Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя
Nonstationary indentation is studied for a blunted rigid body affecting the elastic layer. The general formulation of the problem includes different boundary conditions on the free surface and the contact region of the layer. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can se...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3875 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 58-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3875 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кубенко, В.Д. 2009-07-10T13:16:48Z 2009-07-10T13:16:48Z 2008 Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 58-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3875 532.528 Nonstationary indentation is studied for a blunted rigid body affecting the elastic layer. The general formulation of the problem includes different boundary conditions on the free surface and the contact region of the layer. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can serve as a rateable one for the later period is solved exactly. The solution is compared with the plane case. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| spellingShingle |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя Кубенко, В.Д. Механіка |
| title_short |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_full |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_fullStr |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_full_unstemmed |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_sort |
осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| author |
Кубенко, В.Д. |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Nonstationary indentation is studied for a blunted rigid body affecting the elastic layer. The general formulation of the problem includes different boundary conditions on the free surface and the contact region of the layer. A simplified nonmixed problem that is valid during early
times and can serve as a rateable one for the later period is solved exactly. The solution is compared with the plane case.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3875 |
| citation_txt |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 58-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd osesimmetričnaâzadačanestacionarnogovdavlivaniâzatuplennogožestkogotelavpoverhnostʹuprugogosloâ |
| first_indexed |
2025-11-25T20:42:23Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:42:23Z |
| _version_ |
1850527728358391808 |
| fulltext |
Пример расчета. Рассматривается композит со следующими характеристиками: на-
полнитель (q = 1) E = 104; ν = 0,3; G = 40; матрица (q = 2) E = 27; v = 0,35; G = 10;
m1 = 0,2, m2 = 0,5, l1 = 0,4, l2 = 1; p22 = 1; ρ = 5.
Величины, имеющие размерность напряжения, вычисляются в ГПа, линейные размеры
нормированы величиной l2.
В результате расчетов установлено: вершиной зоны для всех напряжений является угло-
вая точка x(m1,m2). Для напряжения краевые эффекты имеют место во всем теле напол-
нителя и в левой верхней части матрицы (до значения l2 ≈ 0,75). Справа от наполнителя
краевой эффект наблюдается лишь в непосредственной окрестности вершины зоны. Ко-
эффициент концентрации. На границе зоны (середина расстояния между двумя соседни-
ми компонентами), что указывает на отсутствие взаимовлияния напряжения между ком-
понентами наполнителя. Для напряжения локальные эффекты также концентрируются,
в основном, в теле наполнителя. Коэффициент концентрации k11 = 0,9, а на границе зоны
maxσ11 = 0,0273, что также указывает на отсутствие взаимовлияния армирующих компо-
нент композита. Для напряжения σ12 коэффициент концентрации напряжения k12 = 0,301
и max σ12 = 0,0025 при x1 = l1 ∧ 0 6 x2 6 l2.
Из приведенного анализа результатов расчетов следует, что для рассмотренного вари-
анта расчетов взаимодействие армирующих компонент отсутствует.
1. Механика композитов: В 12 т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 1. Статика материалов / Под ред.
В.Т. Головчана. – Киев: Наук. думка, 1993. – 455 с.
Поступило в редакцию 06.06.2007НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
УДК 532.528
© 2008
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания
затупленного жесткого тела в поверхность упругого
слоя
Nonstationary indentation is studied for a blunted rigid body affecting the elastic layer. The
general formulation of the problem includes different boundary conditions on the free surface
and the contact region of the layer. A simplified nonmixed problem that is valid during early
times and can serve as a rateable one for the later period is solved exactly. The solution is
compared with the plane case.
Современное состояние исследований в области нестационарного контактного взаимодейст-
вия и контактной задачи теории упругости освещено, в частности, в работах [4, 6, 9]. В об-
щем случае современная задача удара тела об упругую среду или элемент конструкции
формулируется как нестационарная смешанная начально-краевая задача теории упругости
с неизвестной изменяющейся во времени границей, причем последняя определяется в ходе
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
решения задачи. Постановка задачи включает уравнения упругого деформирования уда-
ряемого тела; уравнение движения ударника; соотношение, представляющее силу ударного
взаимодействия ударника и упругого тела как функцию неизвестной области контакта;
уравнение, связывающее величину области контакта с перемещением (прониканием) удар-
ника; соответствующие граничные и начальные условия. В общем случае задача является
связанной с нечетким заданием входных параметров, что предопределяет известные тру-
дности ее решения.
Отметим следующее обстоятельство физического характера, которое оказывает непо-
средственное влияние на способы получения решения задачи удара тела об упругую среду.
При соударении область контакта тел движется по их поверхностям с переменной ско-
ростью, зависящей от формы тел и скорости сближения. Если рассматривать затупленные
тела, скорость движения границы области контакта на начальном отрезке времени может
быть очень высокой (по крайней мере, выше скорости распространения упругих волн в те-
ле — “сверхзвуковой”). В течение этого отрезка волновые возмущения в упругом теле не
взаимодействуют с его свободной поверхностью и, следовательно, можно произвольным
образом распорядиться граничными условиями на ней. Это позволяет по крайней мере
для раннего этапа взаимодействия сформулировать соответствующую несмешанную крае-
вую задачу и тем самым упростить процедуру получения ее решения. С течением времени
по причинам, обусловленным геометрией тел, а также вследствие замедления движения
ударника, скорость движения границы области контакта снижается до трансзвуковой и да-
лее становится дозвуковой, что приводит к выходу волновых возмущений на поверхность
тела вне области контакта и взаимодействию с ней. Однако, как показывает ряд исследова-
ний, для получения оценочных результатов в ряде случаев достаточно решения упомянутой
“сверхзвуковой” задачи. При таком подходе в работе [7] получено решение плоской задачи
о нестационарном вдавливании гладкого затупленного тела в слой упругого материала. Ука-
занное решение демонстрирует характер и особенности волновых процессов в слое с учетом
многократных отражений упругих волн от его границ.
В данной работе представлено решение осесимметричной задачи об ударе жестким те-
лом о поверхность упругого слоя с целью исследовать влияние многократных отражений
волн на деформирование слоя с учетом распространения волновых возмущений как в попе-
речном, так и в продольном направлениях. Предполагается, что ударяющее тело является
осесимметричным, его ось совпадает с направлением движения и является перпендикуляр-
ной граничной поверхности слоя. Предполагается также, что скорость проникания жесткого
тела задана, т. е. в рамках данной публикации фактически рассматривается задача неста-
ционарного вдавливания индентора в слой.
1. Рассматривается вертикальный удар о поверхность упругого полупространства затуп-
ленным абсолютно твердым телом (штампом), контур лобовой части которого задан поверх-
ностью вращения, описываемой гладкой функцией. Скорость внедрения штампа в среду
яляется величиной, значительно меньшей скорости упругих волн в ней. Трение на поверх-
ности взаимодействия тела и среды (называемой областью контакта) отсутствует. Геомет-
рия задачи обладает осевой симметрией, поэтому цилиндрическая система координат 0rz,
в которой будет вестись исследование, выбирается таким образом, что ось 0z направлена
в глубь среды, ось 0r — по поверхности полупространства. Начало введенной системы ко-
ординат — точка 0 — совпадает с точкой первоначального контакта тела со средой (рис. 1).
Поверхность штампа задается функцией z = f(r). Физические свойства материала по-
лупространства будем задавать при помощи упругих постоянных — модуля всестороннего
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 59
Рис. 1
сжатия K и модуля сдвига µ — и плотности γ. Упругой среде с постоянными K, µ, γ будем
также ставить в соответствие акустическую среду с теми же параметрами K, ρ и µ = 0.
Через c0 обозначим скорость звука в акустической среде. Таким образом, скорости распро-
странения волн определяются формулами
cp =
(
K + 4/3µ
γ
)1/2
; cs =
(
µ
γ
)1/2
; c0 =
(
K
γ
)1/2
.
Введем безразмерные переменные и обозначения:
r =
r
R
, z =
z
R
, ui =
ui
R
, M =
M
ρR3
, P =
P
KR
, t =
c0t
R
, V 0 =
V0
c0
,
σij =
σij
K
(i, j = r, z), β =
cs
c0
, α =
cp
c0
; b =
β
α
, V 0 =
V0
c0
, w0 =
w0
R
.
(1)
Здесь R — характерный линейный размер штампа; V0, w0 — скорость движения и переме-
щение штампа; M — его масса; P (t) — сила реакции упругого полупространства; ui — про-
екции вектора упругих перемещений; σij — компоненты тензора напряжений. Ниже (если
не будет оговорено иное) будут использоваться только безразмерные обозначения, поэтому
черту над ними опускаем.
Движение упругой среды в осесимметричном случае описывается двумя скалярными
волновыми потенциалами Φ и Ψ, удовлетворяющими уравнениям [5]
∆Φ =
1
α2
∂2Φ
∂t2
; ∆Ψ =
1
β2
∂2Ψ
∂t2
; ∆ ≡ ∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
. (2)
Физические величины (перемещения, напряжения) выражаются через потенциалы Φ и Ψ
следующим образом:
ur =
∂Φ
∂r
+
∂2Ψ
∂r∂z
; uz =
∂Φ
∂z
− ∂2Ψ
∂r2
− 1
r
∂Ψ
∂r
;
σzz =
(
1 − 2
β2
α2
)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂z2
− ∂3Ψ
∂r2∂z
− 1
r
∂2Ψ
∂r∂z
)
;
σrr = (1−2b2)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂r2
+
∂3Ψ
∂r2∂z
)
; σrz = 2β2 ∂
∂r
(
∂Φ
∂z
+
∂2Ψ
∂z2
− 1
2β2
∂2Ψ
∂t2
)
.
(3)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Затупленность лобовой поверхности штампа и малые глубины проникания в среду позволя-
ют формулировать граничные условия на невозмущенной поверхности полупространства —
при z = 0. Поверхность штампа в системе координат 0rz в момент времени t описывается
функцией
z = wb(t) − f(r), wb(t) =
t∫
0
Vb(τ)dτ, f(0) = 0. (4)
Здесь wb(t) — перемещение штампа, отсчет которого производится от поверхности z = 0.
Радиус области контакта r∗(t) в точной линейной постановке определяется из кинемати-
ческого условия
wb(t) − f(r) − uz(t, r, 0) =
{
0, 0 6 r < r∗(t),
< 0, r > r∗(t).
(5)
Предполагаем, что в процессе удара область контакта остается односвязной, что обес-
печивается условием, согласно которому нормальные к площадке контакта напряжения
являются сжимающими:
σzz|z=0 > 0, 0 6 r < r∗(t). (6)
Граничные условия при отсутствии трения состоят в равенстве нормального перемещения
среды и перемещения тела в области контакта, отсутствии нормального напряжения на
свободной поверхности среды и нулевом касательном напряжении всюду в плоскости z = 0.
На тыльной поверхности слоя примем аналогичные условия (равенство нулю нормального
перемещения и касательного напряжения), т. е.
uz|z=0 =
t∫
0
Vb(t)dt, 0 6 r < r∗(t),
uz|z=0 = 0, r > r∗(t),
σzr|z=0 = uz|z=h = σzr|z=h = 0, r > 0.
(7)
Первое условие выписанных соотношений можно, продифференцировав по времени, запи-
сать в удобной для последующего использования форме
∂uz
∂t
|z=0 = Vb(t, r), 0 6 r < r∗(t). (8)
Начальные условия для потенциалов Φ и Ψ являются нулевыми
Φ|t=0 =
∂Φ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0; Ψ|t=0 =
∂Φ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0. (9)
Условия затухания на бесконечности
Φ → 0, Ψ → 0 при (r2 + z2)1/2 → ∞. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 61
Сила реакции упругого полупространства вычисляется по формуле
P (t) = −2
r∗(t)∫
0
σzz(t, r, 0)r dr. (11)
Для задачи удара штампа массы M с начальной скоростью V0 скорость движения штампа
определяется из уравнения
M
dVb
dt
= −P (t), Vb(+0) = V0. (12)
При ударном взаимодействии затупленных тел с поверхностью упругого полупрост-
ранства скорость перемещения границы области контакта на раннем этапе взаимодействия
превосходит скорость движения упругих волн, т. е. имеет место так называемый сверхсей-
смический (сверхзвуковой) этап
0 6 t 6 t∗, ṙ∗(t) > α, ṙ∗(t∗) = α.
Здесь t∗ обозначает момент времени, когда скорость движения границы области контакта
становится трансзвуковой.
2. Cоотношения (2)–(12) составляют формулировку смешанной нестационарной краевой
задачи об ударе жесткого тупого тела о поверхность упругого слоя с неизвестной изменя-
ющейся во времени областью контакта. Решение этой задачи для плоского случая получе-
но в [8], для осесимметричного будет рассмотрено отдельно. Здесь рассмотрим следующий
упрощенный подход к формулировке и решению задачи удара. Оставаясь в пределах линей-
ной формулировки граничных условий (т. е. формулируя их на невозмущенной поверхности
упругой среды), будем искать решение волновых уравнений (2) при следующих граничных
условиях на лицевой поверхности слоя:
uz|z=0 = wb(t), 0 6 r < r∗(t),
uz|z=0 = 0, r > r∗(t),
σzr|z=0 = 0, r > 0.
Их отличие от общих условий (7) в том, что на лицевой поверхности слоя вне области кон-
такта, т. е. при r > r∗(t), как и в области контакта, задано значение перемещения (или, если
продифференцировать по времени — нормальной скорости). При такой формулировке гра-
ничная задача уже не является смешанной и может быть решена более простыми методами.
Кроме того, в рамках этого пункта будем полагать, что скорость проникания тела в среду
Vb(t) является заданой функцией, т. е. имеет место случай так называемого нестационарно-
го вдавливания. Таким образом, формулируется следующая начально-краевая задача для
волновых уравнений (2):
∂uz
∂t
∣∣∣∣
z=0
= H(r∗(t) − r)Vb(r, t), r > 0,
σzr|z=0 = uz|z=h = σzr|z=h = 0, r > 0,
Φ|t=0 =
∂Φ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0; Ψ|t=0 =
∂Φ
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0.
(13)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Напомним, что принятая формулировка в строгом смысле имеет место в случае очень
тупых тел и соответствует так называемому сверхзвуковому этапу проникания, в течение
которого возмущения в упругой среде не выходят за пределы области контакта, так как
ее граница движется со скоростью, превышающей скорость распространения упругих волн.
Как показывают выполненные численные расчеты, в ряде случаев решение такой “сверхзву-
ковой” задачи позволяет получить приемлемые оценочные результаты и для более сложной
смешанной задачи, в которой возмущения в среде выходят за пределы области контакта.
Решение задачи (2), (13) получим при помощи интегральных преобразований. Использу-
ем интегральное преобразование Лапласа по времени t с параметром s [2] и преобразование
Бесселя (Ханкеля) порядка 0 по r с параметром ξ [3]. В частности,
fL(s) = L{f(t)} =
∞∫
0
e−stf(t)dt; f(t) = L−1{fL(s)} =
1
2π
δ+i∞∫
δ−i∞
etsfL(p) dp;
fB(ξ) = B{f(r)} =
∞∫
0
f(r)rJ0(rξ) dξ; f(r) = B−1{fB(ξ)} =
∞∫
0
fB(ξ)ξJ0(rξ) dξ,
(14)
где L и B — соответственно операторы интегральных преобразований Лапласа и Бесселя;
L−1, B−1 — операторы обращения (абсцисса оси интегрирования δ в операторе L−1находится
справа от полюсов подынтегральной функции в комплексной плоскости); J0 — цилиндри-
ческая функция Бесселя нулевого индекса [1]. В пространстве изображений по Лапласу
и Бесселю получим следующую граничную задачу (в которой начальные условия и необ-
ходимые граничные условия при r → ∞ уже реализованы):
∂2ΦLB
∂z2
−
(
s2
α2
+ ξ2
)
ΦLB = 0,
∂2ΨLB
∂z2
−
(
s2
β2
+ ξ2
)
ΨLB = 0,
∂ΦLB
∂z
+
∂2ΨLB
∂z2
− s2
β2
ΨLB =
{ 1
s
fLB(s, ξ), z = 0
0, z = h
,
∂ΦLB
∂z
+
∂2ΨLB
∂z2
− s2
2β2
ΨLB = 0, z = 0, z = h.
(15)
Здесь функция fLB(s, ξ) есть изображение функции Vb(r, t)H(t − r∗(t)).
Общее решение волновых уравнений имеет вид
ΦLB = Ae−
z
α
√
s2+α2ξ2
+ Ãe
z
α
√
s2+α2ξ2
; ΨLB = Be−
z
β
√
s2+β2ξ2
+ B̃e
z
β
√
s2+β2ξ2
. (16)
Определяя произвольные постоянные из граничных условий, будем иметь выражение для
изображения нормального напряжения
σLB
zz (s, ξ, z) = −αfLB(s, ξ)
[
(s2 + 2β2ξ2)2
s3
√
s2+α2ξ2
(
∞∑
m=0
e−(2mh+z)P +
∞∑
m=0
e−[2(m+1)h−z]P
)
−
− 4β3
α
ξ2
√
s2 + β2ξ2
s3
(
∞∑
m=0
e−(2mh+z)S +
∞∑
m=0
e−[2(m+1)h−z]S
)]
. (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 63
Таким образом, задача теперь состоит в обращении выражения (17) относительно ин-
тегральных преобразований.
3. В рамках данной работы ограничимся определением искомого напряжения вдоль
оси z. Для дальнейших вычислений необходимо конкретизировать функцию V0(t, x). При-
мем, что лобовая поверхность индентора в плоскости Ozr является параболической, а ско-
рость вдавливания — постоянной и равной некоторому значению V0. Тогда, как нетрудно
убедиться, функция f(t, r) и ее изображение будут иметь вид
f(t, r) = V0H(kt − r2); fLB(s, ξ) = V0
k
2s2
e−ξ2 k
4s ; k = 2V0. (18)
Из (17) и (18) получим выражение для изображения нормального напряжения:
σLB
zz (s, ξ, z) = −αV0
1
2
k
s2
e−ξ2 k
4s ×
×
[
(s2 + 2β2ξ2)2
s3
√
s2 + α2ξ2
(
∞∑
m=0
e−(2mh+z)P +
∞∑
m=0
e−[2(m+1)h−z]P
)
−
− 4β3
α
ξ2
√
s2 + β2ξ2
s3
(
∞∑
m=0
e−(2mh+z)S +
∞∑
m=0
e−[2(m+1)h−z]S
)]
. (19)
Инверсия преобразования Бесселя на оси z (т. е. при r = 0) имеет вид
σL|r=0 = −α
V0
2
k
s2
∞∫
0
[(
∞∑
m=0
(s2 + 2β2ξ2)2
s3
√
s2 + α2ξ2
e−ξ2 k
4s
−(2mh+z)P +
∞∑
m=0
(s2 + 2β2ξ2)2
s3
√
s2 + α2ξ2
×
× e−ξ2 k
4s
−[2(m+1)h−z]P
)
− 4β3
α
(
∞∑
m=0
ξ2
√
s2 + β2ξ2
s3
e−ξ2 k
4s
−(2mh+z)S +
+
∞∑
m=0
ξ2
√
s2 + β2ξ2
s3
e−ξ2 k
4s
−[2(m+1)h−z]S
)]
ξdξ.
Сделаем следующую замену переменного в подынтегральном выражении, временно
предполагая s вещественным положительным [10, 11]:
sη = ξ, dξ = sdη. (20)
Получим
σL
zz|r=0 = −α
kV0
2
∞∫
0
∞∑
m=0
(1 + 2β2η2)2√
1 + α2η2
e
−s
(
η2 k
4
+ 2mh+z
α
√
1+α2η2
)
ηdη −
− α
kV0
2
∞∑
m=0
∞∫
0
(1 + 2β2η2)2√
1 + α2η2
e
−s
(
η2 k
4
+
2(m+1)h−z
a
√
1+α2η2
)
ηdη −
− 4β3
α
∞∑
m=0
∞∫
0
η2
√
1 + β2η2e
−s
(
η2 k
4
+ 2mh+z
β
√
1+β2η2
)
ηdη −
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
−
∞∑
m=0
∞∫
0
η2
√
1 + β2η2e
−s
(
η2 k
4
+ 2(m+1)h−z
β
√
1+β2η2
)
ηdη. (21)
Введем обозначения
Zm1(z) =
2mh + z
α
; Zm2(z) =
(2m + 1)h − z
α
;
Zm3(z) =
2mh + z
β
; Zm4(z) =
(2m + 1)h − z
β
;
Rm1(t, z) =
√
k2 + 4α2kt + 4α4Z2
m1; Tm1(t, z) = kt + 2Z2
m1α
2 − Zm1Rm1(t, z);
Rm2(t, z) =
√
k2 + 4α2kt + 4α4Z2
m2; Tm2(t, z) = kt + 2Z2
m2α
2 − Zm2Rm2(t, z);
Rm3(t, z) =
√
k2 + 4β2kt + 4β4Z2
m3; Tm3(t, z) = kt + 2Z2
m3β
2 − Zm3Rm3(t, z);
Rm4(t, z) =
√
k2 + 4β2kt + 4β4Z2
m4; Tm4(t, z) = kt + 2Z2
m4β
2 − Zm4Rm4(t, z)
и произведем замены переменных в каждом из четырех подынтегральных выражений (21)
η2k
4
+ Zm
√
1 + α2η2 = t, Zm = Zm1, Zm2,
η2k
4
+ Zm
√
1 + β2η2 = t, Zm = Zm3, Zm4.
(22)
Получим
σL
zz|r=0 = −αV0
∞∑
m=0
∞∫
Zm1
e−st
(
1 + 8
β2
k2
Tm1(t, z)
)2
√
1 + 4
α2
k2
Tm1(t, z)
(
1 − 2α2Zm1(z)
Rm1(t, z)
)
dt −
− αV0
∞∑
m=0
∞∫
Zm2
e−st
(
1 + 8
β2
k2
Tm2(t, z)
)2
√
1 + 4
α2
k2
Tm2(t, z)
(
1 − 2α2Zm2(z)
Rm2(t, z)
)
dt +
+ 16V0
β3
k2
∞∑
m=0
∞∫
Zm3
e−stTm3(t, z)
√
1 + 4
β2
k2
Tm3(t, z)
(
1 − 2β2Zm3(z)
Rm3(t, z)
)
dt +
+ 16V0
β3
k2
∞∑
m=0
∞∫
Zm4
e−stTm4(t, z)
√
1 + 4
β2
k2
Tm4(t, z)
(
1 − 2β2Zm4(z)
Rm4(t, z)
)
dt.
Каждый интеграл в последнем выражении представляет собой оператор преобразова-
ния Лапласа, следовательно, подынтегральное выражение есть оригинал, и окончательно
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 65
Рис. 2
выражение для напряжения σzz на оси z имеет вид
σzz(t, z)|r=0 = −αV0
∞∑
m=0
H(t − Zm1)
(
1 + 8
β2
k2
Tm1(t, z)
)2
√
1 + 4
α2
k2
Tm1(t, z)
(
1 − 2α2Zm1(z)
Rm1(t, z)
)
+
+
∞∑
m=0
H(t − Zm2)
(
1 + 8
β2
k2
Tm2(t, z)
)2
√
1 + 4α2
k2 Tm2(t, z)
(
1 − 2α2Zm2(z)
Rm2(t, z)
)
−
− 16β3
αk2
∞∑
m=0
H(t − Zm3)Tm3(t, z)
√
1 + 4
β2
k2
Tm3(t, z)
(
1 − 2β2Zm3(z)
Rm3(t, z)
)
−
− 16β3
αk2
∞∑
m=0
H(t − Zm4)Tm4(t, z)
√
1 + 4
β2
k2
Tm4(t, z)
(
1 − 2β2Zm4(z)
Rm4(t, z)
)
. (23)
Выражение (23) есть точное аналитическое решение задачи (2), (13). Оно построено таким
образом, что m-е члены первых двух сумм формируют m-ю отраженную от границ слоя вол-
ну расширения-сжатия, m-е члены третьей и четвертой сумм формируют m-ю отраженную
от границ слоя волну сдвига. Удерживая в упомянутых суммах конечное число членов N ,
получим в избранной точке z значение напряжения с учетом N отражений, справедливое
на интервале времени, определяемом неравенством z/α < t < (2Nh + z)/α.
4. Приведенные на рис. 2 результаты расчетов выполнены для заданной постоянной
скорости V0 = 0,01 проникания тела с параболической фронтальной частью и толщины
слоя h = 0,2 (в безразмерных обозначениях) при следующих значениях упругих параметров:
α = 1, β = 0,1 (рис. 2, а), β = 0,3 (рис. 2, б ).
На рисунке изображены графики развития напряжения в трех характерных точках по
толщине слоя: 1 — на лицевой поверхности (z = 0), 2 — на срединной линии (z = h/2)
и 3 — на тыльной поверхности (z = h). Скачок нормального напряжения σzz(t, 0, 0) при
t = 0 на лицевой поверхности слоя имеет следующее значение: σzz(0, 0, 0) = αV0(0). В се-
редине слоя имеет место удвоенное количество упомянутых скачков, которое обусловлено
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Рис. 3
тем обстоятельством, что в данную точку приходят поочередно волны, отраженные как
от лицевой, так и от тыльной поверхности. Со временем имеет место рост напряжения во
всех точках на оси z слоя, что обусловлено постоянной скоростью вдавливания. Обратим
внимание на скачки напряжения на тыльной поверхности: их величина обусловлена удво-
ением напряжения вследствие выбранных граничных условий на тыльной грани. Следует
отметить существенную зависимость уровня напряженного состояния от значения парамет-
ра сдвига β. Сравнение приведенных графиков с аналогичными для плоской задачи (см.
рис. 3, а, б, к сожалению, пропущенный в работе [7]) показывает, что в осесимметричном
случае отраженные волны затухают быстрее, что естественно.
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции параболи-
ческого цилиндра, ортогональные многочлены. – Москва: Наука, 1966. – 295 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В 2-х т. Т. 1. Преобразования Фурье,
Лапласа, Меллина. – Москва: Наука; ГИФМЛ, 1969. – 344 с.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В 2-х т. Т. 2. Преобразования Хан-
келя. – Москва: Наука; ГИФМЛ, 1969. – 344 с.
4. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. –
Москва: Наука; Физматгиз, 1995. – 352 с.
5. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
6. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой среды // Прикл. механи-
ка. – 2004. – 40, № 11. – С. 3–44.
7. Кубенко В.Д. Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого
слоя // Доп. НАН України. – 2007. – № 4. – С. 58–64.
8. Кубенко В.Д., Марченко Т.А., Старовойтов Э.И. Об определении напряженого состояния плоского
упругого слоя при ударе тупым жестким телом о его поверхность // Там само. – 2006. – № 8. –
С. 111–114.
9. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. – Москва:
Физматгиз, 2001. – 670 с.
10. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. – Москва: Наука, 1986. – 328 с.
11. Саgniard L. Reflection and refraction of progressive seismic waves. – New York: McGraw-Hill, 1962. –
282 p.
Поступило в редакцию 08.05.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 67
|