О сингуларисном разложении скачкообразной функции
A singular expansion for the jump-like function is given. This expansion includes an exponentially increasing function and the exponentially decreasing sum of harmonic functions.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4115 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О сингуларисном разложении скачкообразной функции / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 42-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859716671483150336 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О сингуларисном разложении скачкообразной функции / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 42-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A singular expansion for the jump-like function is given. This expansion includes an exponentially increasing function and the exponentially decreasing sum of harmonic functions.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:12:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 62-501.7
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О сингуларисном разложении скачкообразной функции
A singular expansion for the jump-like function is given. This expansion includes an exponenti-
ally increasing function and the exponentially decreasing sum of harmonic functions.
В работах [1–3] рассмотрены фрагменты, касающиеся особого разложения скачкообразной
функции
1(t) =
{
1 при t > 0,
0 при t < 0,
при использовании его для решения задач по переходным процессам в электроцепях. На
латыни слово “особое” пишется как “singularis”, поэтому в дальнейшем считаем целесооб-
разным применить к особому разложению название “сингуларисное” разложение. Здесь это
разложение будем рассматривать в аспекте преобразований функции 1(t).
Рассмотрим скачкообразную функцию E · 1(t), где E — заданное число. Вначале при-
ведем графоматематический вывод предлагаемого сингуларисного разложения функции
E ·1(t). Кстати, уже имеется применение леммы Жордана к единичной функции 1(t) и пред-
ставление ее в виде интеграла Фурье, получаемого из формулы ряда Фурье путем предель-
ного перехода периода T к бесконечности [4].
График функции E · 1(t) изображен на рис. 1, а. В соответствии с рис. 1, б представим
функцию
E · 1(t) = F1(0, τ) + F2(t − τ) = E1(0, τ) + E1(t − τ).
Согласно рис. 1, в, проведем экспоненту, такую, чтобы
E · 1(t) = E(1 − ℓ−αt) + Eℓ−αt.
На графиках рис. 1, г, д функции E(1 − ℓ−αt) = f1(t), Eℓ−αt = f2(t). Здесь t — время;
α — коэффициент затухания (обычно α значительно больше коэффициентов затухания
реальных электрических цепей или других физических систем).
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Рис. 1
Далее представляем f2(t) = Eℓ−αt разложением на сумму затухающих гармоник (S(ω) —
рис. 1, е)) в виде
Eℓ−αt = ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
Uak =
Ua1
k
, Ua1 =
E
πω1
, ωk = ω1k,
n
∑
k=1
Uak = E,
где Uak — амплитуда k-й гармоники; ωk, k = 1, n, — круговая частота k-й гармоники (ωk =
= 2πfk, fk = [Гц] — частота).
Таким образом, имеем следующее представление скачкообразной функции:
E1(t) = E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
n
∑
k=1
Uak = E.
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 43
Это представление, или разложение, как было отмечено, назовем сингуларисным, т. е. осо-
бым разложением скачкообразной функции. Далее рассмотрим некоторые преобразования
над функцией E · 1(t) и соответственно над ее сингуларисным разложением (1).
1. Изменение знака E обусловливает изменение знаков в слагаемых разложения
±E1(t) = ±E(1 − ℓ−αt) ± ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
2. При t = 0 E1(t) = E. В разложении
n
∑
k=1
Uak = E, т. е. полное соответствие скачко-
образной функции E1(t).
3. При t = ∞ E1(t) = E. Согласно (1), разложение равно E.
4. При α = 0 разложение равно бесконечному незатухающему спектру
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
5. При α = ∞ разложение равно E.
6. Сумма и разность
E11(t) ± E21(t) = (E1 ± E2)(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
(
n
∑
k=1
U1ak cos ωkt ±
n
∑
k=1
U2ak cos ωkt
)
,
n
∑
k=1
U1ak = E1,
n
∑
k=1
U2ak = E2.
7. Умножение или деление E · 1(t) на число C±m, где m — показатель степени, (3)
C±mE1(t) = C±mE(1 − ℓ−αt) + C±mℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
8. Умножение
E11(t) × E21(t) =
[
E1(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
U1ak cos ωkt
]
×
×
[
E2(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
U2ak cos ωkt
]
,
n
∑
k=1
U1ak = E1,
n
∑
k=1
U2ak = E2.
При t = 0 E11(t)×E21(t) =
( n
∑
k=1
U1ak
)
×
( n
∑
k=1
U2ak
)
, при t = ∞ E11(t)×E2 1(t) = E1×E2,
что соответственно подтверждается.
9. Возведение в степень l [E11(t)]
l =
[
E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]l
.
Например, при l = 1 будет разложение (1), при l = 2 имеем
[E(1 − ℓ−αt)]2 + ℓ−2αt
(
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
2
+ 2E(1 − ℓ−αt) × ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
При t = 0 разложение равно
( n
∑
k=1
Uak
)2
, при t = ∞ — E2.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
10. Дифференцирование по t E · 1(t)
dE1(t)
dt
= Eδ(t) = +Eαℓ−αt − αℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − ℓ−αt
n
∑
k=1
ωkUak sin ωkt,
где δ(t) — дельта-импульс.
При t = 0 производная по t разложения равна нулю. Казалось бы, в этом случае имеется
несоответствие данного разложения функции E·1(t). Но если считать, что 1(t) = 1 при t > 0,
то в этом случае d1(t)/dt = 0. Кроме того, из графика рис. 1 видно, что
E1(t) = f1(t) + f2(t) = E(1 − ℓ−αt) + Eℓ−αt.
Производные df1(t)/dt = αEℓ−αt; df2(t)/dt = −αEℓ−αt, а это значит, что
dE1(t)
dt
=
d
dt
[f1(t) + f2(t)] = 0.
Эти выводы математически верны. Физически же при наличии бесконечно малого пе-
реднего фронта функции 1(t) производная по времени d1(t)/dt = δ(t). В таком случае надо
искусственно принимать при сигнале в виде 1(t) его производную в виде δ(t).
Чтобы убедится в том, что в данном разложении при его дифференцировании по вре-
мени t может быть при t = 0 функция δ(t), считаем, что E1(t) есть сумма E − Eℓ−αt +
+ ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
Передний фронт первого слагаемого E имеет бесконечно малый промежуток време-
ни ∆t. Поэтому можно предположить, что физически dE/dt = Eδ(t) и тогда
dE1(t)
dt
=
d(разлож.)
dt
= Eδ(t) + Eαℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − ℓ−αt
n
∑
k=1
ωkUak sin ωkt.
При таком выражении при t = 0 производная разложения равна δ(t).
11. Интегрирование E1(t) по t и ее данное разложение
t
∫
0
E1(t)dt + Et,
t
∫
0
[
E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
dt =
= Et +
E
α
ℓ−αt + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak
1 + αωk
(
sinωkt
ωk
− ωk cos ωkt
)
.
При t = 0
t
∫
0
E1(t) = E · 0 = 0.
∫
разлож. = Et|0 +
E
α
−
n
∑
k=1
Uak
α
= 0,
так как
n
∑
k=1
Uak = E, и α ≫ 1/ωk, k = 1, n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 45
При t = ∞ оба интеграла равны ∞, т. е. также имеется соответствие между E1(t) и пред-
ставленным разложением.
Как было отмечено в работе [5], сингуларисное разложение может быть применимо
к описанию дискретных алгоритмов оптимального управления динамическими объектами.
Эти алгоритмы в общем виде описываются выражением
Uопт(t) = ±Umax sign f(t),
где sign — знак функции f(t)
sign f(t) =
1 при f(t) > 0
0 при f(t) = 0
−1 при f(t) < 0
.
В этом случае
Uопт(t) =
[
Umax(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
sign f(t),
n
∑
k=1
Uak = Umax.
Сингуларисное разложение скачкообразной функции можно распространить на входные
гармонические сигналы (воздействия) электроцепей, радиоцепей переменного тока, механи-
ческих звеньев и др. При этом заметим, что сигнал должен иметь вид Uвх = Ua sin(ωt ± ϕ)
при ϕ 6= (0, π). Как видно из этого выражения, при t = 0 Uвх = Ua sin(±ϕ), т. е. в этот мо-
мент функция Ua sin(±ϕ) является скачкообразной, а именно, Ua1(t) sin(±ϕ). Это значит,
что функцию Uвх = Ua sin(ωt ± ϕ) при ϕ 6= (0, π) можно представить в виде следующего
разложения:
Uвх = Ua sin(ωt ± ϕ) = Ua sin(ωt ± ϕ)(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (2)
где
Ua1 =
Ua
πω1
; Uk =
Ua1 · ω1
ωk
;
n
∑
k=1
Uak = Ua.
Проверим это разложение. При t = 0 Uвх = sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak = Ua sin(±ϕ), при t = ∞
Uвх = Ua sin(ωt ± ϕ).
Как видим, разложение (2) соответствует Ua sin(ωt ± ϕ).
В работе [6] к селектирующим функциям si(t) относятся функции sgn f(t), а также
sg f(t) =
1 при f(t) > 0
0,5 при f(t) = 0
0 при f(t) < 0
.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Видно, что эти функции отображаются скачкообразной функцией C1(t), где C = 0;
0,5; 1. А это значит, что, используя правило п. 7, можно селектирующие функции si(t)
в некоторых случаях представлять в виде сингуларисного разложения (1). Однако сле-
дует заметить, что если обратить внимание на работы [1–3], то началом формирования
представляемого разложения скачкообразной функции E1(t) послужила попытка привести
в соответствие результаты решения задач по переходным процессам в электроцепях к ре-
альности, т. е. математически показать наличие в начале переходного процесса любой цепи
участка медленного нарастания тока с последующим быстрым изменением скорости нарас-
тания этого тока. Физика такого процесса связана с тем, что во входном скачкообразном
сигнале внутренне имеется ряд затухающих гармоник, сопротивление электроцепи которым
в начальный момент переходного процесса значительно больше (имеется в виду RL-цепь),
чем в последующие моменты. Это связано с эффектом реструктуризации электроцепи при
полигармоническом и входном воздействиях [7–9]. На наш взгляд, предлагаемое разложе-
ние скачкообразной функции как математически, так и при проверке в эксперименте, более
точно отражает решение задачи по переходным процессам как в электроцепях, так и в ме-
ханических системах при внешнем ударном воздействии.
1. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электроцепях / Доп. НАН України. – 2003. –
№ 12. – С. 72–75.
2. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там само. –
2004. – № 9. – С. 83–87.
3. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Там само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
4. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
5. Божко А. Е. О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колеба-
тельными системами // Доп. НАН України. – 2007. – № 1. – С. 40–43.
6. Мищенко В.А. Метод селектирующих функций в нелинейных задачах контроля и управления. –
Москва: Сов. радио, 1973. – 184 с.
7. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
8. Божко А. Е. Эффект автоматической реструктуризации механических систем, работающих в усло-
виях действия полигармонических вибраций и ударов // Там само. – 2005. – № 1. – С. 47–49.
9. Божко А. Е. Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах //
Там само. – 2007. – № 2. – С. 87–89.
Поступило в редакцию 10.04.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4115 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:12:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2009-07-15T13:54:30Z 2009-07-15T13:54:30Z 2008 О сингуларисном разложении скачкообразной функции / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 42-47. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4115 62-501.7 A singular expansion for the jump-like function is given. This expansion includes an exponentially increasing function and the exponentially decreasing sum of harmonic functions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика О сингуларисном разложении скачкообразной функции Article published earlier |
| spellingShingle | О сингуларисном разложении скачкообразной функции Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика |
| title | О сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| title_full | О сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| title_fullStr | О сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| title_full_unstemmed | О сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| title_short | О сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| title_sort | о сингуларисном разложении скачкообразной функции |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4115 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae osingularisnomrazloženiiskačkoobraznoifunkcii |