Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света
A modification of the method of T-matrices with the use of the so-called Sh-matrices is proposed and applied to solving the problem of light scattering by an elongated spheroid.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3928 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света / Д.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 71-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859606029168279552 |
|---|---|
| author | Петров, Д.В. |
| author_facet | Петров, Д.В. |
| citation_txt | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света / Д.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 71-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A modification of the method of T-matrices with the use of the so-called Sh-matrices is proposed and applied to solving the problem of light scattering by an elongated spheroid.
|
| first_indexed | 2025-11-28T02:59:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Легко бачити, що врахування у виразi (16) виключно локального доданку xloc(z) можли-
во лише у випадку, коли змiна зовнiшнього поля на вiдстанях порядку “дiї” Fs(z, z1, . . . , zs−1)
мала, тобто коли система знаходиться далеко вiд критичних точок (наведенi кореляцiйнi
функцiї короткодiючi), i градiєнти зовнiшнього поля малi.
1. Монстер А. Химическая термодинамика. – Москва: Мир, 1971. – 296 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – Москва: Наука, 1964. – 587 с.
3. Lebowitz J. L., Percus J. K. Statistical thermodynamics of nonuniform fluids // J. Math. Phys. – 1963. –
4 (1). – P. 116–123.
4. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Химический потенциал системы во внешнем поле //
Доп. НАН України. – 1997. – № 2. – С. 79–83.
5. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Плотность неоднородной жидкости во внешнем по-
ле // Там само. – 1997. – № 7. – С. 111–114.
6. Булавин Л. А, Гаврюшенко Д.А., Сысоев В.М. Профиль плотности флюида в плоскопараллельной
поре с неидеальными стенками в гравитационном поле // Журн. физ. химии. – 2004. – 78. – С. 2039. –
2042.
Надiйшло до редакцiї 18.05.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 535.36
© 2008
Д.В. Петров
Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света
(Представлено академиком НАН Украины Л.Н. Литвиненко)
A modification of the method of T-matrices with the use of the so-called Sh-matrices is proposed
and applied to solving the problem of light scattering by an elongated spheroid.
Современные задачи рассеяния электромагнитных волн часто решаются с помощью ме-
тода T -матриц [1–4]. В принципе этот метод может применяться для изучения рассеяния
объектами произвольной формы. Однако для частиц таких форм расчеты довольно сложны
и требуют больших затрат компьютерного времени на оценку двойного интеграла по по-
верхности рассеивающей частицы [3], поэтому нахождение аналитических выражений для
вычисления элементов T -матриц — очень важная задача. Аналитические выражения для
элементов T -матрицы получены в работе [4] для сферического рассеивателя. Наш подход
дает возможность получать аналитические решения для более сложных форм, что серье-
зно упрощает вычисления и позволяет производить эффективное усреднение рассеиваю-
щих свойств ансамбля частиц как по размерному параметру X = 2πr/λ (здесь r — некий
характерный размер частицы, λ — длина волны падающего света), так и по показателю
преломления m0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 71
Матрицы формы и Т-матрицы. Основная идея метода T -матриц заключается в раз-
ложении падающего и рассеянного поля в ряд по векторным сферическим волновым функ-
циям [1, 2, 4]:
Einc(ρ, γ, φ) =
∞
∑
n=1
n
∑
m=−n
[amn Rg Mmn(ρ, γ, φ) + bmn Rg Nmn(ρ, γ, φ)], (1)
Esca(ρ, γ, φ) =
∞
∑
n=1
n
∑
m=−n
[pmnMmn(ρ, γ, φ) + qmnNmn(ρ, γ, φ)], (2)
где RgMmn(ρ, γ, φ), Rg Nmn(ρ, γ, φ), Mmn(ρ, γ, φ), Nmn(ρ, γ, φ) и amn, bmn, pmn, qmn —
векторные сферические волновые функции и соответствующие им коэффициенты разло-
жения, соответственно; ρ — расстояние от центра системы координат; γ и φ — поляр-
ный и азимутальный угол, соответственно, в сферической системе координат с началом
в центре частицы [3]; эти координаты характеризуют геометрию светорассеяния. Функции
RgMmn(ρ, γ, φ) и RgNmn(ρ, γ, φ) конечны в точке начала координат. Явные выражения
для векторных сферических волновых функций приведены, например, в работе [4]. Коэф-
фициенты разложения рассеянного поля pmn, qmn связаны с коэффициентами разложения
падающего поля amn, bmn с помощью соотношений, следующих из линейности уравнений
Максвелла
pmn =
∞
∑
n′=1
n′
∑
m′=−n′
[T 11
mnm′n′am′n′ + T 12
mnm′n′bm′n′ ], (3)
qmn =
∞
∑
n′=1
n′
∑
m′=−n′
[T 21
mnm′n′am′n′ + T 22
mnm′n′bm′n′ ]. (4)
Матрица, связывающая эти два набора коэффициентов, называется T-матрицей:
Tmnm′n′ =
(
T 11
mnm′n′ T 12
mnm′n′
T 21
mnm′n′ T 22
mnm′n′
)
. (5)
Можно показать [4], что Т-матрица может быть вычислена с помощью следующих со-
отношений:
Tmnm′n′ = −(Rg Qmnm′n′)(Qmnm′n′)−1. (6)
Здесь матрицы Rg Qmnm′n′ и Qmnm′n′ задаются выражениями
Rg Qmnm′n′ =
(
Rg Q11
mnm′n′ Rg Q12
mnm′n′
Rg Q21
mnm′n′ Rg Q22
mnm′n′
)
, Qmnm′n′ =
(
Q11
mnm′n′ Q12
mnm′n′
Q21
mnm′n′ Q22
mnm′n′
)
, (7)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
причем
Q11
mnm′n′
Q12
mnm′n′
Q21
mnm′n′
Q22
mnm′n′
=
−i(m0J
21
mnm′n′ + J12
mnm′n′)
−i(m0J
11
mnm′n′ + J22
mnm′n′)
−i(m0J
22
mnm′n′ + J11
mnm′n′)
−i(m0J
12
mnm′n′ + J21
mnm′n′)
,
Rg Q11
mnm′n′
Rg Q12
mnm′n′
Rg Q21
mnm′n′
Rg Q22
mnm′n′
=
−i(m0 Rg J21
mnm′n′ + Rg J12
mnm′n′)
−i(m0 Rg J11
mnm′n′ + Rg J22
mnm′n′)
−i(m0 Rg J22
mnm′n′ + Rg J11
mnm′n′)
−i(m0 Rg J12
mnm′n′ + Rg J21
mnm′n′)
,
(8)
где
J11
mnm′n′
J12
mnm′n′
J21
mnm′n′
J22
mnm′n′
= (−1)m
∫∫
S
dSn(r, θ, ϕ) ·
RgMm′n′(m0r, θ, ϕ) × M−mn(r, θ, ϕ)
Rg Mm′n′(m0r, θ, ϕ) × N−mn(r, θ, ϕ)
Rg Nm′n′(m0r, θ, ϕ) × M−mn(r, θ, ϕ)
Rg Nm′n′(m0r, θ, ϕ) × N−mn(r, θ, ϕ)
, (9)
Rg J11
mnm′n′
Rg J12
mnm′n′
Rg J21
mnm′n′
Rg J22
mnm′n′
= (−1)m
∫∫
S
dSn(r, θ, ϕ) ·
Rg Mm′n′(m0r, θ, ϕ) × Rg M−mn(r, θ, ϕ)
RgMm′n′(m0r, θ, ϕ) × RgN−mn(r, θ, ϕ)
RgNm′n′(m0r, θ, ϕ) × Rg M−mn(r, θ, ϕ)
Rg Nm′n′(m0r, θ, ϕ) × Rg N−mn(r, θ, ϕ)
. (10)
В этих соотношениях форма частицы описывается функцией R = R(θ, ϕ) в сферической
системе координат; θ — полярный угол и ϕ — азимутальный угол.
Матрица Tmnm′n′ зависит только от физических и геометрических характеристик рас-
сеивающей частицы, таких как размерный параметр, форма, относительный показатель
преломления, и не зависит от геометрии освещения/наблюдения и состояния поляризации
падающего света. Это значит, что эта матрица вычисляется один раз, а затем используется
для любой геометрии освещения/наблюдения и состояния поляризации падающего света.
Мы предлагаем развитие этого подхода. Нам удалось разделить влияния формы частицы
и ее физических параметров, таких как размерный параметр X и показатель преломле-
ния m0. Соотношения для Rg J11
mnm′n′ , например, выглядят так (см., также, [3]):
RgJ11
mnm′n′(X,m0) = Xn+n′+2(m0)
n′
∞
∑
k1=0
(Xm0)
2k1
k1!Γ
(
n′ + k1 +
3
2
) ×
×
∞
∑
k2=0
(X)2k2
k2!Γ
(
n + k2 +
3
2
)RgSh11
mnm′n′,k1+k2
, (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 73
где RgSh11 — матрица формы, зависящая лишь от формы частицы. Матрицы формы (Sh-ма-
трицы), могут быть найдены из соотношений, аналогичных соотношению для элемента
RgSh11:
RgSh11
mnm′n′k =−iπ
(−1)m
′−m+k
22k+n′+n+2
Ann′
π
∫
0
dθ
{
sin θ[πm′n′(θ)τmn(θ)+πmn(θ)τm′n′(θ)] ×
×
2π
∫
0
dϕ exp[iϕ(m′ − m)](R0)
2k+n+n′+2
}
, (12)
где R0 = R(θ, ϕ)/X. Как видно, Sh-матрицы зависят от двойного интеграла, взятого по
поверхности частицы. Его вычисление с нужной точностью — задача непростая. Однако
для частиц некоторых форм интегралы могут быть найдены аналитически.
Рассмотрим в качестве рассеивающего объекта вытянутый сфероид, ось вращения ко-
торого ориентирована вдоль полярной оси нашей системы координат, длина этой оси — a,
длина перпендикулярной оси — b (все размеры выражены в единицах размерного парамет-
ра). Обращаем внимание, что для вытянутого сфероида b 6 a. Центр системы координат
находится посредине оси вращения. В этой системе координат форма сплюснутого сферои-
да может быть описана следующей функцией:
R0(θ, ϕ) =
b
√
1 − ε2(cos θ)2
, (13)
где ε =
√
1 − b2/a2 — эксцентриситет эллипса, лежащего в поперечном сечении сфероида
плоскостью, содержащей ось вращения сфероида a. У этого эллипса длина большей по-
луоси равна a и малая полуось имеет длину b. Элемент RgSh11 описывается следующим
соотношением:
RgSh11
mnm′n′k = −iπ2 (−1)m
′−m+k
22k+n′+n+1
Ann′δmm′b2k+n+n′+2I
(1)
mnm′n′
(
k +
n + n′ + 2
2
)
, (14)
I
(1)
mnm′n′(z) = m
[
n′
√
(n′+1)2−m′2
2n′ + 1
I
(θ)
mnm′n′+1(z)− (n′+1)
√
n′2−m′2
2n′ + 1
I
(θ)
mnm′n′−1(z)
]
+
+ m′
[
n
√
(n + 1)2 − m2
2n + 1
I
(θ)
mn+1m′n′(z) − (n + 1)
√
n2 − m2
2n + 1
I
(θ)
mn−1m′n′(z)
]
, (15)
I
(θ)
mnm′n′(z) = (−1)n+n′
ΞmΞm′n!
√
(n − |m|)!(n + |m|)!n′!
√
(n′ − |m′|)!(n′ + |m′|)! ×
×
n−|m|
∑
k=0
(−1)k
k!(n − k)!(n − |m| − k)!(|m| + k)!
×
×
n′−|m′|
∑
k′=0
(−1)k
′
k′!(n′ − k′)!(n′ − |m′| − k′)!(|m′| + k′)!
×
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
×
∞
∑
k′′=0
Γ(z + k′′)ε2k′′
Γ(z)Γ(k′′ + 1)
k′′
∑
k′′′=0
Ck′′
k′′′(−4)k
′′′ ×
× I(2n− 2k− |m| + 2n′− 2k′− |m′|− 1 + 2k′′′, 2k + |m| + 2k′+ |m′|− 1 + 2k′′′), (16)
I(α, β) =
π
2
∫
0
(cos(θ))α(sin(θ))βdθ =
Γ
(
α + 1
2
)
Γ
(
β + 1
2
)
2Γ
(
α + β
2
+ 1
) . (17)
Аналогично можно получить выражения и для других Sh-матриц.
1. Tsang L., Kong J., Shin R. Theory of microwave remote sensing. — New York: Wiley, 1985. — 603 p.
2. Mishchenko M. I., Travis L.D., Mackowski D.W. T -matrix computations of light scattering by nonspherical
particles: a review // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 1996. — 55. — P. 535–575.
3. Petrov D., Synelnyk E., Shkuratov Yu., Videen G. The T -matrix technique for calculations of scattering
properties of ensembles of randomly oriented particles with different size // Ibid. — 2006. — 102. —
P. 85–110.
4. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A.A. Scattering, absorption and emission of light by small particles. —
Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — 690 p.
Поступило в редакцию 12.06.2007НИИ астрономии Харьковского национального
университета им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3928 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T02:59:47Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Петров, Д.В. 2009-07-14T09:03:22Z 2009-07-14T09:03:22Z 2008 Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света / Д.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 71-75. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3928 535.36 A modification of the method of T-matrices with the use of the so-called Sh-matrices is proposed and applied to solving the problem of light scattering by an elongated spheroid. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Фізика Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света Article published earlier |
| spellingShingle | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света Петров, Д.В. Фізика |
| title | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света |
| title_full | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света |
| title_fullStr | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света |
| title_full_unstemmed | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света |
| title_short | Применение Sh-матриц в задачах рассеяния света |
| title_sort | применение sh-матриц в задачах рассеяния света |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3928 |
| work_keys_str_mv | AT petrovdv primenenieshmatricvzadačahrasseâniâsveta |