Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання
A solution of the Cauchy problem and phase portraits based on Maple-software procedures for a system of non-linear differential equations of the 12-th order describing the free magnetic dipole dynamics in the field of an immobile elongated spheroidal permanent magnet are derived.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3871 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання / В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859863209179086848 |
|---|---|
| author | Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. |
| author_facet | Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. |
| citation_txt | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання / В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | A solution of the Cauchy problem and phase portraits based on Maple-software procedures for a system of non-linear differential equations of the 12-th order describing the free magnetic dipole dynamics in the field of an immobile elongated spheroidal permanent magnet are derived.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:46:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.396.218:531.37:538.31
© 2007
В.В. Козорiз, О. В. Козорiз, член-кореспондент НАН України
С. I. Ляшко
Динамiчна магнiтна система сфероїд — вiльний диполь
та її Maple-моделювання
A solution of the Cauchy problem and phase portraits based on Maple-software procedures for a
system of non-linear differential equations of the 12-th order describing the free magnetic dipole
dynamics in the field of an immobile elongated spheroidal permanent magnet are derived.
За вiдсутностi макроскопiчних струмiв рiвняння магнiтного поля еквiвалентнi рiвнянню
Пуассона в областi намагнiченого середовища та рiвнянню Лапласа в областi вакууму. На
границi магнiт — вакуум виконуються умови неперервностi скалярного магнiтного потен-
цiалу f та нормальної компоненти вектора магнiтної iндукцiї
−→
B .
Принциповi труднощi знаходження f пов’язанi з геометричною формою намагнiченого
тiла. Вiдомi аналiтичнi методи пристосованi для випадкiв, коли границя магнiт — вакуум
є координатною поверхнею системи координат, що допускають роздiлення змiнних для рiв-
няння Лапласа, записаного в цих координатах. Такi системи координат описанi, зокрема,
в [1]. До них належать координати витягнутого та сплюснутого елiпсоїдiв обертання (сферо-
їдiв) σ, τ , ϕ [2]. В цих координатах зовнiшня поверхня магнiту у формi сфероїда описується
рiвнянням σ0 = const. У випадку паралельностi вектора намагнiченостi
−→
J = const осi сфе-
роїда розв’язок не залежить вiд ϕ. Параметром σ0 варiюється форма магнiту. Зокрема,
значення σ0, близьке до одиницi, вiдповiдає довгому магнiту, а значення σ0, близьке до
нуля, вiдповiдає диску.
Скалярний потенцiал f витягнутого магнiту сфероїдальної форми, намагнiченого одно-
рiдно в напрямку великої осi, в областях вакууму (iндекс 1) i магнiту (iндекс 2) може бути
представлений виразами [3, (6.21)–(6.22)]:
f1 =
aJ
µ0
(σ2
0 − 1)σ0(σ Arccth σ − 1)τ, (1)
f2 =
aJ
µ0
(σ2
0 − 1)σ(σ0 Arccth σ0 − 1)τ, (2)
де a — лiнiйний параметр координат витягнутого елiпсоїда обертання; µ0 — магнiтна про-
никнiсть вакууму. Вони задовольняють рiвняння магнiтостатики та умови неперервностi
потенцiалу i нормальної компоненти градiєнта потенцiалу на границi магнiт — вакуум.
З використанням зв’язкiв мiж безрозмiрними декартовими координатами x1, x2, x3 та
координатами σ, τ , ϕ (див., наприклад, [2, табл. 6.5–3])
x2
1 = (σ2 − 1)(1 − τ2) cos2 ϕ,
x2
2 = (σ2 − 1)(1 − τ2) sin2 ϕ,
x2
3 = στ
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 43
можна отримати компоненти вектора
−→
B на нерухомi декартовi осi (постiйний додатний
множник опущено):
B1 =
∂f1
∂x1
=
x3
σ2(1 − σ2)
∂σ
∂x1
, B2 =
∂f1
∂x2
=
x3
σ2(1 − σ2)
∂σ
∂x2
,
B3 =
∂f1
∂x3
= Arccth σ −
1
σ
+
x3
σ2(1 − σ2)
∂σ
∂x3
,
(4)
де для σ з (3) матимемо
σ =
√
2
2
√
f1 +
√
f2
1
− 4x2
3
, f1 = 1 + x2
1 + x2
2 + x2
3. (5)
Якщо орiєнтацiю вiльного магнiтного диполя −→m описати кутами Ейлера–Крилова x4, x5, x6
i використати вiдомi формули направляючих косинусiв (див., наприклад, [4, (7.12.1)]), його
компонентами вiдносно нерухомих декартових осей будуть (постiйний множник опущено):
m1 = sin x5,
m2 = − sin x4 cos x5,
m3 = − cos x4 cos x5.
(6)
Потенцiальною енергiєю U динамiчної системи елiпсоїд — вiльний диполь є скалярний
добуток
−→
B ·
−→m. Тому, опускаючи постiйний множник, матимемо:
U =
{
sin x5
∂σ
∂x1
− sin x4 cos x5
∂σ
∂x2
}
·
x3
σ2(1 − σ2)
+
+
[
∂σ
∂x3
x3
σ2(1 − σ2)
+ Arccth σ −
1
σ2
]
cos x4 cos x5. (7)
Нехай динамiчними змiнними i характерною енергiєю будуть вiдповiдно безрозмiрнi па-
раметри xi, i = 1, 2, . . . , 6, i величина Ma2w2, де M — маса вiльного диполя; w — характерна
кругова частота. Тодi можна отримати такi вихiднi рiвняння динамiчної системи вiльний
диполь — нерухомий iдеальний постiйний магнiт у формi витягнутого елiпсоїда обертання:
d2x1
dt2
= −k1
∂U
∂x1
,
d2x2
dt2
= −k1
∂U
∂x2
,
d2x3
dt2
= −k1
∂U
∂x3
, (8)
n1 = cos x5 cos x6
dx1
dt
+ sin x6
dx5
dt
,
n2 = − cos x5 sin x6
dx1
dt
+ cos x6
dx5
dt
, (9)
n3 = sin x5
dx1
dt
+
dx6
dt
,
dn1
dt
= −k
∂u
∂x4
,
dn2
dt
= −k
∂u
∂x5
,
dn3
dt
= 0. (10)
Три рiвняння (8) є другим законом Ньютона для координат поступального руху, а па-
раметр k1 є вiдношенням характерної магнiтної енергiї до енергiї Ma2w2. Три рiвняння (9)
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
є кiнематичними рiвняннями Ейлера, записаними через кути Ейлера–Крилова, їх похiднi
за безрозмiрним часом t та проекцiї безрозмiрної кутової швидкостi вiльного диполя n1, n2,
n3 на зв’язанi з ним декартовi осi [4, (7.16.2)]. Три рiвняння (10) — це динамiчнi рiвняння
Ейлера, що зв’язують похiднi проекцiй вектора кутової швидкостi вiльного диполя за t та
проекцiї моментiв магнiтних сил на зв’язанi з ним осi (див., наприклад, [5, (36.4)]). Останнi
записанi в припущеннi, що вiльний диполь має три однаковi центральнi моменти iнерцiї.
Безрозмiрний коефiцiєнт k є вiдношенням центрального моменту iнерцiї диполя i величини
Ma2.
Отримана система нелiнiйних диференцiйних рiвнянь 12-го порядку (8)–(10) з врахува-
нням (5), (7) повнiстю визначає динамiчну поведiнку наданням числових значень двом без-
розмiрним параметрам k i k1 та вiдповiдними початковими умовами. Вона досить складна,
i для її аналiзу доцiльно використати сучаснi комп’ютернi методи, зокрема, систему комп’ю-
терної алгебри Maple [6], що дозволяє простим скриптом отримувати розв’язки складних
нелiнiйних диференцiйних рiвнянь, представляти їх та фазовi портрети графiчно. Нижче
наведений такий скрипт i отриманi деякi новi, на наш погляд, результати:
> restart:with(plots):
> f1:= 1 + x1ˆ2 + x2ˆ2+ x3ˆ2:
> f2:= (1/2)ˆ(1/2)*(f1 + (f1ˆ2 − 4*x3ˆ2)ˆ(1/2))ˆ(1/2):
> F1:= diff(f2, x1):
> F2:= diff(f2, x2):
> F3:= diff(f2, x3):
> u:= x3*sin(x5)*F1/(f2ˆ2*(1 − f2ˆ2)) − x3*sin(x4)*cos(x5)*F2/(f2ˆ2*(1 − f2ˆ2)) +
+ (arccoth(f2) − 1/f2 + x3*F3/(f2ˆ2*(1 − f2ˆ2)))*cos(x4)*cos(x5):
> u1:= − diff(u, x1):
> u2:= − diff(u, x2):
> u3:= − diff(u, x3):
> u4:= − diff(u, x4):
> u5:= − diff(u, x5):
> U1:= subs(x1 = X1(t), x2 = X2(t), x3 = X3(t), x4 = X4(t), x5 = X5(t), u1):
> U2:= subs(x1 = X1(t), x2 = X2(t), x3 = X3(t), x4 = X4(t), x5 = X5(t), u2):
> U3:= subs(x1 = X1(t), x2 = X2(t), x3 = X3(t), x4 = X4(t), x5 = X5(t), u3):
> U4:= subs(x1 = X1(t), x2 = X2(t), x3 = X3(t), x4 = X4(t), x5 = X5(t), u4):
> U5:= subs(x1 = X1(t), x2 = X2(t), x3 = X3(t), x4 = X4(t), x5 = X5(t), u5):
> e1:= diff(X1(t), t) = Y1(t):
> e2:= diff(Y1(t), t) = N*U1:
> e3:= diff(X2(t), t) = Y2(t):
> e4:= diff(Y2(t), t) = N*U2:
> e5:= diff(X3(t), t) = Y3(t):
> e6:= diff(Y3(t), t) = N*U3:
> e7:= cos(X5(t))*cos(X6(t))*diff(X4(t), t) + sin(X6(t))*diff(X5(t), t) = n1(t):
> e8:= — cos(X5(t))*sin(X6(t))*diff(X4(t), t) + cos(X6(t))*diff(X5(t), t) = n2(t):
> e9:= sin(X5(t))*diff(X4(t), t) + diff(X6(t), t) = n3(t):
> e10:= diff(n1(t), t) = N1*U4:
> e11:= diff(n2(t), t) = N1*U5:
> e12:= diff(n3(t), t) = 0:
> k:= 0: N:= − 1: N1:= − 1.5:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 45
Рис. 1. Розвиток збурення радiуса орбiти вiльного диполя
Рис. 2. Фазовий портрет кут крену — радiус орбiти
> s:= dsolve(e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, X1(0) = 1.5, X2(0) = 0,
X3(0) = 0.005, X4(0) = 0, X5(0) = 0, X6(0) = 0, Y1(0) = 0, Y2(0) = 0.413, Y3(0) = 0,
n1(0) = 0, n2(0) = 0, n3(0) = 0, type = numeric):
Початковi умови спочатку обранi так, щоб мати планетарну систему (вiльний диполь
обертається в екваторiальнiй площинi навколо нерухомого магнiту), але з невеликим почат-
ковим збуренням перпендикулярно площинi орбiти. Наведенi нижче команди дозволяють
отримати вiдповiдно графiки розвитку збурення радiуса орбiти вiльного диполя (рис. 1), фа-
зовий портрет кут крену — радiус орбiти (рис. 2), розвитку збурення кута крену (рис. 3, а)
та вертикального змiщення орбiти вiльного диполя (рис. 3, б ):
> odeplot(s, [t, (X1(t)ˆ2 + X2(t)ˆ2)ˆ(1/2)], 0..100, numpoints = 500, color = black);
> odeplot(s, [X4(t), (X1(t)ˆ2 + X2(t)ˆ2)ˆ(1/2), X3(t)], 0..100, numpoints = 500,
axes = BOX, color = black);
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 3. Розвиток збурення: а — кута крену; б — аплiкати вiльного диполя
Рис. 4. Поведiнка радiуса орбiти вiльного диполя без вертикального збурення
> odeplot(s, [t, X4(t)], 0..100, numpoints = 500, color = black);
> odeplot(s, [t, X3(t)], 0..100, numpoints = 500, color = black);
Якщо ж вертикальне збурення вiдсутнє (x3(0) = 0), характер динамiчної поведiнки
суттєво змiнюється. Зокрема, радiус орбiти перiодично змiнюється вiд свого початкового
значення 1,5 до 1,25 (рис. 4):
> s:= dsolve(e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, X1(0) = 1.5, X2(0) = 0, X3(0) = 0,
X4(0) = 0, X5(0) = 0, X6(0) = 0, Y1(0) = 0, Y2(0) = 0.413, Y3(0) = 0, n1(0) = 0,
n2(0) = 0, n3(0) = 0, type = numeric):
> odeplot(s, [t, (X1(t)ˆ2 + X2(t)ˆ2)ˆ(1/2)], 0..500, numpoints = 500, color= black);
Зауважимо, що динамiчна поведiнка вiльного тiла з магнiтною природою сил, що, на
вiдмiну вiд гравiтацiйних або електричних, не є центральними, набагато складнiша, оскiль-
ки навiть у такому простому випадку, який розглянуто, досить складна i мало вивчена.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 47
До вiдомих результатiв можна вiднести роботу [7], де методом функцiй Ляпунова отриманi
достатнi умови стiйкостi планетарної системи вiльний диполь — елiпсоїд, що уможливлює
iснування стiйких планетарних конфiгурацiй з магнiтною природою сил, що до цього ви-
ключалася (див., наприклад, [8]).
1. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1958. – Т. 2. –
886 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – Москва: Наука, 1977. – 832 с.
3. Козорез В. В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 140 с.
4. Парс Л.А. Аналитическая динамика. – Москва: Наука, 1971. – 636 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. – Изд. 3-е. – Москва: Наука, 1973. – 208 с.
6. www.maplesoft.com.
7. Козорез В. В. Об устойчивости орбитального движения свободного магнитного диполя в поле элли-
псоида // Докл. АН СССР. – 1977. – 232, № 5. – С. 1055–1057.
8. Гинзбург В.Л. Теория мезона и ядерные силы // Пробл. теор. физики (Памяти И.Е. Тамма). –
Москва: Наука, 1972. – С. 192–198.
Надiйшло до редакцiї 07.03.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3871 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:46:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. 2009-07-10T13:12:31Z 2009-07-10T13:12:31Z 2007 Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання / В.В. Козоріз, О.В. Козоріз, С.І. Ляшко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3871 621.396.218:531.37:538.31 A solution of the Cauchy problem and phase portraits based on Maple-software procedures for a system of non-linear differential equations of the 12-th order describing the free magnetic dipole dynamics in the field of an immobile elongated spheroidal permanent magnet are derived. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання Article published earlier |
| spellingShingle | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання Козоріз, В.В. Козоріз, О.В. Ляшко, С.І. Інформатика та кібернетика |
| title | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання |
| title_full | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання |
| title_fullStr | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання |
| title_full_unstemmed | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання |
| title_short | Динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її Maple-моделювання |
| title_sort | динамічна магнітна система сфероїд - вільний диполь та її maple-моделювання |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3871 |
| work_keys_str_mv | AT kozorízvv dinamíčnamagnítnasistemasferoídvílʹniidipolʹtaíímaplemodelûvannâ AT kozorízov dinamíčnamagnítnasistemasferoídvílʹniidipolʹtaíímaplemodelûvannâ AT lâškosí dinamíčnamagnítnasistemasferoídvílʹniidipolʹtaíímaplemodelûvannâ |