Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами
We study continuous transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension (“DP- transformations”) of every subset of R1. It is shown that the problem of investigation of continuous DP-transformations of the real line is equivalent to the problem of studying the DP-properties of strictly...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3897 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами / Г.М. Торбiн // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 44-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859477131860377600 |
|---|---|
| author | Торбiн, Г.М. |
| author_facet | Торбiн, Г.М. |
| citation_txt | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами / Г.М. Торбiн // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 44-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | We study continuous transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension (“DP-
transformations”) of every subset of R1. It is shown that the problem of investigation of
continuous DP-transformations of the real line is equivalent to the problem of studying the
DP-properties of strictly increasing probability distribution functions on a unit interval. Apply-
ing the multilevel fractal analysis of singularly continuous probability measures with independent
Q-digits, we found sharp (necessary and sufficient) conditions for the Hausdorff-Besicovitch dimension preservation under the corresponding distribution functions.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:50:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2008
Г.М. Торбiн
Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр
з незалежними Q-символами
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
We study continuous transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension (“DP-
transformations”) of every subset of R
1. It is shown that the problem of investigation of
continuous DP-transformations of the real line is equivalent to the problem of studying the
DP-properties of strictly increasing probability distribution functions on a unit interval. Apply-
ing the multilevel fractal analysis of singularly continuous probability measures with independent
Q-digits, we found sharp (necessary and sufficient) conditions for the Hausdorff-Besicovitch di-
mension preservation under the corresponding distribution functions.
1. Перетворення F простору R
n (бiєктивне вiдображення R
n в себе) називається перетворен-
ням, що зберiгає фрактальну розмiрнiсть на множинi L ⊂ R
n, якщо для будь-якої пiдмно-
жини E ⊂ L розмiрностi Хаусдорфа–Безиковича α0(E) множини E та її образу E′ = F (E)
спiвпадають: α0(E) = α0(E
′).
Якщо L = R
n, то F є DP-перетворенням R
n. Нехай GL — сiм’я всiх перетворень множи-
ни L, що зберiгають фрактальну розмiрнiсть на L. Легко бачити, що GL утворюють групу.
З того, що L ⊂ M випливає, що GL ⊃ GM . Теоретико-груповий пiдхiд до геометрiї добре
вiдомий з часiв Ерлангенської програми Ф. Клейна. Чим є “фрактальна геометрiя” з цiєї
точки зору? В [1] запропоновано пiдхiд до фрактальної геометрiї як до галузi математики,
що вивчає iнварiанти групи G DP-перетворень. Дана група включає багато пiдгруп. Зокре-
ма, G мiстить групу афiнних перетворень (i тому афiнна геометрiя може розглядатись як
частина фрактальної геометрiї). В [1–3] показано, що навiть у випадку R
1 група G має
дуже багату структуру. Вона мiстить (як дуже частковий випадок) всi бi-Лiпшицевi пере-
творенння. З iншого боку, ця група мiстить “суттєво негладкi” перетворення (див., зокре-
ма, [1]). Тому iнтегральне та диференцiальне числення не мають вiдповiдних iнструментiв
для дослiдження перетворень цiєї групи. В [1, 2, 4] показано, що методи фрактального ана-
лiзу ймовiрнiсних мiр дають досить потужний iнструментарiй для вивчення одновимiрних
DP-перетворень. Наступна лема може бути отримана зi зчисленної стабiльностi розмiрностi
Хаусдорфа–Безиковича (див., наприклад [5]), ї ї доведення можна знайти в [2].
Лема. Нехай {Dk} — скiнченна або зчисленна сiм’я пiдмножин простору R
n, причому
⋃
k
Dk = R
n. Тодi перетворення F є DP-перетворенням R
n тодi i тiльки тодi, коли F
зберiгає фрактальну розмiрнiсть на кожному з Dk.
Наслiдок. Перетворення F є DP-перетворенням R
1 тодi i тiльки тодi, коли f зберiгає
розмiрнiсть Хаусдорфа–Безиковича на кожному iнтервалi (a, b).
Нехай F є перетворенням R
1. Надалi розглядатимемо лише неперервнi перетворення F .
У цьому випадку F є строго монотонною функцiєю. Очевидно, що F є гомеоморфiзмом, i,
отже, зберiгає топологiчну структуру кожної пiдмножини R
1. З наведеного вище наслiдку
з леми випливає, що для повного опису DP-перетворень R
1 достатньо дослiдити DP-перетво-
рення iнтервалiв. Не порушуючи загальностi всiх подальших мiркувань, будемо розглядати
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
одиничний вiдрiзок. Зрозумiло, що неперервна функцiя F є перетворенням [0, 1] тодi i тiль-
ки тодi, коли вона є строго зростаючою функцiєю розподiлу F ∗ на [0, 1] або є функцiєю
виду 1 − F ∗.
У данiй статтi ми дослiджуємо DP-перетворення, що генеруються розподiлами ймовiр-
ностей з незалежними Q-символами (див., наприклад, [4, 6]). Результати цiєї роботи можуть
вважатись продовженням та (в деякiй мiрi) завершенням дослiджень, розпочатих в [1, 2, 4]
для класiв мiр з незалежними Q-символами.
2. Нехай N0
s−1 = {0, 1, . . . , s − 1} для деякого s > 1, s ∈ N , i Q = (q0, q1, . . . , qs−1) —
стохастичний вектор з додатними координатами. Використовуючи вектор Q, визначимо
Q-розбиття одиничного вiдрiзка [0, 1] наступним чином.
I крок. Розiб’ємо [0, 1] злiва направо на s вiдрiзкiв ∆Q
0 , ∆Q
1 , . . . , ∆Q
s−1, де |∆Q
i | = qi. ∆Q∗
i
називаються “вiдрiзками (цилiндрами) першого рангу”.
II крок. Розiб’ємо злiва направо кожен з вiдрiзкiв першого рангу ∆Q
i1
на s вiдрiзкiв,
якi називаються вiдрiзками другого рангу. При цьому довжини вiдрiзкiв другого рангу
задовольняють наступне спiввiдношення: q0 : q1 : · · · : q(s−1).
n-й крок. Розiб’ємо злiва направо кожен з вiдрiзкiв (n − 1)-го рангу ∆Q
i1i2...in−1
на s
вiдрiзкiв n-го рангу, зберiгаючи те саме спiввiдношення довжин: q0 : q1 : · · · : q(s−1).
Легко бачити, що |∆Q
i1i2...in
| = qi1 · qi2 · · · · · qin → 0 (n → ∞), i послiдовнiсть вкладених
вiдрiзкiв ∆Q
i1
⊃ ∆Q
i1i2
⊃ · · · ⊃ ∆Q
i1i2...in
⊃ · · · має єдину граничну точку x.
З iншого боку, якщо точка x не є кiнцевою точкою будь-якого з вiдрiзкiв описаного
вище розбиття, то iснує єдина послiдовнiсть вкладених вiдрiзкiв ∆Q
α1(x) ⊃ ∆Q
α1(x)α2(x) ⊃
⊃ · · · ⊃ ∆Q
α1(x)...αn(x) ⊃ · · · , що мiстять точку x. Символiчно це запишемо так:
x = ∆Q
α1(x)α2(x)...αn(x).... (1)
Вираз (1) називається Q-зображенням x. Якщо точка x є кiнцем деякого вiдрiзка з описа-
ного вище розбиття, то вона має два Q-зображення.
Нехай {ηk} — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, що приймають значення
0, 1, . . . , s − 1 з ймовiрностями p0k, p1k, . . . , p(s−1)k вiдповiдно. Величина
ξ = ∆Q
η1η2...ηk... (2)
називається випадковою величиною з незалежними Q-символами. Позначимо через µ =
= µξ вiдповiдну ймовiрнiсну мiру. Її властивостi залежать вiд стохастичного вектора Q =
= (q0, . . . , qs−1) та матрицi ймовiрностей P = ‖pik‖. Розподiл випадкової величини ξ є чис-
тим. В [6] доведено, що розподiл ξ є дискретним тодi i тiльки тодi, коли
∞
∏
k=1
max
i
pik > 0; (3)
абсолютно неперервним тодi i тiльки тодi, коли
∞
∑
k=1
(
s−1
∑
i=0
(
1 −
pik
qi
)2
)
< ∞; (4)
сингулярно неперервним тодi i тiльки тодi, коли нескiнченний добуток (3) та ряд (4) роз-
бiгаються.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 45
Фрактальнi властивостi топологiчного (тобто мiнiмального замкненого) носiя Sµ та
фрактальнi властивостi самої мiри µ вивчались в [7]. Зокрема, показано, що розмiрнiсть
Хаусдорфа dimH µ (тобто, iнфiмум розмiрностей Хаусдорфа–Безиковича всiх можливих
борелiвських носiїв мiри µ) дорiвнює
dimH µ = lim
n→∞
h1 + h2 + · · · + hn
b1 + b2 + · · · + bn
, (5)
де hk = −
s−1
∑
i=0
pik ln pik, i bk = −
s−1
∑
i=0
pik ln qi.
3. Очевидно, що довiльне DP-перетворення одиничного вiдрiзка є строго монотонним,
що у нашому випадку рiвносильно вiдсутностi нулiв у матрицi ймовiрностей P = ‖pik‖.
Умови належностi Fµ до DP-класу для випадку спецiальних обмежень на матрицi Q та P
(qi =
1
s
i inf
ik
pik > 0) були знайденi в [1]. В [4] результати роботи [1] були поширенi на бiльш
загальну модель (без обмежень на матрицю Q). Однак умова inf
ik
pik > 0 вiдiгравала досить
важливу роль.
Головна мета даної роботи — знайти загальнi необхiднi i достатнi умови належностi Fµ
до класу DP-перетворень без жодних обмежень на матрицi P i Q.
Нехай pj = min
i
pij , qmin = min
i
qi, qmax = max
i
qi,
T (1) =
{
k : k ∈ N, pk <
1
2
qmin
}
, T
(1)
k = T (1)⋂{1, 2, . . . , k}.
Покладемо
A := lim
k→∞
∑
j∈T
(1)
k
ln
1
pj
k
.
Теорема. Функцiя розподiлу Fµ зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа–Безиковича будь-якої
пiдмножини одиничного вiдрiзка тодi i тiльки тодi, коли
{
dimH µ = 1;
A = 0.
(6)
Доведення. Достатнiсть. Нехай dimH µ = 1 i A = 0. Неважко показати (див., наприк-
лад, [4]), що
hk = − ln(pp0k
0k · pp1k
1k · · · · · p
p(s−1)k
(s−1)k ) 6 bk = − ln(qp0k
0 · qp1k
1 · · · · · q
p(s−1)k
s−1 ), (7)
Отже, з (5) випливає, що умова dimH µ = 1 рiвносильна iснуванню наступної границi:
lim
n→∞
h1 + h2 + · · · + hn
b1 + b2 + · · · + bn
= 1. (8)
Нехай ε — довiльне додатне число, таке, що ε < (1/2)qmin. Розглянемо наступнi множини:
T+
ε,k = {j : j ∈ N, j 6 k, |pij − qi| 6 ε, ∀i ∈ N0
s−1}, T−
ε,k = {1, 2, . . . , k} \ T+
ε,k.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
В роботi [4] доведено, що з умови dimH µ = 1 випливає рiвнiсть lim
k→∞
|T+
ε,k|/k = 1, де |E|
означає кiлькiсть елементiв в множинi E.
Множина T−
ε,k може бути представлена наступним чином: T−
ε,k = T
(1)
k
⋃
Tε,k, де T
(1)
k ви-
значенi вище i Tε,k = T−
ε,k \ T
(1)
k . Очевидно, що
lim
k→∞
|T−
ε,k|
k
= lim
k→∞
|T
(1)
k |
k
= lim
k→∞
|Tε,k|
k
= 0.
Нехай ∆Q
α1(x)...αk(x) — цилiндри Q-зображення, що мiстять точку x, µ = µξ i λ — мiра
Лебега. Тодi для будь-яких x ∈ [0, 1], k ∈ N i ε < (1/2)qmin маємо:
− ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x)) = −
(
ln
[
k
∏
j=1
pαj(x)j
])
=
= −
(
∑
j∈T
(1)
k
ln pαj(x)j +
∑
j∈Tε,k
ln pαj(x)j +
∑
j∈T+
ε,k
ln pαj(x)j
)
.
Нескладно показати, що
∑
j∈Tε,k
ln
1
pαj(x)j
6 |Tε,k| ln
2
qmin
i
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
pαj(x)j
6
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
qαj(x) − ε
=
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
qαj(x)
+ ln
(
1 +
ε
qαj(x) − ε
)
6
6
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
qαj(x)
+ |T+
ε,k|
2ε
qmin
.
Таким чином, для будь-яких x ∈ [0, 1] та ε < (1/2)qmin маємо:
lim
k→∞
ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x))
lnλ(∆Q
α1(x)...αk(x))
6 1 +
2ε
qmin ln
1
qmax
.
З iншого боку:
∑
j∈Tε,k
ln
1
pαj(x)j
> |Tε,k| ln
2
2 − qmin
i
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
pαj(x)j
>
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
qαj(x) + ε
>
∑
j∈T+
ε,k
ln
1
qαj(x)
− |T+
ε,k|
2ε
qmin
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 47
Тому
lim
k→∞
ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x))
lnλ(∆Q
α1(x)...αk(x))
> 1 −
2ε
qmin ln
1
qmin
i, отже, ∀x ∈ [0, 1], ∀ε < (1/2)qmin :
1 −
2ε
qmin ln
1
qmin
6 lim
k→∞
ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x))
ln λ(∆Q
α1(x)...αk(x))
6 lim
k→∞
ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x))
lnλ(∆Q
α1(x)...αk(x))
6 1 +
2ε
qmin ln
1
qmax
.
Таким чином, для будь-якого x ∈ [0, 1]:
lim
k→∞
ln µ(∆Q
α1(x)...αk(x))
lnλ(∆Q
α1(x)...αk(x))
= 1. (9)
З (9) та теореми Бiллiнгслi [8, с. 142], випливає, що αλ(E) = 1 · αµ(E) для всiх E ⊂ [0, 1],
де αλ(E) i αµ(E) — розмiрностi Хаусдорфа–Бiллiнгслi вiдносно мiр λ i µ (див. детальнi-
ше, наприклад, в [7, 8]). З того, що αλ(E) = α0(E) i αµ(E) = α0(E
′) отримуємо, що Fµ
є DP-перетворенням одиничного вiдрiзка.
Необхiднiсть. Нехай Fµ — DP-перетворення одиничного вiдрiзка. Покажемо, що
dimH µ = 1 i A = 0. Якщо dimH µ < 1, то iснує борелiвський носiй E мiри µ такий, що
dimH µ 6 α0(E) < 1. Оскiльки µ(E) = 1, то α0(Fµ(E)) = 1 6= α0(E), що суперечить припу-
щенню. Таким чином, суперфрактальнiсть мiри µ є необхiдною для збереження розмiрностi
функцiєю Fµ.
Покажемо, що A = 0. Припустимо, що A > 0 i розглянемо множину
L =
{
x : x=∆Q
α1...αk ...;αk ∈ N0
s−1 if k /∈ T (1);αk =nk якщо k ∈ T (1), де pnkk =min
i
pik
}
.
Легко бачити, що λ(L) = 0. З iншого боку α0(L) = 1, оскiльки lim
k→∞
|T
(1)
k |/k = 0.
З lim
k→∞
(
∑
j∈T
(1)
k
ln pj
)
/(−k) = A випливає iснування пiдпослiдовностi {km} такої, що остан-
ня границя iснує i дорiвнює A. Отже, для будь-якого x ∈ L, маємо
lim
m→∞
ln µ(∆α1(x)...αkm (x))
ln λ(∆α1(x)...αkm (x))
= lim
m→∞
∑
j∈T
(1)
km
ln
1
pαj(x)j
+
∑
j∈Tε,km
ln
1
pαj(x)j
+
∑
j∈T+
ε,km
ln
1
pαj(x)j
km
∑
j=1
ln
1
qαj(x)
=
= 1 + lim
m→∞
∑
j∈T
(1)
km
ln
1
pαj(x)j
km
∑
j=1
ln
1
qαj(x)
= 1 + lim
m→∞
∑
j∈T
(1)
km
ln
1
pj
km
∑
j=1
ln
1
qαj(x)
> 1 + lim
m→∞
∑
j∈T
(1)
km
ln
1
pj
km ln
1
qmin
= 1 + cA,
де c = −1/ ln qmin.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Отже, для довiльного δ > 0 iснує m(δ) таке, що для будь-якого m > m(δ) має мiсце
1 + cA − δ 6
ln µ(∆α1(x)...αkm (x))
ln λ(∆α1(x)...αkm (x))
для кожного x ∈ L, що еквiвалентно наступнiй нерiвностi:
µ(∆α1(x)...αkm (x)) 6 λ(∆α1(x)...αkm (x))
1+c·A−δ.
Отже, для довiльних x ∈ L, δ > 0 та m > m(δ) маємо
d(∆′
α1(x)...αkm (x))
1/(1+c·A−δ)
6 d(∆α1(x)...αkm (x)), (10)
де ∆′
α1(x)...αkm (x) = Fµ(∆α1(x)...αkm (x)) i d(·) — дiаметр множини. Виберемо δ ∈ (0, c · A).
З λ(L) = 0 випливає, що мiра Хаусдорфа H1
ε (L) = 0 для довiльного додатного ε. Отже,
для вибраного ε > 0 та вибраного t > 0 iснує ε-покриття {Ei} множини L Q-цилiндрами
рангу km (m залежить вiд ε i t) таке, що
∑
i
d(Ei) < t.
Сiм’я множин {E′
i} = {Fµ(Ei)} є ε′ — покриттям множини L′ = Fµ(L). Очевидно, що
ε′ → 0 одночасно з ε → 0, оскiльки функцiя Fµ є рiвномiрно неперервною на одиничному
iнтервалi. Не порушуючи загальностi, будемо розглядати тiльки тi Ei, що мають непорожнiй
перерiз з L. З (1) випливає, що
∑
i
[d(E′
i)]
1/(1+c·A−δ)
6
∑
i
d(Ei) < t.
Вибираючи ε i t як завгодно малими, отримаємо H
1/(1+c·A−δ)
ε′ (L′) = 0, ∀ε′ > 0. Таким чином,
H1/(1+c·A−δ)(L′) = 0, i, отже, α0(L
′) 6 1/(1 + c · A − δ) < 1. Тому з того, що A > 0 слiдує,
що Fµ не належить до класу DP-перетворень. Теорема доведена.
Наслiдок 1. Якщо функцiя розподiлу Fµ зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа–Безиковича
будь-якої пiдмножини одиничного вiдрiзка, то вiдповiдна ймовiрнiсна мiра µ є суперфрак-
тальною.
Наслiдок 2. Якщо елементи матрицi P вiдокремленi вiд нуля, тобто якщо inf
ij
pij > 0,
то функцiя розподiлу Fµ зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа–Безиковича будь-якої пiдмножи-
ни одиничного вiдрiзка тодi i тiльки тодi, коли dimH µ = 1.
Наслiдок 3. Будь-яка строго зростаюча абсолютно неперервна функцiя розподiлу Fµ
випадкової величини з незалежними Q-символами зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа–Бези-
ковича на [0, 1].
Робота частково пiдтримана фондом Гумбольдта та проектами DFG 436 UKR 113/78,80.
Автор висловлює щиру вдячнiсть академiку НАН України В.С. Королюку та професору Ювалу
Пересу (Yuval Peres, University of California, Berkeley) за обговорення проблем, пов’язаних з DP-пе-
ретвореннями.
1. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability distributions and transformations preserving
the Hausdorff–Besicovitch dimension // Ergodic Theory Dynam. Syst. – 2004. – 24. – P. 1–16.
2. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Transformations preserving the Hausdorff–Besicovitch dimension. –
Bonn: SFB 611 Preprint no. 123. – 2005. – 14 p.
3. Sauer T., Yorke J. Are the dimensions of a set and its image equal under typical smooth functions? //
Ergodic Theory Dynam. Syst. – 1997. – 17. – P. 941–956.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 49
4. Torbin G. Probability distributions with independent Q-symbols and transformations preserving the Haus-
dorff dimension // Theory of Stoch. Proc. – 2007. – 13 (29). – P. 281–293.
5. Falconer K. J. Fractal geometry: mathematical foundation and applications. – Chichester: John Wiley &
Sons. – 2003. – 337 p.
6. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнi сингулярних розподiлiв. – Київ: НПУ iм. Дра-
гоманова. – 1998. – 296 с.
7. Albeverio S., Torbin G. Fractal properties of singularly continuous probability distributions with indepen-
dent Q
∗-digits // Bull. Sci. Math. – 2005. – 129. – P. 356–367.
8. Billingsley P. Hausdorff dimension in probability theory II // Ill. J. Math. – 1961. – 5. – P. 291–198.
9. Торбiн Г.М. Мультифрактальний аналiз сингулярно неперервних iмовiрнiсних мiр // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57. – С. 837–857.
Надiйшло до редакцiї 26.12.2007Нацiональний педагогiчний унiверситет
iм. М.П. Драгоманова, Київ
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3897 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:50:33Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Торбiн, Г.М. 2009-07-14T07:56:09Z 2009-07-14T07:56:09Z 2008 Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами / Г.М. Торбiн // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 44-50. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3897 519.21 We study continuous transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension (“DP- transformations”) of every subset of R1. It is shown that the problem of investigation of continuous DP-transformations of the real line is equivalent to the problem of studying the DP-properties of strictly increasing probability distribution functions on a unit interval. Apply- ing the multilevel fractal analysis of singularly continuous probability measures with independent Q-digits, we found sharp (necessary and sufficient) conditions for the Hausdorff-Besicovitch dimension preservation under the corresponding distribution functions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами Article published earlier |
| spellingShingle | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами Торбiн, Г.М. Математика |
| title | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами |
| title_full | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами |
| title_fullStr | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами |
| title_full_unstemmed | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами |
| title_short | Про DP-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними Q-символами |
| title_sort | про dp-властивостi фрактальних ймовiрнiсних мiр з незалежними q-символами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3897 |
| work_keys_str_mv | AT torbingm prodpvlastivostifraktalʹnihimovirnisnihmirznezaležnimiqsimvolami |