Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль
For a solution of the initial-value problem of the BBGKY hierarchy for an infinite threedimensional systems of particles interacting via a hard spheres potential, the Bogolyubov principle of the decay of correlations is proved.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3929 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль / В.І. Герасименко, В. O. Штик // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859620279733452800 |
|---|---|
| author | Герасименко, В.І. Штик, В.O. |
| author_facet | Герасименко, В.І. Штик, В.O. |
| citation_txt | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль / В.І. Герасименко, В. O. Штик // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | For a solution of the initial-value problem of the BBGKY hierarchy for an infinite threedimensional systems of particles interacting via a hard spheres potential, the Bogolyubov principle
of the decay of correlations is proved.
|
| first_indexed | 2025-11-29T02:35:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9+531.19
© 2008
В. I. Герасименко, В. O. Штик
Принцип послаблення кореляцiй Боголюбова
для нескiнченної системи пружних куль
(Представлено академiком НАН України А. Г. Загороднiм)
For a solution of the initial-value problem of the BBGKY hierarchy for an infinite three-di-
mensional systems of particles interacting via a hard spheres potential, the Bogolyubov principle
of the decay of correlations is proved.
Для виведення кiнетичних рiвнянь з динамiки багаточастинкових систем М.М. Боголюбов
використав властивiсть розв’язкiв iєрархiї рiвнянь ББГКI [1], вiдому в лiтературi [2] як
послаблення кореляцiй Боголюбова. Ця гiпотеза, наприклад, для двочастинкової функцiї
розподiлу полягає в iснуваннi такої границi:
lim
|q1−q2|→∞
F2(t, x1, x2) = F1(t, x1)F1(t, x2), (1)
де xi ≡ (qi, pi) ∈ R
3 × R
3, i = 1, 2, тобто двi частинки є статистично незалежними, якщо
вiдстань мiж ними зростає, незалежно вiд фазових станiв iнших частинок нескiнченночас-
тинкової системи. Дану властивiсть розв’язку початкової задачi iєрархiї рiвнянь ББГКI до
останнього часу не було строго доведено насамперед через вiдсутнiсть строгих результатiв
про iснування розв’язкiв таких рiвнянь. Огляд строгих результатiв про iснування розв’язкiв
iєрархiї рiвнянь ББГКI та методiв їх побудови в рiзних функцiональних просторах наведено
в монографiях [2, 3].
У данiй роботi для розв’язку початкової задачi iєрархiї рiвнянь ББГКI нескiнченної три-
вимiрної системи частинок, якi взаємодiють як пружнi кулi, побудованого в роботах [4, 5],
доведено властивiсть послаблення кореляцiй Боголюбова (1). Пiдкреслимо, що природним
функцiональним простором, в якому можна сформулювати дану проблему математично,
є простiр послiдовностей iнтегровних трансляцiйно-iнварiантних за конфiгурацiйними змiн-
ними функцiй, вперше введений у роботi Д.Я. Петрини [6].
Початкова задача для ланцюжка рiвнянь Боголюбова. Розглянемо систему то-
тожних частинок одиничної маси, якi взаємодiють як пружнi кулi з дiаметром σ > 0. Кожна
частинка системи характеризується фазовими координатами (qi, pi) ≡ xi ∈ R
3 × R
3, i > 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 7
Для конфiгурацiй такої системи частинок виконуються умови: |qi − qj| > σ, i 6= j > 1, тобто
частинки не можуть займати множину заборонених конфiгурацiй: Wn ≡ {(q1, . . . , qn) ∈
∈ R
3n
∣
∣|qi − qj| < σ хоча б для однiєї пари (i, j) : i 6= j ∈ {1, . . . , n}}, n > 1. Множина M0
n
складається iз таких фазових точок системи: a) при t ∈ (−∞,∞) у системi вiдбуваються
кратнi (потрiйнi i т. д.) зiткнення частинок; б) за скiнченний промiжок часу вiдбувається
нескiнченне число зiткнень. Лебегова мiра множини M0
n дорiвнює нулю [5]. Множина Γn =
= R
3n × (R3n \ Wn) \M0
n утворює фазовий простiр системи n пружних куль.
Стан такої системи можна описати послiдовнiстю F = (1, F1(x1), . . . , Fs(x1, . . . , xs), . . .)
s-частинкових функцiй розподiлу Fs(x1, . . . , xs), симетричних вiдносно перестановок аргу-
ментiв, якi визначенi на фазовому просторi Γs системи s частинок та дорiвнюють нулю
на множинi Ws. Еволюцiя станiв системи пружних куль визначається початковою задачею
для iєрархiї рiвнянь ББГКI [5]
d
dt
F (t) = −LF (t) + aLintF (t), (2)
F (t)
∣
∣
t=0
= F (0). (3)
У рiвняннi (2) оператор L визначено дужкою Пуассона вiльних частинок з граничними
умовами на ∂Ws [2]:
(LF (t))s(x1, . . . , xs) = LsFs(t) =
s
∑
i=1
〈
pi,
∂
∂qi
〉∣
∣
∣
∣
∂Ws
Fs(t, x1, . . . , xs) (4)
та оператор aLint при t > 0 визначено виразом
(aLintF (t))s(x1, . . . , xs) = σ2
s
∑
i=1
∫
R3×S2
+
dps+1dη〈η, (pi − ps+1)〉 ×
×(Fs+1(t, x1, . . . , qi, p
∗
i , . . . , xs, qi − ση, p∗s+1) − Fs+1(t, x1, . . . , xs, qi + ση, ps+1)), (5)
де 〈η, (pi − ps+1)〉 =
3
∑
α=1
ηα(pα
i − pα
s+1) — скалярний добуток, S
2
+ = {η ∈ R
3 | |η| = 1, 〈η, (pi −
− ps+1)〉 > 0} та iмпульси p∗i , p∗s+1 визначаються спiввiдношеннями
p∗i = pi − η〈η, (pi − ps+1)〉,
p∗s+1 = ps+1 + η〈η, (pi − ps+1)〉.
(6)
Щоб пiдкреслити структуру генератора iєрархiї рiвнянь ББГКI (2), у виразi (5) використано
позначення aLint, де оператор a (аналог оператора знищення)
(af)s(x1, . . . , xs) =
∫
R3×R3
dxs+1fs+1(x1, . . . , xs, xs+1), (7)
та
(Lintf)s(x1, . . . , xs) =
s
∑
i<j=1
Lint(i, j)fs = σ2
s
∑
i<j=1
∫
S2
+
dη〈η, (pi − pj)〉 ×
×(fs(x1, . . . , p
∗
i , qi, . . . , p
∗
j , qj, . . . , xs)δ(qi−qj+ση)−fs(x1, . . . , xs)δ(qi−qj−ση)). (8)
Тут використано позначення, подiбнi до (5), δ — дельта-функцiя Дiрака.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
У випадку t < 0 дiя оператора aLint визначається вiдповiдним виразом [2].
Розглянемо початковi данi (3), що задовольняють умову хаосу (“молекулярного хао-
су” [2])
(F (0))s(x1, . . . , xs) =
s
∏
i=1
F1(0, xi)XΓs
, (3′)
де XΓs
— характеристична функцiя фазового простору системи s пружних куль.
Для початкових даних F1(0), що є iнтегровними функцiями, розв’язок задачi Кошi (2)–
(3) визначається таким розкладом [7]:
Fs(t, x1, . . . , xs) =
∞
∑
n=0
1
n!
∫
(R3×R3)n
dxs+1 · · · dxs+nA1+n(t, Y1, s + 1, . . . , s + n) ×
×
s+n
∏
i=1
F1(0, xi)XΓs+n
. (9)
У розкладi (9) через (Y1, s + 1, . . . , s + n) позначено множину, яка складається з елемен-
тiв 1
⋃
· · ·
⋃
s, s + 1, . . . , s + n, де символ 1
⋃
· · ·
⋃
s ≡ Y1 вiдображає ту обставину, що
множина (1, . . . , s) ≡ Y є зв’язною частиною (кластером s частинок) розбиття множини
X = (1, . . . , s, s+1, . . . , s+n) на n+1 елемент. Еволюцiйний оператор A1+n(t, Y1, s+1, . . . , s+
+ n) — кумулянт (семiiнварiант) (n + 1)-го порядку еволюцiйних операторiв Sn(t), n > 1,
якi визначаються формулою
(S(t)f)n(x1, . . . , xn) ≡ Sn(t, 1, . . . , n)fn(x1, . . . , xn) =
=
fn(X1(t, x1, . . . , xn), . . . , Xn(t, x1, . . . , xn)),
(x1, . . . , xn) ∈ (R3n × (R3n \ Wn)) \M0
n,
0, (q1, . . . , qn) ∈ Wn, (x1, . . . , xn) ∈ M0
n,
(10)
де Xi(t) — фазова траєкторiя i-ї частинки, яка побудована в [5]. Оператор Ln з рiвняння (2)
є генератором групи еволюцiйних операторiв (10). Властивостi оператора Sn(t) описано
в монографiї [2].
Кумулянт (n + 1)-го порядку еволюцiйних операторiв (10) з розкладу (9) визначається
рiвнiстю
A1+n(t, Y1, s + 1, . . . , s + n) =
∑
P : {Y1,X\Y }=
⋃
i
Xi
(−1)|P|−1(|P| − 1)!
∏
Xi⊂P
S|Xi|(−t,Xi), (11)
де
∑
P
— сума за всiма можливими розбиттями P множини {Y1,X \ Y } ≡ {1
⋃
· · ·
⋃
s, s +
+1, . . . , s+n} на |P| непорожнiх пiдмножин Xi ∈ {Y1,X \Y }, що взаємно не перетинаються.
Наприклад,
A1(t, Y1) = Ss(−t, 1, . . . , s),
A1+1(t, Y1, s + 1) = Ss+1(−t, 1, . . . , s + 1) − Ss(−t, 1, . . . , s)S1(−t, s + 1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 9
Кластернi розклади та s-частинковi кореляцiйнi функцiї. Стан класичної систе-
ми не фiксованого числа тотожних частинок можна описати не лише в термiнах послiдов-
ностi s-частинкових функцiй розподiлу, що є розв’язками iєрархiї рiвнянь ББГКI (2), а й
в iнший еквiвалентний спосiб [8, 9], а саме в термiнах так званої послiдовностi s-частинкових
кореляцiйних функцiй Gs(t), якi визначаються кластерними розкладами таких функцiй (9):
F|Y |(t, Y ) =
∑
P : Y =
⋃
i
Xi
∏
Xi⊂P
G|Xi|(t,Xi), (12)
де Y ≡ (x1, . . . , xs),
∑
P
— сума за всiма розбиттями P множини Y на |P| непорожнiх пiдмно-
жин, що не перетинаються. Наприклад,
F1(t, x1) = G1(t, x1),
F2(t, x1, x2) = G2(t, x1, x2) + G1(t, x1)G1(t, x2).
Структура такого кластерного розкладу (12) обумовлена тим, що за кореляцiйними функ-
цiями Gn(t) безпосередньо обчислюються такi характеристики системи частинок, як флук-
туацiї [9], тобто середнi значення квадратiв вiдхилення спостережуваної величини вiд її
середнього значення та макроскопiчнi величини, якi не є середнiми значеннями мiкроско-
пiчних спостережуваних [1].
Зауважимо, що так визначена (12) послiдовнiсть
G(t) = (0, G1(t, x1), . . . , Gs(t, x1, . . . , xs), . . .)
s-частинкових кореляцiйних функцiй Gs(t, x1, . . . , xs), визначених на фазовому просторi
R
3s × (R3s \ Ws) \ M0
s системи s > 1, частинок, симетричних вiдносно перестановок ар-
гументiв, задовольняє початкову задачу для iєрархiї нелiнiйних рiвнянь ББГКI [1, 8].
Згiдно з означенням (12) та формулою для розв’язку (9) для початкових даних (3′), що
задовольняють умову хаосу для s-частинкових кореляцiйних функцiй, справедливий такий
розклад (розв’язок початкової задачi для iєрархiї нелiнiйних рiвнянь ББГКI):
Gs(t, x1, . . . , xs) =
∞
∑
n=0
1
n!
∫
R3×R3
dxs+1 · · · dxs+nAs+n(t, 1, . . . , s + n)
s+n
∏
i=1
G1(0, xi)XΓs+n
. (13)
Пiдкреслимо ту обставину, що в даному розкладi еволюцiя (s + n)-частинкової пiдсисте-
ми визначається кумулянтом (s + n)-го порядку еволюцiйних операторiв (10) на вiдмiну
вiд розкладу (9), у якому еволюцiя такої пiдсистеми частинок визначалась кумулянтом
(n + 1)-го порядку.
Зауважимо, що розклад (13) можна отримати на основi розв’язкiв початкової задачi
ланцюжка нелiнiйних рiвнянь Лiувiлля [8, 10], використовуючи зображення для s-частин-
кових функцiй розподiлу та s-частинкових кореляцiйних функцiй через розв’язки такого
ланцюжка.
Аналоги формул Дюамеля. Розглянемо явно дiю кумулянтiв (11) на початковi данi.
Якщо fn — iнтегровна функцiя, gn — обмежена функцiя (функцiї fn i gn симетричнi вiдносно
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
перестановки аргументiв та дорiвнюють нулю на множинi заборонених конфiгурацiй Wn),
то згiдно з означенням (10) iснує такий функцiонал:
(
fn,
(
Sn(−t, 1, . . . , n) −
n
∏
i=1
S1(−t, i)
)
gn
)
≡
≡
∫
(R3×R3)n
dx1 · · · dxnfn(x1, . . . , xn)
(
Sn(−t, 1, . . . , n) −
n
∏
i=1
S1(−t, i)
)
gn(x1, . . . , xn). (14)
У випадку n = 2 функцiонал (14) збiгається з функцiоналом (f2,A2(t)g2) для кумулянта
другого порядку (11). Для функцiонала (14) справедливе таке зображення [3]:
(
fn, (Sn(−t, 1, . . . , n) −
n
∏
i=1
S1(−t, i))gn
)
=
=
n
∑
i<j=1
t
∫
0
dτ
∫
(R3×R3)n−2
dx1 · · ·
i
∨ · · ·
j
∨ · · · dxn
∫
R3×R3
dqidpi
∫
R3×S2
+
dpjdησ2〈η, (pi − pj)〉 ×
× (fn(q1, p1, . . . , qi, pi, . . . , qi − (pi − pj)(t − τ) + ση, pj , . . . , qn, pn) ×
× g2(q1 − p1t, p1, . . . , qi − p∗i τ − pi(t − τ), p∗i , . . . , qi − p∗jτ − pi(t − τ) +
+ ση, p∗j , . . . , qn − pnt, pn) −
− (fn(q1, p1, . . . , qi, pi, . . . , qi − (pi − pj)(t − τ) − ση, pj , . . . , qn, pn) ×
× g2(q1 − p1t, p1, . . . , qi − pit, pi, . . . , qi − pjτ − pi(t − τ) −
− ση, pj , . . . , qn − pnt, pn)), (15)
де iмпульси i-ї та j-ї частинки p∗i , p∗j визначаються виразами (6).
Згiдно з означенням еволюцiйних операторiв (10) та оператора (8), рiвнiсть (15) можна
подати у формi аналога формули Дюамеля [11]
((
Sn(−t, 1, . . . , n) −
n
∏
i=1
S1(−t, i)
)
gn
)
(x1, . . . , xn) =
=
t
∫
0
dτ
n
∏
i=1
S1(−t + τ, i)
n
∑
j1<j2=1
Lint(j1, j2)Sn(−τ, 1, . . . , n)gn(x1, . . . , xn) =
=
t
∫
0
dτSn(−t + τ, 1, . . . , n)
n
∑
j1<j2=1
Lint(j1, j2)
n
∏
i=1
S1(−τ, i)gn(x1, . . . , xn). (16)
У випадку n = 2 формула (16) визначає дiю кумулянта другого порядку на довiльну обме-
жену функцiю.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 11
Розглянемо функцiонал (fn,An(t)gn), визначений формулою (14), для кумулянта n-го
порядку еволюцiйних операторiв (10). Згiдно з рiвнiстю (16) кумулянт n-го порядку (11)
виражається через кумулянти нижчого порядку таким виразом:
An(t, 1, . . . , n) =
t
∫
0
dτ
n
∏
k=1
S1(−t + τ, k)
n
∑
i<j=1
Lint(i, j)An−1(t, i
⋃
j, 1, . . . ,
i
∨, . . . ,
j
∨, . . . , n),
де використано позначення формули (9), а оператори Lint(i, j) i S(t) визначаються форму-
лами (8) та (10) вiдповiдно.
Використовуючи останню рiвнiсть та значення функцiонала для кумулянта другого по-
рядку (15), внаслiдок симетрiї функцiй fn та gn i справедливостi теореми Лiувiлля [2],
значення функцiонала (fn,An(t)gn) визначається таким виразом:
(fn,An(t)gn) = (n + 1)!
∫
(R3×R3)n
dx1 · · · dxnfn(x1, . . . , xn)
t
∫
0
dt1 · · ·
tn−2
∫
0
dtn−1S1(−t, 1) ×
× S1(−t, 2)S1(t1, 1)S1(t1, 2)Lint(1, 2)S2(−t1, 1, 2)S2(t2, 1, 2)S1(t2, 3) ×
×
2
∑
i1=1
Lint(i1, 3)S3(−t2, 1, 2, 3) · · · × Sn−1(tn−1, 1, . . . , n − 1)S1(tn−1, n) × · · · ×
×
n−1
∑
in−2=1
Lint(in−2, n)Sn−1(−tn−1, 1, . . . , n)gn(x1, . . . , xn). (17)
Властивостi двочастинкової кореляцiйної функцiї. Дослiдимо властивостi функ-
цiй (13) для початкових даних, якi належать простору iнтегровних трансляцiйно-iнварiант-
них за конфiгурацiйними змiнними функцiй [6, 12].
Згiдно з формулою (13) двочастинкова кореляцiйна функцiя G2(t) для системи пружних
куль визначається розкладом
G2(t, x1, x2) =
∞
∑
n=0
1
n!
∫
(R3×R3)n
dx3 · · · dx2+nA2+n(t, 1, . . . , 2 + n)
2+n
∏
i=1
G1(0, xi)XΓn+2
, (18)
де A2+n(t) — кумулянт (2 + n)-го порядку еволюцiйних операторiв (10).
Розглянемо початковi данi G1(0), якi є трансляцiйно-iнварiантними за конфiгурацiйни-
ми змiнними функцiями [12], що задовольняють умову
|G1(0, q, p)| 6 Ce−βp2/2, (19)
де β > 0 — параметр, C < ∞ — константа.
Зауважимо, що для початкових даних (19) кожен член розкладу (18) мiстить розбiжнi
iнтеграли за конфiгурацiйними змiнними. Структура кумулянтiв (11) еволюцiйних операто-
рiв (10) дозволяє надати сенс кожному члену ряду (18) для таких початкових даних. Дiйсно,
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
враховуючи формулу (17) для кумулянта (2 + n)-го порядку системи пружних куль, ана-
логiчно до побудови оцiнок [2, 5] для ряду iтерацiй iєрархiї рiвнянь ББГКI (2), має мiсце
така оцiнка:
∫
R3
d(q1 − q2)
∫
R3×R3
dp1dp2|G2(t, x1, x2)| 6 C
∞
∑
n=0
(
t
t0
)n+1
,
де t0 ≡ (29π3/2Cσ2l(β))−1, l(β) = max(β−3/2, β−1/2).
Таким чином, справедливе твердження
Теорема 1. Для початкових даних, що задовольняють умову (19), кожен член ря-
ду (18) для двочастинкової кореляцiйної функцiї iснує i цей ряд є збiжним за нормою
простору iнтегровних трансляцiйно-iнварiантних функцiй при t ∈ (−t0,+t0), де t0 ≡
≡ (29π3/2Cσ2l(β))−1 та l(β) = max(β−3/2, β−1/2).
Аналогiчно доводиться збiжнiсть за нормою простору iнтегровних трансляцiйно-iнварi-
антних функцiй [6, 12] рядiв, якими зображуються s-частинковi кореляцiйнi функцiї (13).
Твердження теореми iнтерпретується як властивiсть спадання кореляцiй, що виникають
у процесi еволюцiї системи i доводить принцип послаблення кореляцiй Боголюбова [1] для
розв’язкiв початкової задачi iєрархiї рiвнянь ББГКI (2)–(3) нескiнченної системи пружних
куль у випадку некорельованих початкових даних.
Робота пiдтримана Українсько-Австрiйським проектом № М/124 (UA 04/2007) (д-р фiз.-мат.
наук В. I. Герасименко, канд. фiз.-мат. наук В.О. Штик) та Цiльовою програмою ВФА НАН
України (канд. фiз.-мат. наук В.О. Штик).
1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – Москва: ОГИЗ, 1946. –
119 с.
2. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord-
recht: Kluwer Acad. Publ., 1997. – 252 p.
3. Petrina D.Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P.V. Mathematical foundations of classical statistical mecha-
nics. Continuous systems. – 2nd ed. – London; New York: Taylor and Francis, 2002. – 352 p.
4. Герасименко В.И., Петрина Д.Я. Термодинамический предел неравновесных состояний трехмерной
системы упругих шаров // Теорет. и мат. физика. – 1985. – 64, № 1. – С. 130–149.
5. Петрина Д.Я., Герасименко В.И. Математические проблемы статистической механики системы уп-
ругих шаров // Успехи мат. наук. – 1990. – 45, № 3. – С. 135–182.
6. Петрина Д.Я. О гамильтонианах квантовой статистики и о модельном гамильтониане теории сверх-
проводимости // Теорет. и мат. физика. – 1970. – 4. – С. 394.
7. Gerasimenko V. I., Ryabukha T.V., Stashenko M.O. On the structure of expansions for the BBGKY
Hierarchy Solutions // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37, No 42. – P. 9861–9872.
8. Green M. S. Boltzmann equation from the statistical mechanical point of view // J. Chem. Phys. – 1956. –
25, No 5. – P. 836–855.
9. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику. – Москва:
Наука, 1984. – 384 с.
10. Штик В.О. Про розв’язки ланцюжка нелiнiйних рiвнянь Лiувiлля // Доп. НАН України. – 2006. –
№ 7. – С. 31–37.
11. Banasiak J., Arlotti L. Perturbations of positive semigroups with applications. – Berlin: Springer, 2006. –
438 p.
12. Petrina D.Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. – Amsterdam: Kluwer, 1995. –
624 p.
Надiйшло до редакцiї 07.08.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3929 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T02:35:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Герасименко, В.І. Штик, В.O. 2009-07-14T09:04:02Z 2009-07-14T09:04:02Z 2008 Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль / В.І. Герасименко, В. O. Штик // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3929 517.9+531.19 For a solution of the initial-value problem of the BBGKY hierarchy for an infinite threedimensional systems of particles interacting via a hard spheres potential, the Bogolyubov principle of the decay of correlations is proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль Article published earlier |
| spellingShingle | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль Герасименко, В.І. Штик, В.O. Математика |
| title | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| title_full | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| title_fullStr | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| title_full_unstemmed | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| title_short | Принцип послаблення кореляцій Боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| title_sort | принцип послаблення кореляцій боголюбова для нескінченної системи пружних куль |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3929 |
| work_keys_str_mv | AT gerasimenkoví principposlablennâkorelâcíibogolûbovadlâneskínčennoísistemipružnihkulʹ AT štikvo principposlablennâkorelâcíibogolûbovadlâneskínčennoísistemipružnihkulʹ |