Об одной проблеме Стефана

By using the variational method, we study a nonlinear thermophysical problem with a free boundary. It is proved that an approximate solution based on the Ritz method tends to the exact one in a certain metric.

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Шевченко, А.И., Миненко, А.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Subjects:	Математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4147
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Об одной проблеме Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 26-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4147
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-41472025-02-09T14:49:19Z Об одной проблеме Стефана Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика By using the variational method, we study a nonlinear thermophysical problem with a free boundary. It is proved that an approximate solution based on the Ritz method tends to the exact one in a certain metric. 2008 Article Об одной проблеме Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 26-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4147 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Об одной проблеме Стефана
description	By using the variational method, we study a nonlinear thermophysical problem with a free boundary. It is proved that an approximate solution based on the Ritz method tends to the exact one in a certain metric.
format	Article
author	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_facet	Шевченко, А.И. Миненко, А.С.
author_sort	Шевченко, А.И.
title	Об одной проблеме Стефана
title_short	Об одной проблеме Стефана
title_full	Об одной проблеме Стефана
title_fullStr	Об одной проблеме Стефана
title_full_unstemmed	Об одной проблеме Стефана
title_sort	об одной проблеме стефана
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4147
citation_txt	Об одной проблеме Стефана / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 26-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT ševčenkoai obodnojproblemestefana AT minenkoas obodnojproblemestefana
first_indexed	2025-11-27T01:05:27Z
last_indexed	2025-11-27T01:05:27Z
_version_	1849903579377172480
fulltext	На пiдставi теорем 1 та 2 отримуємо аналоги спiввiдношень (2) i (3): D∞ = ⋃ ψ1,ψ2∈M∞ Cψ = ⋃ ψ1,ψ2∈MA Cψ = ⋃ ψ1,ψ2∈M′ ∞ Cψ = ⋃ ψ1,ψ2∈M + ∞ Cψ i ⋂ ψ1,ψ2∈M∞ (D∞ ⋂ Cψ) = ⋂ ψ1,ψ2∈MA (D∞ ⋂ Cψ) = ⋂ ψ1,ψ2∈M′ ∞ (D∞ ⋂ Cψ) = ⋂ ψ1,ψ2∈M + ∞ (D∞ ⋂ Cψ) = T. Таким чином, весь спектр 2π-перiодичних нескiнченно диференцiйовних функцiй можна проранжувати за допомогою їх ψ-похiдних, причому пари ψ = (ψ1, ψ2) досить вибирати так, щоб функцiї ψ(k) = √ ψ2 1(k) + ψ2 2(k) належали до однiєї з множин M + ∞, M ′ ∞, MA або M ∞. Нерозрiзненними при такiй класифiкацiї залишаються тiльки тригонометричнi полiноми. 1. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с. 2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Тр. Ин-та математики НАН Украины. T. 40. – Киев, 2002. – Ч. 1. – 427 с. 3. Степанец А.И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 5. – С. 688–702. Надiйшло до редакцiї 16.05.2007Iнститут математики НАН України, Київ УДК 517.95 © 2008 Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко Об одной проблеме Стефана By using the variational method, we study a nonlinear thermophysical problem with a free boundary. It is proved that an approximate solution based on the Ritz method tends to the exact one in a certain metric. 1. Постановка двухфазной стационарной задачи Стефана. Пусть D = {−1 < x < < 1, H < y < 0} обозначает полосу. Обозначим через γ кривую, отделяющую жидкую фазу D+ γ от твердой фазы D− γ , при этом концы y лежат на вертикалях x = ±1. Будем считать, что температурное поле монотонно убывает вместе с вертикальной координатой y. Таким образом, в нижней части полосы будет расположена твердая фаза, а в верхней — жидкая. Обе области D+ γ и D− γ предполагаются односвязными и симметричными относительно оси y. Рассматривается задача. Требуется определить тройку (u±(x, y), γ) по следующим условиям: ∂2u± ∂x2 + ∂2u± ∂y2 = 0, (x, y) ∈ D± γ , (1) u+(x, 0) = v, v = const > 1; u−(x,H) = 0, −1 6 x 6 1, (2) 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1 u±x (x, y) + ω± 0 u ±(x, y) = 0, x = ±1, (x, y) ∈ ∂D± γ , (3) u±(x, y) = 1; \|∇u−\|2 − κ2\|∇u+\|2 = 0, κ = const, 0 < κ 6 1, (x, y) ∈ γ. (4) Задача (1)–(4) была рассмотрена в работе [1]. Из результатов работы следует, что эта зада- ча имеет, и притом единственное, классическое решение в классе функций u+ y > 0, u−y > 0 соответственно в D+ γ и D− γ . При этом граница γ является аналитической кривой, моно- тонно возрастающей в правой половине, а функции u+(x, y), u−(x, y) непрерывны в D+ γ и D− γ соответственно и непрерывно дифференцируемы всюду, за исключением угловых точек. 2. Построение приближенного решения вариационным методом. Задача (1)–(4) эквивалентна проблеме минимума следующего интегрального функционала: I(u+, u−, γ) = ∫∫ D− γ [u−x 2 + u−y 2 ]dxdy + κ2 ∫∫ D+ γ [u+ x 2 + u+ y 2 ]dxdy + + κ2ω+ 0 ∫ Γ+ γ [u+2 − 1]dy + ω− 0 ∫ Γ− γ [u− 2 − 1]dy (5) на соответствующем множестве допустимых функций [2], здесь Γ+ γ = ∂D+ γ ⋂ {x = ±1}, Γ− γ = ∂D− γ ⋂{x = ±1}. Следуя методике Фридрихса [3], представим функционал (5) в классе функций u±y > 0 в D± γ следующим образом: I1(y1, y2) = ∫∫ ∆1 1 + y2 1x y1u dxdu+ κ2 ∫∫ ∆2 1 + y2 2x y2u dxdu+ ω+ 0 κ 2 v∫ 1 (u2 − 1)[y2u(1, u) + + y2u(−1, u)]du + ω− 0 1∫ 0 (u2 − 1)[y1u(1, u) + y1u(−1, u)]du, (6) где ∆1 = (−1 < x < 1, 0 < u < 1), ∆2 = (−1 < x < 1, 1 < u < v), y1(x, u), y2(x, u) — решения уравнений u1(x, y) − u1 = 0, u2(x, y) − u2 = 0 [3]. Функционал (5) будем минимизировать на множестве допустимых функций Ω = Ω1 ⊕ Ω2, (7) где Ω1 = {y1(x, u) : y1(x, u) ∈ C1(∆1), min (x,u)∈∆1 y1u > 0, y1(x, 0) = H, y1(x, 1) = y2(x, 1)}, Ω2 = {y2(x, u) : y2(x, u) ∈ C1(∆2), min (x,u)∈∆2 y2u > 0, y2(x, v) = 0, y1(x, 1) = y2(x, 1)}. Далее, пусть функции y∗1(x, u), y ∗ 2(x, u) соответствуют классическому решению (u+, u−, γ) задачи (1)–(4). Очевидно, что пара функций y∗1, y ∗ 2 доставляет наименьшее значение функ- ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 27 ционалу (6) на множестве (7). Будем минимизировать функционал (6) на множестве (7) при помощи сумм y1n(x, u; aκj) = y1n(x, u) = L∑ j=0 Tj∑ κ=1 aκjx 2juκ +H, (x, u) ∈ ∆1, y2n(x, u; bκj) = y2n(x, u) = v − u v − 1 L∑ j=0 Θj∑ κ=0 bκjx 2juκ, (x, u) ∈ ∆2, n = sup 06j6L {2j + Tj; 2j + Θj}. (8) Включение (y1n, y2n) ∈ Ω выделяет в евклидовом пространстве Er коэффициентов (akj; bkj) область допустимости Ωr, где r = L∑ j=0 (Tj + Θj + 1), Ωr = Ω̃1 ⊕ Ω̃2 ⋂ E0, Ω̃1 = {aκj : min (x,u)∈∆1 y1nu > 0}, Ω̃2 = {bκj : min (x,u)∈∆2 y2nu > 0}, при этом коэффициенты (akj , bst) должны лежать в гиперплоскостях E0 0 : H + T0∑ κ=1 aκ0 = Θ0∑ κ=0 bκ0, E0 j : Tj∑ κ=1 aκj = Θj∑ κ=0 bκj, т. е. E0 = E0 0 ⊕ E0 1 ⊕ . . . ⊕ E0 L [2]. Неизвестные коэффициенты (akj, bst) и множитель Лагранжа λt определяются из нели- нейной системы Ритца: ∂I2(aκj, bκj) ∂apq + λq = 0, p = 1, 2 . . . , Tq; q = 0, 1, . . . , L, ∂I2(aκj, bκj) ∂bst − λt = 0, s = 0, 1 . . . ,Θt; t = 0, 1, . . . , L, T0∑ κ=1 aκ0 − Θ0∑ κ=0 bκ0 +H = 0, Tj∑ κ=1 aκj − Θj∑ κ=0 bκj = 0, j = 1, 2, . . . , L, I2(aκj , bκj) = I1 ( L∑ j=0 Tj∑ κ=1 aκjx 2juκ +H; v − u v − 1 L∑ j=0 Θj∑ κ=0 bκjx 2juκ ) . (9) Можно установить, что функция I2(akj, bkj) принимает свое наименьшее значение в не- которой внутренней точке (a∗kj, b ∗ kj) множества Ωr, лежащей на конечном расстоянии от начала координат пространства Er [4]. Следовательно, в точке (a∗kj , b ∗ kj) частные произво- дные первого порядка соответствующей функции Лагранжа обращаются в ноль. Таким образом, система уравнений (9) имеет решение. 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1 Итак, решив систему уравнений (9) при каждом n, можно затем построить последова- тельность приближений (8) в виде y1n(x, u; a ∗ kj) = y∗1n, y2n(x, u; b ∗ kj) = y∗2n. Приближения y∗1n, y ∗ 2n, построенные по методу Ритца, образуют минимизирующую по- следовательность для функционала (6) на множестве (7) [4]. Решения системы Ритца akj(ω + 0 , ω − 0 , κ), bkj(ω + 0 , ω − 0 , κ) непрерывно зависят от параметров ω+ 0 , ω− 0 , κ в некоторой окре- стности точки (ω̃+ 0 , ω̃ − 0 , κ̃), где разрешима система Ритца. Сходимость приближений Ритца исследована в [3]. 3. Постановка однофазной квазистационарной задачи типа Стефана. Пусть γ — достаточно гладкая кривая с концами, расположенными на прямых x = ±1, −∞ < y 6 6 0. Требуется определить односвязную область Dγ ⊂ D, расположенную ниже “свободной границы” γ, определенную в ней функцию u(x, y) по следующим условиям: функция u(x, y) в области Dγ удовлетворяет в классическом смысле уравнению: 1) ∆u+ωuy = 0, (x, y) ∈ Dγ , она непрерывна в Dγ , непрерывно дифференцируема в Dγ , исключая, может быть, угловые точки, и удовлетворяет условиям: 2) u(x, y) = 1, (x, y) ∈ γ; 3) ux ± ω0u = 0, x = ±1, (x, y) ∈ ∂Dγ \ γ; 4) u(x,−∞) = 0; 5) \|∇u\| = Q(x, y), (x, y) ∈ γ; здесь ω и ω0 — числа Пекле и Нуссельта. 4. Вариационная природа квазистационарной задачи типа Стефана. Рассмот- рим функционал J(u, γ) = ∫∫ Dγ eωy(\|∇u\|2 +Q2(x, y))dxdy + ω0 ∫ ∂Dγ\γ eωyu2dy (10) на соответствующем множестве допустимых функций [5]. Справедлива теорема. Теорема 1. Пусть Q(x, y) — аналитическая функция по переменным x, y в D и пусть выполнены условия Q(x, y) = Q(−x, y), x > 0, Qx(x, y) 6 0, Qy(x, y) > 0, (x, y) ∈ D, Ĉ0ω exp(µ0y) 6 Q(x, y) 6 Ĉ1ω exp(µ0y), (x, y) ∈ D, где Ĉ0 = const > 0, Ĉ1 = const > 0, µ0 = −ω 2 + √ ω2 4 + λ2 0, λ0 = ω0 ctg λ0, ω0 > ω √ 2tgω √ 2, ω < C0 √ ω0, C0ω0 < 2Ĉ1ω, ω0 < ρω4/3, 0 < ω0 6 A 6 π2 16 , C0 = (1 −A) cos2 √ A, ρ = ( 2 Ĉ0 C1e2 )2/3 , C1 = 6 +A(1 + cos2 √ A) 3(1 + cos2 √ A) . (11) Тогда существует классическое решение (u, γ) задачи, удовлетворяющее условиям 1–5. При этом γ — монотонная дуга, аналитическая в окрестности каждой своей внутренней точки; u(x, y) — функция, четная по x, uy > 0 в Dγ , ux 6 0 при 0 6 x 6 1, (x, y) ∈ Dr. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 29 5. Построение приближений Ритца. Функционал (10) в классе функций uy > 0 в Dγ можно представить следующим образом: I(w) = 1 ω ∫∫ ∆ ( w2 x + ω2w2 + w2 uQ 2 ( x, 1 ω lnw )) dxdu wu + + ω0 ω 1∫ 0 u2(wu(1, u) + wu(−1, u))du, (12) где ∆ = (−1 < x < 1, 0 < u < 1), w(x, u) = exp(ωy(x, u)), (x, y) ∈ ∆, y(x, u) — решение уравнения u(x, y) − u = 0. Рассмотрим теперь задачу о минимуме функционала (12) на множестве Ωw = {w : w ∈ C(∆) ⋂ C1(∆ + l), w(1, 1) = 1, f1(w) > 0, f2(w) 6 0, f3(w) 6 0, f4(w) 6 0}, (13) f1(w) = inf (x,u)∈∆ [wu(x, u) − α], f2(w) = max (x,u)∈∆ [w(x, u) − βuω/µ0 ], l = ∂∆ − {u ≡ 0}, f3(w) = sup (x,u)∈∆ [wu(x, u) − κu(ω/µ0−1)], f4(w) = sup (x,u)∈∆ [\|wx(x, u)\| − τuω/µ0 ]. Будем минимизировать функционал (12) на множестве (13) при помощи сумм (n) w (x, u; akj) = m∑ k=1 mk∑ j=0 akjx 2juk, n = sup k=1,2,...,m (k + 2mk). Неизвестные коэффициенты {akj} определяются методом Ритца. Доказывается сходимость приближений Ритца к точному решению w(x, u) = exp(ωy(x, u)), (x, u) ∈ ∆ в C(∆λ), ∆λ = = (−1 < x < 1, 0 < λ < 1), λ ∈ (0, 1). Замечание. Пусть функция Q(x, y; v) зависит от управления v ∈ U и пусть γ0 — заданная допустимая кривая. Рассмотрим функционал F (v) = ρ2(γ(v); γ0), где ρ(γ1, γ2) — функция расстояния. Можно доказать существование оптимального управления, когда U замкнуто и компактно [7]. В качестве U можно взять ограниченное множество ступенчатых функций с фиксированным числом ступенек. 1. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной стационарной задаче Стефана // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1974. – № 1. – С. 5–8. 2. Миненко А.С. Об одной оптимизационной задаче // Мат. физика. – 1978. – Вып. 23. – С. 74–77. 3. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 354 с. 4. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 4. – С. 477–487. 5. Миненко А.С. Об одной теплофизической задаче со свободной границей // Докл. АН УССР. Сер А. – 1979. – № 6. – С. 413–416. 6. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей // Там же. – 1978. – № 4. – С. 291–294. 7. Данилюк И.И., Миненко А.С. Об одной оптимизационной задаче со свободной границей // Там же. – 1976. – № 5. – С. 389–392. Поступило в редакцию 17.04.2007Институт проблем искусственного интеллекта НАН Украины, Донецк 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1

Об одной проблеме Стефана

Institution

Similar Items