Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией
We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate
 parabolic equation in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general,
 Radon measures. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions for...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3874 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 7-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860115283017990144 |
|---|---|
| author | Дегтярев, С.П. |
| author_facet | Дегтярев, С.П. |
| citation_txt | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 7-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate
parabolic equation in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general,
Radon measures. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of local behavior of the array of the initial data and, in the same terms, we express the bilateral estimates exact with respect to order for the support size.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:36:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
© 2007
С.П. Дегтярев
Необходимые и достаточные условия
мгновенной компактификации носителя решения
и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши
для параболического уравнения с двойной
нелинейностью и абсорбцией
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate
parabolic equation in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general,
Radon measures. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions
for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of local behavior of the array of
the initial data and, in the same terms, we express the bilateral estimates exact with respect
to order for the support size.
Постановка задачи и основной результат. В области R
N × [0, T ], N — размерность
пространства R
N , T > 0, рассмотрим следующую задачу Коши:
∂
∂t
(|u|β−1u(x, t)) −∇(|∇u|p−2∇u) + |u|r−1u(x, t) = 0, x ∈ R
N , t > 0, (1)
|u|β−1u(x, 0) = |u0|
β−1u0(x), x ∈ R
N , (2)
где ∇ = (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xN ). Мы ограничиваемся рассмотрением случая медленной диффу-
зии и сильной абсорбции, что означает следующие ограничения на параметры задачи:
β > 0, p > 1 + β, r < β. (3)
Как известно (см., напр., [1–11]), при определенных условиях в задаче (1), (2) наблю-
дается явление мгновенной компактификации носителя решения, которое означает, что,
хотя носитель начальной функции может быть некомпактным и даже совпадать со всем
пространством R
N , у решения он становится компактным в любой сколь угодно малый мо-
мент времени t > 0 и в начальные моменты времени происходит уменьшение его размеров.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 7
Однако до настоящего времени не имеется точных условий мгновенной компактификации
в наиболее общих терминах поведения массы начальной функции. Изучению данного явле-
ния для задачи (1), (2) и получению точных по порядку оценок размеров носителя слабого
решения указанной задачи и посвящено настоящее сообщение.
Под слабым решением задачи (1), (2) на интервале времени [0, T ] мы понимаем измери-
мую функцию, обладающую следующими свойствами:
1) для любой функции ζ ∈ C∞
0 (RN ) отображение
t ∈ [0, T ] →
∫
RN
|u|β−1u(x, t)ζ(x)
непрерывно;
2)для любой финитной по x достаточно гладкой функции η(x, t) выполнено интеграль-
ное тождество
∫
RN
|u|β−1u(x, t)η dx +
N
∑
i=1
t
∫
0
∫
RN
|∇u|p−2uxiηxi dxdτ +
t
∫
0
∫
RN
|u|r−1uη dxdτ =
=
∫
RN
|u0|
β−1u0(x)η(x, 0) dx +
t
∫
0
∫
RN
|u|β−1u(x, τ)ητ (x, τ) dxdτ. (4)
Из работ [10, 11] следует, что задача (1), (2) при заданном соотношении параметров (3)
разрешима для начальных функций из L1,loc(R
N ) или для локально конечных радоновских
мер в качестве начальных данных, не слишком растущих на бесконечности. А именно,
пусть для R > 0
|||u0|||R,x0 ≡ sup
ρ>R
ρ−k/d
∫
Bρ(x0)
||u0|
β−1u0(x)| dx < ∞,
где и далее Bρ(x0) означает шар радиуса ρ с центром в x0,
d = p − 1 − β, k = N(p − 1 − β) + βp = Nd + βp, dr = p − 1 − r, (5)
а интеграл по Bρ(x0) от модуля начальной функции в случае, если эта функция представ-
ляет собой радоновскую меру, означает полную вариацию этой меры по шару Bρ(x0). Тогда
известно [10, 11], что на некотором интервале времени [0, T ] для решения задачи (1), (2)
справедлива оценка
|||u(x, t)|||R,x0 6 C|||u0|||R,x0 . (6)
Здесь и всюду далее через C, b, γ мы будем обозначать все абсолютные константы, либо
константы, зависящие только от заданных параметров N , p, r, β.
Более того, из результатов работ [10, 11] следует, что слабое решение задачи локально
ограничено при t > 0 и, кроме того, uxi ∈ Lp,loc(R
N × (0, T )). Это, в частности, означа-
ет, что интегральное тождество (4) справедливо для финитных по x пробных функций
η(x, t) ∈ Lp,loc((0, T ),W 1
p,loc(R
N )). Отметим также, что ниже при доказательстве оценки
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
снизу (20) размеров носителя решения мы считаем наше решение тем слабым решением,
которое является пределом решений с гладкими финитными начальными данными (как
и получается слабое решение в работах [10, 11]).
Мы, далее, фактически, запретим нашей начальной функции иметь существенный рост
на бесконечности и потребуем, чтобы была конечной следующая величина (как будет пока-
зано далее, это требование является необходимым для наличия явления мгновенной ком-
пактификации носителя):
|||u0|||R ≡ sup
x0∈RN
|||u0|||R,x0 < ∞. (7)
Заметим, что из (7) легко следует, что
|||u(x, t)|||R 6 C0|||u0|||R, t ∈ [0, T ]. (8)
Не останавливаясь подробно на истории изучаемого вопроса (отсылаем читателя по это-
му поводу к работе [1]), отметим, что начальные данные из Lp,loc, p > 1 (не имеющие, вообще
говоря, монотонной мажоранты, убывающей на бесконечности, как того требуют методы,
основанные на барьерной технике), были рассмотрены в работах [1–4], где изучаются также
и уравнения высокого порядка. Сформулируем кратко основную оценку размеров носителя
решения, полученную в работах [1, 2] в терминах нашей постановки (1), (2).
Пусть здесь и всюду ниже
D(t) = inf
ρ>0
{ρ : u(x, t) ≡ 0, |x| > ρ} — (9)
верхняя граница носителя решения u(x, t) задачи (1), (2). Пусть, далее, u0 ∈ Lq,loc(R
N ),
причем q > 1 при β = 1 (как в работе [1]) и q > 1 + β при β 6= 1 (как в работе [2]).
Определим функцию
fq(ρ) ≡ sup
|y|=ρ
∫
|x−y|<1
|u0(x)|qdx
и пусть fq(ρ) → 0 при ρ → ∞. (В работах [1, 2] вместо введенной функции fq использова-
лись некоторые технические мажоранты этой функции. Мы опускаем детали ради ясности
изложения.) Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление мгновенной компактификации
носителя, причем
D(t) 6 f−1
q
(
γt(qp+N(p−1−r))/(p(β−r))
)
(10)
с достаточно малым γ > 0, где в случае не строго монотонной fq(ρ)
f−1
q (s) ≡ inf{ρ : fq(ρ) < s}.
Сделаем несколько замечаний по поводу этого результата. Во-первых, само явление
мгновенной компактификации носителя и оценка (10) изучались в случае, когда степень
суммируемости функции u0(x) из (2) выше, чем β. Как отмечено авторами работ [1, 2],
вызывает интерес изучение общего случая, т. е. случая, когда начальная функция имеет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 9
только локально конечную массу или даже является мерой. В частности, в работе [1] был
поставлен вопрос о том, что происходит в случае, например, начальной функции
|u0|
β−1u0(x) =
∑
n∈RN
µnδ(x − n), (11)
где n = (n1, n2, . . . , nN ) — точка с целочисленными координатами, δ(x − n) — дельта-функ-
ция, сосредоточенная в точке n с массой µn,
∑
n
|µn| < ∞ (последнее требование, как мы
покажем, излишне достаточно, чтобы µn → 0, |n| → ∞).
Во-вторых, как это и было отмечено в работе [2], оценка (10), как известно, не является
точной для достаточно регулярных начальных данных. Например, если начальная функция
u0(x) непрерывна и монотонно убывает на бесконечности,
f∞(ρ) ≡ max
|y|=ρ
|u0(y)| → 0, ρ → ∞, (12)
то, как следует, например, из работ [5, 7, 9],
D(t) ∼ Cf−1
∞
(
γtβ/(β−r)
)
, (13)
что, как легко проверить, дает лучшую по порядку оценку носителя, чем оценка (10). С дру-
гой стороны, приведенные в [2] соображения позволили высказать гипотезу, что оценка (10)
является “предельно” точной для всего класса допустимых в [2] начальных функций, для
которых определена введенная выше функция fq(ρ).
В настоящей работе мы ставим, в частности, целью ответить на поставленные выше
вопросы. Во-первых, мы рассматриваем более общий класс начальных данных для урав-
нения (1), когда |u0|
β−1u0(x) ∈ L1,loc(R
N ) или является локально конечной радоновской
мерой (в частности, начальные данные вида (11) являются допустимыми начальными дан-
ными). Во-вторых, полученные нами оценки размеров носителя имеют такой вид, что дают
лучший порядок для лучших начальных данных и из них легко следуют указанные выше
оценки (10), (13). В-третьих, мы показываем, что приводимые нами оценки неулучшаемы
для начальных данных, не меняющих знак, что делает наши оценки для таких началь-
ных данных двусторонними. Более того, отдельно рассматривая случай начальных данных
вида (11) без ограничения на знак µn, мы покажем, что
D(t) ∼ Cf−1
0
(
γt(N(p−1−r)+βp)/(p(β−r))
)
, (14)
где
f−1
0 (s) = inf
{
ρ : |µn| < γt(N(p−1−r)+βp)/(p(β−r)), |n| > ρ
}
. (15)
Отсюда, в частности, следует “предельная” точность оценки (10) при q = β, когда начальные
данные ведут себя подобно (11). Отметим также и то, что, как оказалось, соотношение (14)
имеет место только лишь для данных вида (11): для начальных данных, которые являются
равномерно локально суммируемыми в R
N порядок размера носителя всегда меньше, чем
в (14).
В работе мы используем метод локальных интегральных оценок и оценок максимума
модуля решения через массу решения, развитый в работах [12–14]. Более того, сама идея
применения этого метода к изучаемой задаче подсказана автору А.Ф. Тедеевым.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Чтобы сформулировать основной результат, введем, кроме величин (5), важный для
нас показатель
κ =
p − 1 − r
p(β − r)
> 0, (16)
относительно которого следует отметить, что он аналогичен показателю, полученному в ра-
боте [15] при оценке размеров носителя решения в ситуации, в определенном смысле про-
тивоположной рассматриваемой нами, — когда r > p > 1 + β и первоначально компактный
носитель решения начинает расширяться.
Кроме того, определим функцию
ϕt(x0) =
1
ωN tNκ
∫
|x−x0|<tκ
|u0(x)|βdx ≡
∮
Btκ (x0)
|u0(x)|βdx, (17)
где ωN — объем единичного шара в R
N , а также функцию
ϕt(ρ) ≡ sup
|x0|=ρ
ϕt(x0). (18)
Теорема 1. Если начальная функция в (2) неотрицательна (неположительна), то ре-
шение задачи (1), (2) обладает свойством мгновенной компактификации носителя тогда
и только тогда, когда для начальной функции |u0|
β−1u0(x) (которая может быть радо-
новской мерой) выполнено условие (7) и
ϕt(ρ) → 0, ρ → ∞,
при каком-либо t > 0 (в этом случае, как легко проверить, сформулированное условие
выполнено при любом t > 0). При этом для любого ε > 0 существуют такие, зависящие
от u0(x), константы t0 = t0(ε), γ0, γ1 M1, что на интервале времени [0, t0] справедливы
следующие оценки сверху и снизу размеров носителя решения:
D(t) 6 (1 + ε)ϕ−1
t
(
γ0t
β/(β−r)
)
, (19)
D(t) > ϕ−1
M1t
(
γ1t
β/(β−r)
)
, (20)
где, при нестрого монотонной функции ϕt(ρ),
ϕ−1
t (s) ≡ inf
ρ
{ρ : ϕt(k) < s, k > ρ}. (21)
Если же начальная функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, произволь-
но меняет знак, то оценка (19) размера носителя сверху имеет место и в этом случае.
Замечание 1. Из оценки (19) ввиду определения функции ϕt легко следуют оценки (10)
и (13) применением неравенства Гельдера для получения (10) и теоремы о среднем для
получения (13).
Замечание 2. В соответствии с формулировкой теоремы 1 мы будем в леммах 1–4 счи-
тать начальные данные, а следовательно, и решение неотрицательными, не оговаривая это
каждый раз отдельно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 11
Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы 1 и оценок (19), (20) состоит
из трех главных этапов. На первом этапе мы получаем условие обращения решения в ноль
в энергетических терминах, а именно справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть 0 < R1 < R2, R2 = Rtκ, R1 = (1 − σ)R2, BRi = BRi(x0) = {x : |x −
− x0 < Ri|}, x0 ∈ R
N . Тогда существует константа γ2 = γ2(R,σ) такая, что если
Y (t/2, R2) ≡ sup
t/2<τ<t
∫
BR2
u1+β(x, τ) dx +
t
∫
t/2
∫
BR2
|∇u|p dxdτ +
+
t
∫
t/2
∫
BR2
u1+r dxdτ 6 γ2t
(Ndr+p(1+β)/(p(β−r)),
то u(x, t) ≡ 0 на множестве BR1(x0) × [3t/4, t].
На втором этапе аналогично [12] получается оценка энергии решения, фигурировавшей
в лемме 1, через массу решения и условия обращения решения в ноль выражаются в тер-
минах массы, что сформулировано в следующих двух леммах.
Лемма 2. Пусть 0 < r1 < r2, 0 < t2 < t1 < t, Bri — шары с центром в x0 радиуса ri.
Тогда для решения u(x, τ) задачи (1), (2) справедлива оценка
Y (t1, r1) ≡ sup
t1<τ<t
∫
Br1
u1+β(x, τ) dx +
t
∫
t1
∫
Br1
|∇u|pdxdτ +
t
∫
t1
∫
Br1
u1+r dxdτ 6
6 C
[
t − t2
(t − t2)(k+N)/k
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβdx
)(k+p)/k
+
t − t2
(r2 − r1)(k+N)/β
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβdx
)p/β]
.
Лемма 3. Пусть R1, R2 и Y (t/2, R2) — такие же, как в лемме 1, R3 = R2(1+σ). Тогда
существует константа γ3 > 0 такая, что условие леммы 1 выполнено, т. е. Y (t/2, R2) 6
6 γ2t
(Ndr+p(1+β))/(p(β−r)) ≡ γ2t
ν , ν ≡ (Ndr + p(1 + β))/(p(β − r)), если
E ≡ E(t, R, σ) ≡ sup
t/4<τ<t
∫
BR(1+σ)tκ (x0)
uβdx 6 γ3t
(β/(β−r))+Nκ.
На третьем этапе мы получаем локальные оценки массы решения через локальную массу
начальной функции. Отметим, что идею подхода к такой локальной оценке мы заимствова-
ли из любезно предоставленной нам неопубликованной пока статьи S.D. Eidelman, S. Kamin,
A. F. Tedeev “Asymptotic representation for solutions of the Cauchy problem for quasilinear
degenerate parabolic equations”. Справедлива следующая лемма.
Лемма 4. Обозначим l = β/(β − r) и пусть σ ∈ (0, 1) задано. Существуют такие
константы t0 = t0(u0), C1 = C1(u0), γ4 = γ4(u0), что для t < t0, если x0 таково, что при
всех y ∈ BC1tβ/k(x0) выполнено
∮
Btκ (y)
uβ
0 (x) dx ≡
1
ωN tNκ
∫
Btκ (y)
uβ
0 (x) dx 6 γ4t
l,
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
то выполнено
Etκ ,x0 ≡ sup
0<τ<t
∫
Btκ (x0)
uβ(x, τ) dx 6 2
∫
Btκ (1+σ)(x0)
uβ
0 (x) dx ≡ 2µtκ (1+σ)(x0).
Если начальная функция в (2) неотрицательна, то из приведенных выше лемм легко
следует оценка (19) размеров носителя сверху теоремы 1. Если же начальные данные u0(x)
произвольного знака, то
−|u0(x)|β 6 |u0(x)|β−1u0(x) 6 |u0(x)|β
и оценка размеров носителя сверху следует из уже доказанного в силу принципа сравнения.
Оценку (20) размеров носителя снизу проиллюстрируем на одном частном случае, на ко-
тором, как упоминалось выше, достигается наихудшая оценка (т. е. носитель имеет наиболь-
шие размеры). Общий случай рассматривается вполне аналогично. Итак, предположим, что
начальная функция представляет собой сумму δ-функций, сосредоточенных в узлах цело-
численной решетки, т. е. возьмем начальные данные (11):
uβ
0 (x) =
∑
n
µnδ(x − n).
Пусть t > 0 достаточно мало и фиксировано. Пусть, далее, n таково, что ϕt(n) > γ0t
β/(β−r)
(если µn → 0 при n → ∞, то это означает, что |n| 6 ϕ−1
t (γ0t
β/(β−r))). Тогда, считая для опре-
деленности µn положительным, имеем µn > ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ. Более того, будем считать,
не ограничивая общности, что µn = ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ. Если это не так, мы рассмотрим
вспомогательную функцию u(x, τ) — решение задачи (1), (2) с начальными данными, в ко-
торых в точке n масса µn заменена на ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ, причем, по принципу сравнения,
u > u. Рассмотрим, далее, шар Bn с центром в точке n и радиуса 1/2. Как хорошо известно,
при достаточно малых t носитель решения финитен вокруг точки n в шаре Bn и, следо-
вательно, функция u удовлетворяет в Bn нулевой задаче Дирихле с начальной функцией
µnδ(x − n) (можно также рассматривать нашу функцию как решение задачи Коши с ука-
занными начальными данными на малом отрезке времени), а следовательно, u > 0 в Bn.
Заметим теперь, что для всех точек x0 этого шара выполнены условия леммы 4. Отсюда
следует, что если |x0 − n| > (1 + σ)tκ и 0 < τ < t, то по лемме 4
∫
|x−x0|<tκ
uβ(x, τ) dx 6 2
∫
|x−x0|<(1+σ)tκ
uβ
0 (x) dx = 0,
т. е., в частности, u(x0, τ) = 0. Таким образом, на отрезке времени τ ∈ [0, t] носитель
решения u(x, τ) в шаре Bn на самом деле лежит в меньшем шаре Bt = {|x−n| < (1+σ)tκ}.
Проинтегрируем теперь уравнение (1) по шару Bn, учитывая, что решение равно нулю
в окрестности границы этого шара. Интегрирование по частям в диффузионном слагаемом
дает
d
dτ
∫
Bn
uβ(x, τ) dx +
∫
Bn
ur(x, τ) dx = 0, τ ∈ [0, t],
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 13
или, так как u ≡ 0 вне Bt,
d
dτ
∫
Bt
uβdx +
∫
Bt
urdx = 0, τ ∈ [0, t]. (22)
Применение неравенства Гельдера дает
∫
Bt
urdx 6
(
∫
Bt
uβdx
)r/β(
∫
Bt
dx
)1−r/β
=
(
∫
Bt
uβdx
)r/β
MtNκ((β−r)/β), (23)
где M = (1+σ)N(1−r/β). Обозначая теперь E(τ) =
∫
Bt
uβ(x, τ)dx, из (22) и (23) получаем, что
dE
dτ
> −MtNκ((β−r)/β)Er/β ,
причем E(0) = µn = ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ ≡ γt(β/(β−r))+Nκ. Интегрируя это дифференциаль-
ное неравенство, приходим к оценке
E(τ)(β−r)/β
> µ
(β−r)/β
n −
(
β − r
β
)
MtNκ((β−r)/β)τ =
(
γt(β/(β−r))+Nκ
)(β−r)/β
−
−
(
β − r
β
)
MtNκ((β−r)/β)τ = tNκ((β−r)/β)
[
γ(β−r)/βt −
(
β − r
β
)
Mτ
]
.
Положим τ0 =
1
2
γ(β−r)/β
M
β
β − r
t ≡ m0t. Тогда
E(m0t) >
(
γ(β−r)/β
2
)
tNκ((β−r)/β)+1 > 0.
Отсюда следует, во-первых, что если µn не стремится к нулю при |n| → ∞, то при
выборе t достаточно малым существуют n со сколь угодно большим |n| такие, что |µn| >
> ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ и для которых, как доказано, u(n,m0t) 6= 0, откуда следует, что но-
ситель решения в момент времени m0t не компактен, т. е. ввиду произвольности малого t
явление мгновенной компактификации носителя отсутствует.
Во-вторых, если µn → 0 при |n| → ∞, то зафиксируем какое-либо n ≡ n(t) такое,
что |n| = ϕ−1
t
(
γ0t
β/(β−r)
)
, т. е. |µn| > ωNγ0t
β/(β−r)+Nκ и |µn+1| < ωNγ0t
β/(β−r)+Nκ, где через
n + 1 будем обозначать все целочисленные точки вне шара с центром в нуле радиуса |n|.
Для такого n по доказанному u(n,m0t) 6= 0. При этом
|µn| > ωNγ0t
(β/(β−r))+Nκ = ωNγ0m
−(β/(β−r)+Nκ)
0 (m0t)
(β/(β−r))+Nκ ≡
≡ ωNM0(m0t)
(β/(β−r))+Nκ,
и, аналогично, одновременно
|µn+1| < ωNM0(m0t)
(β/(β−r))+Nκ,
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
т.е.
ϕm0t(n) > M0(m0t)
β/(β−r), ϕm0t(n + 1) < M0(m0t)
β/(β−r)
и, следовательно, по определению функции ϕ−1
t ,
|n| = |n(t)| = ϕ−1
m0t
(
M0(m0t)
β/(β−r)
)
, u(n,m0t) 6= 0.
Ввиду произвольности t, обозначая величину m0t снова через t, видим, что для любого
достаточно малого t найдется точка x0 = n(t/m0) такая, что
x0 = n
(
t
m0
)
: |x0| =
∣
∣
∣
∣
n
(
t
m0
)∣
∣
∣
∣
= ϕ−1
t
(
M0t
β/(β−r)
)
,
и u(x, t) 6= 0 в окрестности этой точки. Следовательно, для рассматриваемой начальной
функции справедлива оценка снизу размеров носителя (20), а тем самым и (14). Это за-
вершает доказательство теоремы 1.
1. Kersner R., Shishkov A. Instantaneous shrinking of the support of energy solutions // J. Math. Anal. and
Appl. – 1996. – 198. – P. 729–750.
2. Шишков А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений
квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Мат. сб. – 1999. – 190, № 12. –
С. 129–156.
3. Antontsev S.N., Diaz J. I., Shmarev S. I. The support shrinking properties for solutions of quasilinear
parabolic equations with strong absorption terms // Prepr. – 1994.
4. Antontsev S.N., Diaz J. I., Shmarev S. I. Energy methods for the free boundary problems. Applications to
nonlinear PDEs and fluid mechanics. – Basel: Birkhäuser, 2002. – 334 p.
5. Ughi M. Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption // Adv.
Math. Sci. and Appl. – 2001. – 11, No 1. – P. 333–345.
6. Kalashnikov A. S. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded domai-
ns on the behavior of the coefficients at infinity // Math. USSR Sb. – 1986. – 53. – P. 399–410.
7. Kalashnikov A. S. On the behavior of solutions of the Cauchy problem for parabolic systems with nonlinear
dissipation near the initial hyperplane // Trudy Sem. Petrovsk. – 1992. – 16. – P. 106–117.
8. Абдуллаев У.Г. О мгновенном сжатии носителя решения нелинейного вырождающегося параболиче-
ского уравнения // Мат. заметки. – 1998. – 63, № 3. – С. 323–331.
9. Abdullaev U.G. Exact local estimates for the supports of solutions in problems for nonlinear parabolic
equations // Mat. Sb. – 1995. – 186, No 8. – P. 3–24.
10. Ishige Kazuhiro. On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic
equation // SIAM J. Math. Anal. – 1996. – 27, No 5. – P. 1235–1260.
11. Fan H. J. Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure //
Acta math. sinica. Engl. Ser. – 2004. – 20, No 4. – P. 663–682.
12. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv.
Different. Equat. – 2005. – 10, No 1. – P. 89–120.
13. Andreucci D., Tedeev A.F. Finite speed of propagation for the thin film equation and other higher order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3, No 3. –
P. 233–264.
14. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with non
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543–567.
15. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic
equations with absorption // Proc. Roy. Soc. Edinburgh А. – 1986. – 104. – P. 1–19.
Поступило в редакцию 23.04.2007Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 15
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3874 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:36:20Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дегтярев, С.П. 2009-07-10T13:15:34Z 2009-07-10T13:15:34Z 2007 Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 7-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3874 517.9 We study the instantaneous support shrinking phenomenon for a doubly nonlinear degenerate
 parabolic equation in the case of slow diffusion, when the initial Cauchy data are, in general,
 Radon measures. For nonnegative solutions, we obtain the necessary and sufficient conditions for the instantaneous support shrinking phenomenon in terms of local behavior of the array of the initial data and, in the same terms, we express the bilateral estimates exact with respect to order for the support size. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией Article published earlier |
| spellingShingle | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией Дегтярев, С.П. Математика |
| title | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| title_full | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| title_fullStr | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| title_full_unstemmed | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| title_short | Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| title_sort | необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3874 |
| work_keys_str_mv | AT degtârevsp neobhodimyeidostatočnyeusloviâmgnovennoikompaktifikaciinositelârešeniâidvustoronnieocenkiegorazmerovvzadačekošidlâparaboličeskogouravneniâsdvoinoinelineinostʹûiabsorbciei |