Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі
The liquid lattice model has been examined to calculate a binary solution component concentration. The external field potential expansion in a functional Taylor series has been constructed to obtain the expansion in direct correlation functions of all orders. The quantitative criteria for the expres...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3878 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі / Л.А. Булавін, Д.А. Гаврюшенко, В.М. Сисоєв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 1. — С. 68-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3878 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Булавін, Л.А. Гаврюшенко, Д.А. Сисоєв, В.М. 2009-07-10T13:28:41Z 2009-07-10T13:28:41Z 2008 Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі / Л.А. Булавін, Д.А. Гаврюшенко, В.М. Сисоєв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 1. — С. 68-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3878 512 The liquid lattice model has been examined to calculate a binary solution component concentration. The external field potential expansion in a functional Taylor series has been constructed to obtain the expansion in direct correlation functions of all orders. The quantitative criteria for the expression to be applied have been indicated. The expansion of the binary solution concentration in a functional Taylor series has been obtained to gain an expansion in correlation functions of all orders. A solution of the differential equation for a plane-parallel pore with an exponential wall potential has been obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Фізика Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| spellingShingle |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі Булавін, Л.А. Гаврюшенко, Д.А. Сисоєв, В.М. Фізика |
| title_short |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| title_full |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| title_fullStr |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| title_full_unstemmed |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| title_sort |
розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі |
| author |
Булавін, Л.А. Гаврюшенко, Д.А. Сисоєв, В.М. |
| author_facet |
Булавін, Л.А. Гаврюшенко, Д.А. Сисоєв, В.М. |
| topic |
Фізика |
| topic_facet |
Фізика |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The liquid lattice model has been examined to calculate a binary solution component concentration. The external field potential expansion in a functional Taylor series has been constructed to obtain the expansion in direct correlation functions of all orders. The quantitative criteria for the expression to be applied have been indicated. The expansion of the binary solution
concentration in a functional Taylor series has been obtained to gain an expansion in correlation functions of all orders. A solution of the differential equation for a plane-parallel pore with an exponential wall potential has been obtained.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3878 |
| citation_txt |
Розрахунок просторового розподілу концентрації бінарної суміші в зовнішньому полі / Л.А. Булавін, Д.А. Гаврюшенко, В.М. Сисоєв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 1. — С. 68-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT bulavínla rozrahunokprostorovogorozpodílukoncentracííbínarnoísumíšívzovníšnʹomupolí AT gavrûšenkoda rozrahunokprostorovogorozpodílukoncentracííbínarnoísumíšívzovníšnʹomupolí AT sisoêvvm rozrahunokprostorovogorozpodílukoncentracííbínarnoísumíšívzovníšnʹomupolí |
| first_indexed |
2025-11-26T01:06:20Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:06:20Z |
| _version_ |
1850601167324708864 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2008
ФIЗИКА
УДК 512
© 2008
Академiк НАН України Л.А. Булавiн, Д. А. Гаврюшенко,
В.М. Сисоєв
Розрахунок просторового розподiлу концентрацiї
бiнарної сумiшi в зовнiшньому полi
The liquid lattice model has been examined to calculate a binary solution component concentra-
tion. The external field potential expansion in a functional Taylor series has been constructed
to obtain the expansion in direct correlation functions of all orders. The quantitative criteria
for the expression to be applied have been indicated. The expansion of the binary solution
concentration in a functional Taylor series has been obtained to gain an expansion in correlation
functions of all orders. A solution of the differential equation for a plane-parallel pore with an
exponential wall potential has been obtained.
Важливим результатом розвитку статистичної фiзики є можливiсть дати кiлькiсний опис
бiнарного розчину однорiдної рiдини. Але очевидно, що будь-яка реальна система завжди
є неоднорiдною. Традицiйнi методи опису властивостей неоднорiдної системи полягають
в розбиттi її на досить тонкi шари i записi вiдповiдних термодинамiчних потенцiалiв сис-
теми як суми термодинамiчних потенцiалiв цих шарiв [1]. Базуючись на цьому пiдходi, для
хiмiчного потенцiалу однокомпонентної системи µ(~r) у зовнiшньому полi можна одержати
вiдому формулу [2]
u(~r) = µ0 − µ(~r), (1)
де µ0 — хiмiчний потенцiал системи у вiдсутностi зовнiшнього поля.
Дж. Лебовицем та Дж. Перкусом показано [3], що при врахуваннi нелокальних власти-
востей вираз (1) необхiдно записувати у виглядi
u(~r) = µ0 − µ(~r) + a∇2n(~r). (2)
Для того щоб дати термодинамiчну теорiю, яка описує поведiнку однокомпонентної не-
однорiдної системи, ранiше нами був запропонований пiдхiд, що базується на обчисленнi
внеску вiд кожного шару в гамiльтонiан системи [4]. В цьому випадку замiсть виразiв (1)
та (2) можна записати
u(~r) = µ0 − µ(~r) + ∆µcor(~r), (3)
де ∆µcor — внесок вiд кореляцiйних ефектiв [5].
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Метою даної роботи є узагальнення запропонованого в [5] формалiзму на випадок дво-
компонентної системи.
Для опису поведiнки неоднорiдного бiнарного флюїду в обмеженiй системi застосуємо
гратчасту модель рiдини, в рамках якої молекули знаходяться у вузлах гратки, причому
загальне число частинок N збiгається з кiлькiстю вузлiв гратки N ′.
Для зручностi розiб’ємо об’єм системи на M шарiв товщиною l, нормальних до зовнiш-
ньої сили. Гамiльтонiан такої системи запишемо у виглядi
H = H ′
0 +
M
∑
i=1
(N i
Aui
A + N i
Bui
B), (4)
де H ′
0 — частина гамiльтонiану, яка описує мiжчастинкову взаємодiю; N i
A та N i
B — кiль-
кiсть частинок сорту “A” i “B” та ui
B — потенцiальна енергiя частинок у зовнiшньому полi.
Введемо концентрацiю компоненту “B” в i-му шарi xi:
xi =
N i
B
N i
, (5)
де N i = N/M . В цьому випадку вираз (4) можна подати у виглядi
H = H0 +
∑
i
ui
BAxi, (6)
де H0 = H ′
0 +
M
∑
i=1
Niu
i
A, ui
BA = (ui
B − ui
A)/Ni.
Для спрощення далi розглядатимемо систему з кубiчною решiткою, у якiй вздовж осi
0z дiє зовнiшнє поле u(z), крiм того, система в цьому напрямку обмежена (z ∈ [−L,L]).
В цьому випадку вираз (6) набуває вигляду
H = H0 +
∑
i
ui
BAxi, (7)
де ui
BA = (ui
B − ui
A)/Nl, Nl = N · (2L/l) − const.
Для подальшого описання системи введемо кореляцiйну функцiю s-го порядку “кон-
центрацiя-концентрацiя” Fs(z, z1, z2, . . . , zs−1)
Fs(z, z1, . . . , zs−1) =
δs−1x(z)
δ(βuBA(z1)) · · · δ(βuBA(zs−1))
∣
∣
∣
∣
uBA(z1)=0,...,uBA(zs−1)=0
(8)
i пряму кореляцiйну функцiю s-го порядку Cs(z, z1, . . . , zs−1)
Cs(z, z1, . . . , zs−1) =
δs−1(βuBA(z))
δx(z1) · · · δx(zs−1)
∣
∣
∣
∣
x(z1)=x0(z1),...,x(zs−1)=x0(zs−1)
. (9)
Розкладемо потенцiал зовнiшнього поля у функцiональний ряд Тейлора:
βuBA(z) =
L
∫
−L
dz1
δ(βuBA(z))
δx(z1)
∣
∣
∣
∣
x(z1)=x0(z1)
∆x(z1) +
+
1
2!
L
∫
−L
dz1
L
∫
−L
dz2
δ2(βuBA(z))
δx(z1)δx(z2)
∣
∣
∣
∣
x(z1)=x0(z1),x(z2)=x0(z2)
∆x(z1)∆x(z2) + · · · . (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 69
З урахуванням виразу (9) одержуємо
βuBA(z) =
L
∫
−L
dz1C2(z, z1)∆x(z1) +
1
2!
L
∫
−L
dz1
L
∫
−L
dz2C3(z, z1, z2)∆x(z1)∆x(z2) + · · · . (11)
Застосовуючи розвинуту в [6] процедуру, для uBA(z) у випадку плавної змiни ∆x(z)
далеко вiд критичної точки отримаємо вираз, аналогiчний (3):
uBA(z) = µ0 − µ(z) + ∆µcor(z), (12)
де ∆µcor — внесок в рiзницю хiмiчних потенцiалiв вiд кореляцiйних ефектiв
β∆µcor(z) =
1
2
d2∆x(z)
dz2
L
∫
−L
dz1C2(z, z1)(z1 − z)2 +
+
1
2
(
d∆x(z)
dz
)2
L
∫
−L
dz1
L
∫
−L
dz2C3(z, z1, z2)(z1 − z)(z2 − z) +
+
d∆x(z)
dz
[ L
∫
−L
dz1C2(z, z1)(z1−z) + ∆x(z)
L
∫
−L
dz1
L
∫
−L
dz2C3(z, z1, z2)(z1−z)
]
+ · · · . (13)
Одержанi результати свiдчать про те, що формулу (1) можна застосовувати виключно
для описання розподiлу концентрацiї неоднорiдних бiнарних систем лише у випадку наяв-
ностi зовнiшнiх полiв далеко вiд критичної точки. Але при наближеннi до критичної точки
роль кореляцiйних доданкiв зростає, i тому необхiдно користуватися виразом (13).
Як було зазначено у [4, 5], розклад потенцiалу зовнiшнього поля в ряд за густиною при-
зводить до необхiдностi розв’язувати диференцiйне рiвняння. Тому природним виявляється
побудова розкладу концентрацiї x(z) у функцiональний ряд Тейлора за величиною βuBA(z):
x(z) − x =
L
∫
−L
dz1
δx(z)
δβuBA(z1)
∣
∣
∣
∣
βuBA=0
βuBA(z1) +
+
1
2!
L
∫
−L
dz1
L
∫
−L
dz2
δ2x(~r)
δβuBA(z1)δβuBA(z2)
∣
∣
∣
∣
βuBA=0
βu(z1)βu(z2) + · · · . (14)
Часткове пiдсумовування доданкiв, що мiстять лише нульовi моменти Fs(z, z1, . . . , zs−1),
призводить до локального наближення для концентрацiї:
xloc(z) = x(µ(z)) − x. (15)
Доданки, що залишились, описують кореляцiйний внесок у профiль концентрацiї xcor(z).
Таким чином, вираз (14) можна записати у виглядi
x(z) = xloc(z) + xcor(z). (16)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Легко бачити, що врахування у виразi (16) виключно локального доданку xloc(z) можли-
во лише у випадку, коли змiна зовнiшнього поля на вiдстанях порядку “дiї” Fs(z, z1, . . . , zs−1)
мала, тобто коли система знаходиться далеко вiд критичних точок (наведенi кореляцiйнi
функцiї короткодiючi), i градiєнти зовнiшнього поля малi.
1. Монстер А. Химическая термодинамика. – Москва: Мир, 1971. – 296 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – Москва: Наука, 1964. – 587 с.
3. Lebowitz J. L., Percus J. K. Statistical thermodynamics of nonuniform fluids // J. Math. Phys. – 1963. –
4 (1). – P. 116–123.
4. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Химический потенциал системы во внешнем поле //
Доп. НАН України. – 1997. – № 2. – С. 79–83.
5. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Плотность неоднородной жидкости во внешнем по-
ле // Там само. – 1997. – № 7. – С. 111–114.
6. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Профиль плотности флюида в плоскопараллельной
поре с неидеальными стенками в гравитационном поле // Журн. физ. химии. – 2004. – 78. – С. 2039. –
2042.
Надiйшло до редакцiї 18.05.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 535.36
© 2008
Д.В. Петров
Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света
(Представлено академиком НАН Украины Л.Н. Литвиненко)
A modification of the method of T-matrices with the use of the so-called Sh-matrices is proposed
and applied to solving the problem of light scattering by an elongated spheroid.
Современные задачи рассеяния электромагнитных волн часто решаются с помощью ме-
тода T -матриц [1–4]. В принципе этот метод может применяться для изучения рассеяния
объектами произвольной формы. Однако для частиц таких форм расчеты довольно сложны
и требуют больших затрат компьютерного времени на оценку двойного интеграла по по-
верхности рассеивающей частицы [3], поэтому нахождение аналитических выражений для
вычисления элементов T -матриц — очень важная задача. Аналитические выражения для
элементов T -матрицы получены в работе [4] для сферического рассеивателя. Наш подход
дает возможность получать аналитические решения для более сложных форм, что серье-
зно упрощает вычисления и позволяет производить эффективное усреднение рассеиваю-
щих свойств ансамбля частиц как по размерному параметру X = 2πr/λ (здесь r — некий
характерный размер частицы, λ — длина волны падающего света), так и по показателю
преломления m0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 71
|