Про структуру рiвнянь електропружностi
A new system of linear hyperbolic-type equations of electroelasticity is offered.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3899 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про структуру рiвнянь електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 81-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859626240692977664 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Про структуру рiвнянь електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 81-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | A new system of linear hyperbolic-type equations of electroelasticity is offered.
|
| first_indexed | 2025-11-29T11:22:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 537.226.86
© 2008
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про структуру рiвнянь електропружностi
A new system of linear hyperbolic-type equations of electroelasticity is offered.
Для дослiдження загальних властивостей лiнiйних рiвнянь в частинних похiдних важли-
ве значення має їх класифiкацiя [3, 4]. Це питання для систем рiвнянь не завжди просто
розв’язується. Якщо система рiвнянь коливань механiчного деформування твердого тiла,
як i система рiвнянь Максвелла для речовини, є системою гiперболiчного типу, то систе-
ма зв’язаних електромеханiчних коливань п’єзоелектричних тiл [2, 6] вироджується i не
належить до гiперболiчного типу. Аналiзу цього питання присвячена дана робота.
Загальноприйнята система рiвнянь електропружностi складається [2, 6, 7 та iн.] з меха-
нiчних рiвнянь коливань суцiльного середовища
ρ
∂2uk
∂t2
=
∂σk1
∂x1
+
∂σk2
∂x2
+
∂σk3
∂x3
, k = 1, 2, 3, (1)
i квазiстатичного наближення рiвнянь Максвелла для речовини вiдносно компонент елект-
ричного поля
∇ ·D = 0, ∇× E = 0. (2)
Для поляризованої вздовж осi ox3 п’єзоелектричної керамiки (п’єзокерамiки) i п’єзо-
електрикiв гексагональної системи класу 6mm з вiссю симетрiї шостого порядку ox3 рiв-
няння (1), (2) замикаються матерiальними залежностями (2c66 = c11 − c12)
σ11 = c11
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ22 = c21
∂u1
∂x1
+ c11
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ33 = c31
∂u1
∂x1
+ c31
∂u2
∂x2
+ c33
∂u3
∂x3
− e33E3,
σ23 = c44
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
− e51E2, σ31 = c44
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
− e51E1, (3)
σ12 = c66
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
,
D1 = ε11E1 + e15
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
, D2 = ε11E2 + e15
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
,
D3 = ε33E3 + e31
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
)
+e33
∂u3
∂x3
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 81
в яких врахованi формули Кошi
∂ui
∂xk
+
∂uk
∂xi
= 2Kik (4)
для деформацiй.
Звичайним чином система (1)–(3) зводиться [2, 5, 6] до чотирьох рiвнянь типу Ламе
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, ϕ), 0 = L4(u1, u2, u3, ϕ), k = 1, 2, 3, (5)
вiдносно компонент вектора механiчних перемiщень uk(x1, x2, x3, t) i електричного потен-
цiалу ϕ(x1, x2, x3, t), який вводиться градiєнтним розв’язком E = − grad ϕ другого з рiв-
нянь (2).
В статичних задачах електропружностi при незалежних вiд часу механiчних перемiщен-
нях i напруженнях та електричному полi система (5) набуває вигляду
Lk(u1, u2, u3, ϕ) = 0, L4(u1, u2, u3, ϕ) = 0, k = 1, 2, 3, (6)
i буде системою елiптичного типу.
В динамiчних задачах електропружностi система (5) трактується як гiперболо-елiптич-
на система, хоча математичний аналiз типу системи (5) вiдсутнiй. Такий висновок грунту-
ється на тому, що вiдповiднi (5) системи незв’язаних рiвнянь (при eij = 0) теорiї пружностi
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, 0), k = 1, 2, 3, (7)
i електростатики
0 = L4(0, 0, 0, ϕ) (8)
будуть вiдповiдно рiвняннями гiперболiчного i елiптичного типу [4].
В динамiчних задачах бажано мати справу з гiперболiчною системою рiвнянь електро-
пружностi.
Для висвiтлення цього питання звернемося до повної системи рiвнянь Максвелла [1, 2, 6]
rotH = i +
∂D
∂t
, divD = ρel,
rotE = −
∂B
∂t
, divB = 0.
(9)
Введемо [1, 4] скалярний ϕ(x1, x2, x3, t) i векторний A(x1, x2, x3, t) потенцiали електромаг-
нiтного поля формулами
E = − grad ϕ −
∂A
∂t
, B = rotA. (10)
Тодi третє i четверте рiвняння системи (9) будуть виконуватися тотожно, а для перетво-
рення перших двох рiвнянь треба скористатися матерiальними залежностями.
В електродинамiцi однорiдних iзотропних середовищ приймається [1]
D = εE, (11)
B = µH. (12)
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Шляхом пiдстановки (11) i (10) в першi два рiвняння (9) останнi зводяться [1, 4] до
вигляду
∆A =
1
c2
∂2
A
∂t2
− µi + grad
(
1
c2
∂ϕ
∂t
+ divA
)
,
∆ϕ + div
∂A
∂t
= −
1
ε
ρel.
(13)
При цьому використовується операторна залежнiсть rot rotA = −∆A + grad divA. Елект-
родинамiчна стала c−2 = εµ. I, нарештi, користуючись калiбровкою Лоренца
1
c2
∂ϕ
∂t
+ divA = 0, (14)
одержуємо незалежнi хвильовi рiвняння
∆ϕ =
1
c2
∂2ϕ
∂t2
−
1
ε
ρel,
∆A =
1
c2
∂2
A
∂t2
− µi
(15)
для електромагнiтних потенцiалiв.
В електропружностi матерiальнi залежностi (11) значно ускладнюються i для матерiа-
лiв гексагональної системи класу 6mm та поляризованої вздовж осi ox3 п’єзоелектричної
керамiки (п’єзокерамiки) набувають вигляду (3). Основне ускладнення матерiальних за-
лежностей (11), (12) зумовлено зв’язнiстю iндукцiї D i напруженостi E електричного поля
з механiчними напруженнями σik та деформацiями eik твердого тiла. Якщо залежнiсть (12)
мiж iндукцiєю B i напруженiстю H магнiтного поля залишається, то при вiдсутностi елект-
ричних струмiв i перше рiвняння системи (9) зводиться до вигляду
∆A1 − µε11
∂2A1
∂t2
=
∂
∂x1
(
div A + µε11
∂ϕ
∂t
)
− µe51
∂
∂t
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
,
∆A2 − µε11
∂2A2
∂t2
=
∂
∂x2
(
div A + µε11
∂ϕ
∂t
)
− µe51
∂
∂t
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
,
∆A3 − µε33
∂2A3
∂t2
=
∂
∂x3
(
div A + µε33
∂ϕ
∂t
)
− µe31
∂
∂t
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
)
− µe33
∂2u3
∂t∂x3
.
(16)
Перетворення другого рiвняння системи (9) при вiдсутностi електричних зарядiв ρel дає
ε11
∂2ϕ
∂x2
1
+ ε11
∂2ϕ
∂x2
2
+ ε33
∂2ϕ
∂x2
3
+ ε11
∂2A1
∂t∂x1
+ ε11
∂2A2
∂t∂x2
+ ε33
∂2A3
∂t∂x3
−
− e51
(
∂2u3
∂x2
1
+
∂2u3
∂x2
2
)
− e33
∂2u3
∂x2
3
− (e51 + e31)
(
∂2u1
∂x1∂x3
+
∂2u2
∂x2∂x3
)
= 0. (17)
Для спрощення рiвнянь (16), (17) зробимо два припущення:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 83
перше припущення
ε11
∂ϕ
∂t
= εср
(
1 +
ε11 − εср
εср
)
∂ϕ
∂t
≈ εср
∂ϕ
∂t
,
ε33
∂ϕ
∂t
= εср
(
1 +
ε33 − εср
εср
)
∂ϕ
∂t
≈ εср
∂ϕ
∂t
,
(18)
друге припущення
ε11
∂A1
∂t
= εср
(
1 +
ε11 − εср
εср
)
∂A1
∂t
≈ εср
∂A1
∂t
,
ε11
∂A2
∂t
= εср
(
1 +
ε11 − εср
εср
)
∂A2
∂t
≈ εср
∂A2
∂t
,
ε33
∂A3
∂t
= εср
(
1 +
ε33 − εср
εср
)
∂A3
∂t
≈ εср
∂A3
∂t
,
(19)
в яких 2εср = ε11 + ε33. Умова 1+(εii− εcp)/εcp ≈ 1 для деяких п’єзоелектрикiв виконується
точно або наближено [7].
Перше припущення дає можливiсть ввести наближену калiбровку Лоренца у формi
divA + µεср
∂ϕ
∂t
= 0 (20)
i спростити рiвняння (16) до вигляду
µε11
∂2A1
∂t2
= ∆A1 + µe51
∂
∂t
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
,
µε11
∂2A2
∂t2
= ∆A2 + µe51
∂
∂t
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
,
µε33
∂2A3
∂t2
= ∆A3 + µ
∂
∂t
(
e31
∂u1
∂x1
+ e31
∂u2
∂x2
+ e33
∂u3
∂x3
)
.
(21)
Внаслiдок другого припущення i калiбровки (20) рiвнянню (17) можна надати вигляду
µε2
ср
∂2ϕ
∂t2
= ε11
∂2ϕ
∂x2
1
+ ε11
∂2ϕ
∂x2
2
+ ε33
∂2ϕ
∂x2
3
−
− (e51 + e31)
(
∂2u1
∂x1∂x3
+
∂2u2
∂x2∂x3
)
− e51
(
∂2u3
∂x2
1
+
∂2u3
∂x2
2
)
− e33
∂2u3
∂x2
3
. (22)
Якщо тепер знехтувати магнiтним полем i впливом на нього механiчних деформацiй,
тобто рiвняннями (21), то замiсть системи рiвнянь електропружностi (5)
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, ϕ), k = 1, 2, 3,
0 = L4(u1, u2, u3, ϕ) ≡ (e51 + e31)
(
∂2u1
∂x1∂x3
+
∂2u3
∂x2
1
)
+ e51
(
∂2u3
∂x2
1
+
∂2u3
∂x2
2
)
+
+ e33
∂2u3
∂x2
3
− ε11
(
∂2ϕ
∂x2
1
+
∂2ϕ
∂x2
2
)
− ε33
∂2ϕ
∂x2
3
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
одержимо, як це випливає з (22), систему рiвнянь електропружностi,
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, ϕ), k = 1, 2, 3,
µε2
ср
∂2ϕ
∂t2
= ε11
(
∂2ϕ
∂x2
1
+
∂2ϕ
∂x2
2
)
+ ε33
∂2ϕ
∂x2
3
− (e51 + e31)
(
∂2u1
∂x1∂x3
+
∂2u2
∂x2∂x3
)
−
− e51
(
∂2u3
∂x2
1
+
∂2u3
∂x2
2
)
− e33
∂2u3
∂x2
3
,
(23)
яка є системою гiперболiчного типу. Очевидно, що в матерiальних залежностях (3) треба
приймати E = − grad ϕ.
1. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 864 с.
2. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / Гринченко В.Т.,
Улитко А.Ф., Шульга Н.А. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
3. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – Москва: Физматгиз, 1961. –
400 с.
4. Положiй Г.М. Рiвняння математичної фiзики. – Київ: Рад. шк., 1959. – 480 с.
5. Шульга Н.А. Распространение связанных волн в периодически-неоднородных средах при взаимо-
действии с электромагнитным полем // Прикл. механика. – 2003. – 39, № 10. – С. 38–68.
6. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезокерамических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
7. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2007. – 186 с.
Надiйшло до редакцiї 08.10.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 85
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3899 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T11:22:32Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2009-07-14T07:57:25Z 2009-07-14T07:57:25Z 2008 Про структуру рiвнянь електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 81-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3899 537.226.86 A new system of linear hyperbolic-type equations of electroelasticity is offered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про структуру рiвнянь електропружностi Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру рiвнянь електропружностi Шульга, М.О. Механіка |
| title | Про структуру рiвнянь електропружностi |
| title_full | Про структуру рiвнянь електропружностi |
| title_fullStr | Про структуру рiвнянь електропружностi |
| title_full_unstemmed | Про структуру рiвнянь електропружностi |
| title_short | Про структуру рiвнянь електропружностi |
| title_sort | про структуру рiвнянь електропружностi |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3899 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo prostruktururivnânʹelektropružnosti |