Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp
Some statements related to integral transformations of the convolution type in the spaces Lp
 are presented. These results complete and specify similar results considered earlier in Shapiro’s,
 Boman–Shapiro’s, and M. F. Timan’s works. This concerns the periodic functions with Fourie...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3891 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp / О.Б. Шаврова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 30-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860170095145254912 |
|---|---|
| author | Шаврова, О.Б. |
| author_facet | Шаврова, О.Б. |
| citation_txt | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp / О.Б. Шаврова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 30-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Some statements related to integral transformations of the convolution type in the spaces Lp
are presented. These results complete and specify similar results considered earlier in Shapiro’s,
Boman–Shapiro’s, and M. F. Timan’s works. This concerns the periodic functions with Fourier
monotonous coefficients.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:58:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2008
О.Б. Шаврова
Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними
коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О. I. Степанцем )
Some statements related to integral transformations of the convolution type in the spaces Lp
are presented. These results complete and specify similar results considered earlier in Shapiro’s,
Boman–Shapiro’s, and M. F. Timan’s works. This concerns the periodic functions with Fourier
monotonous coefficients.
У роботах [1–3] було одержано ряд результатiв, якi стосуються оцiнок величин
D(f ;σ;h; p) =
∥∥∥∥∥
∞∫
−∞
f(x − uh) dσ(u)
∥∥∥∥∥
Lp
(1)
у просторах Lp, де σ(u) — довiльна функцiя обмеженої варiацiї на (−∞;∞). Автором даного
повiдомлення встановлюються деякi твердження, якi доповнюють та уточнюють результати
з вказаних робiт.
Теорема 1. Нехай функцiя f(x) ∈ Lp (1 < p < ∞) має ряд Фур’є
∞∑
n=0
An(x)
(
A0(x) =
a0
2
, Aν(x) = aν cos νx + bν sin νx, ν = 1, 2, . . .
)
,
з монотонно спадаючими коефiцiєнтами Фур’є {an, bn}. Тодi справедлива оцiнка
Dp(f ;σ;h; p) 6 M(σ, p)
{
m∑
ν=0
Ep
2ν
−1
(f)Lpδ
p(2ν , h) + Ep
2m+1
−1
(f)Lp
}
, (2)
де h =
1
2m+1
, δ(2ν , h) =
2ν+1
−1∑
µ=2ν
|σ̂(µh)−σ̂((µ+1)h)|+|σ̂(2νh)|, σ̂(x) =
∞∫
−∞
e−ixtdσ(t),
∞∫
−∞
dσ(t) =
= 0, σ̂(−t) = σ̂(t), En(f)Lp — найкращi наближення функцiї f(x) тригонометричними
полiномами порядку 6 n в метрицi Lp.
Теорема 2. Нехай коефiцiєнти Фур’є 2π-перiодичної функцiї f(x) ∈ Lp (1 < p < ∞)
монотонно спадають i при h = (1/2m+1) σ̂(t) задовольняє умови
γ(µ; ν;h) =
|σ̂(µh)|−p
ν−1∑
k=0
|σ̂(2kh)|p, 2ν−1
6 µ 6 2ν − 1 (ν = 1, 2, . . . ,m + 1),
0, µ > 2m+1;
γ(µ; ν;h) 6 C,
2ν+1
−1∑
µ=2ν
|γ(µ; ν;h) − γ(µ + 1; ν;h)| 6 C (ν = 1, 2, . . . ,m + 1).
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Справедлива оцiнка
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|pEp
2k
−1
(f)Lp 6 B(σ, p){Dp(f ;σ;h; p) + Ep
2m+1
−1
(f)Lp}, (3)
де константа B(σ, p) не залежить вiд h i функцiї f(x).
Зауважимо, що теореми 1, 2 уточнюють оцiнку
D(f ;σ;h; p) 6 A(σ, p)
{
m∑
ν=0
Eγ
nν−1
(f)Lpδ
γ(nνh) + Eγ
nm+1−1
(f)Lp
}1/γ
, (4)
де γ = min(2, p), n0 = 1 < n1 < n2 < · · · < nk < · · · , nk+1/nk > q > 1 (k = 1, 2, . . .),
nm+1 6 1/h, A(σ, p) — константа, яка залежить тiльки вiд σ та p, σ̂(x) =
∞∫
−∞
e−iuxdσ(u),
δ(nν , h) =
nν+1−1∑
µ=nν
|σ̂(µh) − σ̂((µ + 1)h)| + |σ̂(nνh)|, яка мiститься в [3], та оцiнку
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|γEγ
2k
−1
(f)Lp 6 B(σ, p){Dγ(f ;σ;h; p) + Eγ
2m+1
−1
(f)Lp}, (5)
де γ = max(2, p). Оцiнки (4), (5) також наведенi в роботi [3] для функцiй з довiльними
коефiцiєнтами Фур’є. Це уточнення стосується можливостi замiни показника γ в оцiнках (4)
та (5) на γ = p у випадку функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є.
Доведення теореми 1. Не обмежуючи загальнiсть, проведемо доказ оцiнки (2) лише
для випадку, коли функцiя f(x) парна та має ряд Фур’є виду
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos nx. Тодi
D(f ;σ;h; p) =
∥∥∥∥∥
∞∫
−∞
f(x − th)dσ(t)
∥∥∥∥∥
Lp
=
∥∥∥∥∥
∞∑
ν=1
σ̂(νh)aν cos νx
∥∥∥∥∥
Lp
. (6)
Далi, завдяки нерiвностi Мiнковського, маємо
D(f ;σ;h; p) 6
∥∥∥∥∥
2m+1
−1∑
ν=1
σ̂(νh)aν cos νx
∥∥∥∥∥
Lp
+
∥∥∥∥∥
∞∑
ν=2m+1
σ̂(νh)aν cos νx
∥∥∥∥∥
Lp
= S1 + S2.
Зауважимо, що, коли p < 2, оцiнка (2) мiститься в оцiнцi (5). Для p > 2, завдяки вiдомiй
нерiвностi Пелi (див. [4, т. 2, § 5]), яка має вигляд
‖f(x)‖Lp 6 Mp
{
∞∑
n=1
|cn|
pnp−2
}1/p
(ck — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(x)), одержуємо
Sp
2
=
∥∥∥∥∥
∞∑
ν=2m+1
σ̂(νh)aν cos νx
∥∥∥∥∥
p
Lp
6 Bp
∞∑
ν=2m+1
|σ̂(νh)|pap
νν
p−2
6 V (σ)Bp
∞∑
ν=2m+1
ap
νν
p−2,
(7)
де V (σ) =
∞∫
−∞
|dσ(t)|.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 31
Для функцiй f(x) ∈ Lp (1 < p < ∞) з монотонно спадаючими коефiцiєнтами Фур’є
вiдомо (див. [5]), що
∞∑
ν=2m+1
ap
νν
p−2
6 CpE
p
2m+1(f)Lp . Тому одержуємо
Sp
2
6 MpV (σ)Ep
2m+1(f)Lp . (8)
Для оцiнки S1 скористаємося знову нерiвнiстю Пелi для p > 2
Sp
1
=
∥∥∥∥∥
2m+1
−1∑
ν=1
σ̂(νh)aν cos νx
∥∥∥∥∥
p
Lp
6 Bp
2m+1
−1∑
ν=1
|σ̂(νh)|pap
νν
p−2 =
= Bp
m∑
ν=0
2ν+1
−1∑
µ=2ν
|σ̂(µh)|pap
ννp−2.
Позначимо ∆ν =
2ν+1
−1∑
k=2ν
ap
kk
p−2|σ̂(kh)|p, rk =
∞∑
µ=k
ap
µµp−2, βk = |σ̂(kh)|p. Тепер скористаємося
тотожнiстю
∆ν =
2ν+1
−1∑
k=2ν
(rk − rk+1)βk = r2ν β2ν +
2ν+1
−1∑
k=2ν+1
rk(βk − βk−1) − r2ν+1β2ν+1
−1.
Тодi
∆ν = |σ(2νh)|p
∞∑
k=2ν
ap
kk
p−2 +
2ν+1
−1∑
k=2ν+1
(
∞∑
µ=k
ap
µµp−2
)
(|σ̂(µh)|p − |σ̂((µ − 1)h)|p) −
−
(
∞∑
µ=2ν+1
ap
µµp−2
)
|σ̂((2ν+1 − 1)h)|p.
Оскiльки коефiцiєнти Фур’є {aν} функцiї f(x) монотонно спадають, то завдяки оцiнкам
А. Конюшкова (див. [5]), rk =
∞∑
µ=k
ap
µµp−2 6 CpE
p
k(f)Lp , маємо
∆ν 6 BpCp
{
|σ̂(2νh)|pEp
2ν
−1
(f)Lp +
2ν+1
−1∑
k=2ν+1
Ep
k−1
(f)Lp ||σ̂(kh)|p − |σ̂((k − 1)h)|p|
}
. (9)
Використовуючи оцiнку (9), одержуємо
Sp
1
6 M(σ, p)
{
m∑
ν=0
|σ̂(2νh)|pEp
2ν
−1
(f)Lp +
+
m∑
ν=0
2ν+1
−1∑
k=2ν+1
Ep
k−1
(f)Lp ||σ̂(kh)|p − |σ̂((k − 1)h)|p|
}
. (10)
З оцiнок (8) та (9) випливає твердження теореми 1.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Доведення теореми 2. Нехай 1 < p < 2. Розглянемо величину
Qm(f ; σ̂;h) =
{
m∑
k=0
Ep
2k
−1
(f)Lp |σ̂(2kh)|p
}1/p
.
Вiдомо, що для 1 < p < ∞ ‖f(x)−
n∑
µ=0
Aµ(x)‖Lp 6 BpEn(f)Lp , де Aµ(x) — члени ряду Фур’є
функцiї f(x). Користуючись цим, одержуємо оцiнку
Qp
m(f ; σ̂;h) 6 Bp
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p‖
∞∑
µ=2k
Aµ(x)‖p
Lp
= Bp
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p‖
∞∑
ν=k
∆ν(f ;x)‖p
Lp
,
де ∆ν(f ;x) =
2ν+1
−1∑
µ=2ν
Aµ(x).
Використовуючи теорему Лiттльвуда i Пелi (див. [4, т. 2, с. 348]), одержуємо
∥∥∥∥∥
∞∑
ν=k
∆ν(f ;x)
∥∥∥∥∥
p
Lp
6 Bp
2π∫
0
(
∞∑
ν=k
|∆µ(f ;x)|2
)p/2
dx.
Враховуючи, що 1 < p < 2, маємо оцiнку
Qp
m(f ; σ̂;h) 6
2π∫
0
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p
∞∑
ν=k
|∆ν(f ;x)|pdx.
Далi, величину Qp
m(f ; σ̂;h) зобразимо у виглядi двох доданкiв:
R1 =
2π∫
0
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p
m∑
ν=k
|∆ν(f ;x)|pdx, R2 =
2π∫
0
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p
∞∑
ν=m+1
|∆ν(f ;x)|pdx.
Переставляючи порядок пiдсумовування, знаходимо, що
R1 =
2π∫
0
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p
m∑
ν=k
|∆ν(f ;x)|pdx =
2π∫
0
m∑
k=0
|∆k(f ;x)|p
k∑
µ=0
|σ̂(2µh)|pdx.
Використовуючи умови теореми для функцiї σ̂(t) та теорему Марцинкевича (див. [4, т. 2,
с. 346]) про мультиплiкатори, одержуємо оцiнку
R1 6 Mp
2π∫
0
∣∣∣∣∣
2m+1
−1∑
µ=1
σ̂(µh)Aµ(x)
∣∣∣∣∣
p
dx.
Завдяки тому, що частиннi суми рядiв Фур’є в просторах Lp, коли 1 < p < ∞, за порядком
не бiльше норми функцiї, знаходимо, що
R1 6 Mp‖Fσ(f ;x;h)‖p
Lp
= MpD
p(f ;σ;h; p).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 33
Оцiнюючи доданок R2, маємо
R2 =
2π∫
0
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p
∞∑
ν=m+1
|∆ν(f ;x)|pdx 6 Ep
2m+1
−1
(f)Lp
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|p 6
6 Ep
2m+1
−1
(f)Lp |σ̂(mh)|p 6 V (σ̂)pEp
2m+1
−1
(f)Lp .
На пiдставi оцiнок величин R1 та R2 одержуємо твердження теореми.
Зауважимо, що коли p > 2, то для будь-якої системи чисел {cn} вiдома нерiвнiсть{
∞∑
n=1
|cn|
p
}1/p
6
{
∞∑
n=1
|cn|
2
}1/2
, а для 1 < p < 2
{
∞∑
n=1
|cn|
2
}1/2
6
{
∞∑
n=1
|cn|
p
}1/p
. З цього
випливає, що оцiнка (2) за порядком краща, нiж (5), а оцiнка (3) за порядком краща, нiж
оцiнка
m∑
k=0
|σ̂(2kh)|γEγ
2k
−1
(f)Lp 6 B(σ, p){Dγ(f ;σ;h; p) + Eγ
2m+1
−1
(f)Lp},
де γ = max(2, p), яка наведена в роботi (див. [3]).
1. Shapiro H. S. A tauberian theorem related to approximation theory // Acta Math. – 1968. – 120, No 3–4. –
P. 279–292.
2. Shapiro H. S., Boman J. Comparison theorems for a generalized modules of continuity // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1969. – 75, No 6. – P. 1266–1268.
3. Тиман М.Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Днепропетровск: Полиграфист,
2000. – 320 с.
4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – Москва: Мир, 1965. – Т. 2.
5. Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фу-
рье // Мат. сб. – 1958. – 44, 86: 11. – С. 53–84.
Надiйшло до редакцiї 08.06.2007Днiпропетровський державний аграрний унiверситет
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3891 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:58:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шаврова, О.Б. 2009-07-14T07:50:56Z 2009-07-14T07:50:56Z 2008 Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp / О.Б. Шаврова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 30-34. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3891 517.5 Some statements related to integral transformations of the convolution type in the spaces Lp
 are presented. These results complete and specify similar results considered earlier in Shapiro’s,
 Boman–Shapiro’s, and M. F. Timan’s works. This concerns the periodic functions with Fourier
 monotonous coefficients. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp Article published earlier |
| spellingShingle | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp Шаврова, О.Б. Математика |
| title | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp |
| title_full | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp |
| title_fullStr | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp |
| title_full_unstemmed | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp |
| title_short | Перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами Фур’є в просторi Lp |
| title_sort | перетворення типу згортки для функцiй з монотонними коефiцiєнтами фур’є в просторi lp |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3891 |
| work_keys_str_mv | AT šavrovaob peretvorennâtipuzgortkidlâfunkciizmonotonnimikoeficiêntamifurêvprostorilp |