Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах
Basic statements of the theory of the interpolation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators in Hilbert’s spaces are given. Approaching operators are equal to the given operator on a given set of functional knots.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3938 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 25-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859625579031035904 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. |
| author_facet | Литвин, О.М. |
| citation_txt | Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 25-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Basic statements of the theory of the interpolation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators in Hilbert’s spaces are given. Approaching operators are equal to
the given operator on a given set of functional knots.
|
| first_indexed | 2025-11-29T11:22:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Mingori D. L. A stability theorem for mechanical systems constant damping // Trans. ASME. Ser.
E. J. Appl. Mech. – 1970. – 37, No 20. – P. 253–258.
2. Müller P. C. Verallgemeinerung des Stabilitätssatzes von Thomson-Tait-Chetaev auf mechanische Systeme
mit scheinabar nichtkonservativen Lagekräften // Z. angew. Math. und. Mech. – 1972. – 52, H. 4. –
S. T65–T67.
3. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Структурный анализ некоторого класса динамических систем // Укр.
мат. журн. – 2000. – 52, № 8. – С. 1089–1096.
4. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. К теории гироскопических систем с неконсервативными силами //
Прикл. математика и механика. – 2001. – 65, вып. 4. – С. 698–704.
5. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Механические системы, эквивалентные в смысле Ляпунова системам,
не содержащим неконсервативных позиционных сил // Там же. – 2007. – 71, вып. 1. – С. 12–22.
6. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Драгунов Д.В. Механiчнi системи, еквiвалентнi в сенсi Ляпунова
системам, що не мiстять гiроскопiчних сил // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2006. – 3,
№ 1. – С. 111–122.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – Москва: Наука, 1988. – 552 с.
Надiйшло до редакцiї 15.06.2007Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 519.6
© 2008
О.М. Литвин
Iнтерполювання звичайних диференцiальних
операторiв у гiльбертових просторах
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Basic statements of the theory of the interpolation of ordinary differential operators by other
ordinary differential operators in Hilbert’s spaces are given. Approaching operators are equal to
the given operator on a given set of functional knots.
Постановка проблеми. Теорiя наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних вклю-
чає в себе, як важливий частинний випадок, теорiю iнтерполювання. Оператори Lnu(x)
iнтерполювання функцiй u(x) вiдновлюють (взагалi кажучи, наближено) u(x) мiж зада-
ними точками x1, . . . , xm, використовуючи значення функцiї u(x) або (у бiльш загально-
му випадку) деякої системи операторiв (найчастiше використовуються диференцiальнi та
iнтегро-диференцiальнi оператори) вiд u(x) у вказаних точках Bk,su(xk) = γk,s, 1 6 k 6
6 m; 0 6 s 6 ρk − 1;
m∑
k=1
ρk = M . При цьому наближуючий (iнтерполюючий) оператор
Lnu(x) повинен мати тi ж самi властивостi у вказаних точках, що i наближувана функцiя:
Bk,sLnu(xk) = γk,s, 1 6 k 6 m; 0 6 s 6 ρk − 1. Аналогiчно формулюється задача iнтерполю-
вання для функцiй кiлькох змiнних, але у цьому випадку поняття iнтерполювання знайшло
своє узагальнення ще й у виглядi операторiв iнтерлiнацiї та iнтерфлетацiї, у яких iнфор-
мацiя про наближувану функцiю задається на системi лiнiй або поверхонь (якщо змiнних
бiльше двох) [1, 2].
Задачу iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв (ЗДО) у гiльбертових
просторах сформулюємо таким чином. Деякий ЗДО A : U → Γ (взагалi кажучи, невiдомий)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 25
задається iнтерполяцiйними даними Auβ(x) = γβ(x), 1 6 β 6 m, де функцiональнi вузли
uβ(x) ∈ U , 1 6 β 6 m, i функцiї γβ(x) ∈ Γ, 1 6 β 6 m, вважаються заданими елемента-
ми деяких функцiональних гiльбертових просторiв U , Γ вiдповiдно. Треба побудувати за
допомогою цiєї iнформацiї iнший ЗДО Ln з тими ж iнтерполяцiйними властивостями.
Деякi важливi результати з побудови полiномiальних наближуючих операторiв у ви-
глядi операторних полiномiв Pn степеня n, визначених на множинi функцiй u(x) ∈ X,
x ∈ Ω = [0, 1], iз значеннями в просторi Y (X та Y — деякi лiнiйнi простори, наприклад
гiльбертовi) наведенi в працях [3–9]. Пiд Pn розумiється оператор
Pnu =
n∑
k=0
Lku
k,
де L0u
0 = L0 ∈ Y , Lku
k = Lk(u, u, . . . , u
︸ ︷︷ ︸
k
), k = 1, n — k-й операторний степiнь, отриманий
з полiлiнiйного симетричного оператора Lk(v1, v2, . . . , vk) : Xk → Y , при v1 = . . . vk = u,
vi ∈ X, i = 1, n. Для деякого оператора A треба знайти такий операторний полiном Pn,
який задовольняє iнтерполяцiйнi умови Pn(uβ(x)) = A(uβ(x)), 1 6 β 6 m, де {uβ(x)}m
β=1
—
задана система вузлiв uβ(x) ∈ X. У роботах [7–9] детально розглянуто випадок, коли для
наближення використовуються iнтегральнi оператори. Звертаємо увагу на те, що у цих
роботах наближуючий оператор не є диференцiальним, навiть якщо A є диференцiальним
оператором.
Вiдзначимо, що iснують практичнi задачi, у яких наближуваний нелiнiйний диферен-
цiальний оператор доцiльно замiнити iншим диференцiальним оператором бiльш простої
конструкцiї (наприклад, лiнiйним чи полiномiальним) i навiть iнтегральнi оператори до-
цiльно наближувати диференцiальними [10].
У роботах автора [11, 12] дослiджувалася задача побудови операторiв iнтерполювання
ЗДО та диференцiальних операторiв з частинними похiдними. Методи побудови набли-
жуючих операторiв, запропонованi у цих роботах, не можуть бути використанi без змiн
у випадку, коли наближуваний i наближуючий оператори є диференцiальними оператора-
ми, що дiють на вектор-функцiї з деякого гiльбертового простору i результат їх дiї теж
є вектор-функцiями у деякому гiльбертовому просторi. У жоднiй з вiдомих авторовi робiт
не розглядався цей важливий з теоретичної та практичної точки зору випадок. У той же
час вся теорiя наближення функцiй свiдчить про те, що врахування класу наближуваних
функцiй дозволяє отримати бiльш точне наближення до них. Сказане стосується i теорiї
наближення ЗДО.
Метою даної роботи є побудова основ теорiї iнтерполювання ЗДО A(x,D), якi дiють
з одного векторного гiльбертового простору в iнший, на основi iнтерполяцiйних умов. За-
пропонована теорiя iстотно використовує те, що наближуючий оператор є ЗДО.
Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових прос-
торах. Хай оператор A(t,D) : X → Y дiє з s-вимiрного простору вектор-функцiй x(t) =
= (x1(t), . . . , xs(t))
T ∈ X у s-вимiрний простiр вектор-функцiй y = (y1(t), . . . , ys(t))
T ∈ Y ,
xν(t) ∈ CN [0, 1], yν(t) ∈ Cr[0, 1], r > N − n > 0, ν = 1, s. Вважаємо, що сам оператор
A(t,D) може бути невiдомим, а вiдомими є результати його дiї γi(t) = (γi1(t), . . . , γis(t))
T ,
i = 1,m, на задану систему векторних функцiональних вузлiв ui(t) = (ui1(t), . . . , uis(t))
T ∈
∈ X, i = 1,m:
A(t,D)ui(t) = γi(t), i = 1,m. (1)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Хай (xi, xj)X =
s∑
µ=1
1∫
0
xiµ(τ)xjµ(τ)k(τ−t)dτ , (yi, yj)Y =
s∑
γ=1
1∫
0
yiν(τ)yjν(τ)k(τ−t)dτ — скалярнi
добутки функцiй у просторах X, Y , k(t) = δ(t) — дельта-функцiя Дiрака, або k(t) = 1.
Iнтерполювання ЗДО узагальненою формулою Лагранжа. Цей випадок дослiджувався
в роботi [5], у якiй була запропонована така формула для iнтерполюючого оператора:
Pu =
m∑
i=1
πi(u)
πi(ui)
γi,
πi(u) =
m∏
k=1,k 6=i
(u − uk, ui − uk)X .
Нижче дамо iнший пiдхiд до розв’язання цiєї задачi, який зберiгає простоту формули Ла-
гранжа у випадку покоординатно рiзних вузлiв.
Означення 1. Для двох s-вимiрних векторiв u = (u1, . . . , us)
T , v = (v1, . . . , vs)
T введемо
операцiю їх дiлення таким чином:
[
u
v
]
= diag
[
u1
v1
, . . . ,
us
vs
]
, vi 6= 0, i = 1, s,
де diag[d1, . . . , ds] — дiагональна матриця.
Теорема 1. Якщо векторнi функцiональнi вузли є покоординатно рiзними, тобто
ui,p(t) 6= uj,p(t), t ∈ [0, 1] ∀ i, j = 1,m, i 6= j, p = 1, s, то оператор
Lu =
m∑
i=1
ℓi(u)γi,
ℓi(u) =
m∏
j=1,j 6=i
[
u − uj
ui − uj
]
має такi iнтерполяцiйнi властивостi:
Luβ = γβ, β = 1,m.
Звертаємо увагу на те, що ℓi(u) є дiагональними матрицями-операторами. Очевидно,
i оператор P i оператор L не є диференцiальними операторами. Для того щоб побудува-
ти диференцiальний наближуючий оператор, можна скористатись узагальненим методом
множникiв Лагранжа або узагальненим методом найменших квадратiв, сформульованими
у теоремi 2.
Означення 2. Вираз (взагалi кажучи, функцiю змiнної t)
‖|Ln|‖
2 =
n∑
µ=0
‖aµ(t)‖2 :=
n∑
µ=0
(
s∑
i=1
s∑
j=1
(aµ,i,j, aµ,i,j)k
)
,
де (aµ,i,j , aµ,i,j)k =
1∫
0
(a2
µ,i,j(τ)k(τ − t)dτ , назвемо незалежною (взагалi кажучи, функцiональ-
ною) нормою лiнiйного диференцiального оператора
Ln(t,D) =
n∑
µ=0
aµ(t)Dµ, D =
d
dt
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 27
з матричними коефiцiєнтами aµ(t) = [aµ,i,j]
s
i,j=1, µ = 0, n. Очевидно,
‖|Ln‖| ≡ 0 ⇔ Ln(t,D) ≡ 0; ‖|cLn‖| = |c| · ‖|Ln‖|∀c ∈ R.
Ця характеристика оператора Ln не залежить вiд простору X функцiй, до яких оператор Ln
може застосовуватись. У теоремi 2 сформульованi вказанi вище два методи знаходження
розв’язку задачi: знайти коефiцiєнти a(t) = (a0(t), . . . , an(t))T оператора Ln з умов
Ln(t,D)ui(t) = γi(t), i = 1,m, ui ∈ X, γi ∈ Y. (2)
Теорема 2. Iснують такi набори функцiональних вузлiв ui(t) ∈ X, для яких дифе-
ренцiальний оператор Ln(t,D), що задовольняє iнтерполяцiйнi умови (2) i має найменшу
незалежну норму ‖|Ln(t, ·)‖|, iснує i єдиний. Його коефiцiєнти a(t) можна знайти уза-
гальненим методом множникiв Лагранжа ξ = (ξ0, . . . , ξm) :
J1(a, ξ) = ξ0‖|Ln‖|
2 +
m∑
i=1
(ξi, Ln(·,D)ui(·) − γi(·))Y → min
a,ξ
.
Якщо s = 1, m = n + 1, detΛ1 6= 0, Λ1,i,k = Diuk(t), i = 1, n, k = 1,m, ξ0 ∈ {0; 1},
то Ln(t,D)ui = γi, i = 1, n + 1. Цi коефiцiєнти можна знайти також узагальненим
методом найменших квадратiв
J2(a) =
m∑
i=1
(Ln(·,D)ui(·) − γi(·), Ln(·,D)ui(·) − γi(·))Y → min
a
,
якщо
detΛ2 6= 0; Λ2,j,p =
m∑
i=1
(Djui(t),D
pui(t))Y .
Зауваження 1. Вираз для J2(a) отримується з J1(a, ξ) при ξ0 = 0, ξi = Ln(t,D)ui(t) −
− γi(t), i = 1,m.
Зауваження 2. Умова det Λ1 6= 0 означає, що система функцiональних вузлiв ui(t), i =
= 1,m, є лiнiйно незалежною, бо детермiнант det Λ1 є детермiнантом Вронського. У випадку
s > 2 ця умова не має мiсця, бо функцiональнi вузли ui(t) є вектор-функцiями.
Теорема 3. Якщо наближуваний оператор A(t,D) =
n∑
i=0
bi(t)D
i є лiнiйним ЗДО, то
∀uj(t), ui(t) 6= uj(t), i 6= j, i, j = 1,m : Ln(t,D) = A(t,D).
Iнтерполювання ЗДО нелiнiйними ЗДО. У теоремi 4 дано явний розв’язок задачi iн-
терполювання за допомогою нелiнiйних диференцiальних операторiв першого порядку. Хай
x = (x1(t), . . . , xs(t)
T , uj = (uj1(t), . . . , ujs(t))
T ∈ X, γj = (γj1(t), . . . , γjs(t))
T ∈ Y . Якщо
A(t,D)x = A(t, BDx), де B = [bi,j ]
s
i,j=1 — деяка матриця, то можна використовувати для
наближення один з таких нелiнiйних операторiв:
Ln(t, B,D)x(t) =
m∑
j=1
(
m∏
µ=1,µ6=j
[
BD(x(t) − uµ(t))
BD(uj(t) − uµ(t))
])
γj(t), (3)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Ln(t, B,D)x(t) =
m∑
j=1
(
m∏
µ=1,µ6=j
s∏
ν=1
[BD(x(t) − uµ(t))]ν
[BD(uj(t) − uµ(t))]ν
)
γj(t), (4)
Ln(t, B,D)x(t) =
m∑
j=1
(
m∏
µ=1,µ6=j
(BD(x − uµ), BD(uj − uµ))Y
(BD(uj − uµ), BD(uj − uµ))Y
)
γj(t). (5)
Теорема 4. Якщо функцiональнi векторнi вузли uj(t) задовольняють умови
[BD(uj(t) − uµ(t))]ν 6= 0, t ∈ [0, 1], j 6= µ; j, µ = 1,m; ν = 1, s, то оператори
Ln(t, B,D), що визначаються формулами (3)–(5), мають такi iнтерполяцiйнi власти-
востi: Ln(t, B,D)uβ(t) = γβ(t), β = 1,m. Але оператор, що визначається формулою (5),
задовольняє цi властивостi також, якщо (BD(uj − uµ), BD(uj − uµ))Y 6= 0, j 6= µ; j,
µ = 1,m.
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її узагальнення. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
3. Porter W.A. An overview of polynomic system theory // Proc. IEEE Special issue on system theory. –
1976. – Jan. – P. 18–23.
4. Porter W.A. Synthesis of polynomic system // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
5. Prenter P.M. Lagrange and Hermite interpolation in Banaсh spaces // Appr. Theory. – 1971. – 4, No 4. –
P. 419–432.
6. Howlett P.G., Torokhti A. P. Weak interpolation and approximation of nonlinear operators on the space
C([0, 1]) // Numer. Func. Anal. and Optimiz. – 1998. – 19, No 9, 10. – P. 1025–1043.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2002. – 406 с.
9. Хлобыстов В. В., Поповичева Т.Н. Интерполирование и задачи идентификации // Кибернетика и
систем. анализ. – 2006. – № 3. – С. 100–107.
10. Рыым Р.Й. Аппроксимация интегрального оператора при помощи дифференциального полинома.
Применение для решения задач переноса излучения и восстановления сигналов // Публ. Тартус.
астрофиз. обсерватории. – 1990. – 53. – С. 175–186.
11. Литвин О.М. Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв // Доп. НАН України. –
2007. – № 8. – С. 16–20.
12. Литвин О.М. Iнтерполювання диференцiальних операторiв з частинними похiдними // Там само. –
2007. – № 7. – С. 7–11.
Надiйшло до редакцiї 16.02.2007Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3938 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T11:22:42Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. 2009-07-14T09:34:38Z 2009-07-14T09:34:38Z 2008 Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 25-29. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3938 519.6 Basic statements of the theory of the interpolation of ordinary differential operators by other ordinary differential operators in Hilbert’s spaces are given. Approaching operators are equal to the given operator on a given set of functional knots. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах Article published earlier |
| spellingShingle | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах Литвин, О.М. Математика |
| title | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| title_full | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| title_fullStr | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| title_full_unstemmed | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| title_short | Інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| title_sort | інтерполювання звичайних диференцiальних операторiв у гiльбертових просторах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3938 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom ínterpolûvannâzvičainihdiferencialʹnihoperatorivugilʹbertovihprostorah |