Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы
Нестаціонарне напруження раптово прикладене до поверхні пружної полоси при певних спеціальних граничних умовах на її бокових поверхнях. Необхідно побудувати розв'язок сформульованої нестаціонарної граничної задачі і визначити напружено-деформівний стан смуги. Розв'язок задачі реалізується...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38573 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы / В.Д. Кубенко, В.В. Гавриленко, Д.В. Тарлаковский // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860050840402788352 |
|---|---|
| author | Кубенко, В.Д. Гавриленко, В.В. Тарлаковский, Д.В. |
| author_facet | Кубенко, В.Д. Гавриленко, В.В. Тарлаковский, Д.В. |
| citation_txt | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы / В.Д. Кубенко, В.В. Гавриленко, Д.В. Тарлаковский // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Нестаціонарне напруження раптово прикладене до поверхні пружної полоси при певних спеціальних граничних умовах на її бокових поверхнях. Необхідно побудувати розв'язок сформульованої нестаціонарної граничної задачі і визначити напружено-деформівний стан смуги. Розв'язок задачі реалізується за допомогою інтегрального перетворення Лапласа і розкладів в ряди Фур'є. Як результат отримано точні вирази для нормального напруження і переміщення.
In the case where a nonstationary load is applied to the surface of an elastic strip, we solved the transient boundary-value problem under special boundary conditions and determined a stress-strain state of the strip and displacements with the help of the Laplace integral transformation and the Fourier expansion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:59:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.528
© 2011
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко, В.В. Гавриленко,
Д.В. Тарлаковский
Действие нестационарной нагрузки на поверхность
упругой полосы
Нестацiонарне напруження раптово прикладене до поверхнi пружної полоси при певних
спецiальних граничних умовах на її бокових поверхнях. Необхiдно побудувати розв’я-
зок сформульованої нестацiонарної граничної задачi i визначити напружено-деформiв-
ний стан смуги. Розв’язок задачi реалiзується за допомогою iнтегрального перетворення
Лапласа i розкладiв в ряди Фур’є. Як результат отримано точнi вирази для нормаль-
ного напруження i перемiщення.
Данная работа посвящена развитию подхода к исследованию деформирования упругих тел
(в данном случае — упругой полубесконечной полосы) при нестационарном воздействии,
приложенном к части поверхности тела. Отметим, что динамическая теория упругости дос-
таточно интенсивно развивается в последние два–три десятилетия благодаря практической
актуальности, присущим особенностям физического процесса и интересным особенностям
поиска решений соответствующих краевых задач. Большую популярность приобрела неста-
ционарная контактная задача теории упругости [1–3]. В общем случае задача удара тела об
упругую среду или элемент конструкции формулируется как нестационарная смешанная
начально-краевая задача теории упругости с неизвестной изменяющейся во времени грани-
цей. Однако не менее интересными и важными с точки зрения построения аналитических
решений являются задачи определения напряженно-деформированного состояния упругих
тел при действии нестационарной нагрузки. Построить аналитическое решение удается ли-
шь для некоторых специальных способов задания условий на торце полосы, в частности —
смешанных условий. Тем не менее, кроме самостоятельной значимости, аналитические ре-
шения актуальны также в связи с возможностью отрабатывать с их помощью различные
численные подходы.
Ниже дана формулировка и предложен способ решения задачи определения напряжен-
но-деформированного состояния упругой полубесконечной полосы при действии нестацио-
нарной нагрузки на ее торце. Используются интегральное преобразование Лапласа и разло-
жения в ряды Фурье. В результате получены аналитические выражения для напряжений
и перемещения.
1. Рассматривается плоская нестационарная задача теории упругости для полубеско-
нечной полосы шириной l. Отнесем полосу к декартовым координатам x, z, так что ось
абсцисс направлена вдоль свободной поверхности, ось ординат — в глубь полосы (рис. 1).
В момент времени t = 0 к торцевой поверхности z = 0 прикладывается нестационарная
нагрузка, так что нормальное напряжение σzz задается функцией
σzz|z=0 = Q(x, t). (1)
Кроме того, на торцевой поверхности отсутствует перемещение ux:
ux|z=0 = 0. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 59
Рис. 1. Система координат
Заметим, что смешанные условия (1), (2) на торце несколько специфичны (так называемые
условия скользящего контакта), однако, как будет видно из дальнейшего, их использование
позволяет получить эффективное аналитическое решение.
Для общности формулировки задачи введем безразмерные обозначения
x =
x
R
; z =
z
R
; uj =
uj
R
; t =
c0t
R
;w =
w
R
; M =
M
γR2
;
σjk =
σjk
K
; c0 =
√
K
γ
; α =
cp
c0
; β =
cs
c0
; b =
β
α
; j, k = x, z,
(3)
причем ниже черта над обозначениями будет опущена. Здесь R — некоторый характер-
ный линейный размер; cp, cs — соответственно скорости распространения волн расширения
и волн сдвига в полосе [4]; γ — плотность материала; K — его модуль всестороннего сжа-
тия; σjk — компоненты напряженного состояния; uj — компоненты вектора перемещений.
Напомним, что скорости волн расширения и сдвига и модуль всестороннего сжатия опре-
деляются через упругие постоянные Ламе посредством формул
K =
3λ+ 2µ
3
, cp =
√
λ+ 2µ
γ
, cs =
√
µ
γ
.
Вследствие приложения динамической нагрузки к поверхности тела в нем инициируется
распространение упругих волн. Поведение упругой среды при этом описывается скаляр-
ными волновыми потенциалами Φ и Ψ, которые в случае плоской задачи удовлетворяют
волновым уравнениям [5]
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂z2
−
1
α2
∂2Φ
∂t2
= 0;
∂2Ψ
∂x2
+
∂2Ψ
∂z2
−
1
β2
∂2Ψ
∂t2
= 0 (4)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями
ux =
∂Φ
∂x
+
∂Ψ
∂z
; uz =
∂Φ
∂z
−
∂Ψ
∂x
;
σzz = (1− 2b2)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂z2
−
∂2Ψ
∂x∂z
)
;
σxz = β2
(
2
∂2Φ
∂x∂z
+
∂2Ψ
∂z2
−
∂2Ψ
∂x2
)
.
(5)
Граничные условия на фронтальной поверхности слоя z = 0 заданы условиями (1), (2).
Полоса обладает конечными размерами в направлении оси Ox и должны быть также заданы
граничные условия на боковых поверхностях. Примем, что ширина полосы l и на ее гранях
реализуются следующие граничные условия:
uz||x|=l = 0; σxz||x|=l = 0. (6)
Начальные условия для волновых потенциалов нулевые, так как первоначально тело на-
ходится в покое:
Φ|t=0 =
∂Φ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= Ψ|t=0 =
∂Ψ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0. (7)
На бесконечности (z → ∞) возмущения должны исчезать.
Соотношения (1), (2), (4)–(7) составляют формулировку начально-краевой задачи.
2. Будем считать, что функция Q(x, t) раскладывается в ряд Фурье на отрезке −l 6 x 6 l
Q(x, t) =
∞∑
n=0
Qn(t) cosnx, n =
nπ
l
. (8)
Ниже черта над обозначением n будет подразумеваться. Если волновые уравнения (1) под-
вергнуть преобразованию Лапласа по времени с параметром s, их общее решение с учетом
нулевых начальных условий можно записать в виде
ΦL =
∞∑
n=0
(An(s)e
−zP + Ãn(s)e
zP ) cosnx;
ΨL =
∞∑
n=1
(Bn(s)e
−zS + B̃n(s)e
zS) sin nx;
P =
√
s2
α2
+ n2; S =
√
s2
β2
+ n2.
(9)
Здесь An, Bn, Ãn, B̃n подлежат определению из граничных условий. Соответственно транс-
форманта Лапласа обозначается верхним индексом L, так что
fL(s) = L[f(t)] =
∞∫
0
e−ztf(t) dt; f(t) = L−1[fL(s)] =
g+i∞∫
g−i∞
eztfL(s) ds.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 61
Из условия отсутствия возмущений на бесконечности (z → ∞) немедленно следует
Ãn = B̃n = 0.
Аналогично (8), представим перемещения и напряжения в виде рядов Фурье; в про-
странстве изображений по Лапласу они будут иметь вид
σL
zz =
∞∑
n=0
σL
zzn(s) cosnx, σL
xz =
∞∑
n=0
σL
xzn(s) sinnx,
uLz =
∞∑
n=0
uLzn(s) cosnx, uLx =
∞∑
n=0
uLxn(s) sin nx.
(10)
Нетрудно заметить, что условия на боковых гранях уже выполнены. Подставляя общее
решение (9) в преобразованные в пространство изображений граничные условия (1), (2)
и определяя постоянные An, Bn, получим следующие выражения для коэффициентов со-
ответствующих рядов Фурье (10) изображений напряжений и перемещения:
σL
zzn = QL
n(s)
[(
1 +
2β2n2
s2
)
e−
z
α
P̃ −
2n2β2
s2
e
− z
β
S̃
]
;
σL
zxn = QL
n(s)
β
α
[
2β
nP̃
s2
e−
z
α
P̃ − α
nS̃
s2
e
− z
β
S̃
− α
β2n3
s2S̃
e
− z
β
S̃
]
;
uLzn =
1
a
QL
n(s)
[
−
1
α
P̃
s2
e−
z
α
P̃ +
n2β
s2S̃
e
− z
β
S̃
]
;
P̃ =
√
s2 + α2n2; S̃ =
√
s2 + β2n2.
(11)
Задача теперь состоит в обращении выражений (11) относительно преобразования Ла-
пласа и выполнении вычислений.
3. Нетрудно убедиться, что слагаемые в квадратных скобках, содержащие множитель
e−
z
α
P̃ в каждой строке (11), описывают расходящуюся волну расширения, а содержащие
множитель e
− z
β
S̃ — волну искажения. Для конкретности займемся обращением первой стро-
ки — компонента напряжения σL
zzn. Данное выражение можно переписать в виде
σL
zzn = QL
n(s)R
L
zz(s, n, z), (12)
где
RL
zz(s, n, z) =
(
1 +
2β2n2
s2
)
e−
z
α
P̃ −
2n2β2
s2
e
− z
β
S̃
. (13)
Оригинал выражения (12) формально легко записать в виде свертки оригиналов сомно-
жителей [6], из которых первый известен. Для вычисления оригинала второго сомножителя
представим его в виде:
RL
zz(s, n, z) = e−
z
α
s − (e−
z
α
s − e−
z
α
P̃ ) +
2β2n2
s2
e−
z
α
s −
2β2n2
s2
(e−
z
α
s − e−
z
α
P̃ )−
−
2n2β2
s2
e
− z
β
s +
2n2β2
s2
(e−
z
β
s − e
− z
β
S̃) (14)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
и воспользуемся известными табличными соотношениями между изображениями и ориги-
налами функций [6]
L−1
(
1
s2
e−
z
α
s
)
= H
(
t−
z
α
)
αt− z
α
;
L−1(e−
z
α
s − e−
z
α
P̃ ) = H
(
t−
z
α
)
nz√
t2 − z2
α2
J1
(
nα
√
t2 −
z2
α2
)
;
L−1
[
1
s2
(e−
z
α
s − e−
z
α
P̃ )
]
= nzH
(
t−
z
α
) t∫
z/α
t− τ√
τ2 −
z2
α2
J1
(
nα
√
t2 −
z2
α2
)
dτ,
L−1
[
1
s2
(
e
− z
β
s − e
− z
β
P̃
)]
= nzH
(
t−
z
β
) t∫
z/β
t− τ√
τ2 −
z2
β2
J1
(
nβ
√
t2 −
z2
β2
)
dτ.
Здесь Jm(y) — цилиндрическая функция Бесселя m-го индекса; L−1 — оператор обращения
преобразования Лапласа. Первое слагаемое в (14) обеспечит запаздывание оригинала Qn(t),
т. е.
L−1(e−
z
α
sQL
n(s)) = H
(
t−
z
α
)
Q
(
t−
z
α
)
. (15)
С учетом вышеприведенного выражение для искомого нормального напряжения оконча-
тельно примет вид
σzz(x, z, t) = H
(
t−
z
α
) ∞∑
n=0
[
Qn
(
t−
z
α
)
+
t∫
z/α
Qn(t− τ)R1zzn(n, z, τ) dτ
]
−
− 2n2β2H
(
t−
z
β
) ∞∑
n=0
t∫
z/β
Qn(t− τ)R2zzn(n, z, τ) dτ cosnz, (16)
где
R1zzn(n, z, τ) = 2β2n2
(
τ −
z
α
)
−
nz√
τ2 −
z2
α2
J1
(
n
√
τ2 −
z2
α2
)
−
− 2β2n3z
τ∫
z/α
τ − y√
y2 −
z2
α2
J1
(
nα
√
y2 −
z2
α2
)
dy,
R2zzn(n, z, τ) =
[
−
(
τ −
z
β
)
+ nz
τ∫
z/β
τ − y√
y2 −
z2
β2
J1
(
nβ
√
y2 −
z2
β2
)
dy
]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 63
Аналогично строятся оригиналы для остальных компонентов напряжения и перемеще-
ния:
σzx(t, x, z) =
2β2
α
H
(
t−
z
α
) ∞∑
n=0
[ t∫
z/α
Qn(t− τ)R1zxn(τ, n, z) dτ
]
cosnz −
− βnH
(
t−
z
β
) ∞∑
n=0
t∫
z/β
Qn(t− τ)R2zxn(τ, n, z) dτ cosnz, (17)
uz(t, x, z) = H
(
t−
z
α
) ∞∑
n=0
[ t∫
z/α
Qn(t− τ)R1zn(τ, n, z) dτ
]
cosnz +
+H
(
t−
z
β
) ∞∑
n=0
t∫
z/β
Qn(t− τ)R2zxn(τ, n, z) dτ cosnz, (18)
где
R1zxn(t, z)=
2β2
α
H
(
t−
z
α
)[
nJ0
(
n
√
t2−
z2
α2
)
+α2n4z
t∫
z/α
t−τ√
τ2−
z2
α2
J1
(
n
√
τ2−
z2
α2
)
dτ
]
;
R2zxn(t, z)=−βnH
(
t−
z
β
)[
J0
(
n
√
t2−
z2
β2
)
+2β2n3z
t∫
z/β
t−τ√
τ2−
z2
β2
J1
(
n
√
τ2−
z2
β2
)
dτ
]
;
R1zn(t, z)=−
1
α
H
(
t−
z
α
)[
nJ0
(
n
√
t2−
z2
α2
)
+α2n4z
t∫
z/α
t−τ√
τ2−
z2
α2
J1
(
n
√
τ2−
z2
α2
)
dτ
]
;
R2zn(t, z)=n2βH
(
t−
z
β
)
nz
t∫
z/β
t−τ√
τ2−
z2
β2
J1
(
n
√
τ2−
z2
β2
)
dτ.
Таким образом, выражения (16)–(18) дают решение поставленной задачи.
Работа выполнена в рамках совместного украинско-российcкого проекта “Нестационарная ди-
намика оболочечных конструкций на деформируемом основании”.
1. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. – Москва:
Физматгиз, 2001. – 670 с.
2. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой среды // Прикл. механи-
ка. – 2004. – 40, № 11. – С. 3–44.
3. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. –
Москва: Наука; Физматгиз, 1995. – 352 с.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
4. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – Москва: ГИФМЛ, 1961. – 220 с.
5. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
6. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
ГИФМЛ, 1961. – 524 с.
Поступило в редакцию 30.11.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Московский авиационный институт
Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko, V. V. Gavrilenko,
D.V. Tarlakovskii
Action of a nonstationary load on the surface of an elastic strip
In the case where a nonstationary load is applied to the surface of an elastic strip, we solved the
transient boundary-value problem under special boundary conditions and determined a stress-strain
state of the strip and displacements with the help of the Laplace integral transformation and the
Fourier expansion.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38573 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:59:19Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кубенко, В.Д. Гавриленко, В.В. Тарлаковский, Д.В. 2012-11-12T18:28:16Z 2012-11-12T18:28:16Z 2011 Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы / В.Д. Кубенко, В.В. Гавриленко, Д.В. Тарлаковский // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38573 532.528 Нестаціонарне напруження раптово прикладене до поверхні пружної полоси при певних спеціальних граничних умовах на її бокових поверхнях. Необхідно побудувати розв'язок сформульованої нестаціонарної граничної задачі і визначити напружено-деформівний стан смуги. Розв'язок задачі реалізується за допомогою інтегрального перетворення Лапласа і розкладів в ряди Фур'є. Як результат отримано точні вирази для нормального напруження і переміщення. In the case where a nonstationary load is applied to the surface of an elastic strip, we solved the transient boundary-value problem under special boundary conditions and determined a stress-strain state of the strip and displacements with the help of the Laplace integral transformation and the Fourier expansion. Работа выполнена в рамках совместного украинско-российcкого проекта “Нестационарная динамика оболочечных конструкций на деформируемом основании”. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы Action of a nonstationary load on the surface of an elastic strip Article published earlier |
| spellingShingle | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы Кубенко, В.Д. Гавриленко, В.В. Тарлаковский, Д.В. Механіка |
| title | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| title_alt | Action of a nonstationary load on the surface of an elastic strip |
| title_full | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| title_fullStr | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| title_full_unstemmed | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| title_short | Действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| title_sort | действие нестационарной нагрузки на поверхность упругой полосы |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38573 |
| work_keys_str_mv | AT kubenkovd deistvienestacionarnoinagruzkinapoverhnostʹuprugoipolosy AT gavrilenkovv deistvienestacionarnoinagruzkinapoverhnostʹuprugoipolosy AT tarlakovskiidv deistvienestacionarnoinagruzkinapoverhnostʹuprugoipolosy AT kubenkovd actionofanonstationaryloadonthesurfaceofanelasticstrip AT gavrilenkovv actionofanonstationaryloadonthesurfaceofanelasticstrip AT tarlakovskiidv actionofanonstationaryloadonthesurfaceofanelasticstrip |