Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4150 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859858255023439872 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| citation_txt | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:44:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
12. Cartwright M. The order of the derived group of a BFC-group // J. London Math. Soc. – 1984. – 30,
No 2. – P. 227–243.
13. Диксон М.Р., Курдаченко Л.А., Дашкова О.Ю. Бесконечномерные линейные группы с ограничени-
ями на подгруппы бесконечных рангов // Изв. Гомельск. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2006. – 36,
№ 3. – C. 109–123.
14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1972. – 240 с.
15. Kurdachenko L.A., Kirichenko V.V., Polyakov N.V. On certain finitary modules // Укр. математ. кон-
гресс-2001. III Междунар. алгебраическая конф. в Украине. Алгебраические структуры и их исполь-
зование: Тр. – Киев, 2002. – С. 283–296.
Поступило в редакцию 22.05.2007Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
УДК 517.988
© 2008
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов,
I. I. Демкiв
Iнтерполяцiйнi iнтегральнi операторнi дроби
в банаховому просторi
For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are
studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.
Питання наближення функцiй та операторiв у вiдповiдних просторах за допомогою iнтег-
ральних ланцюгових дробiв розглядалися у рядi робiт [1–3]. Дослiдженню iнтерполяцiй-
ностi на континуальних вузлах (тобто на вузлах, що залежать вiд неперервних скалярних
аргументiв) присвяченi роботи [2, 3]. У данiй роботi вперше вивчаються iнтерполяцiйнi опе-
раторнi iнтегральнi ланцюговi дроби на континуальних вузлах для нелiнiйних операторiв,
визначених на лiнiйних топологiчних просторах.
Постановка задачi та її розв’язок. Знайдемо зображення iнтегрального n-поверхо-
вого операторного дробу, який буде iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв
xn(~ξn) = x0 + gξ1(x1 − x0) + · · · + gξn
(xn − xn−1), 0 6 ξn 6 · · · 6 ξ1 6 1, (1)
для оператора F (x), що дiє з лiнiйного топологiчного простору X у алгебру Y з одиницею I.
Тут gz — лiнiйний, диференцiйований за z оператор, що дiє з X в X, i має властивостi
g0 = 0, g1 = E, gτgξ = gmin(τ,ξ), τ, ξ ∈ [0, 1], (2)
де E : X → X тотожний оператор. Приклад операторiв gz з властивостями (2) для випадку
гiльбертового простору X = H та просторi кусково-неперервних функцiй Q[0, 1] див. у [4, 5].
Має мiсце
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 17
Теорема 1. Нехай сiмейство операторiв gξ має властивостi (2). Тодi
Q2(x) = F (x0) +
1∫
0
(
I + F ′(x0 + gz1
(x1 − x0))g
′
z1
(x − x0) ×
×
z1∫
0
K2(z1, z2; g
′
z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1))dz2
)
−1
F ′(x0 + gz1
(x1 − x0))g
′
z1
(x − x0)dz1, (3)
де
K2(z1, z2; g
′
z1
(x− x0), g
′
z2
(x− x1))=−(F ′(x0 + gz1
(x1− x0) + gz2
(x2− x1))g
′(x− x0))
−1 ×
× F ′′(x0 + gz1
(x1 − x0) + gz2
(x2 − x1))g
′
z2
(x − x1)g
′
z1
(x − x0) ×
× (F ′(x0 + gz1
(x1 − x0) + gz2
(x2 − x1))g
′(x − x0))
−1,
за умовою його iснування буде iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв (1),
коли n = 2.
Доведення. Пiдставимо у (3) континуальний вузол (1), коли n = 2. Тодi будемо мати
Q2(x
2(~ξ2)) = F (x0) +
ξ2∫
0
(
I + F ′(x0 + gz1
(x1 − x0))g
′
z1
(x2 − x0) ×
×
z1∫
0
∂
∂z2
(F ′(x0 + gz1
(x1 − x0) + gz2
(x2 − x1))g
′
z1
(x2 − x0))
−1dz2
)
−1
×
× F ′(x0 + gz1
(x1− x0))g
′
z1
(x2− x0)dz1 +
ξ1∫
ξ2
(
I + F ′(x0 + gz1
(x1− x0))g
′
z1
(x1− x0) ×
×
ξ2∫
0
∂
∂z2
(F ′(x0 + gz1
(x1 − x0) + gz2
(x2 − x1))g
′
z1
(x1 − x0))
−1dz2
)
−1
×
× F ′(x0 + gz1
(x1 − x0))g
′
z1
(x2 − x0)dz1 =
= F (x0) +
ξ2∫
0
F ′(x0 + gz1
(x2 − x0))g
′
z1
(x2 − x0)dz1 +
+
ξ1∫
ξ2
F ′(x0 + gz1
(x1 − x0) + gξ2(x2 − x1))g
′
z1
(x1 − x0)dz1 =
= F (x0) + F (x0 + gξ2(x2 − x0)) − F (x0) + F (x0 + gξ1(x1 − x0) + gξ2(x2 − x1)) −
− F (x0 + gξ2(x2 − x0)) = F (x0 + gξ1(x1 − x0) + gξ2(x2 − x1)),
що i треба було довести.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Зауваження. У випадку, коли xi − xi−1 = h, ∀i = 1, 2, . . . , n умови (2) можна замiнити
такими:
g0 = 0, g1 = E,
F (x0 + gξh) − F (x0) =
1∫
0
F ′(x0 + gzh)dzgzgξ
для всiх F та h, для яких вищенаведена формула має сенс.
Для узагальнення теореми 1 на випадок n > 2 введемо таке позначення:
Kn(~xm(~zm)|g′z1
(x̃1 − x0), g
′
z2
(x̃2 − x1), . . . , g
′
zn
(x̃n − xn−1)) =
=
∂
∂α
(Kn−1(~x
m(~zm) + αg′zn
(x − xn−1)|g
′
z1
(x − x0),
g′z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)))
−1|α=0, n = 2, 3, . . . ,
K1(~x
m(~zm)|g′z1
(x̃k − x0))|z1=···=zk
= F ′(~xm(~zm))g′z1
(x̃k − x0)|z1=···=zk
,
k 6 m, m > n.
(4)
Неважко переконатись, враховуючи можливiсть диференцiювання за параметром [5],
що з (4) випливає формула
Kn(~xm(~zm)|g′z1
(x̃1 − x0), g
′
z2
(x̃2 − x1), . . . , g
′
zn−1
(x̃n−1 − xn−2), g
′
zn
(xn − xn−1)) =
=
∂
∂zn
(Kn−1(~x
m(~zm)|g′z1
(x̃1 − x0), g
′
z2
(x̃2 − x1), . . . , g
′
zn−1
(x̃n−1 − xn−2))
−1,
n = 2, 3, . . . ,
K1(~x
m(~zm)|g′z1
(x̃k − x0))|z1=···=zk
=
∂
∂z1
(F (~xm(~zm)|z1=···=zk
)).
(5)
Має мiсце
Теорема 2. Нехай оператор gξ задовольняє умови (2). Тодi iнтегральний операторний
дрiб
Qn(x) = F (x0) +
1∫
0
q2(z1, x)−1K1(~x
1(~z1)| g′z1
(x − x0))dz1,
q2(z1, x) = I + K1(~x
1(~z1)| g′z1
(x − x0)) ×
×
z1∫
0
q3(~z
2, x)−1K2(~x
2(~z2)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1))dz2,
. . .
qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)) ×
×
zn−1∫
0
Kn(~xn(~zn)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn
(x − xn−1))dzn,
(6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 19
де оператори Ki(~x
i(~zi)| g′z1
(x−x0), g
′
z2
(x−x1), . . . , g
′
zi
(x−xi−1)) визначаються з формул (4),
буде iнтерполювати нелiнiйний оператор F на континуальнiй множинi вузлiв (1) i буде
мати властивiсть
Qn(x) = F (x), коли xn = x, (7)
за умови його iснування.
Доведення. Покладемо в (6) xn = x, тодi, з урахуванням (5), одержимо
qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)) ×
×
zn−1∫
0
∂
∂zn
Kn−1(~x
n(~zn)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2))
−1dzn =
= Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)) ×
× Kn−1
~xn
z1
z2
...
zn−2
zn−1
zn−1
∣∣∣ g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)
−1
.
Далi:
qn−1(~z
n−2, x) = I + Kn−2(~x
n−2(~zn−2)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−2
(x − xn−3)) ×
×
zn−2∫
0
Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)) dzn,
де замiсть xn−1 покладено x. Отже, маємо
Qn(x) = Qn−1(x), коли xn = x.
Продовжуючи аналогiчно, одержуємо
Qn(x) = Qn−1(x) = · · · = Q1(x) = F (x0) +
1∫
0
K1(~x
1(z1)|gz1
(x − x0)) dz1 =
= F (x0) +
1∫
0
∂
∂z1
F (~x1(z1)) dz1 = F (x).
Тут у кiнцi ланцюжка рiвностей враховано, що x1 = x. Зауважимо, що при доведеннi
властивостi (7) не потрiбно було використовувати умови (2).
Враховуючи доведену теорему 2, маємо такий важливий
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Наслiдок. При вiдповiдних умовах гладкостi нелiнiйний оператор F можна подати
у виглядi
F (x) = F (x0) +
1∫
0
q2(z1, x)−1K1(~x
1(~z1)| g′z1
(x − x0))dz1, (8)
де
q2(z1, x)=I+K1(~x
1(~z1)| g′z1
(x−x0))
z1∫
0
q3(~z
2, x)−1K2(~x
2(~z2)|g′z1
(x−x0), g
′
z2
(x−x1))dz2,
. . .
qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn−1
(x − xn−2)) ×
×
zn−1∫
0
qR
n+1(~z
n, x)Kn(~xn(~zn)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn
(x − xn−1))dzn,
qR
n+1(~z
n, x) = I + Kn(~xn(~zn)|g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn
(x − xn−1)) ×
×
zn∫
0
Kn+1(~x
n(~zn) + gzn+1
(x − xn)|g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . .
. . . , g′zn
(x − xn−1), g
′
zn+1(x − xn))dzn =
= I + Kn(~xn(~zn)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . . , g
′
zn
(x − xn−1)) ×
×
zn∫
0
∂
∂zn+1
Kn(~xn(~zn) + gzn+1
(x − xn)| g′z1
(x − x0), g
′
z2
(x − x1), . . .
. . . , g′zn
(x − xn−1))
−1dzn,
(9)
за умови його iснування.
Доведення. Пiдставивши в останнi формули замiсть x континуальний вузол (1) i вра-
хувавши, згiдно з (2), що dzi
gzi
(~xn(~ξn) − xi−1) = 0, ξi 6 zi 6 zi−1, одержимо
F (~xn(~ξn)) = F (x0) +
ξ1∫
0
q2(z1, ~x
n(~ξn))−1K1(~x
1(~z1)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0))dz1,
q2(z1, ~x
n(~ξn)) = I + K1(~x
1(~z1)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0)) ×
×
ξ2∫
0
q3(~z
2, ~xn(~ξn))−1K2(~x
2(~z2)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0), g
′
z2
(~xn(~ξn) − x1))dz2,
. . .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 21
qn(~zn−1, ~xn(~ξn)) = I + Kn−1(~x
n−1(~zn−1)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0), g
′
z2
(~xn(~ξn) − x1), . . .
. . . , g′zn−1
(~xn(~ξn) − xn−2))
ξn∫
0
qR
n+1(~z
n, ~xn(~ξn)) ×
× Kn(~xn(~zn)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0), g
′
z2
(~xn(~ξn) − x1), . . . , g
′
zn
(~xn(~ξn) − xn−1))dzn,
qR
n+1(~z
n, ~xn(~ξn)) = I + Kn(~xn(~zn)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0), g
′
z2
(~xn(~ξn) − x1), . . .
. . . , g′zn
(~xn(~ξn) − xn−1))
zn∫
0
Kn+1(~x
n(~zn) + gzn+1
(~xn(~ξn) − xn)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0),
g′z2
(~xn(~ξn) − x1), . . . , g
′
zn
(~xn(~ξn) − xn−1), g
′
zn+1(~x
n(~ξn) − xn))dzn =
= I + Kn(~xn(~zn)| g′z1
(~xn(~ξn) − x0), g
′
z2
(~xn(~ξn) − x1), . . . , g
′
zn
(~xn(~ξn) − xn−1)) ×
×
zn∫
0
∂
∂zn+1
Kn(~xn(~zn)+gzn+1
(~xn(~ξn)−xn)| g′z1
(~xn(~ξn)−x0), g
′
z2
(~xn(~ξn)−x1) . . .
. . . , g′zn
(~xn(~ξn) − xn−1))
−1dzn = I.
Тут було враховано, що, коли
zn+1 6 zn 6 ξn 6 ξn−1 6 · · · 6 ξ1 6 1,
маємо
gzn+1
gξi
= gzn+1
, i = 1, 2, . . . , n,
i, отже,
gzn+1
(~xn(~ξn) − xn) = gzn+1
(
x0 +
n∑
i=1
gξi
(xi − xi−1) − xn
)
=
= gzn+1
(
x0 +
n∑
i=1
(xi − xi−1) − xn
)
= gzn+1
(0) = 0.
Отже, ми одержали
F (~xn(~ξn)) = Qn(~xn(~ξn)),
що i треба було довести.
Таким чином, у роботi для нелiнiйних операторiв, визначених у лiнiйних топологiчних
просторах, областю значень яких є деяка алгебра з одиницею, побудовано iнтерполяцiй-
ний на континуальнiй множинi вузлiв iнтегральний ланцюговий дрiб. Разом з тим форму-
ли (8), (9) дають зображення нелiнiйного оператора у виглядi iнтерполяцiйного iнтеграль-
ного ланцюгового дробу iз залишковим членом подiбно до полiномiальних iнтерполяцiйних
формул для функцiоналiв та операторiв [6].
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
1. Сявавко М.С. Iнтегральнi ланцюговi дроби. – Київ: Наук. думка, 1994. – 205 с.
2. Михальчук Б.Р. Iнтерполяцiя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою iнтегральних ланцюгових дро-
бiв // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 3. – С. 364–375.
3. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Михальчук Б. Р. Iнтерполяцiйнi iнтегральнi ланцюговi дроби // Там
же. – 2003. – 55, № 4. – С. 479–488.
4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 534 с.
5. Макаров В.Л., Хлобистов В.В., Демкiв I. I. Про континуальнi вузли iнтерполяцiї формул типу Нью-
тона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах // Доп. НАН України. – 2007. – № 12. – С. 22–27.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 406 с.
Надiйшло до редакцiї 12.06.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
УДК 517.10
© 2008
Академик НАН Украины А.М. Самойленко, А.Н. Ронто
О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного
функционально-дифференциального уравнения
We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point
boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second
order.
В работе рассматривается система линейных функционально-дифференциальных уравне-
ний второго порядка
u′′
k(t) = (lku)(t) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (1)
для которой указываются признаки однозначной разрешимости двухточечной краевой за-
дачи
uk(a) = c0k, k = 1, 2, . . . , n, (2)
u′
k(τ) = c1k, k = 1, 2, . . . , n. (3)
Здесь −∞ < a < b < +∞, τ ∈ [a, b], {c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R, функции fk,
k = 1, 2, . . . , n, локально интегрируемы по Лебегу и удовлетворяют некоторым дополни-
тельным условиям, а l = (lk)
n
k=1 : C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b), Rn) — линейный оператор,
преобразующий C([a, b], Rn) в некоторый класс функций, более широкий, чем L1([a, b], Rn),
и более узкий, чем L1;loc((a, b), Rn). Постановка (1) включает в себя, в частности, диффе-
ренциальную систему с отклоняющимся аргументом
u′′
k(t) =
m∑
i=1
n∑
j=1
pikj(t)uj(ωikj(t)) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4150 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:44:35Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. 2009-07-16T09:18:16Z 2009-07-16T09:18:16Z 2008 Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4150 517.988 For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі Article published earlier |
| spellingShingle | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Математика |
| title | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| title_full | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| title_fullStr | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| title_full_unstemmed | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| title_short | Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| title_sort | інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4150 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl ínterpolâcíinííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí AT hlobistovvv ínterpolâcíinííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí AT demkívíí ínterpolâcíinííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí |