Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием
The influence of a local loading on the stressed state of hollow three-layered cylinders corrugated in the cross section and with transversally isotropic middle layer is investigated on the basis of
 the method of approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the fi...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4121 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860228834015576064 |
|---|---|
| author | Никитина, Н.В. |
| author_facet | Никитина, Н.В. |
| citation_txt | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The influence of a local loading on the stressed state of hollow three-layered cylinders corrugated in the cross section and with transversally isotropic middle layer is investigated on the basis of
the method of approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the fields of displacements and stresses are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:20:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.1+517.9
© 2007
Н.В. Никитина
Случайные движения бистабильного осциллятора
с периодическим воздействием
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The existence of random oscillations of a bistable oscillator under periodic perturbations is
established.
Речь идет о двухчастотных системах, в которых существуют неустойчивые квазиперио-
дические колебания, переходящие из одной области в другую. Появление блужданий из
одной области в другую связано с седловыми решениями на траектории. Водораздел двух
видов движений (устойчивых и блужданий в области случайных движений) может опреде-
ляться величиной энергии E. Данная работа является продолжением [1], где приведены три
области периодических решений. При периодическом воздействии область существования
замкнутой кривой может не быть областью устойчивых колебательных движений. Связа-
но это с устойчивостью особой точки. Рассматриваемый пример имеет три особые точки.
Устойчивая квазипериодическая кривая наматывается вокруг трех точек, которые в целом
в силу симметрии ведут себя как одна устойчивая. При периодическом воздействии тра-
ектория одной из кольцевых областей за период иногда успевает проскочить мимо седла.
Так возникает блуждание по двум областям. Если энергии мало, то блуждание продол-
жается на бесконечности. Новизна результата состоит в выделении устойчивых движений
и указании качества энергии, которое соответствует этим движениям.
1. Предварительные сведения. Запишем двумерную систему первого порядка в виде
dx1
dt
= F1(x),
dx2
dt
= F2(x). (1)
Изложим геометрический принцип симметрии [2], на основе которого можно идентифици-
ровать замыкание на плоскости траектории системы (1).
1. В системе (1) существует замкнутая траектория, если выполняются условия четности
функции F1(x) относительно x1 и нечетности функции F2(x) относительно x1, т. е.
F1(−x1, x2) = F1(x1, x2),
F2(−x1, x2) = −F2(x1, x2).
(2)
Доказательство основано на том, что на плоскости Ox1x2 ось Ox2 является осью симметрии,
и всякая интегральная кривая слева от оси x2 является зеркальным отображением кривой
справа.
На основании принципа симметрии также можно заключить, что в системе (1) сущест-
вует замкнутая траектория, если выполняются условия четности функции F2(x) относи-
тельно x2 и нечетности F1(x) относительно x2, т. е.
F1(x1,−x2) = −F1(x1, x2),
F2(x1,−x2) = F2(x1, x2).
(3)
Здесь ось Ox1 является осью симметрии.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
На основе принципа симметрии можно обнаружить симметрию траектории относитель-
но седла, однако траектория замыкается вокруг седла в случае, когда имеет место еще
два центра, симметрично расположенных относительно седла. В работе [1] приведены три
области периодических решений бистабильного осциллятора.
Приведем обобщение принципа симметрии для двухчастотной системы. Колебательное
движение двух связанных нелинейных осцилляторов описывается векторным уравнением
вида
dx
dt
= F (x), (4)
где x(t) ∈ R
4 — вектор состояния системы в момент t ∈ R, F : R
4 → R
4. Пусть система
dx̃
dt
= Ax̃ (5)
является линейным приближением системы (4). Система (5) имеет начало координат ти-
па “центр”, т. е. собственные значения матрицы A простые, чисто мнимые: λj , λj = ±iωj
(j = 1, 2). В работе [2] принцип геометрической симметрии применен для идентифика-
ции центра в двумерной нелинейной системе. Основываясь на геометрической симметрии,
укажем достаточные условия существования устойчивого квазипериодического движения
в системе (4).
2. В системе (4) существуют квазипериодические движения, если выполняются условия
четности функций Fk (k = 2, 4) относительно x2, x4 и нечетности функций Fj (j = 1, 3)
относительно x2, x4, т. е.
Fk(x1,−x2, x3,−x4) = Fk(x1, x2, x3, x4) (k = 2, 4),
Fj(x1,−x2, x3,−x4) = −Fj(x1, x2, x3, x4) (j = 1, 3).
(6)
Подобные условия можно привести при смене осей.
В системе (4) существуют квазипериодические движения, если выполняются условия
четности функций Fk (k = 1, 3) относительно x1, x3 и нечетности функций Fj (j = 2, 4)
относительно x1, x3, т. е.
Fk(−x1, x2,−x3, x4) = Fk(x1, x2, x3, x4) (k = 1, 3),
Fj(−x1, x2,−x3, x4) = −Fj(x1, x2, x3, x4) (j = 2, 4).
(7)
С помощью симметрии 2 можно установить существование квазипериодических колеба-
ний. Квазипериодические траектории могут быть образованы круговыми кривыми c огра-
ниченными седловыми решениями. В этом случае на траектории имеет место нейтральное
притяжение. Седловые решения могут вносить лишь локальную неустойчивость.
Рассмотрим пример с несколькими особыми точками, в том числе седло.
П р и м е р . Рассмотрим уравнения движения бистабильного осциллятора c периодическим воз-
действием. Запишем уравнения движения относительно точек O, O1, O2
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
=
µ
m
x1 −
µσ
m
x3
1
+ x30 cos t; (8)
du1
dt
= u2,
du2
dt
= −
µ
m
u1(2 + 3
√
σu1 + σu2
1) + u30 cos t; (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 65
dv1
dt
= v2,
dv2
dt
= −
µ
m
v1(2 − 3
√
σv1 + σv2
1
) + v30 cos t, (10)
где x30, u30, v30 — постоянные величины. Систему (8) можно представить в виде
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
=
µ
m
x1 −
µσ
m
x3
1 + x3, (11)
dx3
dt
= x4,
dx4
dt
= −x3 (12)
при следующих начальных условиях: t = 0; x3 = x30; x4 = 0. Аналогично можно записать системы
du1
dt
= u2,
du2
dt
= −
µ
m
u1(2 + 3
√
σu1 + σu2
1) + u3, (13)
du3
dt
= u4,
du4
dt
= −u3; (14)
dv1
dt
= v2,
dv2
dt
= −
µ
m
v1(2 − 3
√
σv1 + σv2
1
) + v3, (15)
dv3
dt
= v4,
dv4
dt
= −v3. (16)
В системе (11) выполняется условие четности функций F2, F4 относительно x2, x4 и усло-
вие нечетности функций F1, F3 относительно x2, x4. При смене осей выполняется условие
четности функций F1, F3 относительно x1, x3 и условие нечетности функций F2, F4 отно-
сительно x1, x3. Это указывает на то, что в системе (11) существует область устойчивых
двухчастотных колебаний. В системе (12) выполняется условие четности функций F2, F4
относительно u2, u4 и условие нечетности функций F1, F3 относительно u2, u4. Тот же
вывод можно сделать для системы (13). В системах (12), (13) существуют области устой-
чивых двухчастотных колебаний. Возможно, что это та же область, что и в системе (11).
Полученный результат требует дополнительного исследования.
В работах [3, 4] установлено существование замкнутой траектории относительно то-
чек O, O1, O2. Различается решение, отделяющее многообразия периодических движений
относительно точек O1, O2 от многообразий относительно седла. Различаются траектории,
замкнутые относительно седла.
В работе [1] рассмотрены уравнения бистабильного осциллятора
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
=
µ
m
x1 −
µσ
m
x3
1. (17)
Построены замкнутые кривые (решения) для каждой области и кривые, разделяющие
эти области. Многообразия траекторий, замкнутых относительно точек O1, O2, образуют
область внутри колец сепаратрисы. На каждой траектории имеют место седловые реше-
ния. Многообразия траекторий, замкнутых относительно O, O1, O2, заполняют внешнюю
область по отношению к сепаратрисе. На каждой траектории также имеют место седло-
вые решения. Притяжение каждой замкнутой траектории нейтрально. На рис. 1 видно, что
внутри сепаратрисы находится еще одна разделяющая кривая, которая показывает, что
точки O1, O2 — седло-центры [1]. При начальных условиях: при t = 0; x1 = x10; x2 = 0
энергия системы (14) E = x2
2/2 + U(x1) определится начальным значением потенциальной
энергии E = U = −µ/m(x2
1/2 − σx4
1/4). Для внешней области E определяется как
E = U(x10) > 0 (18)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 1 Рис. 2
для внутренней E = U(x10) < 0, при этом уровень энергии на сепаратрисе равен нулю. На
рис. 2 приведен график зависимости U(x1).
2. Случайные движения при периодическом возмущении. Рассматривается сис-
тема с тремя областями периодических многообразий. Нейтральное притяжение и устой-
чивость особой точки являются достаточными качествами для орбитальной устойчивости
кривых. Точка седло-центр несимметрична и неустойчива. Для области, расположенной
снаружи сепаратрисы, точки O1, O, O2 образуют симметрию, так что воспринимаются как
одна симметричная точка. Нахождение областей устойчивых двухчастотных колебаний би-
стабильного осциллятора с периодическим возмущением сводится к следующим задачам.
Задача 1. Исследуется устойчивость периодически возмущенных колебаний во внешней
по отношению к сепаратрисе области (см. рис. 1). Покажем, что эта область симметрична
относительно осей Ox1, Ox2 и содержит двухчастотные орбитально устойчивые движения.
Введем в рассмотрение малое отклонение δxj от решения xj(t) (j = 1, 2) системы (11).
Обозначим δxj = xj(t) − xj(t). Линеаризованная система в вариациях имеет вид
dδx1
dt
= δx2,
dδx2
dt
= M(x1)δx1 + δx3,
dδx3
dt
= δx4,
dδx4
dt
= −δx3,
(19)
где
M(x1) =
µ
m
(1 − 3σx2
1).
Характеристическое уравнение системы (15) имеет корни
λ1,2 = ±i; λ3,4 = ±
√
M(x1). (20)
В области
−
√
(3σ)−1 > x1 >
√
(3σ)−1 (21)
корни (16) мнимые. В области
−
√
(3σ)−1 < x1 <
√
(3σ)−1 (22)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 67
среди корней (16) имеет место пара седловых. Покажем, что в области (17) мнимые кор-
ни (16) не кратные. Составим характеристическую матрицу системы (15).
λ −1 0 0
−M λ −1 0
0 0 λ −1
0 0 1 λ
.
При помощи элементарных преобразований приведем характеристическую матрицу к нор-
мальной диагональной форме
(λ2 + 1)(M − λ2) 0 0 0
0 (M + λ2)(λ2 + 1) 0 0
0 0 λ2 + 1 0
0 0 0 λ2 + 1
.
Мнимым корням отвечают простые элементарные делители. В области (17) корни (16)
не кратные. Колебательное движения образует устойчивые кольца траектории вследствие
симметрии относительно двух осей. Траектория содержит ограниченные седловые реше-
ния в области (18), симметричные относительно двух осей. В целом траектория устойчива,
обладает нейтральным притяжением. При движении в режиме синфазных колебаний тра-
ектория перемещается вдоль оси Ox2, расширяясь симметрично. Это связано с седловыми
ограниченными решениями. Движение во внешней области по отношению сепаратрисы со-
ответствует условно квазипериодическому движению (рис. 3). Особенностью этого движе-
ния является наличие пары седловых ограниченных решений в области (18).
Задача 2. Исследуется устойчивость квазипериодических движений внутри колец се-
паратрисы. Покажем, что квазипериодические колебания внутри колец сепаратрисы неус-
тойчивые.
Запишем систему (11) в псевдолинейном виде
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
=
µ
m
(1 − σx2
1)x1 + x3,
dx3
dt
= x4,
dx4
dt
= −x3.
Из корней псевдолинейной системы λ1,2 = ±i; λ3,4 = ±
√
µ/m(1 − σx2
1
) в области
−
√
(σ)−1 > x1 >
√
(σ)−1 (23)
имеют седловой характер. Область (19) подходит к точкам O1, O2. Это вызывает неустой-
чивость квазипериодических кривых. Любое сколь угодно малое возмущение в окрестности
седло-центров O1, O2 порождает сильное перемещение вдоль оси Ox1.
Введем в рассмотрение малое отклонение δuj от решения uj(t) (j = 1, 2) системы (12).
Обозначим δuj = uj(t) − uj(t). Линеаризованная система в вариациях имеет вид
dδu1
dt
= δu2,
dδu2
dt
= −M(u1)δu1 + δu3, (24)
dδu3
dt
= δu4,
dδu4
dt
= −δu3, (25)
где M(u1) = µ/m(2 + 6
√
σu1 + 3σu2
1).
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 3 Рис. 4
Характеристическое уравнение системы (20)
λ4 + λ2(1 + M(u1)) + M(u1) = 0
имеет корни
λ1,2 = ±i; λ3,4 = ±
√
M(u1).
Корни λ3,4 при u1 < 0 становятся мнимыми. При режиме синфазных колебаний внутри
правого кольца сепаратрисы траектория сильно перемещается влево вдоль оси Ou1. Это вы-
звано неустойчивостью траектории из-за неустойчивости особой точки седло-центра. Так
как внутренняя область разделяется седлом O, то неустойчивость порождает перемещение
траектории из правого кольца сепаратрисы в левое и наоборот. Пусть количество энергии
недостаточно для достижения внешней области по отношению сепаратрисы (E < 0). То-
гда траектория блуждает из одного кольца в другое. Движение продолжается бесконечно.
Причиной неустойчивости является попадание траектории в окрестность седла. Так как
точки O1, O2 седло-центры, то каждая траектория из многообразия круговых траекторий
неустойчива. Периодические и седловые решения на траектории создают нейтральное при-
тяжение в целом. Седловые решения ограничены. Вследствие неустойчивости особой точки
траектория орбитально неустойчива (рис. 4). При повышении энергии траектория стреми-
тся занять внешнюю область по отношению к сепаратрисе. В этом случае устанавливается
устойчивый режим колебаний, описанный в первой задаче.
3. Обсуждение результатов. Задача качественного исследования сложных колеба-
ний представляет существенный интерес [5]. Различаются этапы поведения траектории,
связанные с величиной энергии. Рассмотрено расширение принципа симметрии для ква-
зипериодических движений. Другой подход к принципу симметрии связан с решениями
ρ0(θ), ρ∗(θ) для систем с полиномиальной правой частью. Решения ρ0(θ), ρ∗(θ) введены
искусственно для получения важного результата о симметрии и притяжении-отталкивании
траектории. Поиск решений этих вопросов представлен в работах [6–8]. В данной статье не-
устойчивые хаотические колебания отождествляются с бесконечным блужданием траекто-
рии. Это возможно при определенном уровне энергии. Существуют орбитально устойчивые
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 69
кривые с седловыми решениями на траектории. Орбитально устойчивым траекториям со-
ответствует локальная неустойчивость и симметрия решений и особых точек при нейтраль-
ном притяжении круговой траектории в целом. Блуждание из одного кольца сепаратрисы
в другое траектории бистабильного осциллятора с периодическим воздействием происхо-
дит как бесконечное во времени пребывание в состоянии неустойчивых квазипериодических
колебаний за счет низкого уровня энергии (для хаотических движений, например, E < 0,
либо E∗∗ > E > 0). Повышение уровня энергии как бы выталкивает траекторию в область
устойчивых движений.
1. Никитина Н.В. О построении фазового портрета бистабильного осциллятора // Доп. НАН Украї-
ни. – 2006. – № 10. – С. 59–64.
2. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – Москва:
ГИТТЛ, 1949. – 550 с.
3. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bistable oscillator theory revisited // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38,
No 4. – P. 489–497.
4. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On approximate representation of periodic motions in a saddle point //
Ibid. – 2002. – 38, No 9. – P. 1138–1140.
5. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной
динамике. Ч. 1. – Москва: Ин-т компьюторных исследований, 2004. – 416 с.
6. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Studying the complex oscillations of a star in the field of a galaxy // Int.
Appl. Mech. – 2004. – 40, No 4. – P. 453–461.
7. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex oscillations revisited // Ibid. – 2005. – 41, No 2. – P. 179–186.
8. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex behavior of a trajectory in single and double systems // Ibid. –
No 3. – P. 315–323.
Поступило в редакцию 13.02.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
Л.С. Рожок
Шаруватi порожнистi цилiндри з гофрами
в поперечному перерiзi при дiї локального
навантаження
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
The influence of a local loading on the stressed state of hollow three-layered cylinders corrugated
in the cross section and with transversally isotropic middle layer is investigated on the basis of
the method of approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the fields
of displacements and stresses are presented.
У роботi [1] розглянуто задачу про напружений стан iзотропних порожнистих цилiндрiв
з гофрами в поперечному перерiзi при дiї локального навантаження. В данiй роботi прово-
диться дослiдження напруженого стану тришаруватих порожнистих гофрованих цилiндрiв
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4121 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:20:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Никитина, Н.В. 2009-07-15T14:51:10Z 2009-07-15T14:51:10Z 2007 Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием / Н.В. Никитина // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4121 531.1+517.9 The influence of a local loading on the stressed state of hollow three-layered cylinders corrugated in the cross section and with transversally isotropic middle layer is investigated on the basis of
 the method of approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the fields of displacements and stresses are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием Article published earlier |
| spellingShingle | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием Никитина, Н.В. Механіка |
| title | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| title_full | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| title_fullStr | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| title_full_unstemmed | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| title_short | Случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| title_sort | случайные движения бистабильного осциллятора с периодическим воздействием |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4121 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinanv slučainyedviženiâbistabilʹnogooscillâtorasperiodičeskimvozdeistviem |