Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв
A scheme to calculate a circular single layer potential is proposed. The cubature formulas use Gaussian weights and a value of Meijer’s G-function. The effectiveness of such an approach is shown.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3895 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859943227389378560 |
|---|---|
| author | Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. |
| author_facet | Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. |
| citation_txt | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | A scheme to calculate a circular single layer potential is proposed. The cubature formulas use
Gaussian weights and a value of Meijer’s G-function. The effectiveness of such an approach
is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2008
Академiк НАН України З. Т. Назарчук, Я.П. Кулинич
Кубатурна формула для обчислення деякого класу
сингулярних iнтегралiв
A scheme to calculate a circular single layer potential is proposed. The cubature formulas use
Gaussian weights and a value of Meijer’s G-function. The effectiveness of such an approach
is shown.
Останнiм часом придiляється значна увага розв’язанню задач математичної фiзики методом
граничних iнтегральних рiвнянь, якi зводяться до обчислення двовимiрних сингулярних
iнтегралiв типу потенцiалу простого або подвiйного шару [1]. Зокрема, при побудовi алго-
ритмiв чисельного розв’язання двовимiрних iнтегральних рiвнянь задач дифракцiї хвиль
рiзної фiзичної природи [2] виникає потреба обчислення iнтегралiв виду
F (x) =
∫∫
S
f(y)
|x− y|dSy, (1)
де S — круг одиничного радiуса, x = {x1, x2}, y = {y1, y2}, x ∈ S, а функцiя f(y) задо-
вольняє певнi умови в околi границi S. Можливi два пiдходи до наближеного обчислення
сингулярних iнтегралiв (1). Перший з них полягає в iнтерполюваннi функцiї f(y) i наступ-
ним точним iнтегруванням отриманого виразу. Згiдно з другим пiдходом iнтерполюють
пiдiнтегральний вираз у цiлому з подальшим обчисленням отриманих iнтегралiв. У цьому
випадку отриманi вирази малоефективнi для побудови алгоритму визначення функцiї f(y)
з iнтегрального рiвняння, оскiльки значення f(y) стають залежнi вiд x [3]. Цього недолiку
позбавленi вирази, отриманi з використанням першого пiдходу.
Нижче побудовано кубатурнi формули для обчислення iнтегралiв з використанням iн-
терполювання функцiї f(y).
Перейдемо до полярної системи координат y = {ρ cosϕ, ρ sinϕ}, x = {r cosφ, r sinφ} та
вважатимемо, що поведiнка функцiї f(y) в околi границi S визначається спiввiдношенням
(1 − ρ)βf∗(ρ, ϕ), де β > −1. Тодi
F (r, φ) =
1∫
0
2π∫
0
ρ(1 − ρ)βf∗(ρ, ϕ) dρdϕ√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ− φ)
, (2)
де f∗(ρ, ϕ) = f∗(ρ, ϕ + 2π). Враховуючи перiодичнiсть функцiї f∗(ρ, ϕ) за змiнною ϕ, iн-
терполюємо її в m вузлах τl = 2πl/m, j = 0,m− 1 тригонометричним полiномом порядку
p = [m/2] [4]:
L(f∗;ϕ) =
m∑
l=0
p∑
j=0
Bm
j f
∗(ρ, τl) cos[j(ϕ − τl)],
де Bm
0 = 1/m, Bm
p = (3−(−1)m)/(2m), Bm
j = 2/m для j = 2, p − 1. Далi, f∗(ρ, τl) iнтерполю-
ємо за змiнною ρ полiномом, побудованим на системi вузлiв {ρk}, якi є коренями полiнома
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 31
R(1,β)
n (ρ) = P (1,β)
n (1−2ρ), де P (1,β)
n (z) — полiном Якобi. У результатi отримаємо наближений
вираз для функцiї f∗(ρ, ϕ) у виглядi
L(f∗;ϕ, ρ) =
2m+ β + 3
(m+ β + 1)(m+ β + 2)
m∑
l=0
n∑
k=1
n−1∑
i=0
p∑
j=0
Amnlkijf
∗(ρk, τl)R
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − τl)],
де
Amnlkij =
(l + β + 1)(2l + β + 2)R
(1,β)
l (ρk)
(l + 1)R
(1,β)
m+1(ρk)R
(1,β)′
m (ρk)
Bm
j .
Тодi
F (r, φ) ≈
1∫
0
2π∫
0
ρ(1 − ρ)βL(f∗;ϕ, ρ) dρdϕ√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ− φ)
.
Таким чином, задача апроксимацiї F (r, φ) зведена до обчислення iнтегралiв
Iij(r, φ) =
1∫
0
2π∫
0
ρ(1 − ρ)βR
(1,β)
i (ρ) cos[j(ϕ − τl)] dρdϕ√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ− φ)
.
Розглянемо внутрiшнiй iнтеграл. На основi результатiв роботи [3] маємо
2π∫
0
cos[j(ϕ − τl)] dϕ√
ρ2 + r2 − 2ρr cos(ϕ− φ)
=
(−1)j2π(
1
2
)
j
√
|ρ2 − r2|
Pj
−
1
2
(
ρ2 + r2
|ρ2 − r2|
)
cos j(φ− τl).
Тут Pµν (z) — приєднанi функцiї Лежандра, (a)j — символ Похгаммера. Для вибору одно-
значної вiтки функцiї Pµν (z) проведено розрiз вздовж дiйсної осi вiд −∞ до +1. Тому
Iij(r, φ) =
(−1)j2π(
1
2
)
j
cos(φ− τl)
1∫
0
ρ(1 − ρ)βR
(1,β)
i (ρ)√
|ρ2 − r2|
Pj
−
1
2
(
ρ2 + r2
|ρ2 − r2|
)
dρ.
Для обчислення цього iнтеграла використаємо властивiсть згортки Меллiна двох функцiй,
яка описується рiвнiстю [5, ф. 8.4.1.2]
∞∫
0
f1(x)f2
(
z
x
)
dx
x
=
1
2πi
c+i∞∫
c−i∞
f∗1 (s)f∗2 (s)z−sds, (3)
де f∗i (s) — трансформанта Меллiна функцiї f(x), c — деяка дiйсна константа. У нашому
випадку
f1(x) =
{
x(1 − x)βR
(1,β)
i (x), 0 6 x 6 1
0, x > 1
, f2(x; j) =
1√
|x2 − 1|
Pj
−
1
2
(
x2 + 1
|x2 − 1|
)
.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Вираз для трансформанти Меллiна функцiї f1(x) дає формула [5, ф. 7.391.4]
f∗1 (s) =
Γ(s+ 1)Γ(β + i+ 1)Γ(i+ 1 − s)
i!Γ(1 − s)Γ(β + s+ i+ 2)
(4)
за умови Re s > −1. Далi, для знаходження f∗2 (s) використаємо той факт, що для функцiї
f̃2(x) = |1 − x|νPµν
(
1 + x
|1 − x|
)
перетворення Меллiна описується формулою
f̃∗2 (s) =
Γ(ν + 1)Γ(s − µ/2)Γ(−ν − µ/2 − s)
Γ(−ν − µ)Γ(s+ ν + 1 − µ/2)Γ(1 − µ/2 − s)
за умови Reµ/2 < Re s < −Re(µ/2 + ν) i Re ν > −1 [5, ф. 8.4.41.15]. Поклавши ν = −1/2,
µ = −j (j > 0) та використавши рiвнiсть f∗2 (s;−j) = f̃∗2 (s/2), отримаємо
f̃∗2 (s) =
Γ(ν + 1)Γ(s − µ/2)Γ(−ν − µ/2 − s)
Γ(−ν − µ)Γ(s+ ν + 1 − µ/2)Γ(1 − µ/2 − s)
,
де −j/2 < Re s < j/2 + 1/2. Оскiльки
Pj
−
1
2
(z) =
Γ(1/2 + j)
Γ(1/2 − j)
P−j
−
1
2
(z),
то
f∗2 (s; j) =
Γ(1/2)Γ(s/2 + j/2)Γ(1/2 + j/2 − s/2)
2Γ(1/2 − j)Γ(s/2 + 1/2 + j/2)Γ(1 + j/2 − s/2)
. (5)
Пiдставляючи (4), (5) в (3), знаходимо такий вираз для iнтегралiв:
Iij(r, φ) = π cos j(φ − τl)
Γ(β + i+ 1)
i!
Jij(r),
де
Jij(r) =
1
2πi
c+i∞∫
c−i∞
Γ(s+ 1)Γ(i + 1 − s)Γ((s+ j)/2)Γ((1 + j − s)/2)
Γ(1 − s)Γ(β + s+ i+ 2)Γ((1 + j + s)/2)Γ(1 + (j − s)/2)
r−sds
за умови −1 < Re s < (j + 1)/2. Для подальшого перетворення останнього iнтеграла про-
ведемо замiну змiнної iнтегрування s = 2u та використаємо формули для гамма-функцiї
подвiйного аргументу [5]. Пiсля очевидних елементарних перетворень отримуємо
Jij(r) =
2−β
2πi
c/2−i∞∫
c/2−i∞
3∏
k=1
Γ(bk − u)
3∏
k=1
Γ(1 − ak + u)
6∏
k=4
Γ(1 − bk + u)
6∏
k=4
Γ(ak − u)
r−2udu,
де
a1 =
1 − i
2
, a2 = − i
2
, a3 =
1 − j
2
, a4 =
1 + j
2
, a5 =
2 + i+ β
2
, a6 =
3 + i+ β
2
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 33
b1 =
j
2
, b2 =
1
2
, b3 = 1, b4 = − j
2
, b5 = 0, b6 =
1
2
.
Використовуючи означення G-функцiї Мейєра через iнтеграл Меллiна–Барнса [5], в кiн-
цевому випадку отримаємо
Iij(r, φ) = 2−βπ cos j(φ− τl)
Γ(β + i+ 1)
i!
G33
66
(
r2
∣∣ a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
, (6)
де G33
66
(
r2
∣∣ a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
— G-функцiя Мейєра.
Ураховуючи залежнiсть (6), кубатурну формулу для обчислення iнтеграла (2) подамо
у виглядi
F (r, φ) ≈ 2−β(2m+ β + 3)π
(m+ β + 1)(m+ β + 2)
×
×
m∑
l=0
n∑
k=1
n−1∑
i=0
p∑
j=0
Bmn
lkijf
∗(ρk, τl)G
33
66
(
r2
∣∣ a1, . . . a6
b1, . . . b6
)
cos j(φ− τl), (7)
де Bmn
lkij = Amnlkij
Γ(β + i+ 1)
i!
.
Проiлюструємо ефективнiсть запропонованої методики обчислення iнтегралiв, поклав-
ши f∗(ρ, ϕ) = (1 + ρ)βe−α(ρ cosϕ+r cosφ). Оскiльки у цьому випадку точнi вирази для функцiї
F (r, φ) вiдсутнi, то для знаходження значень цiєї функцiї, якi будемо розглядати як тесто-
вi, використаємо стандартнi квадратурнi формули для регулярних iнтегралiв, попередньо
провiвши перетворення виразу (2).
З цiєю метою перейдемо до полярної системи координат {τ, ψ} з центром у точцi x.
Тодi (2) набуде вигляду
π∫
0
τ+(ψ)∫
τ−(ψ)
e−ατ cosψ(1 − r2 − τ2 − 2rτ cos(ψ − φ))βdτdψ,
де τ±(ψ) = −r cos(ψ−φ)±
√
1 − r2 sin(ψ − φ). Зробивши чергову замiну змiнної iнтегрування
τ = −r cos(ψ − φ) + λ
√
1 − r2 sin(ψ − φ) та використавши табличний iнтеграл [6, ф.3.387.1],
отримаємо
F (r, φ) =
√
π(2/α)β+1/2Γ(β + 1)
π∫
0
eαr cosψ cos(ψ−φ)(1 − r2 sin2(ψ − φ))(2β+1)/4 ×
× cos−(2β+1)/2 ψI(2β+1)/2(α cosψ
√
1 − r2 sin2(ψ − φ)).
Очевидно, що за умови −1 < β 6 −1/2 iнтеграл у правiй частинi — регулярний. Для подаль-
ших розрахункiв покладемо α = 1, β = −1/2. Результати розрахункiв наведенi у табл. 1.
Через m позначено мiнiмальне число вузлiв за азимутальною координатою, яке забезпечує
максимальну точнiсть обчислення iнтегралiв ε при фiксованiй кiлькостi вузлiв за радiаль-
ною координатою.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Таблиця 1
r n
φ = π/17 φ = 8π/17 φ = 16π/17
m ε m ε m ε
0,1 5 7 10
−5 8 10
−5 10 10
−5
10 11 10
−9 11 10
−9 13 10
−10
15 14 10
−12 15 10
−13 16 10
−14
0,5 5 8 10
−3 7 10
−3 10 10
−5
10 14 10
−8 16 10
−9 15 10
−9
15 16 10
−10 20 10
−13 20 10
−12
0,9 5 10 10
−4 11 10
−4 12 10
−6
10 17 10
−8 18 10
−9 18 10
−10
15 19 10
−9 20 10
−10 17 10
−10
Наведенi данi свiдчать про те, що запропонована кубатурна формула (7) за вiдносно
малої кiлькостi вузлiв забезпечує достатню високу точнiсть обчислення iнтегралу (2). Отже,
її доцiльно застосовувати для чисельного розв’язання вiдповiдних iнтегральних рiвнянь
у зв’язку з малою розмiрнiстю алгебраїчної системи, що при цьому утворюється.
1. Лифанов И.К. Метод сингулярних интегральных уравнений и численный эксперимент в математи-
ческой физике, теории упругости и дифракции волн. – Москва: ТОО “Янос”, 1995. – 520 с.
2. Хай М.В. Двухмерные интегральные уравнения типа ньютоновского потенциала и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1993. – 253 с.
3. Назарчук З. Т., Сеник Т.Д. Про один алгоритм обчислення потенцiалу простого шару // Доп. АН
України. – 1992. – № 5. – С. 27–31.
4. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. – Киев:
Наук. думка, 1986. – 216 с.
5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции.
Дополнительные главы. – Москва: Физматлит, 2003. – 688 с.
6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука,
1971. – 1108 с.
Надiйшло до редакцiї 23.10.2007Фiзико-механiчний iнститут
iм. Г. В. Карпенка НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3895 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:48Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. 2009-07-14T07:53:45Z 2009-07-14T07:53:45Z 2008 Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв / З.Т. Назарчук, Я.П. Кулинич // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3895 519.6 A scheme to calculate a circular single layer potential is proposed. The cubature formulas use Gaussian weights and a value of Meijer’s G-function. The effectiveness of such an approach is shown. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв Article published earlier |
| spellingShingle | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв Назарчук, З.Т. Кулинич, Я.П. Математика |
| title | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| title_full | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| title_fullStr | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| title_full_unstemmed | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| title_short | Кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| title_sort | кубатурна формула для обчислення деякого класу сингулярних iнтегралiв |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3895 |
| work_keys_str_mv | AT nazarčukzt kubaturnaformuladlâobčislennâdeâkogoklasusingulârnihintegraliv AT kuliničâp kubaturnaformuladlâobčislennâdeâkogoklasusingulârnihintegraliv |