Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій
Розроблено метод захисту інформації на основі теорії Ateb-функцій. Запропоновано метод обчислення періодичних Ateb-функцій на основі розкладів в ряди Фур'є та виконано порівняння з методом, що базується на рядах Тейлора. Ідентифікацію інформації реалізовано на основі ортогонального перетворення...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38554 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій / В.В. Грицик, І.М. Дронюк, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 33-37. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592806122651648 |
|---|---|
| author | Грицик, В.В. Дронюк, І.М. Назаркевич, М.А. |
| author_facet | Грицик, В.В. Дронюк, І.М. Назаркевич, М.А. |
| citation_txt | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій / В.В. Грицик, І.М. Дронюк, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 33-37. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розроблено метод захисту інформації на основі теорії Ateb-функцій. Запропоновано метод обчислення періодичних Ateb-функцій на основі розкладів в ряди Фур'є та виконано порівняння з методом, що базується на рядах Тейлора. Ідентифікацію інформації реалізовано на основі ортогонального перетворення Уолша–Адамара.
An information protection method on the basis of Ateb-functions is developed. A method of calculating the periodic Ateb-functions on the basis of the expansion in Fourier series is suggested, and a comparison with the method based on Taylor series is carried out. The information identification is realized by means of the Walsh–Hadamard orthogonal transformation.
|
| first_indexed | 2025-11-27T17:55:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2011
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 681.62:655
© 2011
Член-кореспондент НАН України В. В. Грицик, I.М. Дронюк,
М. А. Назаркевич
Iдентифiкацiя iнформацiї на основi функцiональних
перетворень перiодичних Ateb-функцiй
Розроблено метод захисту iнформацiї на основi теорiї Ateb-функцiй. Запропоновано ме-
тод обчислення перiодичних Ateb-функцiй на основi розкладiв в ряди Фур’є та виконано
порiвняння з методом, що базується на рядах Тейлора. Iдентифiкацiю iнформацiї реа-
лiзовано на основi ортогонального перетворення Уолша–Адамара.
Постановка задачi. У роботi [1] розроблено метод захисту iнформацiї на основi тео-
рiї Ateb-функцiй. Вiн полягає у побудовi одиничних захисних елементiв, якi будуються
Ateb-функцiями з деякими параметрами. Ateb-функцiї отримуються розкладами в ряди
Тейлора. Поряд з проблемою захисту виникає задача iдентифiкацiї iнформацiї. У данiй
роботi описано метод iдентифiкацiї на основi використання ортогонального тригонометри-
чного перетворення Фур’є Ateb-функцiй. Iз захищеної iнформацiї видiляється одиничний
елемент та перетворюється за допомогою функцiй Уолша. Масив еталонiв будується на
основi Ateb-функцiй та вiдображається у спектральну область. Iдентифiкацiя полягає в по-
рiвняннi спектрiв перетворення Уолша–Адамара одиничного елемента з еталоном.
Введемо в розгляд вираз
ω =
n+ 1
2
y
∫
0
(1− vn+1)
−m/(m+1)
dv, (1)
де n, m визначенi спiввiдношеннями
1
n+ 1
> 0,
1
m+ 1
> 0. (2)
У формулi (1) ω є функцiєю вiд y, а також вiд n i m. Розглядається обернена залежнiсть y
вiд ω, яка є одночасно функцiєю n i m, та називається синус Ateb-функцiї [2] sa(n,m,ω).
Введемо в розгляд вираз
ω = −
m+ 1
2
z
∫
1
(1− um+1)
−n/(n+1)
du. (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 33
Залежнiсть z вiд ω для iнтеграла (3) є функцiєю n i m називається косинус Ateb-функцiї
ca(m,n, ω).
Для моделювання Ateb-функцiй, заданих оберненими залежностями до (1), (3), викори-
стаємо розклади пiдiнтегральних функцiй у функцiональнi ряди Тейлора та Фур’є. Методи
обчислень Ateb-функцiй за допомогою розкладiв в ряди Тейлора описанi в [3]. Оскiльки
розглядаємо перiодичнi Ateb-функцiї, то для моделювання можна використати ряди Фур’є.
Зображення Ateb-функцiй за допомогою розкладiв в ряди Фур’є та порiв-
няння з розкладами в ряди Тейлора. Перiодичну функцiю Ateb-синуса з перiодом
2Π = [−Π,Π] можна розкласти в ряд Фур’є за формулами
sa(n,m,ω) =
∞
∑
k=1
bk sin
kπω
Π
, (4)
де
bk =
1
Π
Π
∫
−Π
sa(n,m, y) sin
kπy
Π
dy =
n+ 1
2Π
Π
∫
−Π
sin
kπy
Π
−16y61
∫
0
dy
(1− yn+1)m/(m+1)
dy. (5)
Оскiльки функцiя Ateb-синуса sa(n,m,ω) є непарною, то в розкладi (4) вiдсутнi коефiцiєн-
ти, що вiдповiдають функцiї косинуса.
Функцiя Ateb-косинуса ca(m,n, ω) є парною, тому в розкладi вiдсутнi коефiцiєнти, що
вiдповiдають функцiї синуса. Розклад в ряд Фур’є для Ateb-косинуса має вигляд
ca(m,n, ω) =
a0
2
+
∞
∑
k=1
ak cos
kπω
Π
, (6)
де
ak =
1
Π
Π
∫
−Π
ca(m,n, x) cos
kπx
Π
dx = −
m+ 1
2Π
Π
∫
−Π
cos
kπx
Π
−16x61
∫
1
dx
(1− xm+1)n/(n+1)
dx;
a0 =
1
Π
Π
∫
−Π
ca(m,n, x) dx = −
m+ 1
2Π
Π
∫
−Π
−16x61
∫
1
dx
(1− xm+1)n/(n+1)
dx.
(7)
Використаємо формули (4)–(7) для обчислення перiодичних Ateb-функцiй. На рис. 1
наведено графiки Ateb-синуса, обчисленi на основi рядiв Тейлора та Фур’є. Результати об-
числень обома методами збiгаються до значень порядку 10−6. Проведено оцiнку похиб-
ки розрахункiв обома методами для параметрiв m = n = 1, що вiдповiдає випадку збiгу
Ateb-функцiй зi звичайними тригонометричними функцiями. Отриманi результати пока-
зують, що вiдносна похибка стає найбiльшою при значеннях, близьких до ±Π/2, i дорiв-
нює 0,004138%, а в iнших точках вiдносна похибка не менша 0,000015%. Тому розробленi
обидва методи є ефективними для обчислень Ateb-функцiй.
Ортогональнi тригонометричнi перетворення для Ateb-функцiй.Для iдентифi-
кацiї та вiдтворення iнформацiї широко використовується математичний апарат ортого-
нальних тригонометричних перетворень, зокрема перетворення Фур’є. Для вирiшення зав-
дання iдентифiкацiї iнформацiї, що захищена Ateb-функцiями, застосовуємо ортогональнi
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Рис. 1. Порiвняння методiв обчислень на основi рядiв Тейлора та Фур’є для Ateb-синуса sa(1, 1/3, x) з пiв-
перiодом Π = 4,7924838018
Рис. 2. Графiки Ateb-синуса sa(1; 0,1;x) з пiвперiодом Π = 4,2428412259 та sa(1; 2,5; x) з пiвперiодом Π =
= 9,4550717143
тригонометричнi перетворення Фур’є та їх дискретний аналог — ортогональне перетворен-
ня Уолша–Адамара.
Враховуючи непарнiсть Ateb-синуса sa(n,m,ω), його можна зобразити у виглядi прямого
синус-перетворення Фур’є B(n,m, x) [4]
B(n,m, x) =
∞
∫
−∞
sa(n,m,ω) sin(xω) dω. (8)
Тодi Ateb-синус подається оберненим синус-перетворенням Фур’є за формулою
sa(n,m,ω) =
1
Π
∞
∫
0
B(n,m, x) sin(xω) dx. (9)
Використовуючи парнiсть Ateb-косинуса ca(m,n, ω), наведемо його у виглядi прямого ко-
синус-перетворення Фур’є [4] A(n,m, x)
A(m,n, x) =
∞
∫
−∞
ca(m,n, ω) cos(xω) dω. (10)
Тодi Ateb-косинус зображується оберненим косинус-перетворенням Фур’є за формулою
ca(m,n, ω) =
1
Π
∞
∫
0
A(m,n, x) cos(xω) dx. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 35
Косинус та синус-перетворення Фур’є застосовують для неперервних функцiй. Формули (8)–
(11) використанi для побудови неперервних спектрiв Фур’є-образiв функцiй. Проте для за-
дач, пов’язаних з iнформацiйними технологiями, бiльш доцiльним є використання дискрет-
них функцiй та перетворень [5]. У цьому випадку застосовують дискретне перетворення
Фур’є.
Iдентифiкацiя iнформацiї на основi перетворення Уолша-Адамара для Ateb-
функцiй. Функцiї Уолша є базисом для спектрального перетворення iнформацiї, яка по-
дана у дискретному виглядi. Наведемо функцiю Ateb-синус на промiжку [0,Π] рядом за
ортонормованою системою функцiй Уолша:
sa
(
n,m,
ω
Π
)
= Y (n,m, 0) +
∞
∑
i=1
Y (n,m, i)wal
(
i,
ω
Π
)
, (12)
де Π — перiод Ateb-функцiї, коефiцiєнти Y (n,m, i) задано формулами
Y (n,m, i) =
1
Π
1
∫
0
sa
(
n,m,
ω
Π
)
wal
(
i,
ω
Π
)
dω, (13)
wal(i, ω/Π) — функцiї Уолша, i = 2N .
Аналогiчно для Ateb-косинуса:
ca
(
m,n,
ω
Π
)
= Y (m,n, 0) +
∞
∑
i=1
Y (m,n, i)wal
(
i,
ω
Π
)
, (14)
де коефiцiєнти Y (n,m, i) задано формулами
Y (m,n, i) =
1
Π
1
∫
0
ca
(
m,n,
ω
Π
)
wal
(
i,
ω
Π
)
dω. (15)
Якщо обчислення iнтегрування у формулах (8), (10) проводити методом прямокутникiв [6],
то дискретне перетворення Фур’є з точнiстю до постiйного множника збiгається з оцiнкою
для неперервних перетворень Фур’є. Для реалiзацiї перетворення Уолша–Адамара побу-
довано матрицю Адамара, номери стовпцiв якої вiдповiдають другому аргументу функцiї
Уолша, а номери рядкiв — першому. Для обчислення обмежимося функцiями Уолша при
N = 5.
Формули (12) та (14) використано для побудови еталону одиничного елемента у процесi
iдентифiкацiї. Для реалiзацiї алгоритму iдентифiкацiї здiйснюємо перетворення захищеної
iнформацiї у цифровий формат. Проводимо попередню обробку iнформацiї: фiльтрацiю, вiд-
кидання шумiв. Видiляємо одиничний елемент та вiдображаємо його у спектральну область
за допомогою перетворення Уолша–Адамара. Пiдтвердження достовiрностi iнформацiї реа-
лiзовано шляхом порiвняння спектрiв еталонного та отриманого одиничного елемента.
Результати дослiджень. Таким чином, розроблено метод захисту та iдентифiкацiї
iнформацiї, що базується на теорiї Ateb-функцiй та дискретних ортогональних тригоно-
метричних перетвореннях. Запропоновано розклад у ряд Фур’є перiодичних Ateb-функцiй,
реалiзовано метод обчислення на цiй основi та проведено порiвняння результатiв обчислень
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
з розкладами у ряди Тейлора. Для методу захисту необхiдна висока точнiсть обчислення,
що пiдтверджено проведеними дослiдженнями для обох методiв. Побудовано графiки перiо-
дичних Ateb-функцiй залежно вiд параметрiв з використанням розкладiв у ряди Тейлора та
Фур’є. Для iдентифiкацiї iнформацiї запропоновано використати дискретне ортогональне
перетворення Фур’є. За допомогою перетворення Уолша–Адамара проводиться iдентифiка-
цiя iнформацiї порiвнянням з еталоном у спектральнiй областi. Розроблений новий метод
може бути використаний для захисту та iдентифiкацiї iнформацiї у надрукованому та елект-
ронному виглядi. На основi наведеного методу створено програмнi засоби для ефективного
захисту та iдентифiкацiї iнформацiї.
1. Грицик В.В., Дронюк I.М., Назаркевич М.А. Метод захисту та вiдтворення iнформацiї засобами
Ateb-функцiй // Доп. НАН України. – 2008. – № 5. – С. 48–52.
2. Сеник П.М. Обращение неполной beta-функции // Укр. мат. журн. – 1969. – 21, № 3. – С. 325–333.
3. Грицик В. В., Дронюк I.М., Назаркевич М.А. Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функ-
цiй // Доп. НАН України. – 2007. – № 12. – С. 37–43.
4. Яцимiрський М.М. Швидкi алгоритми ортогональних тригонометричних перетворень. – Львiв: Ака-
дем. експрес, 1997. – 219 с.
5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – Москва: Мир, 1978. –
848 с.
6. Фельдман Л.П., Петренко А. I., Дмитрiєва О.А. Чисельнi методи в iнформатицi. – Київ: Видавн.
група BHV, 2006. – 480 с.
Надiйшло до редакцiї 26.11.2010НУ “Львiвська полiтехнiка”
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.V. Hrytsyk, I.M. Dronyuk,
M.A. Nazarkevych
Information identification on the basis of functional transformations of
periodic Ateb-functions
An information protection method on the basis of Ateb-functions is developed. A method of calcula-
ting the periodic Ateb-functions on the basis of the expansion in Fourier series is suggested, and a
comparison with the method based on Taylor series is carried out. The information identification
is realized by means of the Walsh–Hadamard orthogonal transformation.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38554 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T17:55:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грицик, В.В. Дронюк, І.М. Назаркевич, М.А. 2012-11-12T17:43:05Z 2012-11-12T17:43:05Z 2011 Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій / В.В. Грицик, І.М. Дронюк, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 33-37. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38554 681.62:655 Розроблено метод захисту інформації на основі теорії Ateb-функцій. Запропоновано метод обчислення періодичних Ateb-функцій на основі розкладів в ряди Фур'є та виконано порівняння з методом, що базується на рядах Тейлора. Ідентифікацію інформації реалізовано на основі ортогонального перетворення Уолша–Адамара. An information protection method on the basis of Ateb-functions is developed. A method of calculating the periodic Ateb-functions on the basis of the expansion in Fourier series is suggested, and a comparison with the method based on Taylor series is carried out. The information identification is realized by means of the Walsh–Hadamard orthogonal transformation. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій Information identification on the basis of functional transformations of periodic Ateb-functions Article published earlier |
| spellingShingle | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій Грицик, В.В. Дронюк, І.М. Назаркевич, М.А. Інформатика та кібернетика |
| title | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій |
| title_alt | Information identification on the basis of functional transformations of periodic Ateb-functions |
| title_full | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій |
| title_fullStr | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій |
| title_full_unstemmed | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій |
| title_short | Ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних Ateb-функцій |
| title_sort | ідентифікація інформації на основі функціональних перетворень періодичних ateb-функцій |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38554 |
| work_keys_str_mv | AT gricikvv ídentifíkacíâínformacíínaosnovífunkcíonalʹnihperetvorenʹperíodičnihatebfunkcíi AT dronûkím ídentifíkacíâínformacíínaosnovífunkcíonalʹnihperetvorenʹperíodičnihatebfunkcíi AT nazarkevičma ídentifíkacíâínformacíínaosnovífunkcíonalʹnihperetvorenʹperíodičnihatebfunkcíi AT gricikvv informationidentificationonthebasisoffunctionaltransformationsofperiodicatebfunctions AT dronûkím informationidentificationonthebasisoffunctionaltransformationsofperiodicatebfunctions AT nazarkevičma informationidentificationonthebasisoffunctionaltransformationsofperiodicatebfunctions |