Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения
The estimations of solutions of the linear non-autonomous systems of ordinary differential equations are offered when the matrix on the right part of the system is quasimonotone, and the terms of stability are got for systems of such a type.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3863 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения / С.В. Бабенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859736073866838016 |
|---|---|
| author | Бабенко, С.В. |
| author_facet | Бабенко, С.В. |
| citation_txt | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения / С.В. Бабенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The estimations of solutions of the linear non-autonomous systems of ordinary differential equations are offered when the matrix on the right part of the system is quasimonotone, and the terms of stability are got for systems of such a type.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:07:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2008
С.В. Бабенко
Об оценке решений линейных неавтономных систем
дифференциальных уравнений на основе принципа
сравнения
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The estimations of solutions of the linear non-autonomous systems of ordinary differential
equations are offered when the matrix on the right part of the system is quasimonotone, and
the terms of stability are got for systems of such a type.
В настоящей работе предложены оценки решений линейных неавтономных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений в предположении о квазимонотонности матрицы
правой части системы. Эти оценки дают возможность в некоторых случаях исследовать
устойчивость системы. Предложенный подход является развитием идей работы [1].
Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений
dx(t)
dt
= A(t)x(t), x(t0) = x0, (1)
где x ∈ R
n, A(t) ∈ C([t0; +∞); Rn×n).
Определение [2]. Матрица A(t) обладает свойством квазимонотонности, если и только
если при всех t ∈ [t0,∞) и i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j выполняется неравенство aij(t) > 0.
Отметим, что условие квазимонотонности матрицы A(t) гарантирует положительность
матрицанта Ω(t, t0) системы (1) при всех t > t0 (cм. [3]). Из определения квазимонотон-
ности непосредственно следует, что существует неотрицательная интегрируемая функция
γ(t) такая, что матрица A(t) + γ(t)I положительна. Обозначим A(t) произвольную матри-
цу, мажорирующую матрицу A(t) + γ(t)I, т. е. A(t) > A(t) + γ(t)I. Матрицант линейной
системы дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x, x(t0) = x0
обозначим через Ω(t, t0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 43
Справедливо следующее утверждение.
Лемма. Пусть матрица A(t) системы (1) обладает свойством квазимонотонности,
тогда
0 6 Ω(t, t0) 6 e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
Ω(t, t0), t > t0. (2)
Доказательство. Разобьем промежуток [t0, t] на m равных частей точками τk, t0 = τ0 <
< τ1 < . . . < τm = t, обозначим длину каждого из полученных отрезков через h: τk − τk−1 =
= h = (t−t0)/m, k = 1, . . . ,m. Рассмотрим функции B(t) и γ∗(t), определенные равенствами
B(s) = A(τk), γ∗(s) = γ(τk) для всех s ∈ (τk−1, τk]. Используя свойство матрицанта системы
(1), приходим к равенству
Ω(t, t0) = Ω(t, τm−1)Ω(τm−1, τm−2) · · ·Ω(τ2, τ1) · · ·Ω(τ1, t0).
Матрицант Ω1(t, t0) системы
dx(t)
dt
= B(t)x(t), x(t0) = x0 (3)
имеет вид
Ω1(t, t0) = Ω1(t, τm−1)Ω1(τm−1, τm−2) · · ·Ω1(τ1, t0) = eA(t)heA(τm−1)h · · · eA(τ1)h. (4)
Вследствие выбора функции γ(t) получим равенство
Ω1(t, t0) = e(A(t)+γ(t)I)h−γ(t)hI e(A(τm−1)+γ(τm−1)I)h−γ(τm−1)hI · · · e(A(τ1)+γ(τ1)I)h−γ(τ1)hI =
= e(A(τm)+γ(τm)I)h · · · e(A(τ1)+γ(τ1)I)he
−
m
∑
k=1
γ(τk)h
= Ω2(t, t0)e
−
m
∑
k=1
γ(τk)h
,
где Ω2(t, t0) — матрицант системы
dx(t)
dt
= (B(t) + γ∗(t)I)x(t). (5)
Ошибка приближения Ω(t, t0) ≈ Ω3(t, t0)e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
, где Ω3(t, t0) — матрицант системы
dx(t)/dt = (A(t) + γ(t)I)x(t), есть бесконечно малой величиной при h → 0.
Действительно, согласно [4], Ω(t, t0) = Ω1(t, t0)+o(1) и, аналогично, Ω2(t, t0) = Ω3(t, t0)+
+ o(1), поэтому
Ω(t, t0) = Ω1(t, t0) + o(1) = Ω2(t, t0)e
−
m
∑
k=1
γ(τk)h
+ o(1) = (Ω3(t, t0) + o(1))e
−
t
∫
t0
γ(s)ds+o(1)
+
+ o(1) = (Ω3(t, t0) + o(1))e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
(1 + o(1)) + o(1) = Ω3(t, t0)e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
+ o(1),
т. е. Ω(t, t0) = Ω3(t, t0)e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
+ o(1). Переходя в последнем равенстве к пределу, когда
h → 0, получим равенство Ω(t, t0) = Ω3(t, t0)e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Поскольку матрицы A(t) + γ(t)I и A(t) — неотрицательные и A(t) + γ(t)I 6 A(t), то
Ω(t, t0) 6 e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
Ω(t, t0). Лемма доказана.
На основе установленной леммы можно доказать следующий результат.
Теорема 1. Пусть в системе (1) матрица A(t) обладает свойством квазимонотонно-
сти и существует мажорирующая матрица A(t) > A(t) + γ(t)I такая, что
1) существует постоянная матрица c = c(t0) > 0 такова, что при всех t > t0 выпол-
няется неравенство
e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
Ω(t, t0) < c(t0);
2) выполняется условие (1) и постоянную c(t0) можно выбрать независимо от t0 > 0;
3) выполняется условие (1) и
lim
t→∞
e
−
t
∫
t0
γ(s)ds
Ω(t, t0) = 0.
Тогда решение x = 0 системы (1)
1) устойчиво по Ляпунову;
2) равномерно устойчиво по Ляпунову;
3) асимптотически устойчиво.
П р и м е р 1 . Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
dx1
dt
= −α| sin t|x1 + β(1 + cos t)x2,
dx2
dt
= β(1 + cos t)x1 − α| cos t|x2,
(6)
где α, β — положительные параметры.
Выберем γ(t) = α(| sin t| + | cos t|), тогда
A(t) + γ(t)I =
(
α| cos t| β(1 + cos t)
β(1 + cos t) α| sin t|
)
6
(
α 2β
2β α
)
= A.
Собственные значения матрицы A равны: λ1,2 = α ± 2β и
2π
∫
0
γ(s)ds = 8α, тогда Ω(2π, 0) 6
6 e−8αeA2π и, как следствие,
‖Ωk(2π, 0)‖ 6 e−8kα‖eA2πk‖ 6 Nεe
−8αke2πk(α+2β+ε) = Nεe
2k(π−4)α+4kβπ+2kπε,
где ε — сколь угодно малое положительное число, Nε > 0. При 2(π − 4)α + 4βπ < 0 и достаточно
малом ε > 0 выполняется неравенство 2(π−4)α+4βπ+2πε < 0 и для любого t ∈ R+ будет Ω(t, 0) =
= Ω(t, 2πk)Ωk(2π, 0), где k = [
t
/
(2π)], тогда ‖Ω(t, 0)‖ 6 c‖Ωk(2π, 0)‖ 6 cNεe
k(2(π−4)α+4βπ+2πε) → 0,
c > 0 при t → ∞.
Таким образом, неравенство 2βπ < (4 − π)α гарантирует асимптотическую устойчивость реше-
ния x1 = x2 = 0 системы (6).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 45
Рассмотрим более подробно случай системы с периодическими коэффициентами, т. е. су-
ществует постоянная T > 0 такая, что при всех t ∈ R справедливо равенство A(t+T ) = A(t).
Определим множества
M0 = {t ∈ [t0, t0 + T ]|aii(t) > 0, i = 1, 2, . . . , n},
Mk =
{
t ∈ [t0; t0 + T ] \ M0| min
i=1,2,...,n
aii(t) = akk(t)
}
(k = 1, 2, . . . , n).
Предположим, что множества Mk представимы в виде Mk =
mk
∐
i=1
(αk
i , β
k
i ], (k = 0, 1, 2, . . . , n).
Положим γ(s) = 0, когда s ∈ M0 и γ(s) = −akk(s) при s ∈ Mk (k = 1, 2, . . . , n). Обозначим
Aik(t) = A(t)+γ(t)I и Aik = [aik
pq]
n
p,q=1, в которой aik
pq = sup
s∈(αk
i ,βk
i ]
aik
pq(s), где aik
pq(s) — элементы
матрицы Aik(s), а Ωik — матрицант системы
dx(t)
dt
= Aikx(t).
Теорема 2. Пусть линейная система (1) с периодическими коэффициентами такая,
что матрица A(t) — квазимонотонная.
Тогда матрицант Ω(t0 + T, t0) системы (1) на периоде T допускает оценку
Ω(t0 + T, t0) 6 e
−
t0+T
∫
t0
γ(s)ds
∏
i,k
Ωik,
где множители Ωik расположены в том же порядке, что и соответствующие проме-
жутки (αk
i , β
k
i ] на сегменте [t0; t0 + T ].
Доказательство. Воспользовавшись леммой, получим:
Ω(βk
i , αk
i ) 6 e
−
βk
i
∫
αk
i
γ(s)ds
Ωik, (7)
где Ωik — матрицант системы (7) на выделенном промежутке. Проделаем на каждом из про-
межутков (αk
i , βk
i ] то же самое и перемножим полученные неравенства так, чтобы для ка-
ждых двух соседних множителей левой части Ω(u1, v1) и Ω(u2, v2) было: u1 = v2. Теперь, сле-
дуя групповому свойству матрицанта, легко увидеть, что Ω(t0 + T, t0) 6 e
−
t0+T
∫
t0
γ(s)ds
∏
i,k
Ωik,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если спектральный радиус матрицы
∏
i,k
Ωik меньше значения exp
t0+T
∫
t0
γ(s)ds,
то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Обозначим Φ = Ω(t0 + T, t0), Ψ = e
−
t0+T
∫
t0
γ(s)ds
∏
i,k
Ωik. Поскольку
выполняется неравенство 0 6 Φ 6 Ψ, то 0 6 Φk
6 Ψk и, вследствие условия, Ψk → 0
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
при k → ∞, поэтому Φk → 0 при k → ∞. Отсюда следует, что спектральный радиус ма-
трицы монодромии Ω(t0 + T, t0) меньше единицы, поэтому [5] система (1) асимптотически
устойчива.
П р и м е р 2 . Рассмотрим пример 1 на основе теоремы 2.
Ясно, что M0 = ∅, M1 =
(
π
4
,
3π
4
]
⋃
(
5π
4
,
7π
4
]
, M2 =
(
0,
π
4
]
⋃
(
3π
4
,
5π
4
]
⋃
(
7π
4
, 2π
]
.
Для всех t ∈ M1 будет γ(t) = α| sin t|, а для всех t ∈ M2 получим γ(t) = α| cos t|. Далее:
A1 =
(
0 β(1 + cos t)
β(1 + cos t) α(| sin t| − | cos t|)
)
6
(
0 2β
2β α
)
= A1,
A2 =
(
0 β(1 + cos t)
β(1 + cos t) α(| cos t| − | sin t|)
)
6
(
α 2β
2β 0
)
= A2.
По теореме 2 выполняется неравенство
Ω
(
9π
4
,
π
4
)
6 e
−
2π
∫
0
γ(s)ds
Ω1
(
3π
4
,
π
4
)
Ω2
(
5π
4
,
3π
4
)
Ω1
(
7π
4
,
5π
4
)
Ω2
(
9π
4
,
7π
4
)
=
= e
−
2π
∫
0
γ(s)ds
eA1π/2eA2π/2eA1π/2eA2π/2 = G.
Согласно следствию 1, система (6) будет асимптотически устойчивой, если выполняется неравенство
−1 + | trG| < detG < 1 (см. [5]).
Обозначим Γ = eA1π/2eA2π/2, тогда G = e−4
√
2αΓ2, det Γ = eπα, detG = e2(π−4
√
2)α и
tr Γ =
2eπα/2
(
α2 + 16β2 ch
π
√
α2 + 16β2
2
)
α2 + 16β2
.
Учитывая равенство tr Γ2 = (tr Γ)2−2 det Γ и следствие 1, заключаем, что система (6) будет
асимптотически устойчивой, если выполняется неравенство
α2 + 16β2 ch
π
√
α2 + 16β2
2
α2 + 16β2
< ch
(
π
2
− 2
√
2
)
α.
Замечание. В некоторых случаях метод сравнения на основе концепции векторной функ-
ции Ляпунова позволяет избавиться от условия квазимонотонности матрицы A(t) в систе-
ме (1).
Действительно, рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
dx
dt
= A(t)x(t), x(t0) = x0, (8)
где x ∈ R
n, A(t) ∈ C([t0,∞); Rn×n), и вектор-функцию Ляпунова [6]
V (x) = (v1(x), v2(x), . . . , vn(x))T = (|x1|, |x2|, . . . , |xn|)T .
Найдем производные от ее компонент в силу системы (9)
dvi
dt
∣
∣
∣
∣
(9)
= sign(xi)
dxi
dt
= sign(xi)(ai1(t)x1 + ai2(t)x2 + · · · + ain(t)xn) =
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 47
= ai1(t)x1 sign(xi) + · · · + aii(t)xi sign(xi) + · · · + ain(t)xn sign(xi) =
= ai1(t)x1 sign(xi) + · · · + aii(t)vi + · · · + ain(t)xn sign(xi) 6
6 |ai1(t)|v1 + · · · + |ai,i−1(t)|vi−1 + aii(t)vi + |ai,i+1(t)|vi+1 + · · · + |ain(t)|vn.
В итоге получим дифференциальное неравенство dV /dt 6 P (t)V , где матрица P (t) =
= [pij ]
n
i,j=1 уже обладает свойством квазимонотонности, поскольку pij(t) = |aij(t)| > 0
(i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j). Если нулевое решение системы сравнения
du
dt
= P (t)u, u(t0) = u0
устойчиво, то, согласно принципу сравнения, линейная система дифференциальных урав-
нений (9) будет устойчивой по Ляпунову.
Автор благодарит канд. физ.-мат. наук В.И. Слынько за постановку задачи и постоянную
поддержку в работе.
1. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса //
Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 42–48.
2. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения. – Киев:
Наук. думка, 1991. – 248 с.
3. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы. – Москва: Наука,
1985. – 256 с.
4. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. – Москва: Наука, 1970. – 536 с.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 472 с.
6. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных и сингулярных возмущениях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 307 с.
Поступило в редакцию 23.05.2007Черкасcкий национальный университет
им. Богдана Хмельницкого
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3863 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:07:02Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, С.В. 2009-07-10T13:06:25Z 2009-07-10T13:06:25Z 2008 Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения / С.В. Бабенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3863 539.3 The estimations of solutions of the linear non-autonomous systems of ordinary differential equations are offered when the matrix on the right part of the system is quasimonotone, and the terms of stability are got for systems of such a type. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения Article published earlier |
| spellingShingle | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения Бабенко, С.В. Механіка |
| title | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| title_full | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| title_fullStr | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| title_full_unstemmed | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| title_short | Об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| title_sort | об оценке решений линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений на основе принципа сравнения |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3863 |
| work_keys_str_mv | AT babenkosv obocenkerešeniilineinyhneavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravneniinaosnoveprincipasravneniâ |