Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании
Розглянуто постановку і метод розв'язування просторової задачі про дію рухомого навантаження на попередньо напружену багатошарову плиту, що лежить на жорсткій основі. Для попередньо напруженого шару, що лежить на жорсткій основі, в області зображень Фур'є в загальному вигляді одержано розв...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38570 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 48-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859686814474829824 |
|---|---|
| author | Глухов, Ю.П. |
| author_facet | Глухов, Ю.П. |
| citation_txt | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 48-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто постановку і метод розв'язування просторової задачі про дію рухомого навантаження на попередньо напружену багатошарову плиту, що лежить на жорсткій основі. Для попередньо напруженого шару, що лежить на жорсткій основі, в області зображень Фур'є в загальному вигляді одержано розв'язок задачі.
The formulation and a method of solving the nonplanar problem of the impact of the moving load on a pre-stressed multilayered plate are considered. A solution in the general form of a Fourier transform is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-30T22:53:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
Ю.П. Глухов
Об одной динамической задаче для многослойной
плиты на жестком основании
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
Розглянуто постановку i метод розв’язування просторової задачi про дiю рухомого на-
вантаження на попередньо напружену багатошарову плиту, що лежить на жорсткiй
основi. Для попередньо напруженого шару, що лежить на жорсткiй основi, в областi
зображень Фур’є в загальному виглядi одержано розв’язок задачi.
В настоящее время в динамике упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями
разрабатывается ряд научных направлений, из которых можно отметить следующие: ис-
следования закономерностей распространения волн в телах различной формы [1, 2]; иссле-
дование механики движущихся трещин в однородных материалах (например, [3–6] и др.) и
в границах раздела (interface) материалов [7–10]; исследование динамических процессов при
движущихся нагрузках (например, [2, 11–13] и др.). Современный анализ построения основ-
ных соотношений линеаризированной механики деформированных тел (статика, динамика
и устойчивость) представлен в работах [14, 15] и в ряде других.
Данное сообщение продолжает цикл работ, посвященных исследованию динамических
процессов в многослойных предварительно напряженных конструкциях при подвижных
нагрузках [2, 11–13].
Многослойная плита на жестком основании. Рассмотрим многослойную плиту,
состоящую из N слоев и лежащую на жестком основании. Слои пронумерованы по порядку
s = 1, N сверху вниз. Граничные поверхности слоев плоские и параллельные между собой.
Толщина слоев произвольная и равна hs.
Слои состоят из сжимаемых или несжимаемых предварительно напряженных изотроп-
ных материалов с произвольной формой упругого потенциала. В случае ортотропного тела
будем считать, что упруго-эквивалентные направления совпадают с направлениями осей
выбранной системы координат.
Считаем, что начальное напряженно-деформированное состояние полупространства яв-
ляется однородным. Рассмотрим начальное состояние в виде
λ
{s}
1 = λ
{s}
2 6= λ
{s}
3 , S
{s}11
0 = S
{s}22
0 6= S
{s}33
0 . (1)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Плита отнесена к декартовой системе координат ξi (i = 1, 2, 3), соответствующей на-
чальному деформированному состоянию. Координатная ось ξ3 направлена перпендикуляр-
но поверхностям слоев к жесткому основанию.
К свободной границе первого слоя приложена нагрузка, движущаяся с постоянной ско-
ростью v в течение большого промежутка времени и не зависящая от координаты ξ3. Отно-
сительно системы координат, связанной с этой нагрузкой, существует установившееся де-
формированное состояние. Если предположить, что нагрузка движется по прямой, распо-
ложенной под углом ϕ к оси ξ1, то координаты подвижной системы координат будут опре-
деляться соотношениями
y1 = ξ1 − v cosϕt, y2 = ξ2 − v sinϕt, y3 = ξ3. (2)
Также предположим, что напряжения, возникающие за счет действия нагрузки, зна-
чительно меньше начальных напряжений. Указанное предположение позволяет применять
линеаризированную теорию упругости [1] для описания дополнительного напряженного со-
стояния, вызванного действием нагрузки.
С учетом (1) в координатах подвижной системы координат (2) уравнения движения
и компоненты напряженно-деформированного состояния слоистого полупространства мож-
но записать в общем виде следующим образом:
уравнения движения
(
Ã{s} ∂2
∂y21
+
∂2
∂y22
+ ζ
{s}2
1
∂2
∂y23
)
Ψ{s} = 0,
{
2∏
j=1
(
2∑
m=1
∂2
∂y2m
+ ζ
{s}2
j+1
∂2
∂y23
)
−
[
B̃{s}
2∑
m=1
∂2
∂y2m
+ C̃{s} ∂2
∂y23
]
∂2
∂y21
+ D̃{s} ∂4
∂y41
}
χ{s} = 0,
(3)
перемещения
u{s}n = (−1)m
∂Ψ{s}
∂ym
−
∂2χ{s}
∂yn∂y3
, u
{s}
3 =
(
3∑
j=1
β̃
{s}
j
∂2
∂y2j
)
χ{s},
m, n = 1, 2, m 6= n,
(4)
напряжения
Q̃
{s}
ii = ã
{s}(1)
ii
∂2Ψ{s}
∂y1∂y2
+
(
3∑
m=1
b̃
{s}(m)
ii
∂2
∂y2m
)
∂χ{s}
∂y3
, i = 1, 3,
Q̃
{s}
ij =
(
2∑
m=1
ã
{s}(m)
ij
∂2
∂y2m
)
Ψ{s} − b̃
{s}(1)
ij
∂3χ{s}
∂y1∂y2∂y3
, i, j = 1, 2,
Q̃
{s}
ij = ã
{s}(1)
ij
∂2Ψ{s}
∂yk∂y3
+
(
3∑
m=1
b̃
{s}(m)
ij
∂2
∂y2m
)
∂χ{s}
∂yi
, i, j, k = 1, 3, k 6= j, k 6= i,
(5)
где коэффициенты Ã{s}, B̃{s}, C̃{s}, D̃{s}, ζ̃
{s}
j , β̃
{s}
j , ã
{s}(m)
ij , b̃
{s}(m)
ij в выражениях (3)–(5)
являються функциями параметров v, ϕ, характеризующих нагрузку, и параметров, харак-
теризующих материал элементов слоистой среды; ω̃{s} — в случае сжимаемого материала
и κ̃{s} — в случае несжимаемого материала.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 49
Предполагаем возможными два варианта контакта между элементами слоистого полу-
пространства при y3 = −hs: жесткий контакт и нежесткий. Условия контакта в общем виде
можно записать
Q̃
{s}
33 = Q̃
{s+1}
33 , Q̃
{s}
3n = θ
{s}
1 Q̃
{s+1}
3n , (1− θ
{s}
1 )Q̃
{s+1}
3n = θ
{s}
1 (u{s+1}
n − u{s}n ),
u
{s}
3 = u
{s+1}
3 , u
{N}
3 = 0, (1− θ
{N}
1 )Q̃
{N}
3n = θ
{N}
1 u{N}
n ,
s = 1, N − 1, n = 1, 2.
(6)
Здесь θ
{s}
1 = 1 (s = 1, N ) соответствует жесткому контакту, а θ
{s}
1 = 0 — нежесткому конта-
кту между соответствующими элементами слоистой среды и плиты с жестким основанием.
Граничные условия на свободной поверхности первого слоя при y3 = 0 имеют вид
Q̃
{1}
3n = PnδNN1
δ(y1)δ(y2), n = 1, 2, Q̃
{1}
33 = P3δ(y1)δ(y2), N1 =
N∑
s=1
θ
{s}
1 . (7)
При изложенных выше условиях имеем трехмерную установившуюся задачу, состоящую
в совместном решении уравнений движения (3) при соответствующих граничных условиях
на свободной поверности первого слоя (7), условий контакта элементов слоистой среды (6)
и условия затухания на бесконечности.
Для решения задачи воспользуемся двойным преобразованием Фурье по координатам y1
и y2. В пространстве изображений Фурье уравнения движения (3) можно представить в виде
(
d2
dy23
− µ
{s}2
1
)
ΨF{s} = 0,
(
d2
dy23
− µ
{s}2
2
)(
d2
dy23
− µ
{s}2
3
)
χF{s} = 0, (8)
где
µ
{s}2
1 = ζ
{s}−2
1 (k21Ã
{s} + k22), µ
{s}2
2,3 = B̃
{s}
1 ± (B̃
{s}2
1 − B̃
{s}
2 )−1/2,
2B
{s}
1 = ζ
{s}−2
2 ζ
{s}−2
3 [(ζ
{s}2
2 + ζ
{s}2
3 )(k21 + k22)− k21C̃
{s}],
B
{s}
2 = ζ
{s}−2
2 ζ
{s}−2
3 [(k21 + k22)
2 + k21k
2
2B̃
{s} + (B̃{s} + D̃{s})k41 ],
k1, k2 — параметры двойного преобразования Фурье.
Решение преобразованных уравнений (8) с учетом затухания на бесконечности будем
искать в виде
Ψ{s}F = C
{s}
1 eγ
{s}
1
(y3+hs−1) + C
{s}
2 e−γ
{s}
1
(y3+hs−1),
χ{s}F = C
{s}
3 eγ
{s}
2
(y3+hs−1) + C
{s}
4 e−γ
{s}
2
(y3+hs−1) +
+ [1− δ{s}µ2µ3
+ δ{s}µ2µ3
(y3 + hs−1)][C
{s}
5 eγ
{s}
3
(y3+hs−1) + C
{s}
6 e−γ
{s}
3
(y3+hs−1)].
(9)
Здесь
δ{s}µ2µ3
=
{
1, µ
{s}2
2 = µ
{s}2
3
0, µ
{s}2
2 6= µ
{s}2
3
, γ
{s}
j = σ
{s}
j µ
{s}
j , h0 = 0,
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
σ
{s}
j ≡ σ{s} = |µ
{s}
j |/µ
{s}
j , если µ
{s}2
j > 0; σ
{s}
j = i, если µ
{s}2
j < 0 и γ
{s}
j = σ{s}Reµ
{s}
j −
− (−1)ji Imµ
{s}
j , если µ
{s}2
j принимает комплексные значения.
Трансформанты выражений (4) и (5) с учетом (9) можно записать в виде
u{s}Fn =
(−1)n+1
iδ3n−1
6∑
j=1
[
2∑
m=1
α
{s}(n)
jm (y3 + hs−1)
(m−1)(δ5j+δ6j)
]
C
{s}
j e(−1)j+1γ
{s}
τ (y3+hs−1), (10)
Q̃{s}F
nm = i(δn1+δn2+δm1+δm2)(δn3+δm3) ×
×
6∑
j=1
[
2∑
q=1
γ
{s}(nm)
jq (y3 + hs−1)
(q−1)(δ5j+δ6j)
]
C
{s}
j e(−1)j+1γ
{s}
τ (y3+hs−1), (11)
где n, m = 1, 3, τ = δj1 + δj2 + 2(δj3 + δj4) + 3(δj5 + δj6), a α
{s}(n)
jm , γ
{s}(nm)
jq — функции
параметров k1, k2 и параметров, характеризующих нагрузку и слоистую среду.
Подставляя (10) и (11) в преобразованную систему уравнений (6), (7), получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных C
{s}
j
6∑
j=1
γ
{1}(3m)
j1 C
{1}
j =
PF
mθ(m)
i(δm1+δm2)(1+δm3)
, θ(m) = δm3 + δNN1
(1− δm3),
6∑
j=1
[(γ
{s}(3m)
j1 − γ
{s}(3m)
j2 ∆h
δ5j+δ6j
s )C
{s}
j e(−1)jγ
{s}
τ ∆hs −
− θ{s}(1−δm3)γ
{s+1}(3m)
j1 C
{s}
j ] = 0, ∆hs = hs − hs−1, m = 1, 3,
6∑
j=1
{[(1 − θ
{s}
1 )γ
{s+1}(3m)
j1 + (−1)mθ
{s}
1 α
{s+1}(m)
j1 ]C
{s+1}
j −
− (−1)mθ
{s}
1 (α
{s}(m)
j1 − α
{s}(m)
j2 ∆h
δ5j+δ6j
s )C
{s}
j e(−1)jγ
{s}
τ ∆hs} = 0, m = 1, 2,
6∑
j=1
[(α
{s}(3)
j1 − α
{s}(3)
j2 ∆h
δ5j+δ6j
s )C
{s}
j e(−1)jγ
{s}
τ ∆hs − α
{s+1}(3)
j1 C
{s+1}
j ] = 0,
6∑
j=1
[
2∑
m=1
α
{N}(3)
jm ∆h
(m−1)(δ5j+δ6j)
N
]
C
{N}
j e(−1)jγ
{N}
τ ∆hN = 0,
6∑
j=1
{
2∑
m=1
[(−1)nθ
{N}
1 α
{N}(n)
jm + (1− θ
{N}
1 )γ
{N}(3n)
jm ]∆h
(m−1)(δ5j+δ6j)
N
}
×
× C
{N}
j e(−1)jγ
{N}
τ ∆hN = 0, n = 1, 2, s = 1, N − 1.
(12)
Следовательно, решение задачи об установившемся движении многослойной предвари-
тельно напряженной плиты на жестком основании под воздействием подвижной нагрузки
в области изображений Фурье сводится к решению системы алгебраических уравнений (12)
относительно неизвестных C
{s}
j .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 51
Слой на жестком основании. Рассмотрим случай, когда предварительно напряжен-
ный слой лежит на жестком основании. При этом систему уравнений (12) можно предста-
вить в виде
6∑
j=1
amjCj = bm, m = 1, 6. (13)
Решая систему (13), получим
Cj =
∆j
∆
, j = 1, 6, (14)
где
∆ =
6∑
jm=1,
jm 6=jn
(−1)j1+j2+j3K
(1)
j1j2j3
K
(2)
j4j5j6
, m, n = 1, 6, j1 < j2 < j3, j4 < j5 < j6,
∆j =
6∑
jm=1,
jm 6=jn
(−1)j+j1+j2+pK
(∗)
jj1j2
K
(2)
j3j4j5
, j = 1, 6, m, n = 1, 5,
p =
{
1, j < j1, j < j2
0, j1 < j < j2
, K
(n)
ijk =
∣∣∣∣∣∣
a1+3(n−1),i a1+3(n−1),j a1+3(n−1),k
a2+3(n−1),i a2+3(n−1),j a2+3(n−1),k
a3+3(n−1),i a3+3(n−1),j a3+3(n−1),k
∣∣∣∣∣∣
,
K
(∗)
jj1j2
=
∣∣∣∣∣∣
b1 a1,j1 a1,j2
b2 a2,j1 a2,j2
b3 a3,j1 a3,j2
∣∣∣∣∣∣
, amj = γ
{1}(3m)
j1 , bm =
PF
mθ(m)
i(δm1+δm2)(1+δm3)
, m = 1, 3,
a4j = e(−1)jγ{1}τh
2∑
m=1
α
{1}(3)
jm h(m−1)(δ5j+δ6j),
a4+n,j = e(−1)jγ{1}τh
2∑
m=1
[(−1)nθ
{1}
1 α
{1}(n)
jm + (1− θ
{1}
1 )γ
{1}(3n)
jm ]h(m−1)(δ5j+δ6j),
n = 1, 2.
(15)
Таким образом, задача об определении напряженно-деформированного состояния слоис-
той плиты при воздействии движущейся с постоянной скоростью поверхностной нагрузки
при условии (1) сводится к интегрированию выражений (10) и (11) с учетом значений C
{s}
j .
В случае однослойной плиты для определения коэффициентов Cj необходимо применять
формулы (15).
1. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Kиев: A.С. K,
2004. – 672 с.
2. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Статика и динамика упругих оснований с начальными (оста-
точными) напряжениями. – Кременчуг: Кременчуг, 2007. – 795 с.
3. Гузь А.Н. Динамические задачи механики хрупкого разрушения материалов с начальными напря-
жениями для движущихся трещин. 1. Постановка задач, общие соотношения // Прикл. механика. –
1998. – 34, № 12. – С. 3–15.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
4. Гузь А.Н. Динамические задачи механики хрупкого разрушения материалов с начальными напря-
жениями для движущихся трещин. 2. Трещины нормального отрыва (Mode 1) // Там же. – 1999. –
35, № 1. – С. 3–16.
5. Гузь А.Н. Динамические задачи механики хрупкого разрушения материалов с начальными напря-
жениями для движущихся трещин. 3. Трещины поперечного (Mode II) и продольного (Mode III)
сдвига // Там же. – 1999. – 35, № 2. – С. 3–14.
6. Гузь А.Н. Динамические задачи механики хрупкого разрушения материалов с начальными напря-
жениями для движущихся трещин. 4. Задачи расклинивания // Там же. – 1999. – 35, № 3. – С. 12–21.
7. Гузь А.Н. Критические явления при движении трещины в границе раздела двух материалов с на-
чальными напряжениями. 1. Постановка задач. Основные соотношения // Там же. – 2002. – 38, № 4. –
С. 49–59.
8. Гузь А.Н. Критические явления при движении трещины в границе раздела двух материалов с на-
чальными напряжениями. 2. Точное решение для случая неравных корней // Там же. – 2002. – 38,
№ 5. – С. 46–54.
9. Гузь А.Н. Критические явления при движении трещины в границе раздела двух материалов с на-
чальными напряжениями. 3. Точное решение для случая равных корней // Там же. – 2002. – 38,
№ 6. – С. 64–73.
10. Гузь А.Н. Критические явления при движении трещины в границе раздела двух материалов с началь-
ными напряжениями. 4. Точное решение для комбинированного случая неравных и равных корней //
Там же. – 2002. – 38, № 7. – С. 53–63.
11. Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Напряженно-деформированное состояние слоистого предварительно-на-
пряженного полупространства при воздействии подвижной нагрузки // Системнi технологiї. Регiон.
мiжвуз. зб. наук. праць. Вип. 3(62). – Днiпропетровськ, 2009. – С. 93–98.
12. Глухов Ю.П. Динамика многослойного предварительно напряженого полупространства при воздей-
ствии подвижной нагрузки // Доп. НАН України. – 2010. – № 2. – С. 53–58.
13. Глухов Ю.П. Об одной задаче о воздействии подвижной загрузки на многослойное основание //
Пробл. обчисл. механiки i мiцностi конструкцiй. Зб. наук. праць. Вип. 14. – Днiпропетровськ: Наука
i освiта, 2010. – С. 102–108.
14. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями // Прикл. механика. –
2002. – 38, № 1. – С. 35–78.
15. Гузь А.Н., Гузь И.А. Смешанные плоские задачи линеаризированной механики деформируемых тел.
Точные решения // Там же. – 2004. – 40, № 1. – С. 3–44.
Поступило в редакцию 25.11.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Yu.P. Glukhov
About one dynamic problem for a multilayered plate with rigid basis
The formulation and a method of solving the nonplanar problem of the impact of the moving load
on a pre-stressed multilayered plate are considered. A solution in the general form of a Fourier
transform is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38570 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T22:53:58Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Глухов, Ю.П. 2012-11-12T18:22:21Z 2012-11-12T18:22:21Z 2011 Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании / Ю.П. Глухов // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 48-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38570 539.3 Розглянуто постановку і метод розв'язування просторової задачі про дію рухомого навантаження на попередньо напружену багатошарову плиту, що лежить на жорсткій основі. Для попередньо напруженого шару, що лежить на жорсткій основі, в області зображень Фур'є в загальному вигляді одержано розв'язок задачі. The formulation and a method of solving the nonplanar problem of the impact of the moving load on a pre-stressed multilayered plate are considered. A solution in the general form of a Fourier transform is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании About one dynamic problem for a multilayered plate with rigid basis Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании Глухов, Ю.П. Механіка |
| title | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| title_alt | About one dynamic problem for a multilayered plate with rigid basis |
| title_full | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| title_fullStr | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| title_full_unstemmed | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| title_short | Об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| title_sort | об одной динамической задаче для многослойной плиты на жестком основании |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38570 |
| work_keys_str_mv | AT gluhovûp obodnoidinamičeskoizadačedlâmnogosloinoiplitynažestkomosnovanii AT gluhovûp aboutonedynamicproblemforamultilayeredplatewithrigidbasis |