О принципе кососимметрии
The principle of skew-symmetry which can be applied as a criterion of the existence of periodic solutions is presented. The example of a limiting cycle with skew-symmetry is given.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3941 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О принципе кососимметрии / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 69-72. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859476098685861888 |
|---|---|
| author | Никитина, Н.В. |
| author_facet | Никитина, Н.В. |
| citation_txt | О принципе кососимметрии / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 69-72. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The principle of skew-symmetry which can be applied as a criterion of the existence of periodic solutions is presented. The example of a limiting cycle with skew-symmetry is given.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:41:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.1+517.9
© 2008
Н.В. Никитина
О принципе кососимметрии
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The principle of skew-symmetry which can be applied as a criterion of the existence of periodic
solutions is presented. The example of a limiting cycle with skew-symmetry is given.
Принцип симметрии приведен как критерий существования периодических решений в ра-
боте [1]. При помощи расширения принципа симметрии на двухчастотные системы мож-
но идентифицировать квазипериодические движения [2]. В [3] отмечено, что замыкание
фазовой траектории происходит при кососимметрии. Ниже сформулирован принцип косо-
симметрии, который также можно применять как критерий существования периодических
решений. Приведен пример предельного цикла, имеющего кососимметрию.
1. Предварительные сведения. Рассматривается движение двухмерной системы
dx1
dt
= F1(x1, x2);
dx2
dt
= F2(x1, x2). (1)
Пусть начало координат системы (1) — особая точка. Приведем геометрический принцип
симметрии, на основе которого можно идентифицировать замыкание фазовой траектории.
В системе (1) существует замкнутая траектория, если выполняются условия четности
функции F1(x) относительно x1 и нечетности функции F2(x) относительно x1, т. е.
F1(−x1, x2) = F1(x1, x2),
F2(−x1, x2) = −F2(x1, x2).
(2)
Доказательство основано на том, что на плоскости Ox1x2 ось Ox2 является осью симметрии,
и всякая интегральная кривая слева от оси x2 является зеркальным отображением кривой
справа.
На основании принципа симметрии также можно заключить, что в системе (1) сущест-
вует замкнутая траектория, если выполняются условия четности функции F2(x) относи-
тельно x2 и нечетности F1(x) относительно x2, т. е.
F1(x1,−x2) = −F1(x1, x2),
F2(x1,−x2) = F2(x1, x2).
(3)
Здесь ось Ox1 является осью симметрии. Замыкание траектории за период, согласно прин-
ципу геометрической симметрии, происходит, когда верхняя кривая в силу равенств (3) яв-
ляется зеркальным отображением нижней. Симметричность кривой при выполнении усло-
вий вида (2), (3) связана с определенной системой координат. Поэтому приведенный выше
принцип симметрии носит достаточный характер.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 69
Пусть колебательное движение двух связанных нелинейных осцилляторов описывается
векторным уравнением вида
dx
dt
= F (x), (4)
где x(t) ∈ R
4 — вектор состояния системы в момент t ∈ R, F : R
4
→ R
4.
В системе (4) существуют квазипериодические движения, если выполняются условия
четности функций Fk (k = 2, 4) относительно x2, x4 и нечетности функций Fj (j = 1, 3)
относительно x2, x4, т. е.
Fk(x1,−x2, x3,−x4) = Fk(x1, x2, x3, x4) (k = 2, 4),
Fj(x1,−x2, x3,−x4) = −Fj(x1, x2, x3, x4) (j = 1, 3).
(5)
В системе (4) существуют квазипериодические движения, если выполняются условия
четности функций Fk (k = 1, 3) относительно x1, x3 и нечетности функций Fj (j = 2, 4)
относительно x1, x3, т. е.
Fk(−x1, x2,−x3, x4) = Fk(x1, x2, x3, x4) (k = 1, 3),
Fj(−x1, x2,−x3, x4) = −Fj(x1, x2, x3, x4) (j = 2, 4).
(6)
Замыкание траектории относительно начала координат, согласно (2), (3), имеет место
в случае седла-центра. Тогда замкнутая траектория содержит седловые решения. Здесь
доминирует свойство симметрии. Кривая замыкается, однако ось симметрии может быть
одна.
В силу равенств (5), (6) приведены случаи, когда “складываются” два периодические
движения, имеющих симметрию. Два связанных нелинейных осциллятора могут иметь ре-
жимы биения, хаоса (диссипативные системы — синхронизацию в узком диапазоне парамет-
ров). Здесь симметрия не доминирует и неустойчивые точки типа седло-центр могут быть
причиной разделения движений на регулярные и хаотические. Для консервативных систем
разделение определяется уровнем энергии; для диссипативных — начальными условиями.
В работе [2] показано, что тор, соответствующий квазипериодическим движениям, имеет
две оси симметрии в фазовом сечении. В [4] также начало качественного исследования
связано с принципом симметрии.
2. Принцип кососимметрии связан с кососимметрией векторного поля, определяемо-
го системой (1). В системе (1) существует замкнутая траектория, если функции, стоящие
в правой части системы (1), связаны следующими условиями:
F1(x1,−x2) = −F1(−x1, x2),
F2(x1,−x2) = −F2(−x1, x2).
(7)
Если, например, ось кососимметрии Ox1, то область в первом квадранте U , равна области
в третьем квадранте. Область во втором квадранте V равна области в четвертом квад-
ранте. Это означает, что качество кососимметрии связано с двумя осями. То есть, если
ось Ox1 является осью кососимметрии, то ось Ox2 также суть ось кососимметрии и тогда
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Рис. 1. Кососимметричная замкнутая кривая
в системе (1) существует замкнутая траектория, если функции, стоящие в правой части
системы (7), связаны следующими условиями:
F1(−x1, x2) = −F1(x1,−x2),
F2(−x1, x2) = −F2(x1,−x2).
(8)
П р и м е р 1 . Уравнение Ван дер Поля
d2x
dt2
+ x = µ(1 − x2)
dx
dt
,
приведенное к системе первого порядка
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
= −x1 + µ(1 − x2
1
)x2,
(9)
уравнения которой удовлетворяют условиям (7), (8). Таким образом, траектория уравнений (9)
имеет две оси кососимметрии и замкнута для больших и малых значений параметра [5]. Для ил-
люстрации приведен фазовый портрет (µ = 3). Замкнутая траектория имеет две оси кососимметрии
(рис. 1).
При сложении двух периодических движений, одно из которых имеет симметрию, дру-
гое — кососимметрию, существование в системе (4) квазипериодических движений опреде-
ляется следующими условиями:
F1(x1,−x2,−x3, x4) = −F1(−x1, x2, x3, x4),
F2(−x1, x2,−x3, x4) = −F2(x1,−x2, x3, x4),
F3(x1, x2,−x3, x4) = F3(x1, x2, x3, x4),
F4(x1, x2,−x3, x4) = −F4(x1, x2, x3, x4).
(10)
П р и м е р 2 . Уравнение Ван дер Поля при периодическом воздействии
dx1
dt
= x2;
dx2
dt
= −x1 + µ(1 − x2
1)x2 + x30 cos t
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 71
можно представить в виде системы
dx1
dt
= x2;
dx2
dt
= −x1 + µ(1 − x2
1
)x2 + x3;
dx3
dt
= x4,
dx4
dt
= −x3
(11)
при следующих начальных условиях: t = 0; x3 = x30; x1 = x2 = x4 = 0.
Уравнения системы (11) удовлетворяют условиям (10). Для больших значений пара-
метра следует сделать более полный анализ. Заметим, что в приведенной задаче стацио-
нарное состояние подвержено бифуркации в зависимости от параметра [5]. Таким образом,
для малого значения параметра µ (при малых возмущениях) в системе (11) существуют
квазипериодические движения.
3. Обсуждение результатов. В научной литературе имеет место проблема установле-
ния существования предельного цикла. Приведем в качестве примера цитату из [6, с. 16.]:
“Как известно, уравнение Ван дер Поля при любом µ > 0 имеет на фазовой плоскости
(x1, x2) единственный предельный цикл, который является устойчивым. Этот математи-
ческий факт адекватен экспериментальному наблюдаемому физическому феномену. . . ”.
В данной работе обсуждаются простые достаточные принципы симметрии и кососим-
метрии, при помощи которых можно установить существование периодических и квазипе-
риодических движений. Принцип кососимметрии приведен впервые. При замыкании тра-
ектории ось симметрии может быть одна. Оси кососимметрии всегда существуют в парном
варианте. Рассматриваемая проблема не содержит принципиального затруднения. Уста-
новление существования устойчивых траекторий предшествует количественному анализу,
с помощью которого вычисляются оценки на параметры системы для регулярных и хао-
тических движений.
1. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – Москва:
ГИТТЛ, 1949. – 550 с.
2. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex behavior of a trajectory in single-and double systems // Int.
Appl. Mech. – 2005. – 41, No 3. – P. 315–323.
3. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex oscillations revisited // Ibid. – No 2. – P. 179–186.
4. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Studying the complex oscillations of a star in the field of a galaxy //
Ibid. – 2004. – 40, No 4. – P. 453–461.
5. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On an approximate solution of the van der Pol equations with a large
parameter // Ibid. – 2002. – 38, No 8. – P. 1017–1023.
6. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов Ф.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркаци-
онные процессы в сингулярно возмущенных системах. – Москва: Физматгиз, 1995. – 336 с.
Поступило в редакцию 25.06.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3941 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:41:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Никитина, Н.В. 2009-07-14T09:41:39Z 2009-07-14T09:41:39Z 2008 О принципе кососимметрии / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 69-72. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3941 531.1+517.9 The principle of skew-symmetry which can be applied as a criterion of the existence of periodic solutions is presented. The example of a limiting cycle with skew-symmetry is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О принципе кососимметрии Article published earlier |
| spellingShingle | О принципе кососимметрии Никитина, Н.В. Механіка |
| title | О принципе кососимметрии |
| title_full | О принципе кососимметрии |
| title_fullStr | О принципе кососимметрии |
| title_full_unstemmed | О принципе кососимметрии |
| title_short | О принципе кососимметрии |
| title_sort | о принципе кососимметрии |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3941 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinanv oprincipekososimmetrii |