О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений
Досліджено проблему глобального існування розв'язку множини диференціальних рівнянь з використанням методу матричнозначних функцій Ляпунова. При цьому використано один із варіантів методу порівняння на основі матричнозначної функції. We investigate the problem of the global existence of a solut...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38562 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений / Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 28-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859852548526047232 |
|---|---|
| author | Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_facet | Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| citation_txt | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений / Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 28-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено проблему глобального існування розв'язку множини диференціальних рівнянь з використанням методу матричнозначних функцій Ляпунова. При цьому використано один із варіантів методу порівняння на основі матричнозначної функції.
We investigate the problem of the global existence of a solution of the set of differential equations via the matrix-valued Lyapunov function method. We use the convenient comparison theorem and a new approach to constructing the Lyapunov-like functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:42:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2011
Ю.А. Мартынюк-Черниенко
О глобальном существовании решений множества
дифференциальных уравнений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Дослiджено проблему глобального iснування розв’язку множини диференцiальних рiв-
нянь з використанням методу матричнозначних функцiй Ляпунова. При цьому вико-
ристано один iз варiантiв методу порiвняння на основi матричнозначної функцiї.
Рассматривается начальная задача для множества дифференциальных уравнений
DHX = F (t,X), X(t0) = X0 ∈ KC(R
n), (1)
где DH — производная Хукухары множества X, отображение F ∈ C(R+×KC(R
n),KC(R
n))
и KC(R
n) — множество всех непустых компактных выпуклых подмножеств пространс-
тва R
n.
Глобальное существование решений множества уравнений (1) может быть исследовано
при помощи прямого метода Ляпунова при надлежащей его модификации. Далее будем
применять матричнозначную функцию и построенную на ее основе скалярную функцию,
которая играет роль нелинейного преобразования множества уравнений (1) к скалярному
уравнению сравнения. Этот подход широко используется в исследованиях систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений (см. [1, 2] и библиографию там).
Наряду с системой (1) будем рассматривать множества систем дифференциальных урав-
нений
DHX = Fm(X), X(t0) = X0 ∈ KC(R
n), (2)
где Fm(X) = Co
⋂
t∈J
F (t,X);
DHX = FM (X), X(t0) = X0 ∈ KC(R
n), (3)
где FM (X) = Co
⋃
t∈J
F (t,X). Здесь J = [t0, b], t0 > 0, b ∈ (t0,∞) и Co(·) — замкнутая
выпуклая оболочка (·).
Кроме множеств систем (2) и (3) будем также рассматривать множество
DHX = Fβ(X), X(t0) = X0 ∈ KC(R
n), (4)
где
Fβ(X) = Fm(X)β + FM (X)(1 − β)
для любого значения β ∈ [0, 1]. Очевидно, что Fβ(X) : KC(R
n)× [0, 1] → KC(R
n).
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Наряду с уравнениями (2)–(4) будем рассматривать матричнозначную функцию
U(X,β) = [Uij(X, ·)], i, j = 1, 2, (5)
элементы Uij(·) которой сопоставлены с уравнениями (2)–(4) так:
U11(X) — сопоставлен с уравнением (2);
U22(X) — сопоставлен с уравнением (3);
U12(X,β) = U21(X,β) — сопоставлен с уравнением (4).
При помощи вектора α ∈ R
2
+ и матричной функции (5) построим скалярную функцию
V (X,α, β) = αTU(X,β)α, α ∈ R
2
+, α > 0 и β ∈ [0, 1]. (6)
Для функции (6) примем такие предположения:
Н1. Функция V ∈ C(KC(R
n) × R
2
+ × [0, 1],R+).
Н2. Для любой пары множеств (A,B) ∈ KC(R
n) существует постоянная L > 0 такая,
что при всех β ∈ [0, 1]
|V (B,α, β) − V (A,α, β)| 6 LD[B,A],
где D[B,A] — расстояние Хаусдорфа между множествами B и A.
Н3. Для любого множества A ∈ KC(R
n) определена функция
D+V (A,α, β) = lim sup{[V (A+ hF (t,X), α, β) − V (A,α, β)]h−1 : h → 0+}
при любом значении β ∈ [0, 1].
Приведем теперь теорему принципа сравнения для функции (6) и множества уравне-
ний (1).
Теорема 1. Предположим, что:
1) для множества уравнений (1) построена функция (6), для которой выполняются
предположения Н1–H3;
2) существует скалярная функция g ∈ C(R+ × R+,R) такая, что
D+V (X,α, β)
∣
∣
(1)
6 g(t, V (X,α, β)) при всех β ∈ [0, 1] и (t,X) ∈ R+ ×KC(R
n);
3) максимальное решение R(t, t0, w0) уравнения сравнения
dw
dt
= g(t, w), w(t0) = w0 > 0,
существует при всех t > t0.
Тогда для любого решения X(t) = X(t, t0,X0) уравнения (1), существующего на интер-
вале [t0, a), имеет место оценка
V (X(t), α, β) 6 R(t, t0, w0) при всех t ∈ [t0, a), (7)
как только
V (X0, α, β) 6 w0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 29
Доказательство. Так как функция (6) скалярная, то доказательство оценки (7) про-
водится по стандартной схеме метода сравнения (см. [2]), но при этом учитывается, что для
производной функции m(t) = V (X(t), α, β) верна оценка
D+m(t) 6 D+V (X(t), α, β) + L lim
h→0+
1
h
[D[X(t+ h),X(t) + hF (t,X(t))]],
и соотношение
D[DHX(t), F (t,X(t))] ≡ 0.
Применение теоремы 1 позволяет установить условия глобального существования реше-
ний множества дифференциальных уравнений (1) в следующем виде.
Теорема 2. Предположим, что:
1) в системе (1) отображение F ∈ C(R+ ×KC(R
n),KC(R
n)) и F отображает ограни-
ченные множества из KC(R
n) в ограниченные множества из KC(R
n) и при этом мно-
жество уравнений (1) имеет локальное решение для любых (t0,X0), t0 > 0 и X0 ∈ KC(R
n);
2) для функции (6) выполняются предположения Н1 — H3 и, кроме того, V (A,α, β) →
→ ∞ при D[A,Θ] → ∞ для любого значения β ∈ [0, 1], где Θ — нулевое множество
в KC(R
n), A ∈ KC(R
n);
3) существует скалярная функция g ∈ C(R2
+,R) такая, что
D+V (A,α, β)
∣
∣
(1)
6 g(t, V (A,α, β)) при всех β ∈ [0, 1] и (t, A) ∈ R+ ×KC(R
n);
4) существует максимальное решение R(t) = R(t, t0, w0) скалярного уравнения
dw
dt
= g(t, w), w(t0) = w0 > 0, (8)
на интервале [t0,∞) и является положительным при w0 > 0.
Тогда для любого X0 ∈ KC(R
n) такого, что V (X0, α, β) 6 w0, начальная задача (1)
имеет решение X(t), существующее на [t0,∞) и такое, что
V (X(t), α, β) 6 R(t) при всех t > t0.
Доказательство. Обозначим Π множество всех функций X ∈ KC(R
n), определенных
на I1 = [t0, tX), таких, что X(t) является решением начальной задачи (1) на I1 и при этом
V (X(t), α, β) 6 R(t) на I1. На множестве Π упорядочим элементы таким образом: если
X1 6 X2, то I1 6 I2 и X1(t) = X2(t) при всех t ∈ I1. Будем обозначать это так: (Π,6).
Вначале покажем, что множество Π непустое. Согласно условию 1 теоремы 2 уравне-
ние (1) имеет решение X(t) на I1 = [t0, tX). Пусть m(t) = V (X(t), α, β) при t ∈ [t0, tX).
Тогда в силу условий 3, 4 теоремы 2 имеем оценку
V (X(t), α, β) 6 R(t) при всех t ∈ [t0, tX), (9)
где R(t) — максимальное решение уравнения (8). Отсюда следует, что X ∈ Π и, следова-
тельно, множество Π не пусто.
На множестве (Π,6) рассмотрим последовательность (Xc) как цепь. В этом случае су-
ществует отображение Y на I3 = [t0, sup
c
tXc
). Ясно, что Y ∈ Π и, следовательно, Y огра-
ничено сверху на (Π,6). По лемме Цорна на множестве (Π,6) существует максимальный
элемент Z. Теорема 2 будет доказана, если установить, что tZ = ∞.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Предположим, что это не верно, т. е. пусть tZ < ∞. Согласно условию 4 теоремы 2
решение R(t) уравнения (8) существует на [t0,∞) и оно ограничено на интервале [t0, tZ].
Из условия 2 теоремы 2 следует, что V (A,α, β) → ∞ при D[A,Θ] → ∞ равномерно по t
на интервале [t0, tZ]. Из неравенства (9) следует, что D[Z(t),Θ] ограничено на [t0, tZ]. Из
условия 1 теоремы 2 следует, что существует постоянная M > 0 такая, что
D[F (t,Z(t)),Θ] 6 M на [t0, tZ]. (10)
Учитывая оценку (10), для любых t1, t2 ∈ [t0, tZ], t1 6 t2, имеем неравенство
D[Z(t2),Z(t1)] 6
t2
∫
t1
D[F (s,Z(s)),Θ] ds 6 M(t2 − t1).
Отсюда следует, что Z(t) является липшицевой функцией на [t0, tZ] и, следовательно, су-
ществует продолжение Z0(t) на [t0, tZ]. Из непрерывности Z0 следует, что
Z0(tZ) = X0 +
tZ
∫
t0
F (s,Z0(s)) ds,
где Z0(t) является таким решением множества уравнений (1) на [t0, tZ], что V (Z0(t), α, β) 6
6 R(t) при всех t ∈ [t0, tZ].
Далее рассмотрим начальную задачу
DH(X) = F (t,X), X(tZ) = Z0(tZ). (11)
Из того, что существует локальное решение, следует, что существует решение X0(t) на
[tZ, tZ + δ), δ > 0. Определим функцию
Z1(t) =
{
Z0(t) при t0 6 t 6 tZ,
X0(t) при tZ 6 t 6 tZ + δ.
(12)
Ясно, что функция Z1(t) является решением множества уравнений (1) на [t0, tZ + δ), и по-
вторяя те же рассуждения, что и выше, получим, что
V (Z1(t), α, β) 6 R(t) при t ∈ [t0, tZ + δ). (13)
Оценка (13) противоречит предположению tZ < ∞ для максимального элемента Z на мно-
жестве (Π,6) и, следовательно, tZ = ∞. Этим утверждение теоремы 2 доказано.
Замечание 1. Если вместо функции (6), которая построена на основе функции (5), рас-
сматривать функцию V ∈ C(R+×KC(R
n),R+), существование которой предполагается для
множества уравнений (1), то теорема 2 обращается в теорему 3.3.1 из монографии [3].
Конструктивное построение функции (6) на основе матричнозначной функции (5) может
оказаться более простой задачей, чем построение скалярной функции V (t,X(t)) непосред-
ственно для уравнений (1).
Замечание 2. Отличные от теоремы 2 условия существования и единственности решений
множества дифференциальных уравнений (1) были получены ранее в работах [4, 5], где
имеется обширная библиография работ в этом направлении.
Автор выражает благодарность О.Д. Кичмаренко за полезные замечания и обсуждение ре-
зультатов данного сообщения.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 31
1. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Неточные динамические системы: устойчивость и управление движе-
нием. – Киев: Феникс, 2009. – 304 с.
2. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems. – New York: Marcel
Dekker, 1989. – 315 p.
3. Lakshmikantham V., Bhaskar T.G., Devi J. V. Theory of set differential equations in a metric space. –
Melbourne: Florida Institute of Technology, 2005. – 250 p.
4. Brandao Lopes Pinto A. J., de Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential
equations with compact convex valued solutions // Bull. Unione Mat. Ital. – 1970. – No 4. – P. 534–538.
5. Плотников А. В., Скрыпник Н.В. Дифференциальные уравнения с “четкой” и нечеткой многозначной
правой частью. Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009. – 191 с.
Поступило в редакцию 08.11.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Yu.A. Martynyuk-Chernienko
About the global existence of solutions of a set of differential equations
We investigate the problem of the global existence of a solution of the set of differential equations
via the matrix-valued Lyapunov function method. We use the convenient comparison theorem and
a new approach to constructing the Lyapunov-like functions.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38562 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:42:29Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк-Черниенко, Ю.А. 2012-11-12T18:10:22Z 2012-11-12T18:10:22Z 2011 О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений / Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 28-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38562 531.36 Досліджено проблему глобального існування розв'язку множини диференціальних рівнянь з використанням методу матричнозначних функцій Ляпунова. При цьому використано один із варіантів методу порівняння на основі матричнозначної функції. We investigate the problem of the global existence of a solution of the set of differential equations via the matrix-valued Lyapunov function method. We use the convenient comparison theorem and a new approach to constructing the Lyapunov-like functions. Автор выражает благодарность О.Д. Кичмаренко за полезные замечания и обсуждение результатов данного сообщения. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений About the global existence of solutions of a set of differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Математика |
| title | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| title_alt | About the global existence of solutions of a set of differential equations |
| title_full | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| title_short | О глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| title_sort | о глобальном существовании решений множества дифференциальных уравнений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38562 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkčernienkoûa oglobalʹnomsuŝestvovaniirešeniimnožestvadifferencialʹnyhuravnenii AT martynûkčernienkoûa abouttheglobalexistenceofsolutionsofasetofdifferentialequations |