Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку
A weakly nonlinear Noether impulse boundaryvalue problem for a system of differential equa- tions of the second order is considered. Necessary and sufficient conditions of existence of at least one of its solutions are found. A method to solve this problem is given.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4097 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку / Т.В. Шовкопляс // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 35-39. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859633491503742976 |
|---|---|
| author | Шовкопляс, Т.В. |
| author_facet | Шовкопляс, Т.В. |
| citation_txt | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку / Т.В. Шовкопляс // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 35-39. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | A weakly nonlinear Noether impulse boundaryvalue problem for a system of differential equa-
tions of the second order is considered. Necessary and sufficient conditions of existence of at
least one of its solutions are found. A method to solve this problem is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:13:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2008
Т.В. Шовкопляс
Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування
її розв’язку
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
A weakly nonlinear Noether impulse boundary-value problem for a system of differential equa-
tions of the second order is considered. Necessary and sufficient conditions of existence of at
least one of its solutions are found. A method to solve this problem is given.
На вiдрiзку [a, b], де ti, i = 1, 2, . . . , p, — точки iмпульсної дiї, розглядається нетерова iм-
пульсна крайова задача
(P (t)x′(t))′ − Q(t)x(t) = f(t) + εX(x(t, ε), t, ε), t ∈ A0, (1)
∆P (t)x′(t)
∣
∣
t=ti
= γi + εJi(x(ti − 0, ε), ε), i = 1, 2, . . . , p, (2)
lx(·) = α + εJ(x(·, ε), ε), α ∈ R
m. (3)
Тут A0 — множина вигляду A0 := [a, b]\{ti}
p
i=1; x(t) — n-вимiрна, двiчi неперервно диферен-
цiйовна на вiдрiзку [a, b] з розривами першого роду в точках iмпульсної дiї ti, i = 1, 2, . . . , p,
вектор-функцiя: x(t) ∈ C2(A0); P (t), Q(t) — (n×n)-вимiрнi дiйснi матрицi-функцiї, елемен-
ти матрицi P (t) неперервно диференцiйовнi з розривами першого роду в точках iмпульс-
ної дiї: P (t) ∈ C1(A0), detP (t) 6= 0, t ∈ [a, b], елементи матрицi Q(t) неперервнi на A0:
Q(t) ∈ C(A0); f(t) — n-вимiрна вектор-функцiя, неперервна на множинi A0 : f(t) ∈ C(A0);
величина ∆P (t)x′(t)
∣
∣
t=ti
, i = 1, 2, . . . , p, визначена таким чином [1, 2]: ∆P (t)x′(t)
∣
∣
t=ti
:=
= P (ti + 0)x(ti + 0) − P (ti − 0)x(ti − 0), i = 1, 2, . . . , p; γi, i = 1, 2, . . . , p, — n-вимiрнi дiйснi
вектори: γi ∈ R
n, i = 1, 2, . . . , p; l — лiнiйний обмежений m-вимiрний векторний функцiонал,
визначений на просторi C(A0) неперервних n-вимiрних векторних функцiй: l : C(A0) → R
m;
α − m-вимiрний вектор, елементами якого є дiйснi числа: α ∈ R
m; ε — малий невiд’ємний
параметр.
Розв’язок x(t) нетерової iмпульсної крайової задачi шукається в класi n-вимiрних непе-
рервних вектор-функцiй: x′(t), x′′(t) ∈ C(A0).
Вважається, що функцiї P (t), P ′(t), Q(t), x(t), x′(t), x′′(t), f(t) є неперервними злiва
в точках iмпульсної дiї.
Також розглядається вiдповiдна до iмпульсної крайової задачi (1)–(3) породжуюча (ε =
= 0) iмпульсна крайова задача
(P (t)x′(t))′ − Q(t)x(t) = f(t), t ∈ A0, (4)
∆P (t)x′(t)
∣
∣
t=ti
= γi, i = 1, 2, . . . , p, (5)
lx(·) = α, α ∈ R
m. (6)
Нелiнiйна за змiнною x n-вимiрна вектор-функцiя X(x(t, ε), t, ε) є неперервно диференцi-
йовною в околi породжуючого розв’язку x0 породжуючої крайової задачi (4)–(6): X(·, t, ε) ∈
∈ C1(‖x − x0‖ 6 δ); за змiнною t належить класу C(A0) : X(x(·, ε), ·, ε) ∈ C(A0) i в околi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 35
розв’язкiв породжуючої крайової задачi (4)–(6) є неперервною за ε ∈ [0, ε0] : X(x, t, ·) ∈
∈ C([0, ε0]).
Векторний функцiонал J(x(·, ε), ε) є неперервно диференцiйовний за змiнною x (у ро-
зумiннi Фреше): J(·, ε) ∈ C1(‖x − x0‖ 6 γ) та неперервний за ε ∈ [0, ε0] в околi розв’язкiв
породжуючої задачi (4)–(6): J(x, ·) ∈ C([0, ε0]).
X(t) — (n × 2n)-вимiрна фундаментальна матриця однорiдної (f(t) = 0, γi = 0, i =
= 1, 2, . . . , p) лiнiйної iмпульсної системи (4), (5): X(t) := [X1(t)X2(t)], де Xk(t), k = 1, 2, —
(n × n)-вимiрнi матрицi, вектор-стовпчики яких є лiнiйно незалежними розв’язками одно-
рiдної (f(t) = 0, γi = 0, i = 1, 2, . . . , p) iмпульсної системи (4), (5); D := lX(·) — (m×2n)-ви-
мiрна матриця, утворена в результатi дiї функцiонала l на фундаментальну матрицю X(t);
PD — (2n × 2n)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує простiр R
2n на нуль-простiр
N(D) = PDR
2n матрицi D; PD∗ — (m × m)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує
простiр R
m на нуль-простiр N(D∗) = PDR
m матрицi D∗; матриця D∗ є транспонованою
до матрицi D.
Для породжуючої iмпульсної крайової задачi (4)–(6) [1, 3, 4] має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай виконується умова rankD = n1 < min(2n,m). Тодi однорiдна (f(t) =
= 0, γi = 0, i = 1, 2, . . . , p, α = 0) iмпульсна крайова задача (4)–(6) має r (r = 2n−n1) i лише
r лiнiйно незалежних розв’язкiв. Неоднорiдна iмпульсна крайова задача (4)–(6) розв’язна
тодi i лише тодi, коли вектор-функцiя f(t) ∈ C(A0), вектори γi, i = 1, 2, . . . , p, та α ∈ R
m
задовольняють умову розв’язностi
PD∗
d
{
α − l
b
∫
a
K(t, s)P−1(s)f(s)ds − l
p
∑
i=1
K(t, ti + 0)γi
}
= 0, d = m − n1.
Крайова задача (4)–(6) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно-незалежних розв’язкiв виду
x(t, cr) = Xr(t)cr + (G[f, γi])(t) + X(t)D+α, i = 1, 2, . . . , p, cr ∈ R
r.
Тут PD∗
d
— (d × m)-вимiрна матриця, яка складається з повної системи d лiнiйно незалеж-
них рядкiв (m × m)-вимiрної матрицi PD∗ : R
m → N(D∗), N(D∗) = Ker(D∗), N(D∗) =
= PD∗R
m; Xr(t) − (n × r)-вимiрна матриця, стовпчики якої утворюють повну систему
r-лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної iмпульсної системи другого порядку (4), (5):
Xr(t) = X(t)PDr
, PDr
— (n × r)-вимiрна матриця, яка складається з r-лiнiйно незалежних
стовпчикiв (2n × 2n)-вимiрної матрицi PD : R
2n → N(D), N(D) = Ker(D), N(D) = PDR
2n;
D+ — (2n×m)-вимiрна матриця, псевдообернена до матрицi D; cr — довiльний вектор-стовп-
чик з простору R
r; (G[f, γi])(t), i = 1, 2, . . . , p, t ∈ [a, b], — узагальнений оператор Грiна, який
дiє на вектор-функцiю f(t) ∈ C(A0) та вектори γi, i = 1, 2, . . . , p, таким чином:
(G[f, γi])(t)
def
=
[ b
∫
a
K(t, s)P−1(s)f(s)ds − X(t)D+l
b
∫
a
K(·, s)P−1(s)f(s)ds,
p
∑
i=1
K(t, ti + 0)γi − X(t)D+l
p
∑
i=1
K(·, ti + 0)γi
]
, i = 1, 2, . . . , p.
Тепер розглянемо вихiдну крайову задачу (1)–(3). Знайдено необхiдну умову розв’яз-
ностi цiєї задачi.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Теорема 2. Нехай iмпульсна крайова задача (1)–(3) має розв’язок x(t, ε), який при
ε = 0 перетворюється в породжуючий розв’язок
x(t, cr) = Xr(t)cr + (G[f, γi])(t) + X(t)D+α, i = 1, 2, . . . , p,
з векторною сталою cr = c0
r ∈ R
r. Тодi векторна стала c0
r є дiйсним коренем рiвняння
F (c0
r) ≡ PD∗
d
{
J(x0(·, c
0
r), 0) − l
b
∫
a
K(·, s)X(x0(s, c
0
r), s, 0)ds −
− l
p
∑
i=1
K(t, ti + 0)Ji(x(ti − 0, c0
r), 0)
}
, i = 1, 2, . . . , p, d = m − n1. (7)
Доведення цiєї теореми аналогiчно доведенню з [1, 4]. Знайдемо достатню умову роз-
в’язностi.
Розв’язок x(t, ε) iмпульсної крайової задачi (1)–(3) запишемо у виглядi
x(t, ε) = x0(t, c
0
r) + z(t, ε), c0
r ∈ R
r. (8)
У (8) вектор-функцiя x0(t, c
0
r) є розв’язком породжуючої iмпульсної крайової задачi (4)–(6)
з векторною сталою c0
r ∈ R
r, яка задовольняє [1] рiвняння (7), z(t, ε) — деяка n-вимiрна
вектор-функцiя. Оскiльки вектор-функцiя x0(t, c
0
r) є розв’язком породжуючої iмпульсної
крайової задачi (4)–(6), то, пiдставивши рiвнiсть (8) у задачу (1)–(3), вiд iмпульсної крайової
задачi (1)–(3) перейдемо до задачi
(P (t)z′(t, ε))′ − Q(t)z(t, ε) = εX(x0(t, c
0
r) + z(t, ε), t, ε), t ∈ A0,
∆P (t)x′(t)
∣
∣
t=ti
= γi + εJi(x(ti − 0, ε), ε), i = 1, 2, . . . , p,
lx(·) = α + εJ(x(·, ε), ε), α ∈ R
m.
(9)
Нелiнiйностi X(x0(t, c
0
r) + z(t, ε), t, ε), Ji(x0(ti − 0, c0
r) + z(ti − 0, ε), ε), i = 1, 2, . . . , p, та
J(x0(·, c
0
r) + z(·, ε), ε) в iмпульснiй крайовiй задачi (9) в околi точки z = 0, ε = 0 мають
такий розклад у ряд:
X(x0(t, c
0
r) + z, t, ε) = X(x0(t, c
0
r), t, 0) + A1(t)z + R(z, t, ε),
A1(t) =
∂X(x, t, 0)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=x0(t,c0r)
, R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂z
= 0,
J(x0(·, c
0
r) + z(·, ε), ε) = J(x0(·, c
0
r), 0) + l1z(·, ε) + R0(z(·, ε), ε),
R0(0, 0) = 0,
∂R0(0, 0)
∂z
= 0,
Ji(x0 + z, ε) = Ji(x0(ti, c
0
r), 0) + A1iz(ti − 0, ε) + Ri(z(ti − 0, ε), ε), i = 1, 2, . . . , p,
(10)
l1z(·, ε)-лiнiйна частина векторного функцiонала J(x0(·, c
0
r) + z(·, ε), ε).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 37
Для нелiнiйної iмпульсної крайової задачi (1)–(3) справедлива достатня умова iснування
її розв’язкiв.
Має мiсце теорема.
Теорема 3. Нехай для нелiнiйної iмпульсної крайової задачi (1)–(3) виконується кри-
тичний випадок, тобто rankD = n1 < min(2n,m), та iмпульсна крайова задача (4)–(6)
має r-параметричну сiм’ю породжуючих розв’язкiв
x0(t, cr) = Xr(t)cr + (G[f, γi])(t) + X(t)D+α, t ∈ [a, b], ∀cr ∈ R
r.
Тодi для кожного значення вектора cr = c0
r ∈ R
r, що задовольняє рiвняння (7), при ви-
конаннi умови
rank
[
B0 := PD∗
d
{
l1Xr(·) − l
b
∫
a
K(·, s)A1(s)Xr(s)ds −
p
∑
i=1
K(·, ti + 0)A1iXr(ti − 0)
}]
= d
нелiнiйна iмпульсна крайова задача (1)–(3) має хоча б один розв’язок x(t, ε) : x(·, ε) ∈
∈ C2(A0), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворюється в породжуючий розв’язок
x0(t, c
0
r) = Xr(t)c
0
r + (G[f, γi])(t) + X(t)D+α, t ∈ [a, b], з векторною сталою c0
r ∈ R
r, що
задовольняє рiвняння (7), та визначається за допомогою рiвномiрно збiжного на [0, ε0]
iтерацiйного процесу
ck = −B+
0 PD∗
d
{
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε) − l
b
∫
a
K(·, s)[A1(s)z
(1)
k (s, ε) +
+ R(zk(s, ε), s, ε)]ds −
p
∑
i=1
K(t, ti + 0)[A1iz
(1)
k (ti − 0, ε) + Ri(zk(ti − 0, ε), ε)]
}
,
z
(1)
k+1(t, ε) =
=ε
(
G
[
X(x0(s, c
0
r), s, 0) + A1(s)(Xr(s)ck + z
(1)
k (s, ε)) + R(z
(1)
k (s, ε), s, ε)
Ji(x0(ti, c
0
r), 0)+A1i[Xr(ti−0)ck+z
(1)
k (ti−0, ε)]+Ri(z
(1)
k (ti−0, ε))
])
(t)+
+ εX(t)D+(J(x0(·, c
0
k), 0) + l1(Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)) + R0(z
(1)
k (·, ε), ε)),
zk+1(t, ε) = Xr(t)ck + z
(1)
k+1(t, ε),
xk+1(t, ε) = x0(t, c
0
k) + zk+1(t, ε),
k = 0, 1, 2, . . . , z0(t, ε) = z
(1)
0 (t, ε) = 0.
(11)
Доведення даної теореми аналогiчно доведенню вiдповiдної теореми у випадку крайової
задачi для системи диференцiальних рiвнянь першого порядку [1, с. 264–275].
Доведення збiжностi iтерацiйного процесу (11) та встановлення його оцiнок проводиться
шляхом застосування методу мажорант Ляпунова, запропонованого в [5–7].
З теореми 2 у випадку нелiнiйної крайової задачi (1)–(3) без iмпульсної дiї (γi = 0,
Ji(x(ti − 0, ε), ε) = 0, i = 1, 2, . . . , p) випливає ранiше вiдомий результат [6].
Бiльш загальний випадок розв’язностi нетерової крайової задачi у випадку системи ди-
ференцiальних рiвнянь першого порядку розглянуто в [1, 4].
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
1. Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 318 с.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
3. Шовкопляс Т. В. Критерiй розв’язностi лiнiйної iмпульсної задачi для системи другого порядку //
Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 6. – С. 861–864.
4. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. –
Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
5. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – Москва: Наука,
1979. – 432 с.
6. Лангерова М., Шовкопляс Т. Умови iснування розв’язку нетерової крайової задачi для системи дру-
гого порядку // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 3. – С. 368–375.
7. Langerova M. Boundary value problem for weakly perturbed linear differential equation of the second
order // 5th Intern. conf. APLIMAT – 2006. – Bratislava: Slovak Univ. Technol., 2006. – P. 273–278.
Надiйшло до редакцiї 21.05.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4097 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:13:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шовкопляс, Т.В. 2009-07-15T11:52:39Z 2009-07-15T11:52:39Z 2008 Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку / Т.В. Шовкопляс // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 35-39. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4097 517.9 A weakly nonlinear Noether impulse boundaryvalue problem for a system of differential equa- tions of the second order is considered. Necessary and sufficient conditions of existence of at least one of its solutions are found. A method to solve this problem is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку Article published earlier |
| spellingShingle | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку Шовкопляс, Т.В. Математика |
| title | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| title_full | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| title_fullStr | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| title_full_unstemmed | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| title_short | Нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| title_sort | нетерова iмпульсна крайова задача та умови iснування ї ї розв’язку |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4097 |
| work_keys_str_mv | AT šovkoplâstv neterovaimpulʹsnakraiovazadačataumoviisnuvannâíírozvâzku |