Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4081 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi / О.Є. Коркуна, С.П. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860269681340841984 |
|---|---|
| author | Коркуна, О.Є. Лавренюк, С.П. |
| author_facet | Коркуна, О.Є. Лавренюк, С.П. |
| citation_txt | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi / О.Є. Коркуна, С.П. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| first_indexed | 2025-12-07T19:05:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с.
2. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распреде-
ленными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с.
3. Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для одного класу диференцiально-операторних включень //
Доп. НАН України. – 2005. – № 9. – С. 20–24.
4. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркiна для диференцiально-операторних включень
в банахових просторах з вiдображеннями wλ0
-псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2005. – 2, № 1. – С. 103–126.
5. Мельник В.С. Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространст-
вах // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 2. – С. 184–194; № 4. – С. 573–595.
6. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 337 с.
7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с.
8. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – Москва: Мир, 1988. – 512 с.
9. Задоянчук Н.В., Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь II
порядку з операторами Вольтерра // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – № 2. – С. 204–228.
10. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. – Моск-
ва: Гостехиздат, 1956. – 393 с.
Надiйшло до редакцiї 06.06.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 517.95
© 2008
О.Є. Коркуна, С. П. Лавренюк
Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу
Ейдельмана в необмеженiй областi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
We consider a boundary-value problem for the equation
ut +
k
∑
i,j=1
(aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
)xixj
−
n
∑
i,j=1
(bij(z, t)uzi
)zj
+ c(z, t)|u|r−2u = f(z, t).
The conditions of the existence and uniqueness of a generalized solution without any restriction
at infinity are obtained.
У 1960 р. С.Д. Ейдельман [1] розглянув узагальнення параболiчних за Петровським сис-
тем, ввiвши термiн “ ~2b — параболiчнi системи”. У цих системах диференцiюванню за рiз-
ними просторовими змiнними надають рiзної ваги по вiдношенню до диференцiювання за
змiнною t. З того часу було достатньо повно розроблено теорiю задачi Кошi для лiнiйних
систем вказаного типу (див. [2–12]).
Мета цiєї роботи — дослiдити задачу Кошi для нелiнiйного диференцiального рiвняння
з похiдною першого порядку за часовою змiнною, в якому за групою просторових змiнних
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
присутнiй диференцiальний оператор четвертого порядку, а iншою групою — другого по-
рядку. Одержано умови iснування та єдиностi узагальненого розв’язку незалежно вiд його
поведiнки на нескiнченностi.
Нехай Dx ⊂ R
k i Dy ⊂ R
m — необмеженi областi, причому ∂Dx ∈ C1 i ∂Dy ∈ C1.
Позначимо Ω = Dx × Dy, Qτ = Ω × (0, τ), Sτ = ∂Ω × (0, τ), де τ ∈ (0, T ], T < ∞.
В областi QT розглянемо рiвняння
A(u) ≡ ut +
k
∑
i,j=1
(aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
)xixj
−
n
∑
i,j=1
(bij(z, t)uzi
)zj
+
+ c(z, t)|u|r−2u = f(z, t) (1)
з крайовими умовами
u
∣
∣
ST
= 0,
∂u
∂ν
∣
∣
∣
∣
∂Dx×Dy×(0,T )
= 0 (2)
i початковою умовою
u(z, 0) = u0(z), (3)
де z = (x, y) ∈ R
n, x ∈ R
k, y ∈ R
m, n = k + m, ν — зовнiшня нормаль до ∂Dx × Dy × (0, T ).
Говоритимемо, що для дiйснозначних коефiцiєнтiв (1) виконуються умови (А), (В), (С),
якщо:
(A) aij , aijt ∈ L∞(QT ), aij(z, t) > a0 > 0 майже для всiх (z, t) ∈ QT , i, j ∈ {1, . . . , k};
(B) bij, bijt ∈ L∞(QT ), i, j ∈ {1, . . . , n};
n
∑
i,j=1
bij(z, t)ξiξj > b0|ξ|
2, b0 > 0 ∀ξ ∈ R
n i для майже всiх (z, t) ∈ QT ;
(C) c, ct ∈ L∞(QT ); c(z, t) > c0 > 0 майже для всiх (z, t) ∈ QT .
Нехай Bk
R = {x ∈ R
k : |x| < R}, Bm
R = {y ∈ R
m : |y| < R}, де R > 1, R ∈ R. Для
спрощення викладу припускатимемо, що для всiх R > 1 множини DR
x = Dx
⋂
Bk
R, DR
y =
= Dy
⋂
Bm
R є областями, регулярними в сенсi Кальдерона [13, с. 45]. Позначимо ΩR = DR
x ×
× DR
y , QR
τ = ΩR × (0, τ), τ ∈ (0, T ], 0 < T < ∞.
Введемо простiр
V0(Ω
R)=
{
u : u ∈H1
0 (ΩR)
⋂
Lr(ΩR), uxixj
∈Lp(ΩR), i, j ∈ {1, . . . , k},
∂u
∂ν
∣
∣
∣
∣
∂DR
x ×DR
y
= 0
}
,
де ν — зовнiшня нормаль до ∂ΩR.
Нехай R > 1 — довiльне фiксоване число. Розглянемо в QR
T рiвняння
A(u) = fR(z, t) (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 25
з крайовими умовами
u
∣
∣
∂ΩR×(0,T )
= 0,
∂u
∂ν
∣
∣
∣
∣
∂DR
x ×DR
y ×(0,T )
= 0 (5)
i початковою умовою
u(z, 0) = uR
0 (z), z ∈ ΩR. (6)
Нехай ΩR
τ = QR
T
⋂
{t = τ}.
Означення 1. Функцiю u, яка задовольняє включення u ∈ L∞((0, T );V0(Ω
R)), ut ∈
∈ L2(QR
T ) й iнтегральну рiвнiсть
∫
QR
τ
[
utv +
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
vxixj
+
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uzi
uzj
+
+ c(z, t)|u|r−2u − fR(z, t)v
]
dzdt = 0 (7)
для всiх τ ∈ (0, T ], для всiх функцiй v ∈ C([0, T ];C2
0 (ΩR)) i початкову умову (6), називаємо
узагальненим розв’язком задачi (4)–(6).
Теорема 1. Нехай виконуються умови (А), (В), (С) i, крiм того, p ∈ (1, 2); r ∈ (2,+∞);
fR ∈ L2(QR
T ), uR
0 ∈ V0(Ω
R). Тодi iснує узагальнений розв’язок задачi (4)–(6).
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть {ϕs}, яка має такi властивостi: ϕs ∈ V0(Ω
R) для
довiльного s ∈ N; функцiї ϕ1, . . . , ϕℓ — лiнiйно незалежнi для довiльного ℓ ∈ N; лiнiйнi
комбiнацiї ϕs — щiльнi в V0(Ω
R).
Нехай
uN (z, t) =
N
∑
s=1
cN
s (t)ϕs(z), N ∈ N,
де cN
1 , . . . , cN
N — розв’язок такої задачi Кошi:
∫
ΩR
t
[
uN
t ϕs +
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uN
xixj
|p−2uN
xixj
ϕs
xixj
+
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uN
zi
ϕs
zj
+
+ c(z, t)|uN |r−2uNϕs − fR(z, t)ϕs
]
dz = 0, t ∈ [0, T ], (8)
cs
N (0) = uR,N
0,s , s = 1, . . . , N, (9)
uR,N
0 (z) =
N
∑
s=1
uR,N
0,s ϕs(z), ‖uR,N
0 − uR
0 ‖V0(ΩR) → 0 при N → ∞.
Зазначимо, що на пiдставi теореми Каратеодорi [14, c. 54] iснує абсолютно неперервний
розв’язок задачi (8), (9), визначений на деякому промiжку [0, tN ], tN ∈ (0, T ]. З оцiнок,
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
одержаних нижче, випливатиме, що tN = T . Помноживши рiвнiсть (8) вiдповiдно на cN
s ,
додавши їх, проiнтегрувавши за промiжком [0, τ ], τ ∈ (0, T ] та врахувавши умови (А), (В),
(С), легко одержати оцiнку
∫
ΩR
τ
|uN |2dz +
∫
QR
T
[
k
∑
i,j=1
|uN
xixj
|p +
n
∑
i=1
|uN
zi
|2 + |uN |r
]
dzdt 6
6 M1
[
∫
ΩR
0
|uR
0 |
2dz +
∫
QR
T
|fR(z, t)|2dzdt
]
, τ ∈ [0, T ], (10)
де стала M1 не залежить вiд N i R.
Помножимо тепер кожне рiвняння (8) на функцiю cN
ste
−µt, µ > 0, пiдсумуємо їх за s вiд 1
до N i проiнтегруємо за промiжком [0, T ], τ ∈ (0, T ]. Тодi одержимо рiвнiсть
∫
QR
τ
[
|uN
t |2 +
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uN
xixj
|p−2uN
xixjt +
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uN
zi
uN
zjt +
+ c(z, t)|uN |r−2uNuN
t − fR(z, t)uN
t
]
e−µtdzdt = 0. (11)
На пiдставi умови (А)
I1 :=
∫
QR
τ
e−µt
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uN
xixj
|p−2uN
xixj
uN
xixjtdzdt >
a0
p
∫
ΩR
τ
k
∑
i,j=1
|uN
xixj
|pe−µtdz −
−
a0
p
∫
ΩR
0
k
∑
i,j=1
|uN,R
0,xixj
|pdz +
1
p
(a0 − µa1)
∫
QR
τ
k
∑
i,j=1
|uN
xixj
|pe−µtdzdt,
де a0 = max
i,j∈{1,...,k}
ess sup
QT
|aij(z, t)|, a1 = max
i,j∈{1,...,k}
ess sup
QT
|aijt(z, t)|. Згiдно з умовою (В)
I2 :=
∫
QR
τ
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uN
zi
uN
zite
−µt
>
b0
2
∫
ΩR
τ
n
∑
i=1
|uN
zi
|2e−µtdz −
b0
2
∫
ΩR
0
n
∑
i=1
|uN,R
0,zi
|2dt +
+
1
2
(b0 − µb1)
∫
QR
τ
n
∑
i=1
|uN
zi
|2e−µtdzdt,
де b0, b1 — сталi з нерiвностей
n
∑
i,j=1
bij(z, t)ξiξj 6 b0|ξ|2,
n
∑
i,j=1
bijt(z, t)ξiξj 6 b1|ξ|
2,
якi правильнi майже для всiх z ∈ Ω, всiх t ∈ (0, T ] i для всiх ξ ∈ R
n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 27
За умовою (С)
I3 :=
∫
QR
τ
c(z, t)|uN |uNuN
t e−µtdzdt >
>
c0
2
∫
ΩR
τ
|uN |2e−µtdz −
c0
2
∫
ΩR
0
|uN,R
0 |2dz +
1
2
(c0 − µc1)
∫
QR
τ
|uN |2e−µtdzdt,
де c0 = ess sup
QT
c(z, t), c1 = ess sup
QT
ct(z, t). Крiм того,
I4 :=
∫
QR
τ
e−µtfR(z, t)uN
t dzdt 6
1
2
∫
QR
τ
(|uN
t |2 + |fR(z, t)|2)e−µtdzdt.
Виберемо
µ = max
{
1,
c0
2max{c1, 1}
,
a0
2max{1, a1}
,
b0
2max{1, b1}
}
.
Тодi, враховуючи оцiнки iнтегралiв I1, . . . ,I4, з (11) одержимо нерiвнiсть
∫
ΩR
τ
(
|uN |2+
n
∑
i=1
|uN
zi
|2+
n
∑
i,j=1
|uN
xixj
|p
)
+
∫
QR
T
(
|uN
t |2+|uN |r+
n
∑
i=1
|uN
zi
|2+
k
∑
i,j=1
|uN
xixj
|p
)
dzdt 6
6 M2
[
∫
ΩR
0
(
|uN,R
0 |2 +
n
∑
i=1
|uN,R
0,zi
|2 +
k
∑
i,j=1
|uN,R
0,xixj
|p
)
dz +
∫
QR
T
|fR(z, t)|2dzdt
]
, (12)
τ ∈ [0, T ], де стала M2 не залежить вiд N i R.
Крiм того, враховуючи (12),
∫
QR
T
∣
∣
∣
∣
∣
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uN
xixj
|p−2uN
xixj
∣
∣
∣
∣
∣
dzdt 6 a0(mes QR
T )1/p
k
∑
i,j=1
(
∫
QR
T
|uN
xixj
|2dzdt
)1/p′
6 M3, (13)
∫
QR
T
|c(z, t)|uN |r−2uN |dzdt 6 c0(mes QR
T )1/r
(
∫
QR
T
|uN |2dzdt
)r′
6 M3, (14)
де p′ = p/(p − 1), r′ = r/(r − 1), a стала M3 не залежить вiд N .
Введемо простiр
Vp,r(Q
R
T ) =
{
u : u ∈ Lr(QR
T ), uxixj
∈ Lp(QR
T ), i, j ∈ {1, . . . , k}, u
∣
∣
∂DR
x ×DR
y ×(0,T )
= 0,
∂u
∂ν
∣
∣
∣
∣
∣
∂DR
x ×DR
y ×(0,T )
= 0
}
.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Нехай Ap,r : Vp,r(Q
R
T ) → (Vp,r(Q
R
T ))∗ — оператор, дiю якого визначимо формулою
〈Ap,r(u), u〉 =
∫
QR
T
[
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
uxixj
+ c(z, t)|u|r−2uv
]
dzdt
для довiльних функцiй u, v ∈ Vp,r(Q
R
T ). Тодi з (13), (14) одержимо, що
‖Ap,r(u
N )‖(Vp,r(QR
T
))∗ 6 M4, (15)
де M4 не залежить вiд N .
На пiдставi оцiнок (12), (15) iснує послiдовнiсть {uNs} ⊂ {uN} така, що uNs → uR ∗-слаб-
ко в L∞((0, T );V0(Ω
R)), uNs
t → uR
t слабко в L2(QR
T ), Ap,r(u
Ns) → χR слабко в (Vp,r(Q
R
T ))∗,
при Ns → ∞.
Використавши рiвностi (8), цiлком аналогiчно як у [15, с. 170] доводимо правильнiсть
рiвностi
∫
QR
T
[
uR
t v +
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uR
zi
vzj
− fR(z, t)v
]
dzdt + 〈χR, v〉 = 0 (16)
для довiльної функцiї v ∈ Vp,r(Q
R
T )
⋂
L2((0, T );H1
0 (ΩR)), де 〈·, ·〉 позначає значення функ-
цiонала з простору (Vp,r(Q
R
T ))∗ на елементах простору Vp,r(Q
R
T ).
Далi використаємо монотоннiсть оператора Ap,r. Подiбно як у [15, с. 171] доводимо, що
χR = Ap,r(u
R). Крiм того, uR задовольняє початкову умову (6). Отже, рiвнiсть (16) можемо
записати у виглядi
∫
QR
τ
[
uR
t v +
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uxixj
|p−2uR
xixj
vxixj
+
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uR
zi
vzj
+
+ c(z, t)|uR|r−2uRv − fR(z, t)v
]
dzdt = 0 (17)
для довiльного τ ∈ (0, T ], що й завершує доведення теореми.
Нехай X(ΩR) — деякий банахiв простiр функцiй, вимiрних на ΩR. Через Xloc(Ω) по-
значимо множину функцiй u таких, що звуження u на ΩR належить до простору X(ΩR)
для всiх R > 1.
Введемо простори
V p(ΩR) =
{
u : uxixj
∈ Lp(ΩR), i, j ∈ {1, . . . , k}, u
∣
∣
(∂Dx∩∂DR
x )×DR
y
= 0,
∂u
∂ν
∣
∣
∣
∣
(∂Dx∩DR
x )×DR
y
= 0
}
, H1,0(ΩR) = {u : u ∈ H1(ΩR), u
∣
∣
∂Ω∩∂ΩR = 0}.
Означення 2. Функцiю u, яка задовольняє включення
u ∈ C([0, T ];L2
loc(Ω))
⋂
L2((0, T );H1,0
loc (Ω))
⋂
Lp((0, T );V p
loc(Ω))
⋂
Lr((0, T );Lr
loc(Ω))
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 29
й iнтегральну рiвнiсть
∫
Ωτ
u(z, t)v(z, t)dz +
∫
Qτ
[
−uvt +
k
∑
i,j=1
aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
vzizj
+
+
n
∑
i,j=1
bij(z, t)uzi
vzj
+ c(z, t)|u|r−2uv
]
dzdt =
∫
Ω0
u0(z)v(z, 0)dz +
∫
QT
f(z, t)vdzdt (18)
для всiх τ ∈ (0, T ] i для всiх v ∈ C1([0, T ];C2
0 (Ω)), називаємо узагальненим розв’язком
задачi (1)–(3).
Правильна така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (А), (В), (С) i, крiм того, p ∈ (1, 2), r ∈ (2,
+∞), u0 ∈ L2
loc(Ω), f ∈ L2((0, T );L2
loc(Ω)), n < min{2p/(2 − p), 2pr/(r − p), 2r/(r − 2)}. Тодi
задача (1)–(3) має єдиний узагальнений розв’язок.
1. Эйдельман С.Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1. –
С. 40–43.
2. Матiйчук М. I. Фундаментальнi матрицi розв’язкiв загальних ~2b-параболiчних i ~2b-елiптичних сис-
тем, коефiцiєнти яких задовольняють iнтегральну умову Гельдера // Доп. АН УРСР. – 1964. – № 8. –
С. 1010–1013.
3. Эйдельман С.Д. Параболические системы. – Москва: Наука, 1964. – 443 с.
4. Матийчук М.И., Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических
систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини // Тр. семинара по функц. анализу. –
Воронеж, 1967. – Вып. 9. – С. 54–83.
5. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. ~2b-параболические системы // Тр. семинара по функциональному
анализу. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3–175, 271–273.
6. Мартыненко М.Д., Бойко Д.Ф. ~2b-параболические граничные задачи // Дифференц. уравнения. –
1978. – 14, № 12. – С. 2212–2222.
7. Ивасишен С.Д. Интегральное представление и начальные значения решений ~2b-параболических сис-
тем // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 4. – С. 500–506.
8. Березан Л.П., Iвасишен С.Д. Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для ~2b-параболiчних
систем з виродженням на початковiй гiперплощинi // Доп. НАН України. – 1998. – № 12. – С. 7–12.
9. Березан Л.П., Iвасишен С.Д. Про сильно виродженi на початковiй гiперплощинi ~2b-параболiчнi сис-
теми // Вiсн. держ. ун-ту “Львiвська полiтехнiка”. Прикл. мат. – 1998. – № 337. – С. 73–76.
10. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. –
176 с.
11. Iвасишен С.Д., Пасiчник Г. С. Про задачу Кошi для ~2b-параболiчних систем зi зростаючими коефi-
цiєнтами // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 11. – С. 1484–1496.
12. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-
differential equations of parabolic type. – Basel: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
13. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 336 с.
14. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва,
1958. – 474 с.
15. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 588 с.
Надiйшло до редакцiї 08.05.2007Нацiональний лiсотехнiчний унiверситет
України, Львiв
Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4081 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:05:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коркуна, О.Є. Лавренюк, С.П. 2009-07-15T11:32:30Z 2009-07-15T11:32:30Z 2008 Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi / О.Є. Коркуна, С.П. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 24-30. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4081 517.95 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi Article published earlier |
| spellingShingle | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi Коркуна, О.Є. Лавренюк, С.П. Математика |
| title | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi |
| title_full | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi |
| title_fullStr | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi |
| title_full_unstemmed | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi |
| title_short | Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу Ейдельмана в необмеженiй областi |
| title_sort | мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу ейдельмана в необмеженiй областi |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4081 |
| work_keys_str_mv | AT korkunaoê mišanazadačadlâodnogoneliniinogorivnânnâtipueidelʹmanavneobmeženiioblasti AT lavrenûksp mišanazadačadlâodnogoneliniinogorivnânnâtipueidelʹmanavneobmeženiioblasti |