Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки
The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined, and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction of the potenti...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4079 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859646798225735680 |
|---|---|
| author | Базарган, Дж. |
| author_facet | Базарган, Дж. |
| citation_txt | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger
operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined,
and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction
of the potential by these data are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:28:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.4
© 2008
Дж. Базарган
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси
для одномерного оператора Шредингера с потенциалом
типа ступеньки
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schrödinger
operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined,
and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction
of the potential by these data are found.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
L[y](x) = λy, λ ∈ C, (1)
на всей вещественной оси, где L = −d2/dx2 + q(x) — одномерный оператор Шредингера
с вещественным потенциалом q(x) типа ступеньки, удовлетворяющим условиям
0
∫
−∞
(1 + |x|)|q(x) + c| dx+
+∞
∫
0
(1 + |x|)|q(x)| dx <∞, c > 0. (2)
Введем такие “фоновые” операторы L± = −d2/dx2 + q±, где
q− = −c, q+ = 0. (3)
Обозначим спектры операторов L± через σ±, т. е.
σ− = [−c,+∞), σ+ = [0,+∞). (4)
Проведем разрезы вдоль спектров σ± на комплексной плоскости и обозначим через σв
±,
σн
± верхние и нижние берега разрезов соответственно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 7
Определим на σ± функции
ρ−(λ) =
1
4π
√
λ+ c
, ρ+(λ) =
1
4π
√
λ
, (5)
причем выберем ветви корней так, что ρ±(λ) > 0 при λ ∈ σв
±\inf σ±. Эти функции являются
спектральными мерами операторов L±.
При всех значениях λ ∈ σ± существуют операторы преобразования, которые переводят
решения Йоста ψ−(x, λ) = exp(−i
√
λ+ cx), ψ+(x, λ) = exp(i
√
λx) уравнений L±[y](x) = λy
в решения Йоста ϕ±(x, λ) уравнения (1), представимые в виде
ϕ±(x, λ) = ψ±(x, λ) ±
±∞
∫
x
K±(x, y)ψ±(y, λ) dy, ±x 6 ±y, (6)
где K±(x, y) — вещественные и быстро убывающие функции. Ядра операторов преобразо-
вания связаны с потенциалом соотношениями
∓ d
dx
K±(x, x) = q(x) − q±. (7)
Лемма 1. Спектр σ оператора L состоит из абсолютно непрерывного σac и дискрет-
ного σd спектров, т. е.
σ = σac
⋃
σd,
где
σac = σ−, σd = {λk : λk ∈ R \ σ−, k = 1, . . . , p}.
Спектр оператора L однократен на σ(1) = [−c, 0] и двукратен на σ(2) = σ+ = R+.
В точках дискретного спектра определим 2p положительных чисел m±
k = ‖ϕ±(λk)‖−1
L2 ,
k = 1, . . . , p. Введем функцию
ω(λ) = 〈ϕ−(x, λ), ϕ+(x, λ)〉, λ ∈ C \ σ−.
Следующая лемма описывает ее свойства.
Лемма 2. а) Функция ω(λ) является аналитической в области C \ σ−, непрерывна
вплоть до границы σв
−
⋃
σн
− и обладает свойством симметрии
ω(λв) = ω(λн), λв,н ∈ σв,н
− .
ω(λ) ∈ R вещественна при всех λ ∈ R \ σ−.
б) Функция ω(λ) имеет конечное число нулей в точках λk, k = 1, . . . , p, и, возможно,
в точке λ = −c и не обращается в нуль ни в каких других точках комплексной плоскости.
Нули λk простые, причем справедливы следующие равенства:
[
dω(λ)
dλ
∣
∣
∣
∣
λk
]2
=
1
(m−
k
m+
k
)2
, k = 1, . . . , p.
в) В некоторой окрестности точки λ = −c функция
√
λ+ c [ω(λ)]−1 ограничена.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
При λ ∈ σв,н
− пары ϕ−(x, λв), ϕ−(x, λн) (= ϕ−(x, λв)), а при λ ∈ σв,н
+ пары ϕ+(x, λв),
ϕ+(x, λн) (= ϕ+(x, λв)) образуют линейно независимые решения уравнения (1) и, следова-
тельно, справедливы соотношения
T±(λ)ϕ∓(x, λ) = ϕ±(x, λ) +R±(λ)ϕ±(x, λ), λ ∈ σв,н
± . (8)
Здесь R±(λ) — коэффициенты отражения, а T±(λ) — соответствующие им коэффици-
енты прохождения. Эти коэффициенты образуют матрицу рассеяния
S(λ) =
(
R+(λ) T+(λ)
R−(λ) T−(λ)
)
,
которая обладает следующими свойствами:
Теорема 1. I. Функции T±(λ) и R±(λ) непрерывны во внутренних точках множеств
σв,н
± ⊂ R и удовлетворяют условиям
(а) T±(λв) = T±(λн), R±(λв) = R±(λн), λв,н ∈ σв,н
± ,
(б) 1 − |R±(λ)|2 =
ρ±(λ)
ρ∓(λ)
|T±(λ)|2, λ ∈ σв,н
+ ,
где ρ±(λ) — функции, определенные формулой (5),
(в) R±(λ)T±(λ) = −R∓(λ)T±(λ), λ ∈ σв,н
+ ,
(г) R−(λ) =
T−(λ)
T−(λ)
, λ ∈ (−c, 0]в,н,
(д) T±(λ) = 1 +O
(
1√
λ
)
, R±(λ) = O
(
1√
λ
)
, |λ| → ∞.
II. Функции T±(λ) допускают аналитическое продолжение в область C \ σ− как меро-
морфные функции и удовлетворяют следующему тождеству вплоть до границы:
T−(λ)
2i
√
λ+ c
=
T+(λ)
2i
√
λ
=
1
ω(λ)
,
где ω(λ) удовлетворяет всем свойствам, перечисленным в лемме 2.
Из равенства (6) и соотношения рассеяния (8) следует, что операторы преобразования
удовлетворяют интегральному уравнению Марченко
K±(x, y) + F±(x, y) ±
±∞
∫
x
K±(x, t)F±(t, y) dt = 0, ±x < ±y, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 9
где
F+(x, y) =
0
∫
−c
|T−(λ)|2ei
√
λ(x+y)ρ−(λ) dλ+ 2Re
+∞
∫
0
R+(λ)ei
√
λ(x+y)ρ+(λ)dλ+
+
p
∑
k=1
ei
√
λk(x+y)(m+
k )−2,
F−(x, y) = 2Re
+∞
∫
−c
R−(λ)e−i
√
λ+c(x+y)ρ−(λ) dλ+
p
∑
k=1
e−i
√
λk+c(x+y)(m−
k )−2.
(10)
Из уравнения (9) и соотношений (7) и (2) вытекает, что:
III. Функции F±(x, y) абсолютно непрерывны и при всех a > −∞ удовлетворяют сле-
дующим неравенствам:
∣
∣
∣
±∞
∫
a
|F±(x, x)| dx
∣
∣
∣
<∞,
∣
∣
∣
±∞
∫
a
(1 + |x|)| d
dx
F±(x, x)| dx
∣
∣
∣
<∞. (11)
Введем данные рассеяния задачи (1), (2),
{R±(λ), T±(λ), λ ∈ σв,н
± , λk ∈ R \ σ−, m±
k > 0, k = 1, . . . , p}. (12)
Оказывается, что условия I –III являются необходимыми и достаточными для того, что-
бы совокупность (12) была данными рассеяния задачи (1), (2). Необходимость была уста-
новлена выше (в теореме 1 и в условии III ). Достаточность вытекает из лемм 3, 4.
Лемма 3. Если выполнены условия I и III, то интегральные уравнения (9) с ядра-
ми F±(x, y), определенные формулами (10), однозначно разрешимы в классе вещественных
непрерывно дифференцируемых функций K±(x, y), причем для этих функций справедливы
следующие оценки:
∣
∣
∣
∣
∣
±∞
∫
x
(1 + |y|)
∣
∣
∣
∣
d
dy
K±(y, y)
∣
∣
∣
∣
dy
∣
∣
∣
∣
∣
<∞. (13)
Решим уравнения обратной задачи (9) относительно K±(x, y) и положим
q−(x) =
d
dx
K−(x, x) − c, q+(x) = − d
dx
K+(x, x). (14)
Из леммы 3 и оценки (13), записанной для функции K±(x, y), следует, что
∣
∣
∣
∣
∣
±∞
∫
a
(1 + |x|)|q±(x) − q±| dx
∣
∣
∣
∣
∣
<∞.
Кроме того, функции ϕ±(x, λ), построенные по формуле (6), являются решениями Йоста
уравнений
−d
2y
dx2
+ q±(x)y = λy(x)
с потенциалами (14).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Лемма 4. Если выполнено также условие II теоремы 1, то потенциалы q−(x) и q+(x)
совпадают, т. е. q−(x) = q+(x).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Данные (12), обладающие свойствами I–III являются данными рассеяния
задачи (1)–(4) с потенциалом q(x) := q−(x) = q+(x), определенным по любой из формул (7).
Впервые обратная задача рассеяния для одномерного оператора Шредингера с потен-
циалом q(x) типа ступеньки рассматривалась в работе Буслаева и Фомина [1]. Авторы при-
менили метод, развитый Фаддеевым [2, 3], и нашли необходимые и достаточные условия
на данные рассеяния, когда потенциал стремится к своим пределам так, что существуют
первые моменты на отрицательной и положительной полуосях. Однако в работе [4] было
указано на неточность в характеризации данных рассеяния, приведенных в [1], были опре-
делены необходимые и достаточные условия на данные рассеяния в случае существования
второго момента. В случае существования только первого момента (см. [5]), необходимые
и достаточные условия, указанные в работе [4], не совпадают между собой. Подобные воп-
росы изучались также в работах [6, 7].
В настоящей работе решается задача восстановления потенциала q(x), суммируемого
с первым моментом по заданным матрице рассеяния S(λ) и p произвольным положитель-
ным числам (m−
k
либо m+
k
, k = 1, . . . , p), соответствующим полюсам коэффициентов про-
хождения. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы S(λ) была матри-
цей рассеяния задачи (1), (2). При этом важную роль в характеризации данных рассеяния
играет предлагаемое нами новое условие б леммы 2, входящее в условие II теоремы 1.
1. Буслаев В., Фомин В. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей
оси // Вестн. Ленингр. ун-та. – 1962. – № 1. – С. 56–64.
2. Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // Докл.
АН СССР. – 1958. – 120, № 1. – С. 63–66.
3. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Тр. Мат. ин-та им.
В.А. Стеклова АН СССР. – 1964. – 73. – С. 314–336.
4. Cohen A., Kappeler Th. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrödinger equa-
tion // Indiana Univ. Math. J. – 1985. – 34, No 1. – P. 127–180.
5. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 331 с.
6. Андерс И.А., Котляров В.П. Характеризация данных рассеяния операторов Шредингера и Дира-
ка // Теорет. и мат. физика. – 1991. – 88, № 1. – С. 72–84.
7. Actosun T. On the Schrödinger equation with steplike potentials // J. Math. Phys. – 1999. – 40, No 11. –
P. 5289–5305.
Поступило в редакцию 06.11.2007Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4079 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:28:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Базарган, Дж. 2009-07-15T11:29:08Z 2009-07-15T11:29:08Z 2008 Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4079 517.4 The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined, and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction of the potential by these data are found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки Article published earlier |
| spellingShingle | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки Базарган, Дж. Математика |
| title | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| title_full | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| title_fullStr | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| title_full_unstemmed | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| title_short | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| title_sort | прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора шредингера с потенциалом типа ступеньки |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4079 |
| work_keys_str_mv | AT bazargandž prâmaâiobratnaâzadačarasseâniânavseiosidlâodnomernogooperatorašredingeraspotencialomtipastupenʹki |