Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
Отримано нові достатні умови існування неперервно диференційовних, обмежених при t є R+ розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з лінійним відхиленням аргументу та досліджено їх властивості. We obtain sufficient conditions for the existence of continuously differentia...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38557 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860028583753285632 |
|---|---|
| author | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. |
| author_facet | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. |
| citation_txt | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано нові достатні умови існування неперервно диференційовних, обмежених при t є R+ розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з лінійним відхиленням аргументу та досліджено їх властивості.
We obtain sufficient conditions for the existence of continuously differentiable solutions of differential-functional equations of the neutral type with linear deviations of the argument bounded at t є R+. The structure of these solutions is investigated as well.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:51:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2011
Р. I. Качурiвський, Г.П. Пелюх
Про обмеженi при t ∈ R
+ розв’язки
диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального
типу
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Отримано новi достатнi умови iснування неперервно диференцiйовних, обмежених при
t ∈ R
+ розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу з лiнiй-
ним вiдхиленням аргументу та дослiджено їх властивостi.
Розглянемо рiвняння вигляду
ẋ(t+ 1) = aẋ(t) + bx(qt) + cẋ(qt), (1)
де a, b, c, q — деякi дiйснi сталi, яке було об’єктом дослiдження багатьох математикiв
(див. [1–7] та цитовану там лiтературу), i в даний час ряд питань теорiї рiвнянь такого
типу достатньо добре вивченi. У данiй роботi встановлено новi достатнi умови iснування
неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈ R
+ розв’язкiв рiвняння i розроблено метод
їх побудови.
Мають мiсце такi теореми.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a < 1, q > 1;
2) 2α
l
a − aq
6 ∆ < 1, де α = max
{
1;
1
| ln a|
}
, l = max{|b|; |c|}.
Тодi рiвняння (1) має сiм’ю неперервно диференцiйовних при t ∈ R
+ розв’язкiв, що зале-
жить вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t).
Розв’язки рiвняння (1) будуються у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (2)
де xi(t), i = 0, 1, . . ., — неперервно диференцiйовнi функцiї, якi визначаються спiввiдно-
шеннями
x0(t) = −
+∞∫
t
aτω(τ) dτ, (30)
xi(t) =
+∞∫
t
∞∑
j=0
a−(j+1)(bxi−1(q(τ + j)) + cẋi−1(q(τ + j))) dτ, i = 1, 2, . . . , (3i)
ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 13
Беручи до уваги умови теореми, методом математичної iндукцiї неважко показати, що
при t ∈ R
+, i = 0, 1, . . ., мають мiсце оцiнки:
|ẋi(t)| 6 M1∆
iat, |xi(t)| 6 M2∆
iat, i = 0, 1, . . . , (4)
де M1, M2 — деякi додатнi сталi, M2 = M1/| ln a|.
Отже, ряд (2), елементи якого визначаються спiввiдношеннями (3i), i = 0, 1, . . ., рiвно-
мiрно збiгається при t ∈ R
+ до деякої неперервно диференцiйовної функцiї x(t, ω(t)), яка
залежить вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t) i задовольняє умови
|ẋ(t, ω(t))| 6
M1
1−∆
at, |x(t, ω(t))| 6
M2
1−∆
at. (5)
Теорема 1 доведена.
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a < 1, q > 1;
2) 2α
l
a − aq
6 ∆ <
1
2
, де α = max
{
1;
1
| ln a|
}
, l = max{|b|; |c|}.
Тодi довiльний неперервно диференцiйовний обмежений при t ∈ R
+ розв’язок γ(t) рiвнян-
ня (1) можна подати у виглядi ряду (2), в якому функцiї xi(t) = xi(t, ω(t)), i = 0, 1, . . .,
визначаються спiввiдношеннями (3i), i = 0, 1, . . ., а ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична
функцiя.
Для доведення теореми достатньо показати, що для довiльного неперервно диференцi-
йовного обмеженого при t ∈ R
+ розв’язку γ(t) рiвняння (1) iснує неперервна 1-перiодична
функцiя ω(t) така, що виконується спiввiдношення
γ(t) =
∞∑
i=0
xi(t, ω(t)). (6)
Такою, зокрема, буде функцiя w(t) = lim
m→∞
ωm(t), де wm(t), m = 0, 1, . . . , визначаються
за допомогою спiввiдношень
ω0(t) = a−tγ̇(t), (7)
ωm(t) = a−tγ̇(t)− a−t
∞∑
i=1
ẋi(t, ωm−1(t)), m = 1, 2, . . . . (8)
Розглянемо тепер систему рiвнянь вигляду
ẋ(t+ 1) = Aẋ(t) +Bx(qt) + Cẋ(qt), (9)
де A, B, C — дiйснi, сталi (n×n)-матрицi, q — дiйсна стала. При цьому вiдносно матрицi A
будемо припускати, що її власнi значення λi, i = 1, 2, . . . , n, задовольняють умови
λi 6= λj , |λi| 6= 0, 1, i, j = 1, 2, . . . , n.
Тодi, як вiдомо, iснує замiна змiнних
x(t) = Sy(t),
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
де S — деяка стала неособлива (n × n)-матриця, яка приводить систему рiвнянь (9) до
вигляду
ẏ(t+ 1) = Λẏ(t) + B̃y(qt) + C̃ẏ(qt), (10)
де Λ = diag(λ1, . . . , λn), B̃ = S−1BS, C̃ = S−1CS.
Має мiсце така теорема
Теорема 3. Нехай виконуються умови:
1) 0 < λi < 1, i = 1, 2, . . . , n, q > 1;
2) λ∗ > λ∗q, 2β
l
λ∗ − λ∗q
6 ∆ < 1, де
λ∗ = min
16i6n
{λi}, λ∗ = max
16i6n
{λi}, β = max
{
1;
1
| lnλ∗|
}
, l = max{|B̃|; |C̃|},
|B̃| = max
i
n∑
j=1
|bij |, |C̃| = max
i
n∑
j=1
|cij |.
Тодi система рiвнянь (10) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈ R
+
розв’язкiв, що залежить вiд довiльної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t).
Доведення. Розв’язки системи рiвнянь (10) будемо шукати у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (11)
де yi(t), i = 0, 1, . . ., — деякi неперервно диференцiйовнi вектор-функцiї, що є розв’язками
послiдовностi систем
ẏ0(t+ 1) = Λẏ0(t), (120)
ẏi(t+ 1) = Λẏi(t) + B̃yi−1(qt) + C̃ẏi−1(qt), i = 1, 2, . . . . (12i)
Системи рiвнянь (12i), i = 0, 1, . . . , мають множину неперервно диференцiйовних при
t ∈ R
+ розв’язкiв вигляду
y0(t) = −
+∞∫
t
Λτω(τ) dτ, (130)
yi(t) =
+∞∫
t
∞∑
j=0
Λ−(j+1)(B̃yi−1(q(τ + j)) + C̃ẏi−1(q(τ + j))) dτ, i = 1, 2, . . . , (13i)
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична вектор-функцiя. Розмiрковуючи за iндукцiєю,
неважко показати, що так визначенi вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . ., є неперервно дифе-
ренцiйовними при t ∈ R
+ i задовольняють умови
|y0(t)| 6 M1λ
∗t, |ẏ0(t)| 6 M2λ
∗t, (140)
|yi(t)| 6 M1∆
iλ∗qt, |ẏi(t)| 6 M2∆
iλ∗qt, i = 1, 2, . . . , (14i)
де M1, M2 — деякi додатнi сталi, M1 = M2/| lnλ
∗|.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 15
Iз (14i), i = 0, 1, . . . , безпосередньо випливає, що ряд (11), члени якого визначаються
спiввiдношеннями (13i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при t ∈ R
+ до деякої неперервно
диференцiйовної вектор-функцiї y(t, ω(t)), яка залежить вiд довiльної неперервної 1-перiо-
дичної вектор-функцiї ω(t) i задовольняє умови
|y(t, ω(t))| 6
M1
1−∆
λ∗t, |ẏ(t, ω(t))| 6
M2
1−∆
λ∗t. (15)
Теорема 3 доведена.
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) 0 < λi < 1, i = 1, 2, . . . , n, q > 1;
2) λ∗ > λ∗q, 2β
l
λ∗ − λ∗q
6 ∆ <
1
2
, де
λ∗ = min
16i6n
{λi}, λ∗ = max
16i6n
{λi}, β = max
{
1;
1
| lnλ∗|
}
, l = max{|B̃|; |C̃|},
|B̃| = max
i
n∑
j=1
|bij |, |C̃| = max
i
n∑
j=1
|cij |.
Тодi довiльний неперервно диференцiйовний обмежений при t ∈ R
+ розв’язок γ(t) систе-
ми (10) можна подати у виглядi ряду (11), в якому вектор-функцiї yi(t) = yi(t, ω(t)),
i = 0, 1, . . ., визначаються спiввiдношеннями (13i), i = 0, 1, . . ., а ω(t) — деяка неперервна
1-перiодична вектор-функцiя.
Аналогiчнi результати отриманi i для систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь ви-
гляду
ẏ(t+ 1) = Λẏ(t) + F (t, y(qt), ẏ(qt)), (16)
де Λ = diag(λ1, . . . , λn), q = const, F : R+ × R
n × R
n → R
n.
Зокрема, доведена така теорема.
Теорема 5. Нехай виконуються умови:
1) 0 < λi < 1, i = 1, 2, . . . , n, q > 1;
2) F (t, 0, 0) = 0, t ∈ R
+;
3) для довiльних (t, x, y), (t, x, y) ∈ R × R
n × R
n має мiсце спiввiдношення
|F (t, x, y)− F (t, x, y)| 6 L(|x− x|+ |y − y|),
де L — деяка додатна стала;
4) λ∗ > λ∗q, 2β
L
λ∗ − λ∗q
6 ∆ < 1, де
λ∗ = min
16i6n
{λi}, λ∗ = max
16i6n
{λi}, β = max
{
1;
1
| lnλ∗|
}
.
Тодi система рiвнянь (16) має сiм’ю неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈ R
+
розв’язкiв у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (17)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
де yi(t), i = 0, 1, . . ., — неперервно диференцiйовнi вектор-функцiї, що залежать вiд довiль-
ної неперервної 1-перiодичної вектор-функцiї ω(t) i визначаються спiввiдношеннями
y0(t) = −
+∞∫
t
Λτω(τ) dτ,
y1(t) =
+∞∫
t
∞∑
k=0
Λ−(k+1)F (τ + k, y0(q(τ + k)), ẏ0(q(τ + k))) dτ,
yi(t) =
+∞∫
t
∞∑
k=0
Λ−(k+1)
(
F
(
τ + k,
i−1∑
j=0
yj(q(τ + k)),
i−1∑
j=0
ẏj(q(τ + k))
)
−
− F
(
τ + k,
i−2∑
j=0
yj(q(τ + k)),
i−2∑
j=0
ẏj(q(τ + k))
))
dτ, i = 2, 3, . . . .
(18)
1. Ахмеров Р. Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги
науки и техники. Сер. Мат. анализ. – Москва: ВИНИТИ, 1981. – Т. 19. – С. 55–126.
2. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. – Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. – 167 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 421 с.
4. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно-периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1984. – 212 с.
5. Пелюх Г.П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – С. 1626–1633.
6. Пелюх Г.П., Сiвак О.А. Про структуру множини неперервних розв’язкiв функцiонально-рiзницевих
рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 1. – С. 75–95.
7. Пелюх Г.П. О свойствах решений предельной задачи для систем нелинейных дифференциаль-
но-функциональных уравнений нейтрального типа // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 2. – С. 217–224.
Надiйшло до редакцiї 06.12.2010Iнститут математики НАН України, Київ
R. I. Kachurivsky, G.P. Pelyukh
On solutions of differential-functional equations of neutral type bounded
at t ∈ R
+
We obtain sufficient conditions for the existence of continuously differentiable solutions of differen-
tial-functional equations of the neutral type with linear deviations of the argument bounded at
t ∈ R
+. The structure of these solutions is investigated as well.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38557 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:51:17Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. 2012-11-12T17:58:13Z 2012-11-12T17:58:13Z 2011 Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Р.І. Качурівський, Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 13-17. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38557 517.929 Отримано нові достатні умови існування неперервно диференційовних, обмежених при t є R+ розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з лінійним відхиленням аргументу та досліджено їх властивості. We obtain sufficient conditions for the existence of continuously differentiable solutions of differential-functional equations of the neutral type with linear deviations of the argument bounded at t є R+. The structure of these solutions is investigated as well. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу On solutions of differential-functional equations of neutral type bounded at t є R+ Article published earlier |
| spellingShingle | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Качурівський, Р.І. Пелюх, Г.П. Математика |
| title | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_alt | On solutions of differential-functional equations of neutral type bounded at t є R+ |
| title_full | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Про обмежені при t є R+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | про обмежені при t є r+ розв'язки диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38557 |
| work_keys_str_mv | AT kačurívsʹkiirí proobmeženípritêrrozvâzkidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu AT pelûhgp proobmeženípritêrrozvâzkidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu AT kačurívsʹkiirí onsolutionsofdifferentialfunctionalequationsofneutraltypeboundedattêr AT pelûhgp onsolutionsofdifferentialfunctionalequationsofneutraltypeboundedattêr |