. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38515 550.834 Запропоновано підхід розподілу лінійних і нелінійних параметрів моделі при оптимальному їх оцінюванні за допомогою критеріїв ризику, який дозволяє зменшити розмірність простору оцінюваних параметрів в техніці Монте-Карло при пошуку глобального мінімуму критеріїв ризику до розмірності простору лише нелінійних параметрів. Це особливо відчутно при оцінці моделей ''старіння'' при дослідженні геофізичних об'єктів, моделі яких саме і відрізняються великою розмірністю. Запропонований підхід до рішення проілюстрований обробкою і аналізом даних, отриманих в польових спостереженнях в режимі моніторингу. In the problem of optimal estimation of model parameters using risk criteria, we propose an approach to the separation of linear parameters from nonlinear ones. In the problem of finding a global minimum of risk criteria, our approach leads to a decrease of the dimension of the space of free variables up to the dimension of the space of nonlinear parameters. This allows one to obtain a simpler minimization problem, which can be solved more efficiently via Monte-Carlo methods. Such an improvement is very significant in the estimation of models of the object ''aging'' at the investigation of geophysical objects, models of which typically have high dimensionality. We illustrate the proposed method with the processing and analysis of data obtained during the field observations in the regime of monitoring. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга Optimal estimations of nonlinear parameters in models of seismoacoustic monitoring Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. Науки про Землю |
| title | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| title_alt | Optimal estimations of nonlinear parameters in models of seismoacoustic monitoring |
| title_full | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| title_fullStr | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| title_full_unstemmed | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| title_short | Оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| title_sort | оптимальные оценки нелинейных параметров в моделях сейсмоакустического мониторинга |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38515 |
| work_keys_str_mv | AT mostovoivs optimalʹnyeocenkinelineinyhparametrovvmodelâhseismoakustičeskogomonitoringa AT mostovoisv optimalʹnyeocenkinelineinyhparametrovvmodelâhseismoakustičeskogomonitoringa AT mostovoivs optimalestimationsofnonlinearparametersinmodelsofseismoacousticmonitoring AT mostovoisv optimalestimationsofnonlinearparametersinmodelsofseismoacousticmonitoring |