Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости
The asymptotic equilibrium equations of shells with geometric imperfections which take the interaction of buckling modes in a neighborhood of the critical point into account are derived. This derivation is based on the principle of virtual works and a Timoshenko type theory of shells. The obtai...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3937 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости / Н.Б. Жукова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859597458370199552 |
|---|---|
| author | Жукова, Н.Б. |
| author_facet | Жукова, Н.Б. |
| citation_txt | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости / Н.Б. Жукова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The asymptotic equilibrium equations of shells with geometric imperfections which take the
interaction of buckling modes in a neighborhood of the critical point into account are derived.
This derivation is based on the principle of virtual works and a Timoshenko type theory of
shells. The obtained system of equations can be used for the analysis of a nonlinear deformation
of shells with imperfections in the prebuckling and initial postbuckling states.
|
| first_indexed | 2025-11-27T23:25:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
Н.Б. Жукова
Асимптотические нелинейные уравнения равновесия
оболочек с геометрическими несовершенствами
при взаимодействии форм потери устойчивости
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
The asymptotic equilibrium equations of shells with geometric imperfections which take the
interaction of buckling modes in a neighborhood of the critical point into account are derived.
This derivation is based on the principle of virtual works and a Timoshenko — type theory of
shells. The obtained system of equations can be used for the analysis of a nonlinear deformation
of shells with imperfections in the prebuckling and initial postbuckling states.
Асимптотический метод анализа нелинейного деформирования упругих конструкций
в окрестности бифуркационных или предельных нагрузок разработан в работах В.Т. Кой-
тера [1]. Метод применим в тех случаях, когда минимальное собственное число λc линеа-
ризованной задачи — изолированное или, если этому числу соответствует множество соб-
ственных векторов (λi = λc). Для многих конструкций, таких как подкрепленные оболочки
или оболочки из композиционных материалов [2–4], собственные числа в общем случае
не совпадают, но весьма близки. В работе [5] предложен вариант асимптотического мето-
да, в котором учитывается различие собственных чисел линеаризованной задачи. Методика
авторов [5] эквивалентна методике Койтера [1], когда рассматривается изолированное собст-
венное число λ1, а также, когда для нескольких форм собственные значения λi = λc. При
совпадающих или близких значениях λi имеет место нелинейное взаимодействие между
формами потери устойчивости. В этом случае конструкция может обладать очень высокой
чувствительностью к геометрическим несовершенствам. При выводе основных уравнений
теории в работе [5] используется принцип минимума потенциальной энергии. В работе [6]
построение соотношений теории выпучивания и послекритического поведения основано на
принципе виртуальных работ. Однако случай близких собственных значений с учетом по-
лей второго порядка в работе [6] не рассматривался. В связи с этим ниже приводится вывод
асимптотических соотношений теории нелинейного деформирования конструкций с исполь-
зованием принципа виртуальных работ, когда идеальная конструкция может терять устой-
чивость по почти одновременным формам.
В соответствии с гипотезами теории оболочек типа Тимошенко, вектор перемещений u
имеет своими компонентами тангенциальные перемещения поверхности приведения u, v,
нормальный прогиб w и углы поворота поперечных сечений вокруг координатных линий θ
и ψ. Совокупность компонентов деформации представим в виде вектора ε = (ε11, ε22, ε12, ε13,
ε23, k11, k22, τ1, τ2), а компонентов усилий и моментов, заменяющих компоненты тензора на-
пряжений, в виде вектора σ = (T11, T22, T12, T13, T23,M11,M22,M12,M21). Система уравне-
ний, описывающая напряженно-деформированное состояние оболочки, может быть пред-
ставлена в виде
σδε− λ∆′δu = 0, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 55
σ = Hε, (2)
ε = ε(u). (3)
Здесь вариационное уравнение (1) — это выражение принципа виртуальных работ, из ко-
торого следуют уравнения равновесия, уравнение (2) — матричная запись обобщенного
закона Гука, где H — матрица жесткостей слоистой оболочки, оператор ε(u) включает ли-
нейные и квадратичные слагаемые. Предполагается, что нагрузка на оболочку пропорцио-
нальна параметру λ. Обобщенное перемещение оболочки задается в виде оператора ∆(u),
штрих над оператором ∆ обозначает производную Фреше. Воспользовавшись этим поняти-
ем, в операторе ε(u) можно выделить линейную и квадратичную части
ε(u) = ε′(0)u+
1
2
ε′′u2. (4)
Аналогично
∆(u) = ∆′(0)u+
1
2
∆′′u2. (5)
Если поле начальных несовершенств характеризуется вектором ũ, для деформаций
и обобщенного перемещения выводятся выражения
ε(u, ũ) = ε(u) + ε′′uũ, ∆(u, ũ) = ∆(u) + ∆′′uũ. (6)
Вектор напряжений σ̃ для оболочки с несовершенствами связан с вектором деформаций
ε(u, ũ) с помощью той же матрицы
σ̃ = Hε(u, ũ). (7)
Выражение принципа виртуальных работ принимает вид
σ̃ε′(u, ũ)δu− λ∆′(u, ũ)δu = 0. (8)
Модифицированные таким образом уравнения (6)–(8) позволяют решать различные не-
линейные задачи о деформировании оболочек с начальными геометрическими несовершен-
ствами. Отметим, что уравнения (1)–(3) или (6)–(8) в таком виде, как они записаны, при-
менимы к расчету любых конструкций при использовании какой-либо прикладной теории
или же исходных соотношений упругости. При этом следует конкретизировать компоненты
векторов u, ε, σ. К уравнениям (1)–(3) применим метод асимптотического анализа, предло-
женный в работе [5]. Полагаем, что докритическое напряженно-деформированное состояние
оболочки является линейным. Пусть при λ = 1 поля перемещений, деформаций и напря-
жений характеризуются векторами u0, ε0, σ0. Линеаризуя уравнения (1)–(3) в окрестности
нагрузки бифуркации, для определения критических значений λi и соответствующих мод
выпучивания ui получаем совокупность уравнений
σiε
′(0)δu + λiσ0ε
′′uiδu − λi∆
′′uiδu = 0, (9)
σi = Hεi, (10)
εi = ε′(0)ui, i = 1, . . . ,M. (11)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Эти M форм взаимно ортогональны в смысле
σ0ε
′′uiuj − ∆′′uiuj = 0, i 6= j. (12)
Амплитуды ξi мод ui при решении однородной задачи (9)–(11) остаются неопределен-
ными и могут быть найдены только при решении исходной нелинейной задачи (1)–(3). Век-
тор перемещений представляется в виде асимптотического разложения
u = λu0 + ξiui + ξiξjuij . (13)
Здесь и ниже применяется правило суммирования по повторяющимся индексам.
Если решена однородная краевая задача (9)–(11), причем собственные векторы норми-
рованы определенным образом, и неоднородная задача, то относительно амплитуд ξi можно
получить систему неоднородных алгебраических уравнений
ξr
(
1 −
λ
λr
)
+ ξiξjaijr + ξiξjξkbijkr = 0, r = 1, . . . ,M, (14)
где
aijr = −
Aijr
2D
, bijr = −
Bijr
D
,
Aijr = σrε
′′uiuj + 2σiε
′′ujur, D = λr(σ0ε
′′u2
r − ∆′′u2
r),
Bijkr = σiε
′′urujk + σijε
′′ukui + σrε
′′uiujk.
(15)
Поле начальных несовершенств ũ представляется в виде разложения по собственным
векторам задачи
ũ = ξui. (16)
Для упругих перемещений предполагаются справедливыми асимптотические разложе-
ния (13). Функции ui и uij являются решениями указанных выше задач. С учетом пре-
образований, аналогичных выполненным выше при получении системы однородных урав-
нений (14), имеем
ξr
(
1 −
λ
λr
)
+ ξiξjaijr + ξiξjξkbijkr = ξr
λ
λr
, r = 1, . . . ,M. (17)
Система нелинейных уравнений (17) полностью тождественна системе (6) работы [5].
Уравнения (17) можно использовать для исследования нелинейного деформирования не-
совершенных конструкций в докритическом состоянии, для расчета критических (бифур-
кационных или предельных) нагрузок, а также для расчета начального закритического
поведения рассматриваемых конструкций. Факт тождественности уравнений (17) данной
работы и уравнений (6) работы [5] подтверждает эквивалентность подходов, основанных на
принципе минимума потенциальной энергии и принципе виртуальных работ.
Проанализируем структуру уравнений (17) на примере расчета устойчивости и нелиней-
ного деформирования цилиндрических оболочек при шарнирном опирании торцов. В этом
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 57
случае компоненты вектора ui могут быть аппроксимированы тригонометрическими ря-
дами
Ui =Ai
m,n cos lmξi cosniϕ, Vi =Bi
m,n cos lmξi cosniϕ, Wi =Ci
m,n cos lmξi cosniϕ,
θi = Di
m,n cos lmξi cosniϕ, ψi = Ei
m,n cos lmξi cosniϕ,
(18)
где
lm =
mπR
L
, ξ =
x
R
, ϕ =
y
R
,
x, y — продольная и окружная координатные линии на поверхности приведения оболочки.
Собственные числа λi и соответствующие значения амплитуд Ai
mn, Bi
mn, Ci
mn, Di
mn, Ei
mn
находятся из решения системы однородных дифференциальных уравнений, вытекающих
из вариационного уравнения (9). Для нормирования этих величин используется условие
(wi)max = 1. Решение неоднородной задачи с учетом вида правой части и шарнирного
опирания торцов может быть записано следующим образом:
Uij =
∑
k
[Aij
k,1 cos(ni − nj)ϕ+A
ij
k,2 cos(ni + nj)ϕ] cos lkξ,
Vij =
∑
k
[Bij
k,1
sin(ni − nj)ϕ+B
ij
k,2
sin(ni + nj)ϕ] sin lkξ,
Wij =
∑
k
[Cij
k,1 cos(ni − nj)ϕ+ C
ij
k,2 cos(ni + nj)ϕ] sin lkξ,
θij =
∑
k
[Dij
k,1 cos(ni − nj)ϕ+D
ij
k,2 cos(ni + nj)ϕ] cos lkξ,
ψij =
∑
k
[Eij
k,1 sin(ni − nj)ϕ+ E
ij
k,2 sin(ni + nj)ϕ] sin lkξ.
(19)
Индекс суммирования k в рядах (19) принимает только четные значения, если суммаmi+mj
является нечетным целым числом, и нечетные — при mi +mj-четном.
Рассмотрим взаимодействие осесимметричной формы потери устойчивости, которой от-
вечает критическая нагрузка λ1 и волновые числа m1, n1 = 0, с неосесимметричной фор-
мой, которой соответствует критическая нагрузка λ2 и волновые числа m2, n2. Вычисление
коэффициентов aijr по формуле (15) показывает, что не все они равны нулю при таких
сочетаниях mi и mj (i, j = 1, 2), что сумма 2mi +mj является нечетным числом. Что каса-
ется коэффициентов bijkr, то они могут быть не равными нулю и при четных значениях m1
и m2. С учетом особенностей решения однородной задачи (9) при рассматриваемых формах
выпучивания система уравнений (17) принимает вид
ξ1
(
1 −
λ
λ1
)
+ ξ22a221 + ξ1ξ
2
2(b2211 + b2121 + b1221) =
λ
λ1
ξ1,
ξ2
(
1 −
λ
λ2
)
+ ξ1ξ2(a122 + a212) + ξ21ξ2(b1122 + b1212+b2112) + ξ22b2222 =
λ
λ2
ξ2.
(20)
При ξ1 6= 0, ξ2 6= 0 с ростом нагрузки λ деформирование развивается по осесимметрич-
ной и неосесимметричной формам. После достижения предельного значения нагрузки λs
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
амплитуды ξ1, ξ2 будут возрастать при уменьшении нагрузки. Если ξ1 6= 0, ξ2 = 0, то
вначале развиваются осесимметричные деформации до некоторого значения нагрузки λc,
такого, что
1 −
λ
λ2
+ ξ1(a122 + a212) + ξ21(b1122 + b1211 + b2112) = 0. (21)
При выполнении условия (21) происходит бифуркация на моду ξ2 и затем деформация
оболочки происходит по обеим формам с уменьшением нагрузки. В случае ξ1 = 0, ξ2 6= 0
из уравнений (20) следует, что будет достигнута предельная точка при деформировании
по обеим формам ξ1 и ξ2.
В качестве второго примера рассмотрим взаимодействие двух неосесимметричных мод
с волновыми числами m1, n1 и m2, n2. Если оболочка изотропная, то минимальному собст-
венному числу соответствует множество форм потери устойчивости, расположенных на
окружности Койтера
l2m −
√
2CR
t
lm + n2 = 0, (22)
где
C =
√
3(1 − ν2). (23)
Как следует из (22), одному значению n соответствуют два значения m. Поэтому примем
n1 = n2. Система уравнений (20) приводится к виду
ξ1
(
1 −
λ
ξ1
)
+ ξ31b1111 + ξ21ξ2(b1121 + b1211 + b2111) + ξ1ξ
2
2
(
b2211 + b2121 + b1221
)
+
+ ξ32b2221 =
λ
λ1
ξ1,
ξ2
(
1 −
λ
ξ1
)
+ξ31b1112 + ξ21ξ2(b1122 + b1212 + b2112) + ξ1ξ
2
2
(
b2212 + b2122 + b1222
)
+
+ ξ32b2222 =
λ
λ1
ξ2.
(24)
Как видим, при ξ1 = ξ2 = 0 начальное закритическое поведение оболочки характери-
зуется развитием обеих мод. Если ξ1 и/или ξ2 не равны нулю, то достижение предельной
точки происходит также по обеим модам. Отличным от этого является взаимодействие двух
неосесимметричных мод при λ1 6= λ2 и n1 6= n2. В этом случае будут равны нулю коэффи-
циенты при ξ21ξ2 и ξ32 в первом уравнении и при ξ31 и ξ1ξ
2
2 — во втором. Если ξ1 6= 0, ξ2 = 0,
λ1 < λ2, то в этом случае может быть достигнута предельная точка λsтолько по моде ξ1,
а ξ2 появится в закритическом состоянии при
[
1 −
λs
λ2
+ ξ21(b1122 + b1212 + b2111)
]
= 0. (25)
Условие (25) может реализоваться и до достижения предельной точки, что приведет к би-
фуркации на моду ξ2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 59
Проведенный анализ показывает, что система асимптотических уравнений (17), полу-
ченная по методу [5], позволяет описывать широкий круг задач нелинейного деформирова-
ния конструкций с несовершенствами, включая докритическое состояние, бифуркационные
и предельные точки, начальное закритическое поведение с учетом взаимодействия различ-
ных мод выпучивания.
1. Koiter W.T. Elastic stability and post-buckling behavior // Proc. Symp. Nonlinear Probl. – Madison,
1963. – P. 257–275.
2. Ванин Г.А., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершен-
ствами. – Киев: Наук. думка, 1987. – 200 с.
3. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных
колебаний цилиндрических оболочек. – Киев: Наук. думка, 1984. – 220 с.
4. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. К задаче о взаимодействии форм потери устойчивости для несовер-
шенных цилиндрических оболочек из композитов // Прикл. механика. – 1994. – 30, № 8. – С. 69–75.
5. Byskov E., Hutchinson J.W. Mode interaction in axially stiffened cylindrical shells // AIAA J. – 1977. –
16, No 7. – P. 941–948.
6. Budiansky B., Amazigo J. Initial post-buckling behavior of cylindrical shells under external pressure //
J. Mat. And Phys. – 1968. – 47. – P. 223–235.
Поступило в редакцию 20.07.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 628.162
© 2008
Член-кореспондент НАН України О. Я. Олiйник, С. О. Рибаченко
Теоретичний аналiз процесiв доочистки стiчних вод
A general mathematical model of the additional treatment of waste water to remove organic
contaminants by filtration is developed. Simpler models of the removal of organic contaminants
using filter beds derived from the general model are presented.
У багатьох випадках ступiнь вилучення органiчних i бiогенних забруднень в iснуючих спо-
рудах механiчної i бiологiчної очистки не задовольняє потрiбнi нормативнi вимоги i тому
необхiдна їх додаткова очистка. Провiдна роль в такому доочищеннi стiчних вод належить
процесу фiльтрацiї через зернистi i iншi типи завантаження [1]. В процесах доочистки фiльт-
руванням господарсько-побутових стiчних вод, забруднених переважно легкоокислюваними
речовинами, в основному вiдбувається бiоокислення (деструкцiя) забруднень органiчного
походження. Високий ефект вилучення органiчних забруднень в затоплених фiльтрах по-
в’язаний з утворенням високої концентрацiї бiомаси в одиницi об’єму фiльтра у виглядi
бiоплiвки, яка утворюється на поверхнi часток завантаження. Для росту i життєдiяльнос-
тi цiєї бiомаси необхiдно забезпечити безперебiйне постачання кисню i контролювати його
споживання в кiлькостi, яка необхiдна для пiдтримки високої швидкостi утилiзацiї забруд-
нень. Нижче розглядається утилiзацiя органiчних забруднень, якi надходять на доочистку
зi стiчними водами з БПКповн вiд 15. . . 50 мг/л до 1. . . 5 мг/л [1]. Для описання процесiв
вилучення таких забруднень на бiоплiвковiй моделi необхiдно встановити баланс змiни (ути-
лiзацiї) забруднень i (трансформацiї) кисню в бiоплiвцi, рiдиннiй плiвцi i в об’ємi фiльтра.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3937 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T23:25:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жукова, Н.Б. 2009-07-14T09:23:19Z 2009-07-14T09:23:19Z 2008 Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости / Н.Б. Жукова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 55-60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3937 539.3 The asymptotic equilibrium equations of shells with geometric imperfections which take the interaction of buckling modes in a neighborhood of the critical point into account are derived. This derivation is based on the principle of virtual works and a Timoshenko type theory of shells. The obtained system of equations can be used for the analysis of a nonlinear deformation of shells with imperfections in the prebuckling and initial postbuckling states. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости Жукова, Н.Б. Механіка |
| title | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| title_full | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| title_fullStr | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| title_full_unstemmed | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| title_short | Асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| title_sort | асимптотические нелинейные уравнения равновесия оболочек с геометрическими несовершенствами при взаимодействии форм потери устойчивости |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3937 |
| work_keys_str_mv | AT žukovanb asimptotičeskienelineinyeuravneniâravnovesiâoboločeksgeometričeskiminesoveršenstvamiprivzaimodeistviiformpoteriustoičivosti |