Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью
The notion of parametric quadratic stabilizability (PQ-stabilizability) of nonlinear controlled systems x˙ = [A+deltaA(p)]x+BФ(u) is introduced. The results account for a “shifted equilibrium” in the context of the parametric stability, which is caused by the interplay between reference
 inp...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4090 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254501495111680 |
|---|---|
| author | Хорошун, А.С. |
| author_facet | Хорошун, А.С. |
| citation_txt | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The notion of parametric quadratic stabilizability (PQ-stabilizability) of nonlinear controlled systems x˙ = [A+deltaA(p)]x+BФ(u) is introduced. The results account for a “shifted equilibrium” in the context of the parametric stability, which is caused by the interplay between reference
inputs and the parameter uncertainty in a system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:47:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
© 2008
А.С. Хорошун
Параметрическая квадратическая стабилизация
нелинейных систем с неопределенностью
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The notion of parametric quadratic stabilizability (PQ-stabilizability) of nonlinear controlled
systems ẋ = [A+∆A(p)]x+BΦ(u) is introduced. The results account for a “shifted equilibrium”
in the context of the parametric stability, which is caused by the interplay between reference
inputs and the parameter uncertainty in a system.
1. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений
с управлением
ẋ = [A + ∆A(p)]x + BΦ(u), (1)
где x(t) ∈ R
n — состояние системы, а u(t) ∈ R
m — управление в момент времени t, p —
вектор-параметр. Постоянные матрицы A ∈ R
n×n и B ∈ R
n×m представляют известную
часть системы, ∆A(p) ∈ R
n×n обозначает неопределенные члены и является непрерывной
матричнозначной функцией p, Φ: R
m → R
m — нелинейная непрерывная функция. Предпо-
лагаем, что при любом заданном начальном состоянии x0 = x(t0), фиксированном значении
параметра p ∈ R
l и непрерывном управлении u система уравнений (1) имеет единствен-
ное решение x(t;x0, p, u). Управление u считаем линейным относительно состояния x = 0,
т. е. u = Kx+r, где K ∈ R
m×n — постоянная матрица и r ∈ R
m — корректирующая функция.
Относительно системы (1) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Система уравнений (1) такова, что:
1) функция Φ(u) = (Φ1(u), . . . ,Φm(u)) определена и непрерывна на некотором открытом
множестве Γ ⊆ R
m вместе с частными производными
∂Φi
∂uj
, i, j = 1, . . . ,m,
∂2Φi
∂ul∂uk
, i, l, k = 1, . . . ,m;
2) точка u = 0 принадлежит множеству Γ, причем
Φ(0) = 0 и
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
∣
u=0
6= 0;
3) матрица
C = A + B
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
∣
u=0
K
устойчива;
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
4) для всех p из области P ⊆ R
l имеет место оценка
‖∆A(p)‖ 6 η <
1
2‖C−1‖
; (2)
5) существует значение параметра p∗, принадлежащее области P , такое, что
∆A(p∗) = 0.
При введенных выше предположениях система (1), для значений параметров p∗, r∗ = 0,
имеет состояние равновесия x∗ = 0, которое устойчиво.
Согласно работе [4] введем определение PQ-стабилизируемости.
Определение 1. Система (1) называется PQ-стабилизируемой управлением u = Kx+r,
если существуют матрица K ∈ R
m×n, симметрическая положительно определенная матрица
P ∈ R
n×n и число α > 0 такие, что для всех (p, r) ∈ P × R ⊆ R
l × R
m выполняются
следующие условия:
1) существует единственное состояние равновесия xe(p, r) системы
ẋ = [A + ∆A(p)]x + BΦ(Kx + r); (3)
2) производная квадратической функции Ляпунова
V (x, xe(p, r)) = (x − xe(p, r))T P (x − xe(p, r))
вдоль решений системы (3) удовлетворяет неравенству
V̇ (x, xe(p, r))|(3) 6 −α‖x − xe(p, r)‖2
для всех (x, p, r) ∈ Γ × P × R.
Как видно из данного определения, концепция PQ-стабилизируемости имеет два су-
щественных аспекта: “существование” и “стабилизируемость” системы (1). Нашей задачей
является определение области Ωp×Ωr ⊂ R
l×R
m, для которой имеет место “существование”,
т. е. выполняется условие 1 определения 1, и получение условий, при выполнении которых
имеет место “стабилизируемость”, т. е. выполняется условие 2 определения 1.
2. Вспомогательные результаты. Пусть r = (r1, . . . , rs), где ri, i = 1, . . . , s, — неко-
торые субвекторы вектора r, с размерностями ni соответственно. Область
Π =
{
(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a,Ωp = P, Ωr =
s
∏
i=1
Ωri
, Ωri
: ‖ri‖ 6 bi, i = 1, . . . , s
}
такую, что для всех (p, r) из Ωp × Ωr существует xe(p, r) — единственное состояние рав-
новесия системы (3), которое принадлежит Ωx, можно определить с помощью подхода,
указанного в работе [2].
Для этого уравнение
[A + ∆A(p)]x + BΦ(Kx + r) = 0, (4)
из которого определяется искомое состояние равновесия, перепишем в виде
x = C−1(Cx − [A + ∆A(p)]x − BΦ(Kx + r))
и рассмотрим итерационный процесс
xn+1 = C−1(Cxn − [A + ∆A(p)]xn − BΦ(Kxn + r)). (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 37
Применяя к (5) теорему о сходимости общего итерационного процесса в псевдометричес-
ком пространстве (см. [1]), получаем, что итерационный процесс (5) сходится, как только
уравнение (4) имеет единственное решение. Достаточным для этого является выполнение
условия
‖B‖
s
∑
i=1
ci max
Ωu
∥
∥
∥
∥
(∣
∣
∣
∣
∂2Φk(u)
∂ul∂Ui
∣
∣
∣
∣
)m
k,l=1
∥
∥
∥
∥
‖K‖ 6
1
2‖C−1‖
− η, (6)
где Ui, i = 1, . . . , s, — субвекторы вектора u, Ωu = {u | ‖Ui‖ 6 ci, i = 1, . . . , s}, и
‖Φ(r)‖ 6
a
2‖C−1‖ ‖B‖
. (7)
Так как Ui =
Kn1+···+ni−1+1
. . .
Kn1+···+ni
x + ri, где Kj — j-я строка матрицы K, i = 1, . . . , s, j =
= 1, . . . ,m, то с помощью неравенств
∥
∥
∥
∥
∥
∥
Kn1+···+ni−1+1
. . .
Kn1+···+ni
∥
∥
∥
∥
∥
∥
a + bi 6 ci, i = 1, . . . , s (8)
и оценки (7) можем оценить границу области Π. Отметим, что в данной работе используется
норма Шмидта.
3. Основная теорема. Установим достаточные условия PQ-стабилизируемости систе-
мы дифференциальных уравнений (1) управлением u = Kx + r. Пусть для уравнения (4)
с помощью метода, указанного в п. 2, определена область Π. Для простоты изложения
введем обозначения
Kn1+···+ni−1+1
. . .
Kn1+···+ni
= K
n1+···+ni−1+1
n1+···+ni
,
Ωu = {u | ‖Ui‖ 6 ‖K
n1+···+ni−1+1
n1+···+ni
‖a + bi, i = 1, . . . , s}.
Имеет место теорема.
Теорема 1. Пусть для системы (1) и области
Π =
{
(x, p, r) | Ωx : ‖x‖ 6 a, Ωp = P, Ωr =
s
∏
i=1
Ωri
, Ωri
: ‖ri‖ 6 bi, i = 1, . . . , s
}
выполняется условие
α < 0, (9)
где
α = −λmin(Q) +
+ 2‖P‖
(
η + ‖B‖‖K‖
s
∑
i=1
(‖K
n1+...+ni−1+1
n1+...+ni
‖a + bi)max
Ωu
∥
∥
∥
∥
(∣
∣
∣
∣
∂2Φk(u)
∂ul∂Ui
∣
∣
∣
∣
)m
k,l=1
∥
∥
∥
∥
)
,
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
λmin(Q) — наименьшее собственное значение матрицы Q, Q — произвольная симметри-
ческая положительно определенная матрица размерности n × n, P — симметрическая
положительно определенная матрица, являющаяся решением матричного уравнения
CTP + PC = −Q. (10)
Тогда система (1) PQ-стабилизируется управлением u = Kx + r.
Доказательство. Выберем областью изменения параметров системы (1) область Ωp ×
×Ωr. Согласно определению области Π для всех (p, r) из Ωp ×Ωr существует единственное
состояние равновесия системы (1) xe(p, r), т. е. условие 1 определения 1 выполнено. Заменой
переменной z = x − xe(p, r) систему (1) приведем к виду
ż = [A + ∆A(p)](z + xe(p, r)) + BΦ(Kz + Kxe(p, r) + r). (11)
Покажем, что производная квадратической функции
V (z) = zT Pz, (12)
где P определяется из уравнения (10), вдоль решений системы (11) отрицательна. Т. е.
функция (12) есть функция Ляпунова для системы (11)
V̇ (z)|11 = zT P ([A + ∆A(p)](z + xe(p, r)) + BΦ(Kz + Kxe(p, r) + r)) +
+ ([A + ∆A(p)](z + xe(p, r)) + BΦ(Kz + Kxe(p, r) + r))T Pz =
= zT P
(
[A + ∆A(p)] + B
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=Kxe(p,r)+r
K
)
z +
+ zT
(
[A + ∆A(p)] + B
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=Kxe(p,r)+r
K
)T
Pz + zT P (o(z)) + (o(z))T Pz, (13)
где o(z) бесконечно малая величина по сравнению с z в некоторой окрестности 0. Продол-
жим оценку (13).
V̇ (z)|11 =zT (CT P +PC)z+zT
(
∆A(p)+B
(
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=Kxe(p,r)+r
−
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=0
)
K
)T
×
× Pz + zT P
(
∆A(p) + B
(
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=Kxe(p,r)+r
−
∂Φ(u)
∂u
∣
∣
∣
∣
u=0
)
K
)
z +
+ zT P (o(z)) + (o(z))T Pz 6 α‖z‖2 + 2‖P‖‖z‖‖o(z)‖. (14)
Выберем окрестность Ωz точки z = 0 так, чтобы для всех z из Ωz выполнялось соотношение
‖o(z)‖ 6
α
4‖P‖
‖z‖. (15)
Из (14) и (15) получим, что в Ωz
V̇ (z)|11 6
α
2
‖z‖2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 39
т. е. выполняется условие 2 определения 1. Значит, система (1) PQ-стабилизируема управ-
лением u = Kx + r. Теорема доказана.
Следствие. Для PQ-стабилизируемости системы (1) управлением u = Kx+ r доста-
точно выполнения условия
−λmin(Q) +
‖P‖
‖C−1‖
< 0. (16)
Доказательство очевидно следует из неравенств (6) и (14), которые верны во всей об-
ласти Π.
Замечание. Выполнение условия (9), согласно результатам работы [2], является доста-
точным для параметрической асимптотической устойчивости системы (1) относительно об-
ласти P × Ωr.
4. Пример. Рассмотрим систему
ẋ = [A + ∆A(p)]x + BΦ(Kx + r), (17)
где x = (x1, x2)
T , r ∈ R
1, A =
(
−1 0
0 1
)
, B =
(
1
1
)
, Φ(u) =
u2
6
+ u.
Для устойчивой матрицы C =
(
−1 −2
0 −1
)
, согласно уравнению из условия 3 предполо-
жения 1, вычислим матрицу K =
(
0 −2
)
. Пусть область P такова, что для всех p из P
‖∆A(p)‖ 6
1
15
<
1
2‖C−1‖
= 0,207.
Применяя метод, указанный в п. 2, вычислим область
Π = {(x, p, r) | ‖x‖ 6 0,069, p ∈ P, |r| 6 0,01}.
Для матрицы Q =
(
2 0
0 2
)
, матрица P =
(
1 −1
−1 3
)
. Условие (16) выполняется и, сле-
довательно, система (17) PQ-стабилизируема управлением u = Kx + r, при изменении
параметров в области
P =
{
(p, r) | ‖∆A(p)‖ 6
1
15
, |r| 6 0,01
}
.
На рис. 1, 2 приведены графики, которые иллюстрируют поведение решений систе-
мы (17) до стабилизации ее решений и после нее.
5. Замечания. Практически всегда при анализе динамики систем с неопределенностью
и их стабилизации предполагается, что состояние равновесия указанной системы находит-
ся в начале координат и остается там несмотря на возмущения, связанные с изменениями
параметров системы или применением управления. Когда рассматриваемая система линей-
на, это предположение либо истинно, либо может стать таким после применения соответ-
ствующего преобразования, которое перемещает состояние равновесия в начало координат.
Однако если система нелинейна, то указанные выше возмущения могут существенно влиять
на динамику системы, так как состояние равновесия может менять свое месторасположе-
ние либо его может не быть вовсе. По этой причине в работе [3] было сформулировано
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Рис. 1. Система до управления (неустойчива)
Рис. 2. Система после управления (устойчива)
понятие параметрической устойчивости, которое развивается в работах [2, 4]. В данной ра-
боте развивается понятие PQ-стабилизируемости, введенное в работе [4]. Указаны оценки
области параметров, входящих как в саму систему, так и в управление, при которых исход-
ная система может быть PQ-стабилизируема, сформулированы достаточные условия такой
стабилизации относительно указанной области.
1. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – Москва: Мир, 1969. – 447 с.
2. Мартынюк А.А., Хорошун А.С. К теории параметрической устойчивости // Доп. НАН України. –
2007. – № 7. – С. 59–65.
3. Ikeda M., Ohta Y., Šiljak D.D. Parametric stability // Proc. of the Univesit á di Genova – The Ohio State
University Joint Conference. – Boston; Basel; Berlin: Birkhäuser, 1991.
4. Ohta Y., Šiljak D.D. Parametric quadratic stabilizability of uncertain nonlinear systems // Systems and
Control Letters. – 1994. – No 22. – P. 437–444.
5. Larin V.B. On static output-feedback stabilization of a periodic system // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42,
No 3. – P. 357–364.
6. Larin V. B., Tunik A.A. Dynamic output feedback compensation of external disturbances // Ibid. – 2006. –
42, No 5. – P. 606–614.
7. Dvirnyi A. I. Conditions for the practical and technical stability of quasilinear impulsive systems // Ibid. –
2005. – 41, No 1. – P. 104–111.
Поступило в редакцию 26.04.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4090 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:47:36Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, А.С. 2009-07-15T11:46:41Z 2009-07-15T11:46:41Z 2008 Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью / А.С. Хорошун // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4090 517.36 The notion of parametric quadratic stabilizability (PQ-stabilizability) of nonlinear controlled systems x˙ = [A+deltaA(p)]x+BФ(u) is introduced. The results account for a “shifted equilibrium” in the context of the parametric stability, which is caused by the interplay between reference
 inputs and the parameter uncertainty in a system. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью Article published earlier |
| spellingShingle | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью Хорошун, А.С. Математика |
| title | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| title_full | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| title_fullStr | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| title_full_unstemmed | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| title_short | Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| title_sort | параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4090 |
| work_keys_str_mv | AT horošunas parametričeskaâkvadratičeskaâstabilizaciânelineinyhsistemsneopredelennostʹû |