Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата
Розглядається задача багатократного вибору в системі прийняття рішень, ситуація в якій описується необаєсівською моделлю з досить природними правилами вибору рішення, одне з яких можна інтерпретувати як деяку форму принципу гарантованого результату. We consider the problem of multiple decision choic...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38569 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 43-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860013401794674688 |
|---|---|
| author | Михалевич, В.М. |
| author_facet | Михалевич, В.М. |
| citation_txt | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 43-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядається задача багатократного вибору в системі прийняття рішень, ситуація в якій описується необаєсівською моделлю з досить природними правилами вибору рішення, одне з яких можна інтерпретувати як деяку форму принципу гарантованого результату.
We consider the problem of multiple decision choices, whose situation is described by the neo-bayesian model with rather natural rules of choosing a solution, one of which can be interpreted as some form of the principle of guaranteed result.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:43:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.81
© 2011
В.М. Михалевич
Многократный выбор решения при наличии одной
из форм принципа гарантированного результата
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Розглядається задача багатократного вибору в системi прийняття рiшень, ситуацiя
в якiй описується необаєсiвською моделлю з досить природними правилами вибору рi-
шення, одне з яких можна iнтерпретувати як деяку форму принципу гарантованого
результату.
Задачу решения (ЗР), когда последствия определяются действием (решение) и состоянием
природы (ненаблюдаемый параметр), будем называть параметрической ЗР. Формализуем
ее следующим образом.
Определение 1. Схемой ситуации задачи решения (ССЗР) называется упорядоченная
четверка вида (X,Θ, U, g), где для произвольных непустых множеств X, Θ, U g является
отображением Θ× U на X. При этом множество X называется множеством последствий
с алгеброй подмножеств Ξ, Θ — множеством значений ненаблюдаемого параметра с алгеб-
рой подмножеств Σ, U — множеством решений, а g — отображением последствий ССЗР
(X,Θ, U, g). Класс всех параметрических ССЗР вида (X,Θ, U, g) будем обозначать через Z,
a Z(X) := {(X, ·, ·, ·) ∈ Z}, Z(X,Θ) := {(X,Θ, ·, ·) ∈ Z}.
Продолжая изучение неопределенности путем “перехода явным образом к рассмотрению
бесконечного числа “испытаний” . . . иными словами задачи принятия “массовых” решений”
(см. [1, с. 42]), рассмотрим многократный выбор решений (u1, . . . , un), n ∈ N, в параметри-
ческой ситуации ЗР, заданной своей ССЗР Z = (X,Θ, U, g) ∈ Z(X,Θ). При этом соответ-
ствующий вектор последствий (x1, . . . , xn), в зависимости от соответствующих значений
ненаблюдаемого параметра (θ1, . . . , θn), удовлетворяет условиям xi = g(θi, ui), i = 1, n.
Для любого непустого множества A через A∞ всюду далее будем обозначать мно-
жество
∞⋃
n=1
An.
Под основной ЗР при многократном выборе в ситуации, заданной ССЗР Z =
= (X,Θ, U, g) ∈ Z(X,Θ), что коротко будем называть основной задачей многократных
решений(ЗМР) в классе ССЗР Z(X,Θ), мы будем понимать установку этим ТПР-ом пред-
почтений на множестве X∞ (первая основная ЗМР) и на множестве U∞ (вторая основная
ЗМР) в ситуации, заданной ССЗР Z = (X,Θ, U, g).
Определение 2. ПВП для ЗМР в Z
′(X,Θ) ⊆ Z(X,Θ) будем называть всякое отображе-
ние π = (π1, π2), определенное на Z
′(X,Θ) и сопоставляющее каждой Z = (X,Θ, U, g) ∈
∈ Z
′(X,Θ) некоторую пару бинарных отношений π1Z = (X∞,<Z) и π2Z = (U∞,<∗
Z),
т. е. π1Z ∈ [2(X
∞)2 ]Z
′(X,Θ), π2Z ∈ [2(U
∞)2 ]Z
′(X,Θ), а πZ = (π1Z , π2Z). Класс всех ПВП для
ЗМР в Z
′(X,Θ) будем обозначать Π∞(Z′(X,Θ)).
Пусть A — произвольное непустое множество.
Определение 3. Статистическим предпочтением на множестве А (см. [1]) будем
называть такое бинарное отношение (<) на A∞, которое обладает следующими свойствами:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 43
С1) для любых a, b, c ∈ A∞, если a < b < c, то a < c;
С2) для любых a, b ∈ A∞ либо a < b, либо b < a;
С3) для любых a, b ∈ A∞, если a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) и bk = aik(1 6 k 6 n),
k, n ∈ N, где
(
1 2 . . . n
i1 i2 . . . in
)
—
некоторая подстановка, то a ∼ b (где(∼), как обычно, — симметричная часть (<), т. е.
(∼) = (<)
⋂
(<)−1);
С4) для любых a, b, c, d ∈ A∞, если a ∼ b, a = (a1, . . . , ak), b = (b1, . . . , bl), c = (c1, . . . , cm),
d = (d1, . . . , dr), k, l, m, r ∈ N, то (c1, . . . , cm, a1, . . . , ak) < (d1, . . . , dr, b1, . . . , bl) равносильно
c < d;
С5) для любых a, b, c, d ∈ A∞, если a ≻ b (где (≻) — асимметрическая часть (<),
т. е. (≻) = (<) \ (∼)), a = (a1, . . . , ak), b = (b1, . . . , bl), c = (c1, . . . , cm), d = (d1, . . . , dr),
k, l,m, r ∈ N, то существует такое натуральное число n, для которого
(a1, . . . , ak, a1, . . . , ak, . . . , a1, . . . , ak
︸ ︷︷ ︸
n раз
, c1, . . . , cm) ≻
≻ (b1, . . . , bl, b1, . . . , bl, . . . , b1, . . . , bl
︸ ︷︷ ︸
n раз
, d1, . . . , dr).
При этом введем для произвольных a = (a1, . . . , ak), b = (b1, . . . , bl), где k, l ∈ N, принадле-
жащих A∞ бинарную операцию, которую будем обозначать ⊕, следующим образом
a⊕ b
def
= (a1, . . . , ak, b1, . . . , bl) ∈ A∞.
Из определения операции ⊕ следует представление a = (a1, . . . , an) в виде a = a1 ⊕ · · ·⊕
⊕ an, n ∈ N, что коротко будем обозначать
a =
n∑
i=1
© ai.
Тогда естественно также ввести операцию ⊗ : N×A∞ → A∞, так, что для произвольных
n ∈ N и a ∈ A∞ выполняется соотношение
n⊗ a = a⊕ . . .⊕ a
︸ ︷︷ ︸
n раз
.
Рассмотрим так называемые необайесовские ЗР (см. [2]), расширив множество послед-
ствий X до множества Y случайных последствий, представляющих собой множество рас-
пределений на X следующего вида:
Y =
{
(y : X → [0, 1]) : card{x : y(x) 6= 0} < ∞,
∑
x∈X
y(x) = 1
}
. (1)
Определение 4. Для произвольных непустых множеств A, Θ и нестрогого порядка
(A,<) отображение f ∈ AΘ называется ограниченным относительно (A,<), если сущест-
вуют такие a, b ∈ A, что a < f(θ) < b для всех θ ∈ Θ.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Определение 5. Для произвольных непустых множеств (A,Θ), нестрогого порядка
(A,<) и алгебры Σ ⊆ 2Θ отображение f ∈ AΘ называется Σ-измеримым относительно
(A,<), если для всех элементов a ∈ A множества {θ : f(θ) ≻ a} и {θ : f(θ) < a} принад-
лежат Σ.
Через L0(A,Θ) будем обозначать множество всех Σ-измеримых конечнозначных отобра-
жений на множестве Θ со значениями в множестве A, т. е. f ∈ L0(A,Θ), если card{f(Θ)} <
< ∞ и f−1(a) ∈ Σ ∀ a ∈ A.
Определение 6. Для произвольных непустых множеств X, Θ и нестрогого порядка
(X,<) отображение f ∈ Y Θ, где Y определяется согласно (1), будем называть ограниченным
относительно (X,<), если отображения f , f ∈ XΘ, заданные на Θ как
f(θ)
def
= min{x ∈ X : [f(θ)](x) 6= 0} ∀ θ ∈ Θ,
f(θ)
def
= max{x ∈ X : [f(θ)](x) 6= 0} ∀ θ ∈ Θ,
являются ограниченными относительно (X,<).
Определение 7. ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z(Y,Θ), где Y определяется согласно (1),
будем называть определяющей, если
L0(Y,Θ) ⊆ g(·, U) = co[g(·, U)] ⊆ Y Θ. (2)
Через L<(Y,Θ) будем обозначать множество всех ограниченных и Σ-измеримых отно-
сительно нестрогого порядка (X,<) отображений на множестве Θ со значениями в мно-
жестве Y .
Определим класс ПВП в ЗМР для Z
′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), который будем обозначать через
Π∞
0 (Z′(Y,Θ)), как подкласс всех таких ПВП π ∈ Π∞(Z′(Y,Θ)), что для любой определяющей
ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z
′(Y,Θ) выполняются условия:
Y1) если Zi = (Y,Θ, Ui, gi) ∈ Z
′(Y,Θ), i = 1, 2, то
a) (Y,<Z1
) = (Y,<Z2
) =: (Y,<) — невырожденное, т. е. не для всех y1, y2 ∈ Y выпол-
няется y1 < y2,
б) из (y1)Θ <
∗
Z (y2)Θ следует y1 < y2 ∀ y1, y2 ∈ Y ,
в) из u1, v1 ∈ U1, u2, v2 ∈ U2, g1(θ, u1) = g2(θ, u2), g1(θ, v1) = g2(θ, v2) ∀ θ ∈ Θ, u1 <
∗
Z1
v1
следует u2 <
∗
Z2
v2;
Y2) (U∞,<∗
Z) — нестрогий порядок;
Y3) если ui ∈ U , i = 1, 2, y ∈ Y , u1 ≻∗
Z u2, α ∈ (0, 1), то
αu1 + (1− α)yΘ ≻∗
Z αu2 + (1− α)yΘ;
Y4) если ui ∈ U , i = 1, 3, u1 ≻∗
Z u2 ≻∗
Z u3, то найдутся такие α, β ∈ (0, 1), что
αu1 + (1− α)u3 ≻
∗
Z u2 ≻
∗
Z βu1 + (1− β)u3;
Y5) если u, v ∈ U∞, u =
k∑
i=1
© ui, v =
l∑
j=1
© vj и
k∑
i=1
© g(θ, ui) <Z
l∑
j=1
© g(θ, vj) для любых
k, l ∈ N, θ ∈ Θ, то
u <
∗
Z v;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 45
Y6) если ui ∈ U , yi ∈ Y , i = 1, 2, то
u1 ⊕ u2 ∼
∗
Zu2 ⊕ u1, y1 ⊕ y2 ∼ Zy2 ⊕ y1;
Y7) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1 ∼ ∗
Zu2 следует, что u3 ⊕ u1 <
∗
Z u4 ⊕ u2
равносильно u3 <
∗
Z u4, а из y1 ∼
∗
Zy2 следует, что y3 ⊕ y1 <
∗
Z y4 ⊕ y2 равносильно y3 <
∗
Z y4;
Y8) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1 <
∗
Z u2 следует, что найдется такое
натуральное n, для которого
(n⊗ u1)⊕ u3 ≻
∗
Z (n⊗ u2)⊕ u4,
а из y1 <
∗
Z y2 следует, что найдется такое натуральное n, для которого
(n⊗ y1)⊕ y3 ≻
∗
Z (n⊗ y2)⊕ y4;
Y9) если ui ∈ U , i = 1, 3, то из
g(θ, u1)⊕ g(θ, u2) ∼ Z2⊗ g(θ, u3) ∀ θ ∈ Θ (3)
следует, что
2⊗ u3 <
∗
Z u1 ⊕ u2. (4)
Все условия Y1–Y8 достаточно естественны и не требуют пояснений. Что касается усло-
вия Y9, то оно допускает следующую интерпретацию. Предпочтение (4) означает, что в ЗМР
при выполнении условия (3) лучше вибирать оба раза действие u3, чем один раз u1, а другой
раз u2 (или наоборот), можно показать, что это условие есть всего лишь некоторая специ-
фическая форма принципа гарантированного результата применительно к ЗМР (см. [3]).
При этом оказывается, что в классе ПВП Π∞
0 (Z′
01(Y,Θ)), где Z
′
01(Y,Θ) — достаточно
широкий класс ССЗР, решение основной ЗМР представляет собой критерий, являющийся
минимумом осреднения полезностей случайных последствий решения по некоторой ста-
тистической закономерности на Θ (см. [4–6]). Причем эта статистическая закономерность
определяется единственным образом в классе всех выпуклых статистических закономернос-
тей на Θ и множестве функций полезности на последствиях X с точностью до масштабного
множителя.
1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах принятия решений. – Киев:
Наук. думка, 1990. – 135 с.
2. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior // J. of Math. Economics. –
1989. – 18. – P. 141–153.
3. Михалевич В.М. Одна форма принципа гарантированного результата при многократном выборе //
Кибернетика и вычислит. техника. – 2010. – № 161. – С. 28–34.
4. Михалевич В.М. К моделированию ситуации в задаче решения с денежными потерями // Доп. НАН
України. – 2010. – № 11. – С. 30–33.
5. Михалевич В.М. К моделированию ситуации в задаче решения с денежными доходами // Там само. –
2010. – № 12. – С. 38–41.
6. Михалевич В.М. К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач // Там
само. – 2011. – № 5. – С. 45–51.
Поступило в редакцию 30.11.2010НУ “Киево-Могилянская академия”
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
V.M. Mykhalevich
Multiple selection of a solution in the presence of one form of the
principle of guaranteed result.
We consider the problem of multiple decision choices, whose situation is described by the neo-
bayesian model with rather natural rules of choosing a solution, one of which can be interpreted as
some form of the principle of guaranteed result.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38569 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:43:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михалевич, В.М. 2012-11-12T18:21:21Z 2012-11-12T18:21:21Z 2011 Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 43-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38569 519.81 Розглядається задача багатократного вибору в системі прийняття рішень, ситуація в якій описується необаєсівською моделлю з досить природними правилами вибору рішення, одне з яких можна інтерпретувати як деяку форму принципу гарантованого результату. We consider the problem of multiple decision choices, whose situation is described by the neo-bayesian model with rather natural rules of choosing a solution, one of which can be interpreted as some form of the principle of guaranteed result. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата Multiple selection of a solution in the presence of one form of the principle of guaranteed result Article published earlier |
| spellingShingle | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата Михалевич, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| title_alt | Multiple selection of a solution in the presence of one form of the principle of guaranteed result |
| title_full | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| title_fullStr | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| title_full_unstemmed | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| title_short | Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| title_sort | многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантированного результата |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38569 |
| work_keys_str_mv | AT mihalevičvm mnogokratnyivyborrešeniâprinaličiiodnoiizformprincipagarantirovannogorezulʹtata AT mihalevičvm multipleselectionofasolutioninthepresenceofoneformoftheprincipleofguaranteedresult |