Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь
The problem of the root-mean-square inversion of the systems of nonlinear equations, whose left part is the Cartesian product of the set quantity of linear algebraic transformations, is solved. The conditions of exactness and unambiguity of the given solution are defined.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4098 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь / В.В. Стоян // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859686822045548544 |
|---|---|
| author | Стоян, В.В. |
| author_facet | Стоян, В.В. |
| citation_txt | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь / В.В. Стоян // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of the root-mean-square inversion of the systems of nonlinear equations, whose left
part is the Cartesian product of the set quantity of linear algebraic transformations, is solved.
The conditions of exactness and unambiguity of the given solution are defined.
|
| first_indexed | 2025-11-30T22:54:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2008
В.В. Стоян
Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу
нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Скопецьким)
The problem of the root-mean-square inversion of the systems of nonlinear equations, whose left
part is the Cartesian product of the set quantity of linear algebraic transformations, is solved.
The conditions of exactness and unambiguity of the given solution are defined.
Методика псевдоiнверсного обернення систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, започаткова-
на в [1, 2] та розвинута в [3, 4], була успiшно використана [5] при побудовi та дослiдженнi на
точнiсть i однозначнiсть середньоквадратичних наближень до розв’язкiв систем лiнiйних
iнтегральних та функцiональних рiвнянь. Поєднання отриманих при цьому математичних
результатiв iз запропонованим у [6] пiдходом до моделювання динамiки розподiлених про-
сторово-часових процесiв дозволило розвинути [7, 8] новий пiдхiд до розв’язання задач
динамiки лiнiйних систем iз розподiленими параметрами, дослiджуваних як в прямiй, так
i в оберненiй постановках при неповнотi iнформацiї [9] про початково-крайовий стан. Для
поширення методики [6–8] математичного моделювання розподiлених просторово-часових
процесiв на нелiнiйнi динамiчнi системи розглянемо можливостi використання псевдоiнверс-
них пiдходiв до розв’язання нелiнiйних алгебраїчних систем спецiального вигляду.
1. Розглянемо систему алгебраїчних рiвнянь
Ax ⊗ Bx = a, (1)
де x ∈ R
L — шуканий вектор; A ∈ R
M×L, B ∈ R
M×L, a ∈ R
M — заданi матрицi та вектор,
а символом ⊗ позначена операцiя декартового добутку двох векторiв.
Система (1), як i системи
Ax = a1, (2)
Bx = a2, (3)
де a1 ∈ R
M , a2 ∈ R
M , такi, що
a1 ⊗ a2 = a, (4)
може мати розв’язок (один або множину) або зовсiм його не мати. В останньому випадку
побудуємо
x = arg min
ξ∈RL
‖Aξ ⊗ Bξ − a‖2. (5)
Будемо виходити [8] з того, що
x1 = arg min
x∈RL
‖Ax − a1‖
2 ∈ Ω1 = {x1 : x1 = AT P+
1 a1 + v1 − AT P+
1 Av1, ∀v1 ∈ R
L}, (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 45
x2 = arg min
x∈RL
‖Bx − a2‖
2 ∈ Ω2 = {x2 : x2 = BT P+
2 a2 + v2 − BT P+
2 Bv2, ∀v2 ∈ R
L}, (7)
min
x1∈Ω1
‖Ax1 − a1‖
2 = aT
1 a1 − aT
1 P1P
+
1 a1 = ε2
1, (8)
min
x2∈Ω2
‖Bx2 − a2‖
2 = aT
2 a2 − aT
2 P2P
+
2 a2 = ε2
2, (9)
A+a1 = arg min
x1∈Ω1
‖x1‖
2, B+a2 = arg min
x2∈Ω2
‖x2‖
2,
де знаком “+” позначена операцiя псевдообернення матрицi, P1 = AAT , P2 = BBT , а v1 ≡ 0,
v2 ≡ 0 при detAT A > 0 i detBT B > 0 вiдповiдно.
При цьому
a1 ⊗ BA+a1 = a, (10)
a2 ⊗ AB+a2 = a. (11)
Розглянемо проблеми розв’язання рiвнянь (10), (11), покладаючи
a = (c1, c2, . . . , cM )T ,
a1 = (α1, α2, . . . , αM )T , (12)
a2 = (β1, β2, . . . , βM )T (13)
та враховуючи, що
M∑
j=1
[BA+]ijαiαj = ci (i = 1,M ), (14)
M∑
j=1
[AB+]ijβiβj = ci (i = 1,M ), (15)
де [·]ij — ij-й елемент вiдповiдної матрицi.
Неважко бачити, що рiвняння (14), (15) можна звести до вигляду
Aα = a (16)
та
Bβ = a (17)
вiдповiдно, де
α = col(((αiαj), j = 1,M ), i = 1,M ), (18)
β = col(((βiβj), j = 1,M ), i = 1,M ), (19)
A = col((0, . . . , 0,
︸ ︷︷ ︸
M(i−1)
str([BA+]ij, j = 1,M ), 0, . . . , 0
︸ ︷︷ ︸
M2−iM
), i = 1,M ), (20)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
B = col((0, . . . , 0,
︸ ︷︷ ︸
M(i−1)
str([AB+]ij , j = 1,M ), 0, . . . , 0
︸ ︷︷ ︸
M2−iM
), i = 1,M ). (21)
Звiдси знаходимо
Ωα = {α : ‖Aα − a‖2 → min
α
} = {α : α = A+a + vα − A+Avα,∀vα ∈ R
M2
}, (22)
Ωβ = {β : ‖Bβ − a‖2 → min
β
} = {β : β = B+a + vβ − B+Bvβ,∀vβ ∈ R
M2
} (23)
такi, що
min
α∈Ωα
‖a1 ⊗ BA+a1 − a‖2 = min
α∈Ωα
‖Aα − a‖2 = aT a − aT AA+a = δ2
1 ,
min
β∈Ωβ
‖a2 ⊗ AB+a2 − a‖2 = min
β∈Ωβ
‖Aβ − a‖2 = aT a − aT BB+β = δ2
2 .
При detAT A > 0 та det BTB > 0 множини Ωα та Ωβ будуть однозначними (vα = vβ ≡
≡ 0), а
A+a = arg min
α∈Ωα
‖α‖2, (24)
B+a = arg min
β∈Ωβ
‖β‖2. (25)
Знайденi згiдно з (22)–(25) псевдорозв’язки рiвнянь (16), (17) iз врахуванням визна-
чення (18), (19) останнiх дозволяють знайти компоненти αi (i = 1,M ) та βi (i = 1,M )
векторiв a1 та a2. При цьому
α2
i = qT
Aia + [vα](i−1)M+i − qT
AiAvα, (26)
β2
i = qT
Bia + [vβ ](i−1)M+i − qT
BiBvβ, (27)
де qT
Ai та qT
Bi — M(i−1)+ i-рядки матриць A+ та B+ вiдповiдно. Використовуючи формулу
Гревiля [2] обернення прямокутних матриць, розширених рядком, до визначених згiдно
з (20), (21) матриць A та B, отримаємо такi спiввiдношення для знаходження qT
Ai та qT
Bi
для i = 1,M :
(Ai
...ai)
+ =
(
QA
qT
Ai
)
, (Bi
...bi)
+ =
(
QB
qT
Bi
)
. (28)
Тут QA ∈ R
(M2−1)×M , QB ∈ R
(M2−1)×M , Ai та Bi — матрицi A та B без M(i − 1) + i-х
стовпцiв, ai та bi — цi стовпцi.
Виходячи iз загальностi розв’язкiв (6), (7) та (22), (23) рiвнянь (2), (3) та (16), (17)
з урахуванням точностей ε2
i , δ2
i цих розв’язкiв, розв’язок задачi визначимо спiввiдношення-
ми (6), (12), (26), якщо δ2
1 + ε2
1 < δ2
2 + ε2
2 або (7), (13), (27), якщо це не так.
2. Узагальнимо отриманi вище результати на задачу середньоквадратичного обернення
системи алгебраїчних рiвнянь вигляду
A1x ⊗ A2x ⊗ · · · ⊗ Anx = a, (29)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 47
де, як i ранiше, ⊗ — операцiя декартового добутку двох векторiв; x ∈ R
L — шуканий вектор;
Ai ∈ R
M×L (i = 1, n) та a ∈ R
M — заданi матрицi та вектор.
За аналогiєю з (2)–(4) робимо висновок, що знаходження
x = arg min
ξ∈RL
‖A1ξ ⊗ A2ξ ⊗ · · · ⊗ Anξ − a‖2 (30)
еквiвалентне середньоквадратичному оберненню рiвняння
a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an = a, (31)
де
ai = Aix (i = 1, n). (32)
Розв’язок i-го рiвняння системи (32) xi такий, щоб
xi = arg min
x∈RL
‖Aix − ai‖
2,
визначимо спiввiдношенням
xi ∈ Ωi = {xi : xi = P+
i AT
i ai + vi − P+
i Pivi, ∀ vi ∈ R
L},
де плюсом, як i ранiше, позначена операцiя псевдообернення, Pi = AT
i Ai, vi ≡ 0 при det Pi >
> 0, а
min
xi∈Ωi
‖Aixi − ai‖
2 = aT
i ai − aT
i AiP
+
i AT
i ai = ε2
i .
Для знаходження векторiв
ai = (a
(i)
1 , a
(i)
2 , . . . , a
(i)
M )T (i = 1, n)
через компоненти вектора
a = (a
(0)
1 , a
(0)
2 , . . . , a
(0)
M )T
будемо виходити з того, що рiвняння (31) може мати одне з таких n представлень:
[A1A
+
i ai]j [A2A
+
i ai]j · · · [Ai−1A
+
i ai]ja
(i)
j [Ai+1A
+
i ai]j · · · [AnA+
i ai]j = a
(0)
j
(j = 1,M, i = 1, n),
або, що еквiвалентне,
Aiαi = a (i = 1, n). (33)
Тут [·]j — j-й елемент вектора [·],
Ai = col
(0, . . . 0,
︸ ︷︷ ︸
Mn−1(j−1)
A
(i)
j , 0, . . . 0
︸ ︷︷ ︸
Mn−jMn−1
), j = 1,M
,
A
(i)
j =str((. . .(((. . .([A1A
+
i ]jk1
[A2A
+
i ]jk2
. . .[Ai−1A
+
i ]jki−1
[Ai+1A
+
i ]jki+1
. . .[AnA+
i ]jkn
,
kn = 1,M ), . . . ), ki+1 = 1,M ), ki−1 = 1,M ), . . . ), k1 = 1,M ),
αi = col((. . . ((a
(i)
k1
a
(i)
k2
. . . a
(i)
kn
, kn = 1,M ), kn−1 = 1,M ), . . .), k1 = 1,M ).
(34)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
З (33) знаходимо, що
αi = arg min
α∈RMn
‖Aiα − a‖2 ∈ Ωi = {αi : αi = A+
i a + vi − A+
i Aivi, ∀vi ∈ R
Mn
},
де vi ≡ 0 при detAT
i Ai > 0. Звiдси з урахуванням (34) маємо
(a
(i)
j )n = qT
Aij
a + [vi]j∗ − qT
Aij
Aivi (j = 1,M ), (35)
де qT
Aij
— рядок матрицi A+
i з номером j∗ = ((j −1)(Mn−1 +Mn−2 + · · ·+1)+1). Цей рядок,
за аналогiєю з (28), визначимо спiввiдношенням
(Aij
...aj)
+ =
(
Qij
qT
Aij
)
,
в якому Aij — матриця Ai без j∗-го стовпця, а aj — цей стовпець. При цьому
δ2
i = arg min
αi∈Ωi
‖Aiαi − a‖2 = aT a − aT AiP
+
i AT
i a (i = 1, n),
де
P i = AT
i Ai.
Розв’язком, або визначеним згiдно з (30) псевдорозв’язком, рiвняння (29) будемо вва-
жати x = xi0 , де i0 = arg min
i∈{1,...,n}
(ε2
i + δ2
i ).
1. Гантмахер А.Ф. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 287 с.
2. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание. – Москва: Наука, 1977. – 305 с.
3. Кириченко Н.Ф. Псевдообращение матриц и их рекуррентность в задачах моделирования и управ-
ления // Пробл. управления и информатики. – 1995. – № 1. – С. 114–127.
4. Кириченко Н.Ф. Рекуррентность операций псевдообращения в задачах идентификации и синтеза
матриц // Кибернетика и вычислительная техника. – 1994. – № 104. – С. 17–21.
5. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных
преобразований // Кибернетика и системный анализ. – 1998. – № 3. – С. 90–104.
6. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Пробл. управ-
ления и информатики. – 1998. – № 1. – С. 79–86.
7. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю. Г. Математичне моделювання прямих та обернених
задач динамiки систем з розподiленими параметрами. – Київ: Наук. думка, 2001. – 361 с.
8. Стоян В.А. Моделювання та iдентифiкацiя динамiки систем iз розподiленими параметрами. – Київ:
ВПЦ “Київський унiверситет”, 2004. – 187 с.
9. Скопецкий В. В., Стоян В.А. О некоторых новых результатах по решению проблем моделирования
и управления динамикой систем с распределенными параметрами // Пробл. управления и информа-
тики. – 2002. – № 3. – С. 73–84.
Надiйшло до редакцiї 17.09.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4098 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T22:54:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, В.В. 2009-07-15T11:53:32Z 2009-07-15T11:53:32Z 2008 Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь / В.В. Стоян // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 45-49. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4098 519.6 The problem of the root-mean-square inversion of the systems of nonlinear equations, whose left part is the Cartesian product of the set quantity of linear algebraic transformations, is solved. The conditions of exactness and unambiguity of the given solution are defined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь Article published earlier |
| spellingShingle | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь Стоян, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| title_full | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| title_fullStr | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| title_full_unstemmed | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| title_short | Псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| title_sort | псевдоiнверсний пiдхiд до розв’язання одного класу нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4098 |
| work_keys_str_mv | AT stoânvv psevdoinversniipidhiddorozvâzannâodnogoklasuneliniinihalgebraíčnihrivnânʹ |