Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок
Generalized commutation relations are introduced for the operators of coordinates and momenta
 of different particles. The wave equations are obtained for one-dimensional quantum systems
 of two particles. A representation for the momentum operator for a one-dimensional three
...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3894 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок / М.В. Кузьменко, I.В. Сименог // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 77-83. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860133582091059200 |
|---|---|
| author | Кузьменко, М.В. Сименог, I.В. |
| author_facet | Кузьменко, М.В. Сименог, I.В. |
| citation_txt | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок / М.В. Кузьменко, I.В. Сименог // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 77-83. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Generalized commutation relations are introduced for the operators of coordinates and momenta
of different particles. The wave equations are obtained for one-dimensional quantum systems
of two particles. A representation for the momentum operator for a one-dimensional three
particle problem is constructed. General qualitative conclusions concerning the dynamics of
such quantum systems of particles are discussed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:46:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 530.145
© 2008
М. В. Кузьменко, I. В. Сименог
Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй
механiцi систем частинок
(Представлено академiком НАН України А. Г. Загороднiм)
Generalized commutation relations are introduced for the operators of coordinates and momenta
of different particles. The wave equations are obtained for one-dimensional quantum systems
of two particles. A representation for the momentum operator for a one-dimensional three-
particle problem is constructed. General qualitative conclusions concerning the dynamics of
such quantum systems of particles are discussed.
Висловлена свого часу [1] iдея узагальнення спiввiдношень некомутативностi для операто-
рiв просторових координат та часу в квантовiй теорiї в останнi два десятирiччя отримала
свiй розвиток в самих рiзних напрямках. Узагальненi пiдходи некомутативної геометрiї зна-
йшли своє застосування в квантовiй гравiтацiї та квантовiй теорiї поля [2–5]. Рiзноманiтнi
модифiкованi комутацiйнi спiввiдношення та вiдповiдно узагальнена алгебра Гайзенберга
досить популярнi в загальних проблемах квантової теорiї, описi рiзноманiтних екзотичних
квазiчастинок в теорiї конденсованого стану, в теорiї квантових груп [4–10]. Iдея про те, що
комутацiйнi спiввiдношення Гайзенберга можуть бути узагальненi на оператори координат
та iмпульсiв рiзних частинок, якi некомутують мiж собою, висловлена в роботi [11]. При
цьому виявлено можливу модифiкацiю рiвняння Шрьодiнгера на малих вiдстанях мiж ча-
стинками. Дана робота присвячена розробцi в квантових одновимiрних системах положення
про некомутативнiсть операторiв координат та iмпульсiв рiзних частинок i формулюванню
вiдповiдних квантових хвильових рiвнянь.
1. Одновимiрна модель двох частинок. Класичнi рiвняння руху системи двох час-
тинок з координатами x1 i x2 та масами m1 i m2 отримуються iз функцiї Гамiльтона
H =
p2
1
2m1
+
p2
2
2m2
+ V (|x1 − x2|). (1)
Цiй класичнiй системi двох частинок стандартно ставимо (див. зокрема [12]) у вiдповiд-
нiсть квантову систему шляхом замiни у гамiльтонiанi величин x1, x2, p1 i p2 вiдповiдними
операторами:
x1 → x̂1 = x1, x2 → x̂2 = x2, (2)
p1 → p̂1 = −i~
∂
∂x1
, p2 → p̂2 = −i~
∂
∂x2
. (3)
Оператори x̂1, x̂2, p̂1 i p̂2 такi, що задовольняють комутацiйнi спiввiдношення
[x̂1, p̂1] = i~, [x̂2, p̂2] = i~. (4)
Всi iншi можливi комутатори дорiвнюють нулю, в тому числi й такi:
[x̂1, p̂2] = 0, [x̂2, p̂1] = 0. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 77
Рiвностi (5) означають, що вимiрювання координати (або iмпульсу) однiєї частинки
принципово не збурює стан iмпульсу (або координати) iншої частинки навiть за наявно-
стi сил взаємодiї мiж частинками (див. [13). Тобто, змiна силового впливу однiєї частинки
на iншу, викликана вимiрюванням координати першої частинки, повинна поширитися за
скiнченний час. В той же час, у нерелятивiськiй квантовiй теорiї вважається, що швидкiсть
поширення взаємодiї є нескiнченно великою. Це є вагомою причиною, що дозволяє нам
вiдмовитися вiд обов’язкового виконання комутацiйних спiввiдношень (5).
Вважатимемо, що при збуреннi положення однiєї частинки вiдбувається неконтрольо-
ване передавання iмпульсу не тiльки цiй частинцi, а й всiй системi в цiлому. Будемо також
вимагати, щоб комутатори операторiв координат кожної частинки з оператором повного
iмпульсу системи, як i для стандартної картини Гайзенберга–Шрьодiнгера, дорiвнювали:
[x̂1, P̂ ] = i~, [x̂2, P̂ ] = i~. (6)
Тут P̂ = p̂1 + p̂2 — оператор повного iмпульсу системи.
Нехай узагальненi комутацiйнi спiввiдношення мiж координатами та iмпульсами в сис-
темi двох частинок будуть
[x̂1, p̂2] = i~ε̂12, (7)
де ε̂12 — деякий ермiтовий оператор. Тодi з (6) випливає, що
[x̂1, p̂1] = i~(1 − ε̂12). (8)
Аналогiчно, якщо
[x̂2, p̂1] = i~ε̂21, (9)
то
[x̂2, p̂2] = i~(1 − ε̂21). (10)
Будемо вважати, що оператори координат (i вiдповiдно iмпульсiв) рiзних частинок ко-
мутують, як i в стандартному представленi Гайзенберга–Шрьодiнгера
[x̂1, x̂2] = 0, [p̂1, p̂2] = 0, (11)
що дозволяє використати цi оператори як незалежнi змiннi.
Операторна тотожнiсть Якобi [12]
[Â, [B̂, Ĉ]] + [B̂, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, B̂]] = 0 (12)
для лiнiйних операторiв Â, B̂ i Ĉ дозволяє накласти певнi обмеження на властивостi опе-
раторiв некомутативностi ε̂12 i ε̂21
[p̂1 + p̂2, ε̂12] = 0; [p̂1 + p̂2, ε̂21] = 0; [x̂1, ε̂21] + [x̂2, ε̂12] = 0, (13)
коли оператори ε̂12 i ε̂21 комутують з повним iмпульсом.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Виберемо координати частинок в якостi незалежних змiнних:
x̂1 = x1, x̂2 = x2. (14)
Повний iмпульс системи в цьому випадку повинен бути
P̂ = p̂1 + p̂2 = −i~
∂
∂x1
− i~
∂
∂x2
. (15)
Припустимо, що оператори ε̂12 та ε̂21 є функцiями лише вiдносної координати двох час-
тинок ε̂12 ≡ ε12(x1 − x2) i ε̂21 ≡ ε21(x1 − x2). В такому випадку спiввiдношення (13) вико-
нуються автоматично.
Тодi оператори iмпульсiв кожної з двох частинок можуть бути поданi у виглядi
p̂1 = −i~(1 − ε12)
∂
∂x1
− i~ε21
∂
∂x2
+
i~
2
(ε12)
′
x1
−
i~
2
(ε21)
′
x2
, (16)
p̂2 = −i~ε12
∂
∂x1
− i~(1 − ε21)
∂
∂x2
−
i~
2
(ε12)
′
x1
+
i~
2
(ε21)
′
x2
, (17)
де штрих означає вiдповiдну частинну похiдну. Оператори (14), (16) i (17) задовольняють
комутативнi спiввiдношення (7)–(11).
Зручно ввести вiдносну координату та координату центра мас
x = x1 − x2, X =
m1
M
x1 +
m2
M
x2 (18)
i вимагати роздiлення змiнних у повному гамiльтонiанi системи. Це можливо лише при
додаткових умовах на ε12(x) i ε21(x)
m1ε12(x) −m2ε21(x) = 0, 1 − ε12(x) − ε21(x) 6= 0. (19)
Тодi гамiльтонiан системи можна записати у виглядi незалежних доданкiв
H = HX +Hx, (20)
де гамiльтонiан центра мас має стандартний вигляд
HX = −
~
2
2M
∂2
∂X2
. (21)
У змiнних x i X оператори iмпульсiв частинок p̂1 i p̂2 остаточно можна навести у виглядi
p̂1 = −i~(1 − ε12 − ε21)
∂
∂x
− i~
m1
M
∂
∂X
+
i~
2
(ε12 + ε12)
′
x, (22)
p̂2 = i~(1 − ε12 − ε21)
∂
∂x
− i~
m2
M
∂
∂X
−
i~
2
(ε12 + ε12)
′
x. (23)
Гамiльтонiан вiдносного руху має вигляд
Hx = −
~
2
2µ
[
ε2(x)
∂2
∂x2
+ 2ε(x)ε′(x)
∂
∂x
+
1
2
ε(x)ε′′(x) +
1
4
[ε′(x)]2
]
+ V (x). (24)
Тут µ — зведена маса системи µ−1 = m−1
1
+m−1
2
, а ε(x) = 1 − ε12(x) − ε21(x).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 79
Оператори некомутативностi ε12(x) i ε21(x) можна виразити тiльки через одну функцiю
ε(x):
ε12(x) =
m2
M
(1 − ε(x)), ε21(x) =
m1
M
(1 − ε(x)). (25)
У хвильовому рiвняннi вiдносного руху за змiнною x
Hxϕ(x) = Eϕ(x), (26)
зробимо замiну змiнних
ψ(q) =
√
ε(x)ϕ(x),
dx
dq
= ε(x). (27)
Для хвильової функцiї ψ(q) тепер маємо остаточно таке квантове хвильове рiвняння:
−
~
2
2µ
d2ψ(q)
dq2
+ V (x(q))ψ(q) = Eψ(q). (28)
Тут вiдносна координата мiж двома частинками x залежить вiд нової змiнної q вiдповiдно
до другого рiвняння в (27).
На великих вiдстанях мiж частинками функцiї некомутативностi ε12(x) i ε21(x) дорiв-
нюють нулю (ми припустили також, що функцiя ε(x) є парною) i тому асимптотично ко-
ординати x та q збiгаються.
Рiвняння (28) свiдчить про те, що для опису квантової системи двох частинок необхi-
дно задавати двi функцiї — це потенцiальна енергiя взаємодiї двох частинок V (x), яка за
визначенням є неквантовою, та функцiя ε(x), яка вiдповiдає за можливу некомутативнiсть
квантових операторiв координат та iмпульсiв рiзних частинок. Ця функцiя некомутативно-
стi може бути вiдмiнною вiд одиницi i породжувати важливi новi квантовi ефекти на малих
вiдстанях мiж частинками.
Щодо природи ε(x) можна припустити: 1) функцiя некомутативностi може бути iсто-
тно вiдмiнною вiд одиницi лише на ультрамалих вiдстанях i мати певний фундаментальний
вигляд, незалежний вiд потенцiалу взаємодiї; 2) функцiя некомутативностi визначається
моделлю взаємодiї i так, що для невзаємодiючих вiльних частинок вона є одиницею (в та-
кому випадку нiякої вiдмiнностi вiд стандартної ситуацiї з двома вiльними квантовими
частинками немає); 3) функцiя некомутативностi ε(x) моделює певним чином релятивiст-
ськi ефекти, коли враховується ефективно скiнченнiсть швидкостi передачi взаємодiї, або
неточковiсть частинок.
Iз загальних мiркувань вiдзначимо, що функцiя некомутативностi ε(x) повинна бути
одиницею на великих вiдстанях i додатна, а на малих вiдстанях бiльше одиницi, так що не-
дiагональнi функцiї некомутативностi ε12(x) i ε21(x) тут стають вiд’ємними. В рiвняннi (28)
некомутативнiсть координат та iмпульсiв рiзних частинок повинна проявлятися в додатко-
вому ефективному вiдштовхуваннi на малих вiдстанях. З iншого боку, якщо маємо взаємо-
дiю типу вiдштовхувального бар’єру, то внаслiдок врахування некомутативностi можливо
зменшення коефiцiєнту вiдбиття вiд бар’єра, а прозорiсть бар’єра вiдповiдно повинна збiль-
шуватись.
2. Одновимiрна модель трьох частинок. Узагальнимо схему некомутативностi опе-
раторiв для рiзних частинок на квантову систему трьох частинок. Нехай оператори коор-
динат трьох частинок будуть x̂1, x̂2 та x̂3, а оператори iмпульсiв p̂1, p̂2 i p̂3.
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Будем вимагати, щоб комутатор координати кожної частинки з оператором повного
iмпульсу системи P̂ = p̂1 + p̂2 + p̂3 був стандартним i дорiвнював i~:
[x̂i, P̂ ] = i~, i = 1, 2, 3. (29)
Введемо
[x̂i, p̂j ] = i~ε̂ij , i 6= j = 1, 2, 3, (30)
де ε̂ij — деякi ермiтовi оператори. Тодi з (29) випливає, що для операторiв координат та
iмпульсiв фiксованої частинки
[x̂i, p̂i] = i~
(
1 −
3∑
j 6=i=1
ε̂ij
)
. (31)
Комутацiйнi спiввiдношення для операторiв координат (i iмпульсiв) рiзних частинок
дорiвнюють нулю
[x̂i, x̂j ] = 0, [p̂i, p̂j ] = 0, i, j = 1, 2, 3, (32)
що дає змогу використати як незалежнi змiннi координати частинок xi.
Надалi, як i у двочастинковiй задачi, обмежимося припущенням, що оператори ε̂ij є
функцiями лише координат частинок.
Використаємо тотожнiсть Якобi (12) для операторiв Â = p̂i, B̂ = p̂j i Ĉ = x̂k (i 6= j,
k = 1, 2, 3), що накладає деякi обмеження на властивостi операторiв ε̂ij . Недiагональнi
матричнi функцiї ε̂ij комутують з повним iмпульсом системи
[P̂ , ε̂ij ] = 0, i 6= j = 1, 2, 3, (33)
i задовольняють таку систему операторних рiвнянь:
[p̂1, ε̂23 + ε̂32] = [p̂3, ε̂21] + [p̂2, ε̂31], (34)
[p̂3, ε̂12 + ε̂21] = [p̂1, ε̂23] + [p̂2, ε̂13], (35)
[p̂2, ε̂13 + ε̂31] = [p̂3, ε̂12] + [p̂1, ε̂32]. (36)
Очевидно, що рiвняння (36) є сумою рiвнянь (34) i (35), тобто незалежними є два з них,
наприклад (34) i (35).
Замiсть декартових координат x̂1, x̂2, x̂3 та декартових операторiв iмпульсiв p̂1, p̂2 i p̂3
зручно перейти до координат та iмпульсiв Якобi
q̂1 = x̂2 − x̂3; q̂2 = x̂1 −
m2x̂2 +m3x̂3
m2 +m3
; X̂ =
m1x̂1 +m2x̂2 +m3x̂3
m1 +m2 +m3
; (37)
P̂1 =
m3p̂2 −m2p̂3
m2 +m3
; P̂2 =
(m2 +m3)p̂1 −m1(p̂2 + p̂3)
m1 +m2 +m3
; P̂ = p̂1 + p̂2 + p̂3. (38)
Тут X̂ — координата центра мас системи, а P̂ — сумарний iмпульс. Умовою вiдокремлення
руху центра мас системи вiд вiдносного руху є рiвнiсть нулю таких комутаторiв:
[q̂1, P̂ ] = 0, [q̂2, P̂ ] = 0, (39)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 81
[X̂, P̂1] = 0, [X̂, P̂2] = 0. (40)
Умови (39) виконуються тотожно, а (40) дають ще двi додатковi умови на шiсть функцiй ε̂ij
m2ε̂21 −m1ε̂12 +m3ε̂31 −m1ε̂13 = 0, (41)
m3ε̂32 −m2ε̂23 +m1ε̂12 −m2ε̂21 = 0. (42)
Таким чином, для шести функцiй ε̂ij маємо чотири додатковi умови (34), (35), (41)
та (42), i тодi в загальному випадку варто очiкувати, що для трьох частинок незалежними
є двi функцiї некомутативностi. Всi функцiї ε̂ij комутують з оператором повного iмпульсу
системи i тому є функцiями лише двох вiдносних координат Якобi ε̂ij(q1, q2).
Як наслiдок попереднiх результатiв остаточно отримуємо для операторiв iмпульсiв трьох
частинок таке представлення:
p̂1 = −i~(1 − ε12 − ε13)
∂
∂x1
− i~ε21
∂
∂x2
− i~ε31
∂
∂x3
+
+
i~
2
[(ε12 + ε13)
′
x1
− (ε21)
′
x2
− (ε31)
′
x3
], (43)
p̂2 = −i~ε12
∂
∂x1
− i~(1 − ε21 − ε23)
∂
∂x2
− i~ε32
∂
∂x3
−
−
i~
2
[(ε12)
′
x1
− (ε21 + ε23)
′
x2
+ (ε32)
′
x3
], (44)
p̂3 = −i~ε13
∂
∂x1
− i~ε23
∂
∂x2
− i~(1 − ε31 − ε32)
∂
∂x3
−
−
i~
2
[(ε13)
′
x1
+ (ε23)
′
x2
− (ε31 + ε32)
′
x3
] (45)
через функцiї некомутативностi.
Цi представлення для операторiв iмпульсiв трьох квантових частинок дають можливiсть
побудувати гамiльтонiан для системи i отримати хвильове тричастинкове рiвняння з ура-
хуванням некомутативностi операторiв координат та iмпульсiв рiзних частинок. Отриманi
рiвняння на матрицю функцiй некомутативностi забезпечують в кiнетичнiй енергiї трьох
частинок роздiлення змiнних центра мас та внутрiшнiх координат. Зауважимо, що операто-
ри iмпульсiв через залежнiсть вiд функцiй некомутативностi опосередковано залежать вiд
усiх внутрiшнiх координат трьох частинок i тим самим на ультрамалих вiдстанях мiж час-
тинками ефективно можуть виникати аномальнi ефекти iстинно тричастинкових кореляцiй
чисто квантового походження. Розвинутий вище пiдхiд допускає поширення на одновимiрнi
багаточастинковi задачi з довiльною кiлькiстю частинок.
Автори вдячнi О.М. Гаврилику, В.П. Гусинiну, А. Г. Загородньому i В. В. Кухтiну за кориснi
дискусiї щодо питань, розглянутих у роботi. Робота виконана за пiдтримки цiльової програми
Вiддiлення фiзики та астрономiї НАН України.
1. Snyder H. S. Quantized Space-Time // Phys. Rev. – 1947. – 71, No 1. – P. 38–41.
2. Witten E. Non-commutative geometry and string field theory // Nucl. Phys. – 1986. – B268, No 2. –
P. 253–294.
3. Jackiw R., Pi S. Y. Covariant coordinate transformations on noncommutative space // Phys. Rev. Lett. –
2002. – 88, No 11. – P. 111603–4.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
4. Douglas M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative field theory // Rev. Mod. Phys. – 2001. – 73, No 4. –
P. 977–1029.
5. Szabo R. J. Quantum field theory on noncommutative spaces // Phys. Rept. – 2003. – 378, No 4. –
P. 207–299.
6. Drinfeld V.G. Quantum groups // Proc. Conf. Math. (A.M. Gleason, ed.), Amer. Math. Soc. – Providence,
RI, 1986. – P. 798–820.
7. Klimyk A., Schmüdgen K. Quantum groups and their representations. – Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag,
1997. – 552 p.
8. Kempf A. Uncertainty relation in quantum mechanics with quantum group symmetry // J. Math. Phys. –
1994. – 35, No 9. – P. 4483–4496.
9. Дюваль C., Хорвати П.А. Некоммутативные координаты, экзотические частицы и аномальные ани-
оны в эффекте Холла // Теорет. мат. физ. – 2005. – 144, № 1. – С. 26–34.
10. Fityo T.V., Vakarchuk I. O., Tkachuk V.M. One-dimensional Coulomb-like problem in deformed space
with minimal length // J. Phys. A: Math. Gen. – 2006. – 39, No 9. – P. 2143–2149.
11. Kuzmenko M.V. Nonrelativistic wave equation for a system of interacting particles // Phys. Rev. A. –
2000. – 61, No 1. – P. 014101–4.
12. Мессиа A. Квантовая механика. Т. 1. – Москва: Наука, 1978. – 480 с.
13. Паули В. Общие принципы волновой механики // Тр. по квантовой теории. – Москва: Наука, 1975. –
С. 352–569.
Надiйшло до редакцiї 02.07.2007Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 83
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3894 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:46:06Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузьменко, М.В. Сименог, I.В. 2009-07-14T07:53:07Z 2009-07-14T07:53:07Z 2008 Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок / М.В. Кузьменко, I.В. Сименог // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 77-83. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3894 530.145 Generalized commutation relations are introduced for the operators of coordinates and momenta
 of different particles. The wave equations are obtained for one-dimensional quantum systems
 of two particles. A representation for the momentum operator for a one-dimensional three
 particle problem is constructed. General qualitative conclusions concerning the dynamics of
 such quantum systems of particles are discussed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Фізика Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок Article published earlier |
| spellingShingle | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок Кузьменко, М.В. Сименог, I.В. Фізика |
| title | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| title_full | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| title_fullStr | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| title_full_unstemmed | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| title_short | Узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| title_sort | узагальнення комутацiйних спiввiдношень в квантовiй механiцi систем частинок |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3894 |
| work_keys_str_mv | AT kuzʹmenkomv uzagalʹnennâkomutaciinihspivvidnošenʹvkvantoviimehanicisistemčastinok AT simenogiv uzagalʹnennâkomutaciinihspivvidnošenʹvkvantoviimehanicisistemčastinok |