Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности
The theory of long-term damageability is generalized to the case of a discretely fibrous composite with stochastic structure. The appearance of damages in the composite is modeled by the
 formation of stochastically positioned micropores. The algorithms of calculation of the temporal
...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4103 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 62-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860127626848370688 |
|---|---|
| author | Назаренко, Л.B. |
| author_facet | Назаренко, Л.B. |
| citation_txt | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 62-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The theory of long-term damageability is generalized to the case of a discretely fibrous composite with stochastic structure. The appearance of damages in the composite is modeled by the
formation of stochastically positioned micropores. The algorithms of calculation of the temporal
dependences of macrostresses, macrodeformations, and the microdamageability of components
of a granular material are constructed, and the relevant curves in the case of a fractional power
function describing the durability are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2008
Л.B. Назаренко
Долговременная повреждаемость
трансверсально-изотропных композитных материалов
при дробно-степенной функции долговечности
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном)
The theory of long-term damageability is generalized to the case of a discretely fibrous compo-
site with stochastic structure. The appearance of damages in the composite is modeled by the
formation of stochastically positioned micropores. The algorithms of calculation of the temporal
dependences of macrostresses, macrodeformations, and the microdamageability of components
of a granular material are constructed, and the relevant curves in the case of a fractional power
function describing the durability are obtained.
На основе моделей и методов механики стохастически неоднородных сред теория длитель-
ной повреждаемости однородного материала построена Л.П. Хорошуном как для однород-
ного материала [1], так и для зернистых композитов. В настоящей работе теория длительной
повреждаемости обобщается на случай дискретно-волокнистого композитного материала
стохастической структуры. Предполагается, что матрица является изотропной, в то время
как включения обладают трансверсально-изотропной симметрией упругих свойств.
Рассматривается случай, когда процесс повреждаемости происходит в матрице рассмат-
риваемого композита. В основу структурной теории длительной повреждаемости композит-
ных материалов положены уравнения механики микронеоднородных сред стохастической
структуры. Процесс повреждаемости матрицы рассматриваемого композита моделируется
разрушением рассеянных микрообъемов материала и образованием на их месте стохасти-
чески расположенных микропор [2]. Критерий разрушения единичного микрообъема ха-
рактеризуется его длительной прочностью, описываемой дробно-степенной функцией дол-
говечности, определяемой зависимостью времени хрупкого разрушения от степени близости
эквивалентного напряжения к его предельному значению, характеризующему кратковре-
менную прочность по критерию Губера–Мизеса [3]. Предел кратковременной прочности
принимается случайной функцией координат, одноточечное распределение которой опи-
сывается распределением Вейбулла [3]. Эффективные деформативные свойства и напря-
женно-деформированное состояние композита стохастической структуры определяются на
основе стохастических уравнений теории упругости [4].
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Построены алгоритмы вычисления зависимостей микроповреждаемости матрицы диск-
ретно-волокнистого композита от времени, макронапряжений или макродеформаций от
времени, а также получены соответствующие кривые в случае дробно-степенной функции
долговечности.
1. Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армированную
случайно расположенными однонаправленными дискретными волокнами. Предполагается,
что матрица изотропная, а включения трансверсально-изотропные, причем в процессе на-
гружения в матрице возникают микроразрушения, которые моделируются случайно рас-
положенными пустыми микропорами квазисферической формы. Макронапряжения 〈σij〉
и макродеформации 〈εαβ〉 композита связаны следующими соотношениями:
〈σij〉 = λ∗ijαβ〈εαβ〉. (1)
Здесь λ∗ijαβ — тензор эффективных упругих модулей, который является функцией тензора
упругих модулей поврежденных компонентов λ
[1]
ijαβ, λ
[2]
ijαβ, их объемных концентраций c1, c2
и параметров формы включений, причем индексы 1 и 2 обозначают соответственно вклю-
чения и матрицу. Тензор λ∗ijαβ эффективных модулей упругости дискретно-волокнистого
композита с трансверсально-изотропными компонентами можно определить как функцию
модулей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijαβ, λ
[2]
ijαβ, объемного содержания вклю-
чений c1 в матрице и параметров формы включений t на основании соотношений, пред-
ставленных в [4]
λ∗ijαβ = λ∗ijαβ(λ
[1]
ijαβ, λ
[2]
ijαβ, c1, t), t =
t2
t1
, (2)
где t1, t2 — размеры полуосей сфероидальных включений в поперечном и продольном на-
правлениях соответственно.
Тензоры модулей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijαβ, λ
[2]
ijαβ определяются [5]
через тензоры модулей упругости скелетов компонентов λ1
ijαβ, λ2
ijαβ и их пористости p1, p2,
характеризующие поврежденность, т. е.
λ
[1]
ijαβ = λ
[1]
ijαβ(λ1
ijαβ, p1), λ
[2]
ijαβ = λ
[2]
ijαβ(λ2
ijαβ , p2). (3)
На основе зависимостей (2), (3) и соотношений
〈σr
ij〉 = λ
[r]
ijαβ〈ε
r
αβ〉 (r = 1, 2) (4)
можно определить средние напряжения и средние деформации поврежденного r-компонен-
та 〈σr
ij〉, 〈ε
r
αβ〉 как функции макродеформаций или макронапряжений [4]
〈σr
ij〉 = f1(〈εαβ〉), 〈εrij〉 = f2(〈εαβ〉), 〈σr
ij〉 = f3(〈σαβ〉), 〈εrij〉 = f4(〈σαβ〉). (5)
Средние по скелету r-компонента напряжения связаны со средними напряжениями 〈σr
ij , 〉
(r = 1, 2) поврежденного r-компонента зависимостями
σr
ij =
1
1 − pr
〈σr
ij〉 (r = 1, 2). (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 63
Для случая, когда процесс накопления повреждений происходит в матрице, примем
критерий кратковременного разрушения в микрообъеме неповрежденной части материала
матрицы в форме Губера–Мизеса [3]
I2
σ = k2; I2
σ = (σ2
ij
′
, σ2
ij
′
)1/2, (7)
где σ2
ij
′
— девиатор средних по неповрежденной части материала матрицы напряжений;
k2 — предельное значение инварианта I2
σ, являющееся случайной функцией координат.
Если инвариант I2
σ для некоторого микрообъема материала матрицы не достигает со-
ответствующего предельного значения k2, то, согласно критерию длительной прочности,
разрушение произойдет по истечении некоторого промежутка времени τ2
k , длительность
которого зависит от степени близости I2
σ к предельному значению k2. В общем случае эту
зависимость можно представить в виде некоторой функции
τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (8)
причем ϕ(k2, k2) = 0, ϕ(0, k2) = ∞, согласно (7).
Одноточечную функцию распределения F (k2) параметра k2 можно описывать распре-
делением Вейбулла
F (k2) =
{
0, k2 < k02,
1 − exp(−m2(k2 − k02)
α2), k2 > k02,
(9)
где k02 — минимальная величина предельного значения k2, с которого начинается разру-
шение в некоторых микрообъемах материала матрицы; m2, α2 — постоянные, характери-
зующие разброс микропрочности в материале.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность матрицы
характеризуется пористостью p02. Тогда функция распределения F (k2), согласно свойству
эргодичности, определяет относительное содержание материала неразрушенной части мат-
рицы, где предел микропрочности меньше соответствующего значения k2. Поэтому, если
в неразрушенной части материала матрицы напряжения равны σ2
ij , то функция F (I2
σ)
определяет, согласно (7), (9), относительное содержание разрушенных микрообъемов ске-
лета матрицы. Тогда уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости имеет
вид [2]:
p2 = p02 + (1 − p02)F (I2
σ). (10)
Если напряжения в матрице σ2
jk действуют в течение некоторого времени t, то, соглас-
но критерию длительной прочности (8), за это время разрушатся микрообъемы с такими
значениями предела микропрочности k2, для которых имеет место неравенство
t > τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (11)
где инвариант I2
σ определяется выражениями (7).
Время τ2
k хрупкого разрушения для реальных материалов при невысоких температурах
имеет конечное значение, начиная только с некоторого значения I2
σ > 0. В этом случае
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
функцию долговечности ϕ(I2
σ , k2) можно представить, например, дробно-степенной зависи-
мостью [1]
ϕ(I2
σ, k2) = τ02
(
k2 − I2
σ
I2
σ − γ2k2
)n2
; (γ2k2 6 I2
σ 6 k2, γ2 < 1). (12)
Здесь τ02 — некоторое характерное время, показатель n2 и коэффициент γ2 определяются
из аппроксимации экспериментальных кривых долговечности материала.
Подставляя (12) в (11), приходим к неравенству
k2 6 I2
σ
1 + t
1/n2
2
1 + γ2t
1/n2
2
(
t2 =
t
τ02
)
. (13)
Принимая во внимание определение функции распределения предела микропрочности
F (k2), приходим к выводу, что функция F [I2
σψ(t2)], где
ψ(t2) =
1 + t
1/n2
2
1 + γit
1/n2
i
, (14)
определяет относительное содержание разрушенных микрообъемов неразрушенной до на-
гружения части материала матрицы в момент времени t2. Тогда с учетом (6) уравнение ба-
ланса разрушенных микрообъемов или пористости при длительной повреждаемости можно
представить в виде
p2 = p02 + (1 − p02)F
[
I2
〈σ〉
1 − p2
ψ(t2)
]
, (15)
где пористость p2 является функцией безразмерного времени t2, а инвариант I〈σ〉 опре-
деляется выражением (7) и является функцией макродеформаций или макронапряжений,
согласно (5).
Уравнения баланса пористости (15) с учетом (7), (14) в начальный момент t2 = 0 опреде-
ляют кратковременную (мгновенную) поврежденность материала. С ростом времени урав-
нения (15), (7), (14) определяют длительную его поврежденность, которая состоит из крат-
ковременной и дополнительной поврежденности, развивающейся во времени.
2. На основе соотношений (2), (3), (7), (14), (15) можно определить объемное содержа-
ния микроповреждений дискретно-волокнистого композита с трансверсально-изотропными
включениями в матрице и напряженно-деформированное состояние для функции ψ(t2),
определяемой формулой (14), как при заданных макронапряжениях 〈σjk〉, так и при за-
данных макродеформациях 〈εjk〉. В качестве включений и матрицы взяты соответственно
кварц с характеристиками неповрежденной части
λ1
11 = 118,4 ГПа, λ1
33 = 107 ГПа, λ1
13 = 32 ГПа, λ1
12 = 19 ГПа, λ1
44 = 35,8 ГПа(16)
и эпоксидная матрица с характеристиками неповрежденной части:
E2 = 3 ГПа; ν2 = 0,35, (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 65
Рис. 1 Рис. 2
объемной концентрации включений, начальном содержании пор в матрице и форме вклю-
чений
c1 = 0,25; 0,5; 0,75, p02 = 0; t = 2, (18)
а также при
k02 = 0,011ΓΠa; m2 = 1000; α2 = 2; γ2 = 0,5; n2 = 1. (19)
На рис. 1 изображены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 для
объемного содержания включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения
〈σ11〉. На рис. 2 показаны кривые зависимостей макродеформации 〈ε11〉 от времени t2 для
объемных содержаний включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения
〈σ11〉. Как видим, при c1 = 0,25 для значений 〈σ11〉 = 0,016, 0,017, 0,018, 0,019, 0,020 ГПа рост
макродеформациий и накопление повреждений во времени имеет горизонтальную асимпто-
ту, т. е. его характер аналогичный экспериментальным кривым для полимеров [5]. В слу-
чае же, когда макронапряжения превосходят эти значения, для некоторых значений вре-
мени t2 макродеформации и поврежденность матрицы достигают критической величины,
являющейся началом разрушения материала.
На рис. 3 изображены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 при
значениях макродеформации 〈ε11〉 = 0,002, 0,006, 0,01 и различных значениях объемного
содержания включений c1. На графиках сплошной линией показаны кривые при объемном
содержании включений c1 = 0,25, штриховой — при c1 = 0,5, пунктирной — при c1 = 0,75.
Такие же обозначения приняты и на рис. 4. Графики показывают, что с увеличением мак-
родеформации 〈ε11〉 для всех объемных содержаний включений и произвольного значения
времени t2 микроповрежденность p2 увеличивается. Здесь наблюдается рост поврежден-
ности со временем, в то время как в экспериментах с полимерами [6] при фиксированной
деформации поврежденность заметным образом не изменяется. Такое расхождение можно
объяснить как релаксацией напряжений в полимерах, обусловленной ползучестью, которая
здесь не учитывается, так и приближенностью рассматриваемой модели повреждаемости
в конечновременной форме.
На рис. 4 показаны кривые зависимостей макронапряжения 〈σ11〉 от времени t2 при
значениях макродеформации 〈ε11〉 = 0,002, 0,006, 0,01 и различных значениях объемного
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Рис. 3
Рис. 4
содержания включений c1. Как видим, при всех значениях объемного содержания включе-
ний кривые являются нисходящими.
1. Khoroshun L.P. Principles of the micromechanics of material damage. 2. Long-term damage // Int. Appl.
Mech. – 2007. – 43, No 2. – P. 127–135.
2. Khoroshun L. P. Micromechanics of short-term thermal microdamageability // Ibid. – 2001. – 37, No 9. –
P. 1158–1165.
3. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 312 с.
4. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с. (Механика композитов: В 12-ти т.
Т. 3.).
5. Nazarenko L.V. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials // Int. Appl. Mech. – 1997. –
33, No 2. – P. 114–122.
6. Тамуж В.П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига: Зинатне,
1978. – 294 с.
Поступило в редакцию 24.10.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 67
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4103 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, Л.B. 2009-07-15T12:59:14Z 2009-07-15T12:59:14Z 2008 Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности / Л.B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 62-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4103 539.3 The theory of long-term damageability is generalized to the case of a discretely fibrous composite with stochastic structure. The appearance of damages in the composite is modeled by the
 formation of stochastically positioned micropores. The algorithms of calculation of the temporal
 dependences of macrostresses, macrodeformations, and the microdamageability of components
 of a granular material are constructed, and the relevant curves in the case of a fractional power
 function describing the durability are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности Article published earlier |
| spellingShingle | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности Назаренко, Л.B. Механіка |
| title | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| title_full | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| title_fullStr | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| title_full_unstemmed | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| title_short | Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| title_sort | долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных материалов при дробно-степенной функции долговечности |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4103 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkolb dolgovremennaâpovreždaemostʹtransversalʹnoizotropnyhkompozitnyhmaterialovpridrobnostepennoifunkciidolgovečnosti |