Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем
The article presents some results allowing one to reduce the problem of stability of a linear system of differential equations with pulse action to that of compatibility of a system of linear matrix inequalities.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3898 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 68-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860239808631144448 |
|---|---|
| author | Слынько, В.И. |
| author_facet | Слынько, В.И. |
| citation_txt | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 68-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The article presents some results allowing one to reduce the problem of stability of a linear system of differential equations with pulse action to that of compatibility of a system of linear matrix inequalities.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:28:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2008
В.И. Слынько
Линейные матричные неравенства и устойчивость
движения импульсных систем
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The article presents some results allowing one to reduce the problem of stability of a linear
system of differential equations with pulse action to that of compatibility of a system of linear
matrix inequalities.
Метод линейных матричных неравенств (LMI-метод) является достаточно разработанным
методом исследования в теории устойчивости и управления линейными системами обыкно-
венных дифференциальных уравнений (см. [1] и библиографию там). Преимущество этого
метода состоит также в том, что он численно реализован в пакете прикладных программ
MATLAB.
В настоящей работе приведены некоторые результаты, позволяющие свести задачу об
устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействи-
ем к вопросу о совместности некоторой системы линейных матричных неравенств.
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений с импульсным воздейст-
вием [2]
ż(t) = Az(t), z(t0) = z0, t 6= τk,
z(t+) = Bkz(t), t = τk, k = 1, 2, . . . ,
(1)
где z ∈ R
n, A, Bk — постоянные матрицы, причем Bk+2 = Bk.
Относительно моментов импульсного воздействия предположим, что они удовлетворяют
двусторонней оценке
0 < θ1 6 τk+1 − τk 6 θ2 < ∞.
Рассмотрим вопрос об устойчивости системы (1). На множестве E-симметричных n ×
× n-матриц определим линейные операторы
FX = AX + XAT , W2X = B2XBT
2 , W1X = B1XBT
1 , GX = (tr X)I
и константу позитивности γ оператора F, т. е. постоянную γ > 0 такую, что оператор F +
+ γG является позитивным относительно конуса K ⊂ E положительно полуопределенных
симметричных матриц.
Определим обобщенный оператор монодромии системы (1) в виде
Ψ = W2e
Fθ2+γ(θ2−θ1)GW1e
Fθ2+γ(θ2−θ1)G.
Теорема 1. Предположим, что линейная система (1) такова, что существует по-
ложительно-определенная матрица X такая, что выполняется неравенство (в смысле
конуса положительно-полуопределенных матриц)
ΨX < X. (2)
Тогда система (1) асимптотически устойчива по Ляпунову.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Отметим, что в случае θ1 = θ2 = θ условия теоремы 1 являются также необходимыми
и совпадают с известными условиями устойчивости линейных периодических импульсных
систем [2].
Доказательство основано на концепции отображений, сохраняющих устойчивость, и те-
оремах метода сравнения [3].
Из этих условий можно вывести некоторые достаточные условия асимптотической устой-
чивости системы (1) на основе метода линейных матричных неравенств (LMI). Пусть p —
нечетное число.
Теорема 2. Предположим, что линейная система уравнений (1) такова, что система
линейных матричных неравенств
(
W2W1−I+
p−1∑
k=1
W2(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)kW1+(−1)k+1(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)k
k!
)
X < 0,
(Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)pX 6 0, (Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)pW1X 6 0
(3)
совместна в классе положительно-определенных матриц.
Тогда линейная система (1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Определим матрицу X̃ = e−(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)X и докажем, что эта мат-
рица является положительно-определенной. В силу положительности оператора e−Fθ2 и
формулы (формула (0.10) в работе [4])
eA+B = lim
N→∞
[
eA/NeB/N
]N
достаточно показать положительную определенность матрицы e−
γ(θ2−θ1)
N
GX при достаточно
больших N . Непосредственные вычисления приводят к формуле
e−
γ(θ2−θ1)
N
GX = X +
tr X
n
(
eγn(θ1−θ2)/N − 1
)
I,
из которой легко выводится положительная определенность матрицы e−
γ(θ2−θ1)
N
GX при до-
статочно больших N .
Для каждой матрицы Φ ∈ K∗ = K рассмотрим функцию
φ(h) = W2e
(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)h
W1X − e−(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)hX.
Раскладывая эту функцию в ряд Тейлора по степеням h, получим
φΦ(1) = tr
(
Φ
(
W2
p−1∑
k=0
(Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)khk
k!
W1X −
−
p−1∑
k=0
(−1)k(Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)khk
k!
X
))
+
+ tr
(
Φ
(
1
p!
(W2e
(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)ζ(Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)pW1X +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 69
+(−1)p+1e−(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)ζ(Fθ2 + γ(θ2 − θ1)G)pX
))
, ζ ∈ [0, h],
и, полагая h = 1, приходим к неравенству
W2e
(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)
W1X < e−(Fθ2+γ(θ2−θ1)G)X.
С учетом позитивности оператора e(Fθ2+γ(θ2−θ1)G) приходим к неравенству (2) для матри-
цы X̃ , что завершает доказательство теоремы 2.
Неравенства (3) при фиксированном значении p приводят к системе двух линейных
матричных неравенств, которые будем называть достаточными условиями асимптотиче-
ской устойчивости системы (1) p-го рода. Приведем пример условий третьего рода для
системы (1).
Следствие 1. Предположим, что система линейных уравнений (1) такова, что сис-
тема линейных матричных неравенств
B2B1XBT
1 BT
2 − X + θ2(AX + XAT + B2AB1XBT
1 BT
2 + B2B1XBT
1 AT BT
2 ) +
+ γ(θ2 − θ1)(tr(B1XBT
1 )B2B
T
2 + trX)I) +
θ2
2
2
(B2A
2B1XBT
1 BT
2 +
+ 2B2AB1XBT
1 ABT
2 + B2B1X(B2A
2B1)
T − A2X − 2AXAT − X(A2)T ) +
+
γ2(θ2 − θ1)
2n
2
(tr(B1XBT
1 )B2B
T
2 − (trX)I) +
+
γ(θ2 − θ1)θ2
2
(B2(A + AT )BT
2 tr(B1XBT
1 ) +
+ 2tr(AB1XBT
1 )B2B
T
2 − (A + AT )trX − 2tr(AX)I) < 0,
θ3
2(A
3X + 3A2XAT + 3AX(AT )2 + X(AT )3) +
+ γθ2
2(θ2 − θ1)(2tr(A
2X + AXAT )I + trX(A2 + (AT )2 + AAT )) +
+ γ2θ2(θ2 − θ1)
2(n(A + AT )trX + 2ntr(AX)I +
+ 2(trAtrX)I) + γ3(θ2 − θ1)
3n2(trX)I < 0,
θ3
2(A
3B1XBT
1 + 3A2B1XBT
1 AT + 3AB1XBT
1 (AT )2 + B1XBT
1 (AT )3) +
+ γθ2
2(θ2 − θ1)(2tr(A
2B1XBT
1 + AB1XBT
1 AT )I +
+ tr(B1XBT
1 )(A2 + (AT )2 + AAT )) + γ2θ2(θ2 − θ1)
2(n(A + AT )tr(B1XBT
1 ) +
+ 2ntr(AB1XBT
1 )I + 2(trAtr(B1XBT
1 ))I) + γ3(θ2 − θ1)
3n2(tr(B1XBT
1 ))I < 0
(4)
совместна в классе положительно-определенных матриц.
Тогда система (1) асимптотически устойчива.
Далее рассмотрим частный случай θ1 = θ2 = θ. В качестве примера приведем условия
3-го рода.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Следствие 2. Предположим, что система уравнений (1) такова, что θ1 = θ2 = θ,
и система матричных линейных неравенств
(AX + XAT + B2AB1XBT
1 BT
2 + B2B1XBT
1 AT BT
2 )θ +
+ (B2A
2B1XBT
1 BT
2 + 2B2AB1XBT
1 AT BT
2 + B2B1XBT
1 (AT )2BT
2 −
− A2X − 2AXAT − X(AT )2)
θ2
2
+ B2B1XBT
1 BT
2 − X < 0,
A3X + 3A2XAT + 3AX(AT )2 + X(AT )3 < 0,
A3B1XBT
1 + 3A2B1XBT
1 AT + 3AB1XBT
1 (AT )2 + B1XBT
1 (AT )3 < 0
(5)
совместна в классе положительно-определенных матриц.
Тогда линейная система (1) асимптотически устойчива.
П р и м е р . Рассмотрим линейную систему с импульсным воздействием
dx
dt
= Ax t 6= τk, x(t+) = Bkx(t), t = τk, x(0) = x0, (6)
где
A =
(
−1,5 2
1,8 −3
)
, B1 =
(
0,9 0,2
0,3 1
)
, B2 =
(
−1,1 0,3
0,1 −0,95
)
.
Если τk+1 − τk = θ = 0,01, то применение стандартного пакета MATLAB приводит к выводу о сов-
местности системы линейных матричных неравенств (5) с матрицей
X =
(
206,25 70,79
70,79 195,73
)
.
Используя следствие 2, приходим к выводу об асимптотической устойчивости системы (8).
1. Siljak D.D., Stipanovic D.M. Robust stabilization of nonlinear systems: The LMI approach // Mathemat.
Probl. in Eng. – 2000. – 6. – P. 461–493.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк. – 1987. – 286 с.
3. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса //
Доп. НАН України, – 2004. – № 4. – С. 42–48.
4. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. – Москва: Наука, 1970. – 536 с.
5. Lobas L.G., Koval’chuk V.V., Bambura O.V. Evolution of the equilibrium states of an inverted pendu-
lum // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, No 4. – С. 121–129.
6. Lobas L.G., Koval’chuk V.V., Bambura O.V. Evolution of the equilibrium states of an inverted pendu-
lum // Ibid. – No 3. – P. 344–351. – 131.
7. Мартынюк А.А., Никитина Н.В. Нахождение предельного значения энергии двойного математи-
ческого маятника // Прикл. мех. – 2007. – 43, № 9. – С. 106–114.
Поступило в редакцию 23.11.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3898 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:28:45Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слынько, В.И. 2009-07-14T07:56:49Z 2009-07-14T07:56:49Z 2008 Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 68-71. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3898 531.36 The article presents some results allowing one to reduce the problem of stability of a linear system of differential equations with pulse action to that of compatibility of a system of linear matrix inequalities. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем Article published earlier |
| spellingShingle | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем Слынько, В.И. Механіка |
| title | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| title_full | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| title_fullStr | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| title_full_unstemmed | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| title_short | Линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| title_sort | линейные матричные неравенства и устойчивость движения импульсных систем |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3898 |
| work_keys_str_mv | AT slynʹkovi lineinyematričnyeneravenstvaiustoičivostʹdviženiâimpulʹsnyhsistem |