О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения
We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second order.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3890 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения / А.М. Самойленко, А.Н. Ронто // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860258466552086528 |
|---|---|
| author | Самойленко, А.М. Ронто, А.Н. |
| author_facet | Самойленко, А.М. Ронто, А.Н. |
| citation_txt | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения / А.М. Самойленко, А.Н. Ронто // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second order.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:52:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Сявавко М.С. Iнтегральнi ланцюговi дроби. – Київ: Наук. думка, 1994. – 205 с.
2. Михальчук Б.Р. Iнтерполяцiя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою iнтегральних ланцюгових дро-
бiв // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 3. – С. 364–375.
3. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Михальчук Б. Р. Iнтерполяцiйнi iнтегральнi ланцюговi дроби // Там
же. – 2003. – 55, № 4. – С. 479–488.
4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 534 с.
5. Макаров В.Л., Хлобистов В.В., Демкiв I. I. Про континуальнi вузли iнтерполяцiї формул типу Нью-
тона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах // Доп. НАН України. – 2007. – № 12. – С. 22–27.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 406 с.
Надiйшло до редакцiї 12.06.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
УДК 517.10
© 2008
Академик НАН Украины А.М. Самойленко, А.Н. Ронто
О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного
функционально-дифференциального уравнения
We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point
boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second
order.
В работе рассматривается система линейных функционально-дифференциальных уравне-
ний второго порядка
u′′
k(t) = (lku)(t) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (1)
для которой указываются признаки однозначной разрешимости двухточечной краевой за-
дачи
uk(a) = c0k, k = 1, 2, . . . , n, (2)
u′
k(τ) = c1k, k = 1, 2, . . . , n. (3)
Здесь −∞ < a < b < +∞, τ ∈ [a, b], {c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R, функции fk,
k = 1, 2, . . . , n, локально интегрируемы по Лебегу и удовлетворяют некоторым дополни-
тельным условиям, а l = (lk)
n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b), Rn) — линейный оператор,
преобразующий C([a, b], Rn) в некоторый класс функций, более широкий, чем L1([a, b], Rn),
и более узкий, чем L1;loc((a, b), Rn). Постановка (1) включает в себя, в частности, диффе-
ренциальную систему с отклоняющимся аргументом
u′′
k(t) =
m∑
i=1
n∑
j=1
pikj(t)uj(ωikj(t)) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 23
где m > 1, n > 1, ωikj : [a, b] → [a, b], i = 1, 2, . . . ,m, k, j = 1, 2, . . . , n, — произвольные изме-
римые преобразования, а локально интегрируемые функции pikj : [a, b] → R, i = 1, 2, . . . ,m,
k, j = 1, 2, . . . , n, могут иметь неинтегрируемые особенности в точках a и b.
Под решением краевой задачи (1), (2), (3) с a < τ < b (соответственно, τ = b, τ = a)
понимается непрерывная вектор-функция u = (uk)
n
k=1 : [a, b] → R
n со свойствами (2) и (3),
почти всюду на [a, b] имеющая вторую производную u′′ = (u′′
k)
n
k=1, принадлежащую мно-
жеству L1;loc((a, b), Rn) (соответственно, L1;loc((a, b], Rn), L1;loc([a, b), Rn)) и удовлетворяю-
щую условию
max
k=1,2,...,n
( τ∫
a
(s − a)|u′′
k(s)|ds +
b∫
τ
(b − s)|u′′
k(s)|ds
)
< +∞,
и такая, что почти в каждой точке t отрезка [a, b] соблюдаются дифференциальные соот-
ношения (1).
Отметим, что близкие к содержанию настоящей работы вопросы, относящиеся к теории
краевых задач для сингулярных дифференциальных уравнений, рассматривались, в част-
ности, в монографиях [1–4].
1. Обозначения и определения. В работе используются следующие обозначения
и определения:
1) L1([a, b], Rn) — банахово пространство функций u = (uk)
n
k=1 : [a, b] → R
n с интегриру-
емыми по Лебегу компонентами u1, u2, . . ., un и обычной нормой;
2) L1;loc((a, b), Rn) (соответственно, L1;loc([a, b), Rn), L1;loc((a, b], Rn)) означает множество
вектор-функций u : (a, b) → R
n (соответственно, u : [a, b) → R
n, u : (a, b] → R
n), для которых
u|[a+ε,b−ε] ∈ L1([a+ε, b−ε], Rn) (соответственно, u|[a,b−ε] ∈ L1([a, b−ε], Rn), u|[a+ε,b] ∈ L1([a+
+ ε, b], Rn)) для любого ε ∈ (0, (b − a)/2) (соответственно, ε ∈ (0, b − a));
3) C([a, b], Rn) — банахово пространство непрерывных функций из [a, b] в R
n с равно-
мерной нормой;
4) если l = (lk)
n
k=1 — оператор, действующий из C([a, b], Rn) в L1;loc((a, b), Rn) (соответст-
венно, в L1;loc([a, b), Rn), L1;loc((a, b], Rn)), то отображения lk : C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b), R)
(соответственно, в L1;loc([a, b), R), L1;loc((a, b], R)), k = 1, 2, . . . , n, называются его компонен-
тами.
Символом L̃1([a, b), R) (соответственно, L̃1((a, b], R)) далее обозначаем множество всех
тех функций x ∈ L1;loc([a, b), R) (соответственно, x ∈ L1;loc((a, b], R)), для которых соблю-
дается условие
b∫
a
(b − s)|x(s)|ds < +∞
(
соответственно,
b∫
a
(s − a)|x(s)|ds < +∞
)
.
Наконец, символом L̃1((a, b), R) обозначаем множество всех x ∈ L1;loc((a, b), R), для которых
a+b
2∫
a
(s − a)|x(s)|ds +
b∫
a+b
2
(b − s)|x(s)|ds < +∞.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Линейное многообразие L̃1([a, b), Rn) вводится как множество всех тех x = (xk)
n
k=1 :
[a, b) → R
n, для которых xk ∈ L̃1([a, b), R) при каждом k = 1, 2, . . . , n. Подобным образом
определяются множества L̃1((a, b], Rn) и L̃1((a, b), Rn).
Линейный оператор l, действующий из C([a, b], Rn) в L1;loc([a, b), R) (соответственно,
в L1;loc((a, b], R), L1;loc((a, b), R)), будем называть регулярным, если существуют неотрица-
тельные функции hj, j = 1, 2, . . . , n, принадлежащие множеству L̃1([a, b), R) (соответствен-
но, L̃1((a, b], R), L̃1((a, b), R)) и такие, что для всех u = (uk)
n
k=1 из C([a, b], Rn) и почти всех t
из [a, b] соблюдается неравенство
|(lu)(t)| 6
n∑
j=1
hj(t) max
s∈[a,b]
|uj(s)|. (5)
Линейный оператор l = (lk)
n
k=1, действующий из C([a, b], Rn) в L1;loc([a, b), Rn) (соот-
ветственно, в L1;loc((a, b], Rn), L1;loc((a, b), Rn)) назовем регулярным, если этим свойством
обладает каждая из его компонент lk, k = 1, 2, . . . , n.
Пусть τ — произвольная точка промежутка [a, b]. Скажем, что оператор l, действующий
из C([a, b], Rn) в одно из множеств L1;loc([a, b), R), L1;loc((a, b], R) и L1;loc((a, b), R), τ -поло-
жителен, если для любой функции u = (uk)
n
k=1 ∈ C([a, b], Rn), обладающей свойством
min
k=1,2,...,n
min
t∈[a,b]
uk(t) > 0, (6)
выполнено соотношение vraimin
t∈[a,b]
(lu)(t) sign(t− τ) > 0. Аналогично, отображение l = (lk)
n
k=1
из C([a, b], Rn) в L1;loc([a, b), Rn), L1;loc((a, b], Rn) или L1;loc((a, b), Rn) назовем τ -положитель-
ным, если этим свойством обладают все его компоненты lk, k = 1, 2, . . . , n. Оператор со свой-
ством a-положительности (b-положительности) назовем положительным (отрицательным).
2. Общие теоремы. Имеет место следующее утверждение об однозначной разрешимо-
сти задачи (1), (2), (3).
Теорема 1. Предположим, что a < τ < b, а операторы lk, k = 1, 2, . . . , n, в системе (1)
допускают представление в виде
lk = l+k − l−k , (7)
где l+k и l−k , k = 1, 2, . . . , n, — некоторые τ -положительные регулярные линейные отобра-
жения C([a, b], Rn) в L1;loc((a, b), R). Кроме того, пусть существуют постоянная ε ∈ (0, 1)
и вектор-функция y = (yk)
n
k=1 : [a, b] → R
n с абсолютно непрерывными компонентами yk,
k = 1, 2, . . . , n, удовлетворяющими условиям
yk(a) = 0, k = 1, 2, . . . , n, (8)
yk(t) > 0, k = 1, 2, . . . , n, t ∈ (a, b], (9)
и такими, что при каждом k = 1, 2, . . . , n и почти всех t ∈ [a, b] соблюдается функцио-
нально-дифференциальное неравенство
εy′k(t) >
t∫
τ
[(l+k y)(ξ) + (l−k y)(ξ)] dξ. (10)
Тогда задача (1), (2), (3) имеет единственное решение при произвольных {c0k, c1k | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ R и {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b), R).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 25
Следует отметить, что постоянная ε в соотношении (10) должна быть строго меньшей 1,
поскольку ослабленная версия
min
k=1,2,...,n
vraimin
t∈[a,b]
(
y′k(t) −
t∫
τ
[(l+k y)(ξ) + (l−k y)(ξ)] dξ
)
> 0
условия (10) уже не обеспечивает справедливости заключения теоремы 1.
Теорема 2. Предположим, что a < τ < b, а линейный оператор l = (lk)
n
k=1 :
C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b), Rn) регулярен и τ -положителен. Пусть существуют посто-
янная ε ∈ (0, 1) и абсолютно непрерывная функция y = (yk)
n
k=1 : [a, b] → R
n, для ком-
понент yk, k = 1, 2, . . . , n, которой выполнены условия (8), (9) и, кроме того, при всех
k = 1, 2, . . . , n и почти всех t ∈ [a, b] соблюдается функционально-дифференциальное не-
равенство
εy′k(t) >
t∫
τ
(lky)(ξ) dξ. (11)
Тогда задача (1), (2), (3) имеет единственное решение при произвольных {c0k, c1k | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ R и {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b), R). Если, кроме того, для постоян-
ных c0k, c1k и функций fk, k = 1, 2, . . . , n, соблюдаются соотношения
t∫
a
( ξ∫
τ
fk(s)ds
)
dξ > −c0k − c1k(t − a), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (12)
то единственное решение u = (uk)
n
k=1 этой задачи обладает свойством (6).
Аналогично замечанию, сделанному выше в связи с условием (10) теоремы 1, можно
утверждать, что условие (11) теоремы 1 нельзя заменить более слабым условием
min
k=1,2,...,n
vraimin
t∈[a,b]
(
y′k(t) −
t∫
τ
(lky)(ξ) dξ
)
> 0, (13)
поскольку заключение последней теоремы при такой замене теряет силу. В качестве при-
мера достаточно рассмотреть однородную двухточечную задачу u(a) = 0, u′(τ) = 0 для
скалярного функционально-дифференциального уравнения
u′′(t) = −
2χτ (t)
(τ − a)2
u(τ), t ∈ [a, b],
где τ ∈ (a, b], а функция χτ : [a, b] → {0, 1} определена так, что χτ (t) = 1 при t ∈ [a, τ)
и χτ (t) = 0 при t ∈ [τ, b].
В случае, когда τ = b и, следовательно, условие (3) имеет вид
u′
k(b) = c1k, k = 1, 2, . . . , n, (14)
справедливо такое утверждение.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Теорема 3. Пусть lk, k = 1, 2, . . . , n, допускают представление в виде (7), где l+k и l−k ,
k = 1, 2, . . . , n, — отрицательные регулярные операторы из C([a, b], Rn) в L1;loc((a, b], R).
Далее, пусть существуют постоянная ε ∈ (0, 1) и функция y = (yk)
n
k=1 : [a, b] → R
n, компо-
ненты yk, k = 1, 2, . . . , n, которой удовлетворяют условиям (8), (9), абсолютно непрерыв-
ны и таковы, что для всех k = 1, 2, . . . , n и почти всех t ∈ [a, b] соблюдаются неравенства
εy′k(t) >
b∫
t
|(l+k y)(ξ) + (l−k y)(ξ)| dξ. (15)
Тогда задача (1), (2), (14) однозначно разрешима для произвольных постоянных {c0k, c1k |
k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R и функций {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b], R).
Условия следующей теоремы, помимо существования и единственности решения зада-
чи (1), (2), (14), обеспечивают также его неотрицательность.
Теорема 4. Пусть l = (lk)
n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b], Rn) в системе (1) регулярен
и отрицателен. Пусть существуют константа ε ∈ (0, 1) и функция y = (yk)
n
k=1 : [a, b] →
→ R
n с абсолютно непрерывными компонентами yk, k = 1, 2, . . . , n, удовлетворяющими
условиям (8), (9) и такими, что для всех k = 1, 2, . . . , n и почти всех t ∈ [a, b]
εy′k(t) >
b∫
t
|(lky)(ξ)| dξ. (16)
Тогда задача (1), (2), (14) имеет единственное решение для любых постоянных {c0k, c1k |
k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R и функций {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b], R). Более того, если c0k, c1k
и fk, k = 1, 2, . . . , n, удовлетворяют соотношениям
c0k + c1k(t − a) >
t∫
a
( b∫
ξ
fk(s)ds
)
dξ, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n,
то единственное решение u = (uk)
n
k=1 этой задачи обладает свойством (6).
При τ = a условие (3), очевидно, имеет вид
u′
k(a) = c1k, k = 1, 2, . . . , n. (17)
В этом случае задача (1), (2), (3) является задачей Коши, и для нее справедливо следующее
утверждение.
Теорема 5. Пусть lk, k = 1, 2, . . . , n, допускают разложение в виде (7), где l+k и l−k ,
k = 1, 2, . . . , n, — положительные регулярные отображения C([a, b], Rn) в L1;loc([a, b), R).
Пусть найдутся постоянная ε ∈ (0, 1) и вектор-функция y = (yk)
n
k=1 : [a, b] → R
n, все
компоненты yk, k = 1, 2, . . . , n, которой абсолютно непрерывны, удовлетворяют услови-
ям (8), (9) и таковы, что при каждом k = 1, 2, . . . , n и почти всех t ∈ [a, b]
εy′k(t) >
t∫
a
[(l+k y)(ξ) + (l−k y)(ξ)] dξ. (18)
Тогда задача Коши (1), (2), (17) однозначно разрешима для произвольных {c0k, c1k | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ R и {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1([a, b), R).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 27
Приводимая ниже теорема гарантирует неотрицательность решения задачи (1), (2), (17).
Теорема 6. Пусть линейный оператор l = (lk)
n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1;loc([a, b), Rn)
в (1) регулярен и положителен. Пусть существуют постоянная ε ∈ (0, 1) и функция
y = (yk)
n
k=1 : [a, b] → R
n, все компоненты yk, k = 1, 2, . . . , n, которой абсолютно непрерыв-
ны, удовлетворяют условиям (8), (9) и таковы, что при каждом k = 1, 2, . . . , n и почти
всех t ∈ [a, b]
εy′k(t) >
t∫
a
(lky)(ξ) dξ. (19)
Тогда задача Коши (1), (2), (17) при произвольных {c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R и {fk | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1([a, b), R) имеет единственное решение. Если, кроме того, для c0k, c1k
и fk, k = 1, 2, . . . , n, соблюдаются соотношения
t∫
a
(t − s)fk(s) ds > −c0k − c1k(t − a), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n,
то это решение обладает свойством (6).
3. Теоремы для случая системы (4). Приведенные выше теоремы позволяют ука-
зать признаки существования и единственности решения двухточечной задачи (2), (3) для
системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (4).
Теорема 7. Пусть {pikj | i = 1, 2, . . . ,m; k, j = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1;loc((a, b], R) таковы, что
m∑
i=1
n∑
k=1
n∑
j=1
b∫
a
(ξ − a)|pikj(ξ)|dξ < +∞, (20)
и, кроме того, существуют такие {α1, α2, . . . , αn} ⊂ (0,+∞) и {γ1, γ2, . . . , γn} ⊂ (0,+∞),
при которых для каждого k = 1, 2, . . . , n соблюдается неравенство
sup
t∈(a,b]
1
(t − a)αk−1
m∑
i=1
n∑
j=1
γj
b∫
t
(ωikj(ξ) − a)αj |pikj(ξ)|dξ < γkαk. (21)
Тогда задача (4), (2), (14) однозначно разрешима для всех вещественных c0k, c1k, k =
= 1, 2, . . . , n, и функций {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b], R).
Следствие 1. Предположим, что {pikj | i = 1, 2, . . . ,m, k, j = 1, 2, . . . , n} ⊂
⊂ L1;loc((a, b], R) и измеримые функции ωikj : [a, b] → [a, b], i = 1, 2, . . . ,m, k, j = 1, 2, . . . , n,
при некоторых значениях {γ1, γ2, . . . , γn} ⊂ (0,+∞) удовлетворяют условию
max
k=1,2,...,n
1
γk
m∑
i=1
n∑
j=1
γj
b∫
a
(ωikj(ξ) − a)|pikj(ξ)|dξ < 1. (22)
Пусть, кроме того, для всех i = 1, 2, . . . ,m и k, j = 1, 2, . . . , n соблюдается неравенство
vraimax
t∈[a,b]\Γ
t − a
ωikj(t) − a
< +∞, (23)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
где Γ :=
m⋃
i=1
n⋃
k=1
n⋃
j=1
ω−1
ikj(a). Тогда задача (4), (2), (14) однозначно разрешима для всех
{c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R и функций {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1((a, b], R).
Приведем соответствующие теоремы для сингулярной задачи Коши (4), (2), (14) (заме-
тим, что в регулярном случае подобные результаты получены в [5]).
Теорема 8. Пусть для {pikj | i = 1, 2, . . . ,m; k, j = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1;loc([a, b), R) выпол-
нено условие
m∑
i=1
n∑
k=1
n∑
j=1
b∫
a
(b − ξ)|pikj(ξ)|dξ < +∞, (24)
и, кроме того, можно указать некоторые {α1, α2, . . . , αn} ⊂ (0,+∞) и {γ1, γ2, . . . , γn} ⊂
⊂ (0,+∞), при которых для каждого k = 1, 2, . . . , n соблюдается строгое неравенство
sup
t∈(a,b]
1
(t − a)αk−1
m∑
i=1
n∑
j=1
γj
t∫
a
(ωikj(ξ) − a)αj |pikj(ξ)|dξ < γkαk. (25)
Тогда задача Коши (4), (2), (17) однозначно разрешима для любых значений постоянных
{c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R и произвольных функций {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1([a, b), R).
Из теоремы 9 вытекает
Следствие 2. Предположим, что при некоторых {γ1, γ2, . . . , γn} ⊂ (0,+∞) функции
{pikj | i = 1, 2, . . . ,m, k, j = 1, 2, . . . , n} ⊂ L1;loc([a, b), R) и измеримые функции ωikj : [a, b] →
→ [a, b], i = 1, 2, . . . ,m, k, j = 1, 2, . . . , n, удовлетворяют условию (22) и, кроме того, для
всех i = 1, 2, . . . ,m и k, j = 1, 2, . . . , n соблюдается неравенство
vraimax
t∈[a,b]\Γ
b − t
ωikj(t) − a
< +∞. (26)
Тогда задача Коши (4), (2), (17) однозначно разрешима для произвольных {c0k, c1k | k =
= 1, 2, . . . , n} ⊂ R и {fk | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ L̃1([a, b), R).
Работа выполнена при частичной поддержке INTAS YS Fellowship No. 04-83-3968.
1. Азбелев Н. В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональ-
но-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. – Москва: Ин-т компьютерных исследова-
ний, 2002. – 384 с.
2. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Сохадзе З. Задача Коши для сингулярных функционально-дифференциальных уравнений. – Кутаи-
си: Изд-во Кутаис. гос. ун-та, 2005. – 84 с.
4. Rachu̇nková I., Staněk S., Tvrdý M. Singularities and Laplacians in boundary value problems for nonlinear
ordinary differential equations // Handbook of Differential Equations (Ordinary Differential Equations).
Vol. 3. – Elsevier, 2006. – P. 605–721.
5. Ронто А.М., Дiльна Н. З. Умови однозначної розв’язностi початкової задачi для лiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь другого порядку з вiдхиленнями аргументу // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9,
№ 4. – С. 535–547.
Поступило в редакцию 22.06.2007Институт математики НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3890 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:52:29Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, А.М. Ронто, А.Н. 2009-07-14T07:50:08Z 2009-07-14T07:50:08Z 2008 О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения / А.М. Самойленко, А.Н. Ронто // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3890 517.10 We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second order. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения Article published earlier |
| spellingShingle | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения Самойленко, А.М. Ронто, А.Н. Математика |
| title | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| title_full | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| title_fullStr | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| title_full_unstemmed | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| title_short | О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| title_sort | о сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3890 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoam osingulârnoidvuhtočečnoizadačedlâlineinogofunkcionalʹnodifferencialʹnogouravneniâ AT rontoan osingulârnoidvuhtočečnoizadačedlâlineinogofunkcionalʹnodifferencialʹnogouravneniâ |