Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області
Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її розв'язок для γ≤^4√n. We consider the well-known Dubinin hypothesis on nonoverlapping domains in the complex plane and give a solution of this problem for γ≤^4√n....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38699 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 11-14. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860062796158337024 |
|---|---|
| author | Заболотний, Я.В. |
| author_facet | Заболотний, Я.В. |
| citation_txt | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 11-14. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її розв'язок для γ≤^4√n.
We consider the well-known Dubinin hypothesis on nonoverlapping domains in the complex plane and give a solution of this problem for γ≤^4√n.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:05:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Я.В. Заболотний
Застосування роздiляючого перетворення в однiй задачi
про неперетиннi областi
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Розглянуто вiдому гiпотезу В.М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй
площинi i знайдено її розв’язок для γ 6
4
√
n.
Одним з класичних напрямкiв розвитку геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної
є розв’язання екстремальних задач на класах областей, що не перетинаються. Першим важ-
ливим результатом даної тематики була теорема Лаврентьєва [1]. Значний внесок у розвиток
цього напрямку було зроблено багатьма дослiдниками (див., наприклад, [1–13]).
Нехай N, C — множини натуральних i комплексних чисел вiдповiдно, C = C
⋃{∞} —
розширена комплексна площина або сфера Рiмана.
Зокрема, в роботi [7] було сформульовано таку екстремальну задачу:
Задача 1. Довести, що максимум функцiонала
Iγ = rγ(B0, a0) ·
n
∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, k =
= 1, n, r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n i γ 6 n
(див., наприклад, [2–12]), досягається для деякої конфiгурацiї областей, якi мають n-кратну
симетрiю.
У данiй роботi доведено такий результат:
Теорема 1. Для довiльного натурального n > 8 i 0 6 γ 6 4
√
n виконується нерiвнiсть
rγ(B0, a0) ·
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D0, a
0
0) ·
n
∏
k=1
r(Dk, a
0
k),
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, a1 = 1,
k = 1, n, r(Bj, aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n, причому
знак рiвностi досягається, зокрема, за умов ak = a0k, Bk = Dk, k = 0, n, де a0k, Dk —
вiдповiдно полюси i круговi областi квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доведення. Для γ = 1 задача була повнiстю розв’язана в роботi [7] для ∀n > 2.
З методу цiєї роботи також випливає, що цей результат правильний i для 0 < γ < 1. Тому
нам достатньо довести, що даний результат справджується при 0 6 γ 6
4
√
n.
Зауважимо, що першi результати для γ > 1 було отримано в роботi [12].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 11
Встановимо спочатку, що дане твердження правильне для γ = 4
√
n. Метод доведення
спирається на застосування, аналогiчнi таким для теореми 5.2.3 роботи [9], методу роздiля-
ючого перетворення областей, який детально розроблений в роботi [7].
Згiдно з умовою задачi, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n. Припустимо, для конкретностi, що
0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg an < 2π.
Далi, означимо числа αk таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π
(arg a3 − arg a2), . . . , αn :=
1
π
(2π − arg an).
Нехай Pk := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, k = 1, n, arg an+1 = 2π, P0 := Pn, Pn+1 := P1,
α1 + α2 + · · · + αn = 2.
При кожному k = 1, n позначимо через zk(w) ту вiтку багатозначної аналiтичної функ-
цiї z = −i(e−i arg akw)1/αk , z0 := zn, zn+1 := z1, яка конформно i однолисто вiдображає
областi Pk, k = 1, n, на праву пiвплощину Re z > 0.
Тодi для областей Bk, k = 1, n, таких, як i в задачi 1, позначимо через D
(1)
k об’єднання
зв’язної компоненти множини zk(Bk
⋂
Pk), що мiстить точку zk(ak) з її вiдображенням вiд-
носно уявної осi, а через D
(1)
k — об’єднання зв’язної компоненти множини zk−1(Bk
⋂
Pk−1),
що мiстить точку zk−1(ak) з її вiдображенням вiдносно уявної осi, D
(2)
0 := D
(2)
2 . Сiмейство
двох симетричних вiдносно уявної осi областей {D(1)
k ;D
(2)
k−1} будемо називати результатом
роздiляючого перетворення областi Bk. Для утворених областей, згiдно з теоремою 3 ро-
боти [8], правильною є нерiвнiсть
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6
n
∏
k=1
αk(r(D
(i)
k+1, i)r(D
(2)
k ,−i))1/2.
Аналогiчно виконавши роздiляюче перетворення областi B0, отримаємо нерiвнiсть
r(B0, 0) 6
n
∏
k=1
(r(D
(k)
0 ; 0)α
2
k/2.
Далi, як i в згаданiй вище теоремi 5.2.3 [9], за допомогою роздiляючого перетворення
отримаємо рiвнiсть
J0
n(γ) = rγ(D0, 0)
n
∏
k=1
r(Dk, dk) =
(
4
n
)n
(
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
, (2)
де Dk — вищевказанi круговi областi квадратичного диференцiала (1). Зауважимо також,
що в роботi [13] було повнiстю розв’язано задачу Дубинiна при умовi, що n > 5 i αk
√
γ 6 2.
Тому нам залишається лише довести її правильнiсть при умовi α0
√
γ > 2, де α0 = max
k
αk.
Знову ж таки, за теоремою 5.2.3 [9], при умовi α0
√
γ > 2 маємо нерiвнiсть
rγ(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak)6
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1]1−γ/n
= [2nα0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Оцiнимо тепер величину
Pn(γ) =
rγ(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak)
rγ(D0, 0)
n
∏
k=1
r(Dk, dk)
6
6
[2 · 2n−1α0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n
(
4
n
)n−1−γ(1−1/n)( 4
n
)γ+1−γ/n(4γ
n2
)γ/n(
1− γ
n2
)
−n−γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
6
6
[
n
4
]γ+1−γ/n[
1− 1√
γ
]n−1−γ(n−1)/n(n2
4γ
)γ/n(
1− γ
n2
)n+γ/n
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
2
√
γ
×
×
(
4√
γ
)1−γ/n( n
n− 1
)n−1−γ(n−1)/n
.
Звiдси маємо
Pn(
4
√
n) 6
[
n
4
] 4
√
n+1−n−3/4[
1− 1
8
√
n
]n−1− n−1
n3/4
(
n7/4
4
) 1
n3/4
(
1− 1
n7/4
)n+ 1
n3/4
×
×
1 +
1
n7/8
1− 1
n7/8
2n1/8
(
n
4
)
−
1
n3/4
(
4
n1/8
)1− 1
n3/4
(
n
n− 1
)n−1− n−1
n3/4
.
Оцiнивши кожну з величин, що входять в останнiй добуток, отримаємо, що P ( 4
√
n) <
< 0,6 < 1, тобто при γ = 4
√
n i α0
√
γ > 2 виконується нерiвнiсть
Jn(γ) = rγ(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D0, 0)
n
∏
k=1
r(Dk, dk) = J0
n(γ)
для довiльної конфiгурацiї областей B0, B1, B2, . . . , Bn. Звiдси випливає, що екстремальною
є конфiгурацiя, записана в умовi теореми. Для γ = 4
√
n теорема доведена.
Нехай тепер γ ∈ (1; 4
√
n]. Врахувавши, що Jn(γ) 6 [2·2n−1α0(2−α0)
n−1(n−1)−(n−1)]1−γ/n,
а функцiя [2 · 2n−1α0(2−α0)
n−1(n− 1)−(n−1)]1−γ/n при фiксованому n i α0 =
2√
γ
монотонно
зростає за γ на промiжку (1; 4
√
n], отримаємо, що Jn(γ) 6 Jn(
4
√
n). Аналогiчно, використав-
ши рiвнiсть (2) i монотонне спадання функцiї
(
4
n
)n (4γ/n2)γ/n
(1− γ/n2)n+γ/n
(
1−√
γ/n
1 +
√
γ/n
)2
√
γ
за γ
при фiксованому n на тому ж промiжку, отримаємо, що J0
n(γ) > J0
n(
4
√
n). А звiдси маємо
Qn(γ) =
Jn(γ)
J0
n(γ)
<
Jn( 4
√
n)
J0
n(
4
√
n)
= Qn(
4
√
n) < 1,
тобто Jn(γ) < J0
n(γ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 13
Теорему доведено повнiстю.
Автор висловлює подяку О.К. Бахтiну за постановку задачi, а також за цiннi поради та
зауваження щодо написання цiєї роботи.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
4. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
5. Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие области // Вестн. Ле-
нингр. ун-та. – 1955. – 5. – С. 37–43.
6. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
7. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
8. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
9. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
10. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Доп. НАН Украины. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
11. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
12. Подвысоцкий Р. В. Об одном неравенстве для внутренних радиусов неналегающих областей // Доп.
НАН України. – 2009. – № 12. – С. 33–37.
13. Ковалев Л. В. О внутренних радиусах симметрических неналегающих областей // Изв. высш. учеб.
заведений. Математика. – 2000. – № 6. – С. 80–81.
Надiйшло до редакцiї 20.01.2011Iнститут математики НАН України, Київ
Ja. V. Zabolotnij
Some application of the method of separating transformation in one
problem on nonoverlapping domains
We consider the well-known Dubinin hypothesis on nonoverlapping domains in the complex plane
and give a solution of this problem for γ 6
4
√
n.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38699 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:05:16Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заболотний, Я.В. 2012-11-19T16:20:02Z 2012-11-19T16:20:02Z 2011 Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 11-14. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38699 517.5 Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її розв'язок для γ≤^4√n. We consider the well-known Dubinin hypothesis on nonoverlapping domains in the complex plane and give a solution of this problem for γ≤^4√n. Автор висловлює подяку О.К. Бахтiну за постановку задачi, а також за цiннi поради та зауваження щодо написання цiєї роботи. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області Some application of the method of separating transformation in one problem on nonoverlapping domains Article published earlier |
| spellingShingle | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області Заболотний, Я.В. Математика |
| title | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| title_alt | Some application of the method of separating transformation in one problem on nonoverlapping domains |
| title_full | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| title_fullStr | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| title_full_unstemmed | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| title_short | Застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| title_sort | застосування розділяючого перетворення в одній задачі про неперетинні області |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38699 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotniiâv zastosuvannârozdílâûčogoperetvorennâvodníizadačíproneperetinníoblastí AT zabolotniiâv someapplicationofthemethodofseparatingtransformationinoneproblemonnonoverlappingdomains |