Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи
Let A be a partially ordered set. For a, b ∈ A, we put [a, b] = {x ∈ A | a <= x <= b}. The deviation of A, denoted as dev(A), is defined by the following rule. If A is trivial, then we put dev(A) = −∞. If A is not trivial but satisfies the minimal condition, then dev(A) = 0. For a general ordi...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3852 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи / М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 14-16. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859741708075401216 |
|---|---|
| author | Пискун, М.М. |
| author_facet | Пискун, М.М. |
| citation_txt | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи / М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 14-16. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Let A be a partially ordered set. For a, b ∈ A, we put [a, b] = {x ∈ A | a <= x <= b}. The deviation of A, denoted as dev(A), is defined by the following rule. If A is trivial, then we put dev(A) = −∞. If A is not trivial but satisfies the minimal condition, then dev(A) = 0. For a general ordinal , we define dev(A) = a provided dev(A) /= b and, in any descending chain a1 >= a2 >= · · · >= an > · · · of elements of A, all but finitely many of the closed intervals [an, an+1] have deviation less than a. Let G be a group and let S be some family of subgroups of G. Then S is partially ordered by inclusion. If a partially ordered set S has a deviation, then we will say that a family S has the Krull dimension. In this paper, we study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all non nearly normal subgroups has the Krull dimension. A subgroup H of the group G is said to be nearly normal, if H has finite index in its normal closure.
|
| first_indexed | 2025-12-01T18:52:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.41/47
© 2008
М. М. Пискун
Про застосування деяких понять теорiї кiлець
для вивчення впливу систем пiдгруп групи
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Let A be a partially ordered set. For a, b ∈ A, we put [a, b] = {x ∈ A | a 6 x 6 b}. The
deviation of A, denoted as dev(A), is defined by the following rule. If A is trivial, then we put
dev(A) = −∞. If A is not trivial but satisfies the minimal condition, then dev(A) = 0. For
a general ordinal α, we define dev(A) = α provided dev(A) 6= β < α and, in any descending
chain a1 > a2 > · · · > an > · · · of elements of A, all but finitely many of the closed intervals
[an, an+1] have deviation less than α. Let G be a group and let S be some family of subgroups
of G. Then S is partially ordered by inclusion. If a partially ordered set S has a deviation, then
we will say that a family S has the Krull dimension. In this paper, we study the groups, in which
the family Lnon-nn(G) of all non nearly normal subgroups has the Krull dimension. A subgroup
H of the group G is said to be nearly normal, if H has finite index in its normal closure.
Групи з широкими системами пiдгруп, близьких у тому чи iншому сенсi до нормальних,
є досить давнiм об’єктом вивчення в теорiї груп. Присутнiсть великої кiлькостi нормальних
пiдгруп та пiдгруп, що є близькими до них, є реальним фактором впливу на структуру
групи. Образно кажучи, чим бiльше група має нормальних та близьких до них пiдгруп,
тим ближча вона до абелевої. Розвиток теорiї груп з умовами скiнченностi привiв до появи
багатьох природних узагальнень нормальних пiдгруп. Одним з таких узагальнень є набли-
жено нормальнi пiдгрупи. Пiдгрупа H групи G називається наближено нормальною в G,
якщо вона має скiнченний iндекс у своєму нормальному замкненнi HG. Розгляд пiдгруп
такого роду розпочався з роботи Б. Неймана [1]. Вiн довiв, що група, кожна пiдгрупа якої
є наближено нормальною, має скiнченний комутант. У роботi Л.А. Курдаченка, М.Ф. Ку-
зенного та М.М. Семка [2] були розглянутi групи, у яких система всiх наближено нормаль-
них пiдгруп є щiльною. Пiзнiше С. Францiозi та Ф. де Жiованнi [3] розглянули групи, у яких
впорядкована за включенням система Lnon-nn(G) усiх пiдгруп групи G, якi не є наближено
нормальними, задовольняє умову мiнiмальностi, а A. Галоппо [4] — дуальну ситуацiю, тобто
групи, у яких система Lnon-nn(G) задовольняє умову максимальностi.
У данiй роботi ми розглянемо умову скiнченностi, яка є досить широким узагальненням
як умови мiнiмальностi, так i умови максимальностi. Вона вперше з’явилась в теорiї кiлець
та виявилась там дуже ефективною. Ми хочемо продемонструвати, що ця умова скiнченно-
стi може також ефективно працювати i в теорiї груп. Застосуємо дану умову для вивчення
впливу на будову групи важливих її природних систем пiдгруп, зокрема системи Lnn(G)
всiх її наближено нормальних пiдгруп та системи Lnon-nn(G).
Нехай A — частково впорядкована множина. Для елементiв a, b ∈ A визначимо замкне-
ний iнтервал з кiнцями a, b як пiдмножину
[a, b] = {x ∈ A | a 6 x 6 b}.
Визначимо тепер вiдхилення dev(A) частково впорядкованої множини A (див., напр., [5,
6.1]) за таким правилом.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Якщо порядок на множинi A є тривiальним, то покладемо dev(A) = −∞.
Якщо порядок на множинi A є нетривiальним i A задовольняє умову мiнiмальностi,
то покладаємо dev(A) = 0.
Для порядкового числа α визначимо dev(A) = α у випадку, коли dev(A) 6= β < α i для
кожного спадного ланцюжка a1 > a2 > · · · > an > · · · елементiв множини A усi, за винят-
ком скiнченної множини, замкненi iнтервали [an, an+1] мають вiдхилення, яке є строго
меншим, нiж α.
Скажемо тепер, що частково впорядкована множина A має вiдхилення, якщо знай-
деться порядкове число α, для якого dev(A) = α.
Висловлюючись образно, вiдхилення частково упорядкованої множини показує, наскiль-
ки її порядок вiддалений вiд умови мiнiмальностi i, зокрема, вiд повного порядку. Однак
частково впорядкованi множини, що мають вiдхилення, можна розглядати i як узагальнен-
ня частково впорядкованих множин з умовою максимальностi (див., напр., [5, 6.1.8]).
Поняття вiдхилення знайшло кориснi застосування в теорiї кiлець, саме його виникнення
пов’язано з теорiєю кiлець та модулiв. Нагадаємо, що кiльце R має вимiрнiсть Крулля, якщо
впорядкована за включенням множина його лiвих iдеалiв має вiдхилення (див., напр., [5,
6.2.2]). Це вiдхилення i називається вимiрнiстю Крулля кiльця R та позначається символом
K(R).
Нехай тепер G — група i S — деяка система її пiдгруп. Ми можемо розглядати S
як частково впорядковану множину вiдносно теоретико-множинного включення. Оскiль-
ки у теорiї груп через [a, b] позначається комутатор елементiв a, b, то для замкненого iн-
тервалу системи пiдгруп S з кiнцями A, B будемо використовувати позначення 〚A,B〛,
тобто 〚A,B〛 = {C | C ∈ S i A 6 C 6 B}.
Якщо частково впорядкована система S має вiдхилення, то будемо говорити, що система
S має вимiрнiсть Крулля та будемо розумiти пiд нею вiдхилення частково впорядкованої
множини S i використовувати для нього позначення KS(G). Якщо ν — деяка теорети-
ко-групова властивiсть та
S = {H | H — пiдгрупа групи G, що має властивiсть ν},
то замiсть KS(G) будемо писати Kν(G).
Нагадаємо, що група G задовольняє слабку умову мiнiмальностi для пiдгруп системи
S, якщо для кожної спадної послiдовностi
H1 > H2 > · · · > Hn > · · ·
пiдгруп, що належать до системи S, знайдеться такий номер m, що iндекси |Hn : Hn+1| бу-
дуть скiнченними вже при n > m. У цьому випадку кожний замкнений iнтервал 〚Hn,Hn+1〛
також буде скiнченним i, зокрема, задовольнятиме умову мiнiмальностi. Таким чином, якщо
група G задовольняє слабку умову мiнiмальностi для пiдгруп системи S, то система S має
вимiрнiсть Крулля, бiльше того, KS(G) 6 1. Отже, на цьому шляху ми отримуємо не тiльки
узагальнення звичайної умови мiнiмальностi для S-пiдгруп, але i слабкої умови мiнiмаль-
ностi для S-пiдгруп.
Розглянемо випадок, коли S — це система Lnon-nn(G) усiх пiдгруп групи G, якi не є на-
ближено нормальними, i вивчимо групи, у яких ця система має вимiрнiсть Крулля. Цю
вимiрнiсть позначимо через Knon-nn(G).
Для нашого розгляду важливими є такi допомiжнi поняття i результати.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 15
Нехай G — група, H — її пiдгрупа. Будемо говорити, що H є рiвномiрним добутком
пiдгруп Hλ, λ ∈ Λ, якщо виконуються такi умови:
(U1) HλHµ = HµHλ для кожної пари iндексiв λ, µ ∈ Λ;
(U2) Hλ
⋂
〈Hµ | µ 6= λ〉 = 〈1〉.
Якщо H є рiвномiрним добутком пiдгруп Hλ, λ ∈ Λ, то будемо записувати це за допо-
могою позначення H = Unλ∈ΛHλ.
Якщо M — пiдмножина Λ, то позначимо символом HsMr пiдгрупу 〈Hλ | λ ∈ M〉 =
= Unλ∈MHλ. Також позначимо через ΛUn(H) систему пiдгруп {HsMr | M ⊆ Λ}. Множи-
на ΛUn(H) частково впорядкована за включенням.
Дуже корисним технiчним результатом є таке твердження.
Пропозицiя 1. Нехай G — група, H — така її пiдгрупа, що H = Unλ∈ΛHλ. Якщо
система ΛUn(H) має вiдхилення, то множина iндексiв Λ буде скiнченною.
Важливим також є такий результат.
Пропозицiя 2. Нехай G — група, для якої Knon-nn(G) iснує. Якщо абелева пiдгрупа H
не є наближено нормальною в G, то H мiнiмаксна.
Групу G називатимемо узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд нор-
мальних пiдгруп, фактори якого або локально нiльпотентнi, або локально скiнченнi.
Наведемо тепер головний результат роботи.
Теорема. Нехай G — узагальнено радикальна група. Якщо система її пiдгруп, що не
є наближено нормальними, має вимiрнiсть Крулля, то або група G має скiнченний кому-
тант, або G — майже розв’язна A3-група.
Наслiдок. Нехай G — узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє слабку умову
мiнiмальностi для пiдгруп, що не є наближено нормальними, то або група G має скiнчен-
ний комутант, або G — майже розв’язна A3-група.
1. Neumann B.H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955. – 63, No 1. –
P. 76–96.
2. Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з щiльною системою нескiнченних пiдгруп //
Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1985. – № 3. – С. 7–9.
3. Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal subgroups //
Groups – Korea 94. – Berlin: Walter de Gruyter, 1995. – P. 107–118.
4. Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups // Ric. mat. – 2000. –
49, No 2. – P. 213–220.
5. McConnel J. C., Robson J. C. Noncommutative Noetherian rings. – New York: Wiley, 1987. – 597 p.
Надiйшло до редакцiї 13.03.2007Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3852 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T18:52:30Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пискун, М.М. 2009-07-10T12:43:17Z 2009-07-10T12:43:17Z 2008 Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи / М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 14-16. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3852 519.41/47 Let A be a partially ordered set. For a, b ∈ A, we put [a, b] = {x ∈ A | a <= x <= b}. The deviation of A, denoted as dev(A), is defined by the following rule. If A is trivial, then we put dev(A) = −∞. If A is not trivial but satisfies the minimal condition, then dev(A) = 0. For a general ordinal , we define dev(A) = a provided dev(A) /= b and, in any descending chain a1 >= a2 >= · · · >= an > · · · of elements of A, all but finitely many of the closed intervals [an, an+1] have deviation less than a. Let G be a group and let S be some family of subgroups of G. Then S is partially ordered by inclusion. If a partially ordered set S has a deviation, then we will say that a family S has the Krull dimension. In this paper, we study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all non nearly normal subgroups has the Krull dimension. A subgroup H of the group G is said to be nearly normal, if H has finite index in its normal closure. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи Article published earlier |
| spellingShingle | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи Пискун, М.М. Математика |
| title | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| title_full | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| title_fullStr | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| title_full_unstemmed | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| title_short | Про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| title_sort | про застосування деяких понять теорiї кiлець для вивчення впливу систем пiдгруп групи |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3852 |
| work_keys_str_mv | AT piskunmm prozastosuvannâdeâkihponâtʹteoriíkilecʹdlâvivčennâvplivusistempidgrupgrupi |