Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами
The plane problem on the edge effects in a matrix composite of regular structure reinforced by rectangular fibers is considered in the exact statement. Components of a composite are linearly elastic and isotropic bodies. The composite is loaded by the uniaxial uniform load. The criterion of estimat...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3873 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами / Н.В. Коханенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 56-58. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592356637966336 |
|---|---|
| author | Коханенко, Н.В. |
| author_facet | Коханенко, Н.В. |
| citation_txt | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами / Н.В. Коханенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 56-58. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The plane problem on the edge effects in a matrix composite of regular structure reinforced by rectangular fibers is considered in the exact statement. Components of a composite are linearly elastic and isotropic bodies. The composite is loaded by the uniaxial uniform load.
The criterion of estimate of the zones with edge effects is formulated. On a parameter of the composite structure, the problem of elasticity is formulated, and its solution is obtained by the variation-difference method.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:25:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
Н.В. Коханенко
Плоская задача о краевых эффектах в композите
периодической структуры, армированном
прямоугольными волокнами
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
The plane problem on the edge effects in a matrix composite of regular structure reinforced
by rectangular fibers is considered in the exact statement. Components of a composite are
linearly elastic and isotropic bodies. The composite is loaded by the uniaxial uniform load.
The criterion of estimate of the zones with edge effects is formulated. On a parameter of the
composite structure, the problem of elasticity is formulated, and its solution is obtained by the
variation-difference method.
Рассматривается матричный композит, находящийся в состоянии плоской деформации
и имеющий периодическую структуру в направлении осей 0xi, x(x1, x2) — точка на плоскос-
ти x3 = const. Композит армирован прямоугольными волокнами размером 2m1 · 2m2. Ком-
поненты композита — линейно упругие изотропные тела. Армирование композита осуще-
ствляется параллельно оси 0x2 (m2 > m1). Величина периода армирования в направлении
оси 0x2 выбирается такой, что в этом направлении взаимовлиянием армирующих элементов
можно пренебречь. Учитывая это, будем рассматривать композит, бесконечный в направ-
лении оси 0x2 и имеющий периодическую структуру в направлении оси 0x1. На бесконечно-
сти композит нагружен равномерной одноосной нагрузкой p22. Учитывая геометрическую
и силовую симметрии, приходим к расчетной схеме (рис. 1), где величина l2 выбирается
с учетом того, что краевые эффекты отсутствуют на линии {0 6 x1 6 l1 ∧x2 = l2}, соответ-
ствующей половине расстояния между соседними наполнителями. Для выбора величины l2
проводится вычислительный эксперимент.
Задача о краевых эффектах исследуется в точной постановке [1]. Для возможности ее
формулировки требуется выбрать математическую и механическую модели (в рассматри-
ваемом случае это уравнение линейной теории упругости и модель кусочно-однородной
среды), а также сформулировать критерий оценки зон краевых эффектов. Для оценки зон
краевых эффектов выбирается первый критерий [1], который для рассматриваемой задачи
формулируется следующим образом. Для напряжения σ
q
ij граница зоны краевого эффекта
определяется из соотношения
σ
q
ij = p22(δ2jδi2 + 0,01ρ), (1)
где σ
q
ij— возмущенное напряжение в q-й компоненте q = 1, 2; q = 1 соответствуют напол-
нителю; ρ — заданная в процентах величина отклонения возмущенного напряжения σij от
невозмущенного напряжения
0
σij = δ2jδi2p22.
Возмущенные напряжения σij определяются из задачи упругости, которая формулиру-
ется следующим образом. Отыскивается векторная функция u = (u1, u2), удовлетворяющая
следующим соотношениям:
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Рис. 1
уравнениям равновесия
∂σim
∂xi
= 0; (2)
граничным условиям
u1 = 0 ∧ σ12 = 0, x1 = 0 ∧ x2 6 l2,
σ12 = 0 ∧ u2 = 0, 0 6 x1 6 l1 ∧ x2 = 0,
σ1m = 0, x1 = l1 ∧ 0 6 x2 6 l2,
σ21 = 0 ∧ σ22 = p22, 0 6 x1 6 l1 ∧ x2 = l2;
(3)
условиям идеального контакта
[um] = 0 ∧ [σim] = 0, xi = mi ∧ 0 6 x3−i 6 m3−i. (4)
Закон Гука описывается соотношениями
σii = Aikεkk, σ12 = 2Gε12; εij =
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
;
Aii =
E(1 − ν)
(1 + v)(1 − 2v)
; Aij =
Ev
(1 + v)(1 − 2v)
, i 6= j.
(5)
Для приближенного решения задачи (1)–(5) применен сеточный подход. Из решения
задачи (2)–(5) определяются напряжения σij, после чего из (1) определяется, для заданного
значения ρ, геометрия зон и исследуются напряжения в пределах зон.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 57
Пример расчета. Рассматривается композит со следующими характеристиками: на-
полнитель (q = 1) E = 104; ν = 0,3; G = 40; матрица (q = 2) E = 27; v = 0,35; G = 10;
m1 = 0,2, m2 = 0,5, l1 = 0,4, l2 = 1; p22 = 1; ρ = 5.
Величины, имеющие размерность напряжения, вычисляются в ГПа, линейные размеры
нормированы величиной l2.
В результате расчетов установлено: вершиной зоны для всех напряжений является угло-
вая точка x(m1,m2). Для напряжения краевые эффекты имеют место во всем теле напол-
нителя и в левой верхней части матрицы (до значения l2 ≈ 0,75). Справа от наполнителя
краевой эффект наблюдается лишь в непосредственной окрестности вершины зоны. Ко-
эффициент концентрации. На границе зоны (середина расстояния между двумя соседни-
ми компонентами), что указывает на отсутствие взаимовлияния напряжения между ком-
понентами наполнителя. Для напряжения локальные эффекты также концентрируются,
в основном, в теле наполнителя. Коэффициент концентрации k11 = 0,9, а на границе зоны
maxσ11 = 0,0273, что также указывает на отсутствие взаимовлияния армирующих компо-
нент композита. Для напряжения σ12 коэффициент концентрации напряжения k12 = 0,301
и max σ12 = 0,0025 при x1 = l1 ∧ 0 6 x2 6 l2.
Из приведенного анализа результатов расчетов следует, что для рассмотренного вари-
анта расчетов взаимодействие армирующих компонент отсутствует.
1. Механика композитов: В 12 т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 1. Статика материалов / Под ред.
В.Т. Головчана. – Киев: Наук. думка, 1993. – 455 с.
Поступило в редакцию 06.06.2007НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
УДК 532.528
© 2008
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания
затупленного жесткого тела в поверхность упругого
слоя
Nonstationary indentation is studied for a blunted rigid body affecting the elastic layer. The
general formulation of the problem includes different boundary conditions on the free surface
and the contact region of the layer. A simplified nonmixed problem that is valid during early
times and can serve as a rateable one for the later period is solved exactly. The solution is
compared with the plane case.
Современное состояние исследований в области нестационарного контактного взаимодейст-
вия и контактной задачи теории упругости освещено, в частности, в работах [4, 6, 9]. В об-
щем случае современная задача удара тела об упругую среду или элемент конструкции
формулируется как нестационарная смешанная начально-краевая задача теории упругости
с неизвестной изменяющейся во времени границей, причем последняя определяется в ходе
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3873 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:25:34Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коханенко, Н.В. 2009-07-10T13:14:36Z 2009-07-10T13:14:36Z 2008 Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами / Н.В. Коханенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 56-58. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3873 539.3 The plane problem on the edge effects in a matrix composite of regular structure reinforced by rectangular fibers is considered in the exact statement. Components of a composite are linearly elastic and isotropic bodies. The composite is loaded by the uniaxial uniform load. The criterion of estimate of the zones with edge effects is formulated. On a parameter of the composite structure, the problem of elasticity is formulated, and its solution is obtained by the variation-difference method. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами Article published earlier |
| spellingShingle | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами Коханенко, Н.В. Механіка |
| title | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| title_full | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| title_fullStr | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| title_full_unstemmed | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| title_short | Плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| title_sort | плоская задача о краевых эффектах в композите периодической структуры, армированном прямоугольными волокнами |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3873 |
| work_keys_str_mv | AT kohanenkonv ploskaâzadačaokraevyhéffektahvkompoziteperiodičeskoistrukturyarmirovannomprâmougolʹnymivoloknami |