Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии
We have constructed homogeneous solutions of the equations of elastic equilibrium for a plate, on the flat edges of which the normal component of a vector of displacements and tangential stresses are equal to zero. An explicit analytic solution of the problem on the stressed state of a layer with el...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4092 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, Р.Н. Нескородев // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 73-79. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859824284486074368 |
|---|---|
| author | Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Нескородев, Р.Н. |
| author_facet | Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Нескородев, Р.Н. |
| citation_txt | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, Р.Н. Нескородев // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 73-79. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We have constructed homogeneous solutions of the equations of elastic equilibrium for a plate, on the flat edges of which the normal component of a vector of displacements and tangential stresses are equal to zero. An explicit analytic solution of the problem on the stressed state of a layer with elliptic hole in case of the action of a load that is constant over thickness is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:27:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
Академик НАН Украины В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов,
Р.Н. Нескородев
Однородные решения задачи о равновесии
анизотропных пластин с одной плоскостью упругой
симметрии
We have constructed homogeneous solutions of the equations of elastic equilibrium for a plate,
on the flat edges of which the normal component of a vector of displacements and tangential
stresses are equal to zero. An explicit analytic solution of the problem on the stressed state of a
layer with elliptic hole in case of the action of a load that is constant over thickness is obtained.
Для исследования напряженно-деформированного состояния упругих тел эффективным
является метод однородных решений [1–4]. В работе [1] получены однородные решения
трехмерных задач статики трансверсально-изотропных пластин с учетом многообразия
однородных краевых условий на плоских гранях. Здесь излагается методика построения
и применения однородных решений для анизотропных пластин с одной плоскостью упру-
гой симметрии.
1. Постановка задачи и построение однородных решений. Рассмотрим анизо-
тропную пластину толщиной 2h, отнесенную к декартовой системе координат Ox1x2x3.
На плоских гранях пластины имеют место граничные условия
u3(x1, x2,±h) = 0, σj3(x1, x2,±h) = 0 (j = 1, 2). (1)
Уравнения равновесия и обобщенного закона Гука в данном случае имеют вид
(L11 + A55∂
2
3)u1 + (L12 + A45∂
2
3)u2 + L13∂3u3 = 0,
(L12 + A45∂
2
3)u1 + (L22 + A44∂
2
3)u2 + L23∂3u3 = 0,
L13∂3u1 + L23∂3u2 + (L33 + A33∂
2
3)u3 = 0;
(2)
σi = (Ai1∂1 + Ai6∂2)u1 + (Ai6∂1 + Ai2∂2)u2 + Ai3∂3u3 (i = 1, 2, 3, 6),
σi = Ai5∂3u1 + Ai4∂3u2 + (Ai5∂1 + Ai4∂2)u3 (i = 4, 5).
(3)
Здесь
L11 = A11∂
2
1 + 2A16∂1∂2 + A66∂
2
2 , L12 = A16∂
2
1 + (A12 + A66)∂1∂2 + A26∂
2
2 ,
L13 = (A13 + A55)∂1 + (A36 + A45)∂2, L23 = (A36 + A45)∂1 + (A23 + A44)∂2,
L22 = A66∂
2
1 + 2A26∂1∂2 + A22∂
2
2 , L33 = A55∂
2
1 + 2A45∂1∂2 + A44∂
2
2 , ∂i =
∂
∂xi
,
σ1 = σ11, σ2 = σ22, σ3 = σ33, σ4 = σ23, σ5 = σ13, σ6 = σ12,
Aij — модули упругости.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 73
Следуя А.И. Лурье [5], решения системы (2), удовлетворяющие граничным услови-
ям (1), будем называть однородными. Для построения однородных решений в случае симме-
тричного деформирования относительно срединной плоскости (x3 = 0) пластины (задача А)
представим компоненты вектора перемещений в виде
ui =
∞
∑
k=0
uik(x1, x2) cos(δkx3) (i = 1, 2),
u3 =
∞
∑
k=0
u3k(x1, x2) sin(δkx3), δk = kπh−1.
(4)
Для кососимметричного деформирования пластины (задача Б) имеем
ui =
∞
∑
k=1
uik(x1, x2) sin(γkx3) (i = 1, 2),
u3 =
∞
∑
k=1
u3k(x1, x2) cos(γkx3), γk =
(2k − 1)π
2h
.
(5)
При этом граничные условия (1) будут удовлетворены, а из системы уравнений (2) с уче-
том (4), (5) получим уравнения для определения неизвестных функций ujk (j = 1, 3). На-
пример, в задаче А:
при k = 0 имеют место уравнения
L11u10 + L12u20 = 0, L12u10 + L22u20 = 0; (6)
если k > 1, то из соотношений (2) и (4) получим
3
∑
n=1
D
(k)
in unk = 0 (i = 1, 3), (7)
где
D
(k)
11 = A55 − λ2
kL11, D
(k)
12 = A45 − λ2
kL12, D
(k)
13 = −λkL13,
D
(k)
21 = A45 − λ2
kL12, D
(k)
22 = A44 − λ2
kL22, D
(k)
23 = −λkL23,
D
(k)
31 = λkL13, D
(k)
32 = λkL23, D
(k)
33 = A33 − λ2
kL33, λk =
1
δk
.
Общее решение уравнений (6) представим в виде суммы
ui0 = 2Re
2
∑
j=1
dijϕj(zj). (8)
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Здесь ϕj(zj) — произвольные аналитические функции обобщенной комплексной переменной
zj = x1 + µjx2; µj — корни характеристического уравнения
A11A66 −A2
16 +2(A11A26 −A12A16)µ +[A11A22 +A2
66 −(A12 +A66)
2 +2A16A26]µ
2 +
+ 2(A22A16 − A12A26)µ
3 + (A22A66 − A2
26)µ
4 = 0;
d1j = [A16 + (A12 + A66)µj + A26µ
2
j ]∆j, d2j = −[A11 + 2A16µj + A66µ
2
j ]∆j,
∆j — произвольные постоянные.
(9)
Тогда выражения (3) для напряжений примут вид
σ10 = 2Re
2
∑
j=1
µ2
jϕ
′
j(zj), σ20 = 2Re
2
∑
j=1
ϕ′
j(zj),
σ60 = −2Re
2
∑
j=1
µjϕ
′
j(zj), σ30 = 2Re
2
∑
j=1
ωj∆jϕ
′
j(zj), σ40 = σ50 = 0,
(10)
где
∆j =
µj
A11A66 − A2
16 + (A11A26 − A12A16)µj + (A16A26 − A66A12)µ
2
j
,
ωj = A31A16 − A11A36 + [A31(A12 + A66) − A16A36 − A11A32]µj +
+ (A31A26 + A36A12 − 2A32A16)µ
2
j + (A36A26 − A32A66)µ
3
j , ϕ′
j(zj) =
dϕ′
j
dzj
.
Соотношения (8) и (10) могут быть использованы при решении задач о напряженном
состоянии пластины с полостями, на которых внешние усилия не изменяются вдоль обра-
зующей. С этой целью рассмотрим напряженно-деформированное состояние бесконечной
пластины, ослабленной n полостями, боковые поверхности Lr (r = 1, n) которых представ-
ляют собой цилиндры с образующими, нормальными плоским граням. Указанная пластина
деформируется постоянными по переменной x3 внешними усилиями, приложенными по бо-
ковым поверхностям полостей. Кроме того, внешние усилия σ∞
1 = p, σ∞
2 = q, σ∞
6 = t могут
быть заданы на бесконечности. Граничные условия для определения комплексных потен-
циалов ϕj(zj) на поверхности r-й полости в этом случае принимают вид
σ10n1r + σ60n2r = n1r(Pr − p) − n2r(Tr + t),
σ60n1r + σ20n2r = n1r(Tr − t) + n2r(Pr − q),
(11)
где Pr(s) — нормальная, а Tr(s) — касательная составляющие внешних усилий, прило-
женных к боковой поверхности; n1r = cos(nr, x1) = dx2/ds, n2r = cos(nr, x2) = −dx1/ds,
ds =
√
dx2
1 + dx2
2; nr — нормаль к контуру Lr.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 75
Из граничных условий (11) и выражений (10) следует
2Re[µ1ϕ1(z1) + µ2ϕ2(z2)] =
s
∫
0
[Pr(s)dx2 + Tr(s)dx1] − px2 + tx1 + c1,
2Re[ϕ1(z1) + ϕ2(z2)] =
s
∫
0
[Pr(s)dx1 − Tr(s)dx2] + tx2 − qx1 + c2.
(12)
Таким образом, решение задачи приведено к нахождению комплексных потенциалов
ϕj(zj) из граничных условий (12).
Для решения системы уравнений (7) воспользуемся методом малого параметра. В ка-
честве такового выбрана величина λk = h/(kπ). Представим функции unk рядами по пара-
метру λk в виде суммы трех различных групп предполагаемых решений
u1k =
1
λk
ϕ1k +
∞
∑
p=1,3,...
λp
ku1kp, u2k =
α
λk
ϕ1k +
∞
∑
p=1,3,...
λp
ku2kp, u3k =
∞
∑
p=0,2,...
λp
ku3kp, (13)
u1k =
β
λk
ϕ2k +
∞
∑
p=1,3,...
λp
kv1kp, u2k =
1
λk
ϕ2k +
∞
∑
p=1,3,...
λp
kv2kp, u3k =
∞
∑
p=0,2,...
λp
kv3kp, (14)
u1k =
∞
∑
p=0,2,...
λp
kw1kp, u2k =
∞
∑
p=0,2,...
λp
kw2kp, u3k =
1
λk
ϕ3k +
∞
∑
p=1,3,...
λp
kw3kp. (15)
Последовательно подставляя выражения (13), (14), (15) в уравнения (7) для каждой
группы решений, получим
(1 − λ2
kα1P1)ϕ1k = 0; (16)
u3k0 = −
1
A33
(L13 + αL23)ϕ1k,
u1k1 =
[
A44
∆
(K11 + αK12) −
A45
∆
(K21 + αK22) − α1P1
]
ϕ1k,
u2k1 =
[
A55
∆
(K21 + αK22) −
A45
∆
(K11 + αK12) − αα1P1
]
ϕ1k;
u3k,p−1 =
L33u3k,p−3 − L13u1k,p−2 − L23u2k,p−2
A33
,
u1kp =
(A44L11−A54L12)u1k,p−2+(A44L12−A45L22)u2k,p−2+(A44L13−A54L23)u3k,p−1
∆
,
u2kp =
(A55L12−A45L11)u1k,p−2+(A55L22−A45L12)u2k,p−2+(A55L23−A45L13)u3k,p−1
∆
(p = 3, 5, . . .);
(17)
(1 − λ2
kα2P2)ϕ2k = 0; (18)
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
v3k0 = −
1
A33
(βL13 + L23)ϕ2k,
v1k1 =
[
A44
∆
(βK11 + K12) −
A45
∆
(βK21 + K22) − βα2P2
]
ϕ2k,
v2k1 =
[
A55
∆
(βK21 + K22) −
A45
∆
(βK11 + K12) − α2P2
]
ϕ2k;
(19)
соотношения для vnkp (p > 3) получаются из формул (17) заменой unkp на vnkp;
(1 − λ2
kα3P3)ϕ3k = 0; (20)
w1k0 =
1
∆
(A44L13 + A45L23)ϕ3k, w2k0 =
1
∆
(A55L23 + A45L13)ϕ3k,
w3k1 =
1
A33
[
L33 −
A44
∆
L13L13 +
2A45
∆
L13L23 −
A55
∆
L23L23 − A33α3P3
]
ϕ3k,
w1kp =
(A44L11−A45L12)w1k,p−2+(A44L12−A45L22)w2k,p−2+(A44L13−A45L23)w3k,p−1
∆
,
w2kp =
(A55L12−A45L11)w1k,p−2+(A55L22−A45L12)w2k,p−2+(A55L23−A45L13)w3k,p−1
∆
,
w3k,p+1 =
L33w3k,p−1 − L13w1k,p − L23w2k,p
A33
(p = 2, 4, . . .).
(21)
В соотношениях (16)–(21) принято
K11 = L11 −
L13L13
A33
, K12 = K21 = L12 −
L13L23
A33
, K22 = L22 −
L23L23
A33
,
∆ = A44A55 − A45A45, Pi = (∂2 − µi∂1)(∂2 − µi∂1);
µi и µi (i = 1, 2) — корни характеристического уравнения (9) (они различаются тем, что
µ1µ1 > µ2µ2), а µ3 и µ3 удовлетворяют уравнению A55+2A45µ+A44µ
2 = 0; параметры α и α1,
β и α2, а также α3 определяются из условия минимизации коэффициентов при операторах
дифференцирования в правой части соотношений для функций uik1, vik1 (i = 1, 2) и w3k1
соответственно.
Из соотношений (16)–(21) видно, что функции ϕnk находятся из решения уравнений
(16), (18) и (20), а все остальные функции представлений (13)–(15) выражаются через ϕnk
посредством формул (17), (19) и (21).
Таким образом, задача свелась к интегрированию обобщенных метагармонических урав-
нений (16), (18) и (20). Эти уравнения имеют одинаковую структуру, которая представля-
ется в форме
[1 − λ2α(∂2 − µ∂1)(∂2 − µ∂1)]F = 0. (22)
Общее решение уравнения (22) представляется в виде суперпозиции функций Бесселя мни-
мого аргумента
F (z, z) =
∞
∑
n=0
(
zn
n!
+
zn
n!
)
[C1nIn(2q
√
ρ) + C2nKn(2q
√
ρ)],
где z = x1 + µx2, ρ = zz, q2 = 1/[λ2α(µ − µ)2].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 77
В задаче Б из уравнений равновесия (2) и соотношений (5) получим систему для опреде-
ления функций unk в форме (7), в которой параметр δk следует заменить на параметр −γk.
2. Численные исследования. Рассмотрена бесконечная пластина произвольной тол-
щины 2h, ослабленная эллиптической полостью, контур L которой задан уравнениями в па-
раметрической форме
x1 = a cos(θ), x2 = b sin(θ),
где a и b — полуоси эллипса; 0 6 θ 6 2π.
Пластина деформируется постоянными по переменной x3 внешними усилиями, кото-
рые описаны в п. 1. Для определения напряженно-деформированного состояния пластины
вблизи полости необходимо из граничных условий (12) определить функции ϕj(zj), через
которые перемещения и напряжения находятся по формулам (8) и (10). Функции ϕj(zj)
определены в областях Sj , которые получаются из основной области S аффинными пре-
образованиями [6]
x1j = x1 + αjx2, x2j = βjx2, µj = αj + iβj .
При этом эллиптическому контуру L в областях Sj соответствуют эллиптические конту-
ры Lj , уравнения которых запишутся так:
tj = x1 + µjx2 = Rjσ +
mj
σ
,
Rj =
a − iµjb
2
, mj =
a + iµjb
2
, σ = eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
(23)
Функция, отображающая внешность единичного круга на внешность эллиптического
контура в области Sj, на основании уравнения (23) примет вид
zj = Rjζj +
mj
ζj
, ζj = rjσ, rj > 1. (24)
Представим функции ϕj(zj) в виде ряда:
ϕj(zj) =
∞
∑
k=1
akj
ζk
j
, (25)
где переменная ζj связана с zj зависимостями (24).
Учитывая, что на контуре rj = 1, а переменная ζj = σ, методом рядов из условий (12)
найдем систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения функ-
ции (25). Из этой системы найдем
a11 =
1
2(µ1 − µ2)
[P (ib − µ2a) + T (a + iµ2b) − pbi + qµ2a + t(a − iµ2b)],
a12 = −
1
2(µ1 − µ2)
[P (ib − µ1a) + T (a + iµ1b) − pbi + qµ1a + t(a − iµ1b)],
akj = 0 для k > 1.
Здесь принято, что проекции внешних усилий P и T от координат x1 и x2 не зависят.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Рис. 1
Полученное решение для приведенных внешних усилий точно удовлетворяет уравне-
ниям теории упругости и всем граничным условиям.
Для численных расчетов был выбран трансверсально-изотропный материал, упругие
постоянные которого в случае совпадения плоскости изотропии с плоскостью Ox1x2 такие:
E1
E
= 1,074,
E2
E
= 0,523,
G2
E
= 0,120, ν1 = 0,413, ν2 = 0,198,
где E = 104 МПа, а корни характеристического уравнения (9) равны µ1 = 3,0260i и µ2 =
= 0,4986i. При повороте плоскости изотропии вокруг оси Ox2 на некоторый угол ϕ будем
получать анизотропный материал с одной плоскостью упругой симметрии. Например, при
ϕ = 30◦ µ1 = −1,1621 + 0,9957i, µ2 = 0,4006 + 0,6139i, при ϕ = 60◦ µ1 = 0,7454 + 1,1424i,
µ2 = −0,4962 + 0,4252i. Для ϕ = 90◦ получаем трансверсально-изотропный материал, у ко-
торого плоскость изотропии совпадает с плоскостью Ox2x3 и µ1 = 2,0055i, µ2 = 0,3305i.
Расчеты были проведены для бесконечной плиты с круговой полостью (a = b = 1),
на боковой поверхности которой задано нормальное давление интенсивности P . На рис. 1
представлены графики распределения тангенциальных напряжений σt/P для приведенных
выше случаев анизотропии. Сплошная линия соответствует случаю ϕ = 0◦, пунктирная —
случаю ϕ = 30◦, штрихпунктирная — ϕ = 60◦, а штриховая — ϕ = 90◦. Во всех рассмо-
тренных случаях наибольшее по абсолютному значению напряжение σt/P равно значению
2,0158.
1. Алтухов Е. В. Статические трехмерные задачи для трансверсально-изотропных пластин // Механика
композитов: В 12 т. Т. 7. Концентрация напряжений / Под ред. А.Н. Гузя, А.С. Космодамианского,
В.П. Шевченко. – Киев: ПТОО “А.С. К.”, 1998. – С. 114–137.
2. Космодамианский А.С. Пространственные задачи теории упругости для многосвязных пластин: Об-
зор // Прикл. механика. – 1983. – 19, № 12. – С. 3–21.
3. Космодамианский А.С. Концентрация внутренней энергии в многосвязных телах // Там же. – 2002. –
38, № 4. – С. 21–48.
4. Немиш Ю.Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел
(Обзор) // Там же. – 2000. – 36, № 2. – С. 3–38.
5. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. – Москва: Гостехиздат, 1955. – 492 с.
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – Москва: Наука, 1977. – 415 с.
Поступило в редакцию 16.07.2007Донецкий национальный университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 79
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4092 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:27:31Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Нескородев, Р.Н. 2009-07-15T11:48:14Z 2009-07-15T11:48:14Z 2008 Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, Р.Н. Нескородев // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 73-79. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4092 539.3 We have constructed homogeneous solutions of the equations of elastic equilibrium for a plate, on the flat edges of which the normal component of a vector of displacements and tangential stresses are equal to zero. An explicit analytic solution of the problem on the stressed state of a layer with elliptic hole in case of the action of a load that is constant over thickness is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии Article published earlier |
| spellingShingle | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Нескородев, Р.Н. Механіка |
| title | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| title_full | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| title_fullStr | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| title_full_unstemmed | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| title_short | Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| title_sort | однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4092 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkovp odnorodnyerešeniâzadačioravnovesiianizotropnyhplastinsodnoiploskostʹûuprugoisimmetrii AT altuhovev odnorodnyerešeniâzadačioravnovesiianizotropnyhplastinsodnoiploskostʹûuprugoisimmetrii AT neskorodevrn odnorodnyerešeniâzadačioravnovesiianizotropnyhplastinsodnoiploskostʹûuprugoisimmetrii |