Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках
We consider properties of the Chebyshev (uniform, minimax) approximation of a function by the sum of a polynomial and an exponential with the least absolute error and with interpolation at the end points of the interval. The sufficient conditions of such an approximation for a function f(x) are esta...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3940 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках / П.С. Малачівський // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859650098630230016 |
|---|---|
| author | Малачівський, П.С. |
| author_facet | Малачівський, П.С. |
| citation_txt | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках / П.С. Малачівський // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We consider properties of the Chebyshev (uniform, minimax) approximation of a function by the sum of a polynomial and an exponential with the least absolute error and with interpolation at the end points of the interval. The sufficient conditions of such an approximation for a function f(x) are established, and an algorithm for the construction of such an approximation
is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:32:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 518.5+531.2
© 2008
П.С. Малачiвський
Чебишовське наближення сумою многочлена
й експоненти з iнтерполюванням у крайнiх точках
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком)
We consider properties of the Chebyshev (uniform, minimax) approximation of a function by
the sum of a polynomial and an exponential with the least absolute error and with interpolation
at the end points of the interval. The sufficient conditions of such an approximation for a
function f(x) are established, and an algorithm for the construction of such an approximation
is proposed.
Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти
En(a;x) =
n
∑
i=0
aix
i + Aepx, A 6= 0, p 6= 0, n = 0, 1, 2, . . . , (1)
з iнтерполюванням використовується для опису рiзних фiзичних процесiв [1, 2] i наближен-
ня деяких спецiальних функцiй [3]. Розробленi також i технiчнi пристрої, якi реалiзують
обчислення значення суми многочлена й експоненти [4]. Чебишовське наближення функцiї
виразом (1) для n = 0 з точним вiдтворенням її значення у заданiй точцi застосовується,
зокрема, для опису залежностi оптичної щiльностi вiдбитку вiд товщини нанесеного ша-
ру фарби [5]. Наближення функцiй з точним вiдтворенням її значення в крайнiх точках
вiдрiзка використовується для побудови неперервних сплайн-наближень [6].
Вивченню властивостей чебишовського наближення нелiнiйними виразами з iнтерпо-
люванням присвячено роботи [4, 5, 7, 8]. Зокрема, в [4, 5, 7] встановлено достатнi умови
iснування рiвномiрного наближення виразом (1) з iнтерполюванням у крайнiй лiвiй точцi
для n = 0 i n = 1, а також запропоновано алгоритми для визначення його параметрiв.
Дослiдження чебишовського наближення виразом (1) з iнтерполюванням ускладнюється
тим, що цей вираз не задовольняє умову Хаара [2], тому виникає питання iснування такого
наближення для функцiї f(x) i його єдиностi.
Дана робота присвячена виявленню умов iснування для функцiї f(x) чебишовського
наближення сумою многочлена й експоненти (1) з найменшою абсолютною похибкою на
вiдрiзку [α, β] й iнтерполюванням у крайнiх точках вiдрiзка, а також розробленню алго-
ритму для визначення його параметрiв.
Розглянемо неперервнi на вiдрiзку [α, β] функцiї f(x) (f(x) ∈ C[α, β]), якi справджують
нерiвностi
W (n) > 0, W (n) 6= W
(n)
0 , (2)
де
W (n) =
Dn+1(f ; z2, z3, . . . , zn+4)
Dn+1(f ; z1, z2, . . . , zn+3)
, (3)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
W
(n)
0 =
Dn+1(sn+1; z2, z3, . . . , zn+4)
Dn+1(sn+1; z1, z2, . . . , zn+3)
, (4)
sk(x) = xk,
Dk(U ; zi, zi+1, . . . , zi+k+1) =
Dk−1(U ; zi+1, zi+2, . . . , zi+k+1)
Dk−1(sk−1; zi+1, zi+2, . . . , zi+k+1)
−
−
Dk−1(U ; zi, zi+1, . . . , zi+k)
Dk−1(sk−1; zi, zi+1, . . . , zi+k)
, k = 2, 3, . . . , n + 1, (5)
D1(U ; zi, zi+2) = U(zi+2) − U(zi), i = 1, 2, . . . , n + 2, (6)
а zi (i = 1, n + 4) — довiльнi, впорядкованi за зростанням zj < zj+1 (j = 1, n + 3) числа
з вiдрiзка [α, β].
Достатню умову iснування для функцiї f(x) чебишовського наближення сумою много-
члена й експоненти (1) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] й iнтерполю-
ванням у крайнiх точках вiдрiзка сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема 1. Достатньою умовою iснування рiвномiрного наближення функцiї f(x) ви-
разом (1) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] i точним вiдтворенням
значення функцiї у крайнiх точках вiдрiзка α та β (або тiльки в однiй iз них) є справ-
дження нерiвностей (2), в яких у випадку iнтерполювання у точцi α — z1 = α
D1(U ; z1, z3) = U(z3) + U(z2) − 2U(z1), (7)
а в разi iнтерполювання в точцi β — zn+4 = β
D1(U ; zn+2, zn+4) = 2U(zn+4) − U(zn+2) − U(zn+3). (8)
Доведення цiєї теореми грунтується на застосуваннi характеристичної теореми iснуван-
ня й єдиностi найкращого чебишовського наближення нелiнiйними виразами з iнтерполю-
ванням у зовнiшнiх точках [2] iз використанням властивостей комбiнацiї приростiв непе-
рервних i диференцiйовних функцiй, що сформульованi в теоремi 2.
Теорема 2. Якщо функцiя f(x) неперервна на вiдрiзку [α, β] i має обмежену похiдну
на (α, β), то на iнтервалi (α, β) знайдуться такi точки ξ i ζ (ξ, ζ ∈ (α, β)), для яких
справджуються рiвностi
f(β) + f(γ) − 2f(α)
β + γ − 2α
= f ′(ξ); (9)
2f(β) − f(γ) − f(α)
2β − γ − α
= f ′(ζ), (10)
де γ ∈ [α, β].
Розглянемо умови (2). Неважко пересвiдчитись (шляхом пiдстановки), що для полiно-
ма (n + 1)-го степеня величина W (n) (3) набуває значення W
(n)
0 (4). Значить, нерiвнiсть
W (n) 6= W
(n)
0 умови (2) справджується, зокрема, для функцiй f(x), вiдмiнних вiд полiнома
(n + 1)-го степеня. Перша нерiвнiсть умови (2) виконується для функцiй f(x), n-на похiд-
на яких строго монотонна на вiдрiзку [α, β]. Тому достатню умову iснування рiвномiрного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 55
наближення виразом (1) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] i iнтерполю-
ванням у крайнiх точках вiдрiзка задовольняють, зокрема, функцiї f(x) (f(x) ∈ Cn[α, β]),
вiдмiннi вiд полiнома (n + 1)-го степеня, n-на похiдна яких строго монотонна на [α, β].
Умови (2) не є необхiдними для iснування рiвномiрного наближення виразом (1) для
функцiї f(x) з найменшою абсолютною похибкою й iнтерполюванням у крайнiх точках.
Їх виконання необхiдне лише в точках чебишовського альтернансу. В разi використання
алгоритму Ремеза [1] для знаходження параметрiв рiвномiрної апроксимацiї виразом (1)
виконання умов (2) необхiдне в усiх точках промiжних наближень до точок альтернансу.
Вiдповiдно до теореми 1, чебишовське наближення функцiї f(x) сумою многочлена й
експоненти (1) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] й iнтерполюванням
в обох крайнiх точках вiдрiзка α i β має (n+2)-тi точки альтернансу, а в разi iнтерполювання
лише в однiй iз крайнiх точок — (n+3)-тi точки альтернанcу. Нехай zi (i = 2, n + 2) — точки
альтернансу у випадку наближення з iнтерполюванням в обох крайнiх точках вiдрiзка, zi
(i = 2, n + 4) — точки альтернансу в разi наближення з iнтерполюванням лише в точцi α,
а zi (i = 1, n + 3) — у точцi β.
Якщо функцiя f(x) задовольняє умови теореми i точки альтернанcу вiдомi, то пара-
метри ai (i = 0, n) i A чебишовського наближення функцiї f(x) виразом (1) з найменшою
абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] й iнтерполюванням у крайнiх точках вiдрiзка ви-
значаються за формулами
A =
Dn+1(f ; z1, z2, . . . , zn+3)
Dn+1(ϕ; z1, z2, . . . , zn+3)
; (11)
ak =
Dk(f ; z1, z2, . . . , zk+2) −
n
∑
i=k+1
aiDk(si; z1, z2, . . . , zk+2)
Dk(sk; z1, z2, . . . , zk+2)
−
− A
Dk(ϕ; z1, z2, . . . , zk+2)
Dk(sk; z1, z2, . . . , zk+2)
, k = 1, n; (12)
a0 =
1
2
(
f(z2) + f(z3) −
n
∑
i=1
ai(z
i
2 + zi
3) − A(epz2 + epz3)
)
, (13)
де ϕ(p, x) = epx, вирази Dk(U ; zi, zi+1, . . . , zi+k+1) визначаються залежно вiд точок iнтерпо-
лювання за вiдповiдними формулами (5)–(8). Значення параметра p є розв’язком рiвняння
ωn(p) = W (n), (14)
де
ωn(p) =
Dn+1(ϕ; z2, z3, . . . , zn+4)
Dn+1(ϕ; z1, z2, . . . , zn+3)
,
а значення виразiв W (n) i Dn+1(ϕ; zi, zi+1, . . . , zi+n+2), i = 1, 2, визначаються залежно вiд
точок iнтерполювання за вiдповiдними формулами (3)–(8).
Пiд час дослiдження виявлено, що лiва частина рiвняння (14) є експоненцiйною функ-
цiєю щодо p, тому його розв’язок доцiльно шукати як корiнь прологарифмованого рiвняння
gn(p) = V (n), (15)
де gn(p) = ln(ωn(p)), V (n) = ln(W (n)).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Розв’язок рiвняння (15) можна обчислити за iтерацiйним методом Ньютона
pi+1 = pi −
gn(pi) − V (n)
g′n(pi)
, i = 0, 1, 2, . . . , (16)
де
g′n(p) =
Dn+1(ϕ; z2, z3, . . . , zn+4)
Dn+1(ϕ; z2, z3, . . . , zn+4)
−
Dn+1(ϕ; z1, z2, . . . , zn+3)
Dn+1(ϕ; z1, z2, . . . , zn+3)
; (17)
ϕ(p; z) = zepz; ϕ(p, z) = epz;
p0 = sign(W (n) − W
(n)
0 )
2|V (n)|
zn+4 − zn+2 + z3 − z1
, (18)
а значення виразiв W (n), W
(n)
0 i Dn+1(U ; zi, zi+1, . . . , zi+n+2), i = 1, 2, визначаються залежно
вiд точок iнтерполювання за вiдповiдними формулами (3)–(8).
Початкове значення наближення p0 до кореня рiвняння (14) визначено з умови збiгу
його знаку зi знаком шуканого розв’язку. Збiг знакiв необхiдний для забезпечення стiйкостi
iтерацiйного методу (16), оскiльки функцiя gn(p) має розрив у точцi p = 0. При такому ви-
борi початкового значення p0 промiжнi значення pi (i = 1, 2, . . . ) завжди будуть однакового
знаку з шуканим розв’язком i, зрозумiло, не переходитимуть через нуль.
Пiд час розв’язування тестових задач iтерацiйний процес (16) збiгався за 3–4 iтерацiї.
Отже, можна зробити такi висновки. Достатньою умовою iснування рiвномiрного на-
ближення сумою полiнома й експоненти (1) для функцiї f(x) з найменшою абсолютною
похибкою на вiдрiзку [α, β] i iнтерполюванням у крайнiх точках вiдрiзка є виконання нерiв-
ностей (2). Цi умови задовольняють, зокрема, функцiї f(x) (f(x) ∈ Cn[α, β]), вiдмiннi вiд
полiнома (n + 1)-го степеня, n-та похiдна яких строго монотонна на [α, β].
Параметри ai (i = 0, n) i A такого наближення визначаються за формулами (11)–(13).
Значення параметра p є коренем трансцендентного рiвняння (14). Для знаходження розв’яз-
ку цього рiвняння запропоновано iтерацiйну схему (16), яка пiд час розв’язування практич-
них прикладiв збiгалася за 3–4 iтерацiї.
Найкраще рiвномiрне наближення виразом (1) з точним вiдтворенням значення функ-
цiї у крайнiх точках вiдрiзка використовується для побудови неперервних мiнiмаксних
сплайн-наближень.
1. Попов Б.А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. – Киев: Наук. думка,
1980. – 352 с.
2. Попов Б.А., Малачивский П.С. Наилучшие чебышевские приближения суммой многочлена и нели-
нейных функций. – Львов, 1984. – 70 с. – (Препринт / АН УССР. Физ.-мех. ин-т им. Г.В. Карпенко;
№ 85).
3. Кobayashi Y., Ohkita M., Inoue M. On the use of exponential functions in approximation of elliptic
integrals // Math. Comput. Simulation. – 1979. – 21, № 2. – P. 226–230.
4. Воробель Р.А., Попов Б.А. Равномерное приближение экспоненциальными и степенными выраже-
ниями с условием // Алгоритмы и програмы для вычисления функций на ЭЦВМ. – Киев: Ин-т
кибернетики АН УССР, 1981. – Вып. 5. Ч. 1. – С. 158–70.
5. Луцкiв М.М., Малачiвський П.С. Апроксимацiя залежностi оптичної щiльностi вiд товщини шару
фарби на вiдбитку // Квалiологiя книги. № 5. – Львiв, 2004. – С. 95–102.
6. Попов Б.А. Pавномерное приближение сплайнами. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.
7. Воробель Р.А., Попов Б.А. Равномерное приближение линейно-экспоненциальными и линейно-сте-
пенными выражениями с условием // Алгоритмы и програмы для вычисления функций на ЭЦВМ. –
Kиев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1981. – Вып. 5. Ч. 1. – С. 171–180.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 57
8. Dunham C., Zhu C. Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with interpolation) //
Numerical Mathematics and Computing, Proc. 20th Manitoba Conf., Winnipeg/Can. 1990. – Congr.
Numerantium 80. – P. 161–169 (1991).
Надiйшло до редакцiї 30.07.2007Центр математичного моделювання Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3940 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:32:48Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малачівський, П.С. 2009-07-14T09:40:57Z 2009-07-14T09:40:57Z 2008 Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках / П.С. Малачівський // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 54-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3940 518.5+531.2 We consider properties of the Chebyshev (uniform, minimax) approximation of a function by the sum of a polynomial and an exponential with the least absolute error and with interpolation at the end points of the interval. The sufficient conditions of such an approximation for a function f(x) are established, and an algorithm for the construction of such an approximation is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках Article published earlier |
| spellingShingle | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках Малачівський, П.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| title_full | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| title_fullStr | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| title_full_unstemmed | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| title_short | Чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| title_sort | чебишовське наближення сумою многочлена й експоненти з інтерполюванням у крайніх точках |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3940 |
| work_keys_str_mv | AT malačívsʹkiips čebišovsʹkenabližennâsumoûmnogočlenaieksponentizínterpolûvannâmukrainíhtočkah |