Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах
Interpolation formulas of the Hermite and Newton types on a continual set of knots which depend on continuous scalar parameters are considered. These formulas for nonlinear operators in the linear topological space are constructed and investigated. They provide the correspondence of “input” and “out...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4154 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860060870879477760 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. |
| citation_txt | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Interpolation formulas of the Hermite and Newton types on a continual set of knots which depend on continuous scalar parameters are considered. These formulas for nonlinear operators in the linear topological space are constructed and investigated. They provide the correspondence of “input” and “output” continual data as distinct from the previously known interpolation formulas.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:04:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальных
уравнениях // Дифференц. уравнения. – 1985. – 21, № 9. – С. 1559–1569.
2. Горбачук М.Л., Горбачук В. I. Про наближення гладких векторiв замкненого оператора цiлими век-
торами експоненцiального типу // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 5. – С. 616–628.
3. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Операторный подход к вопросам аппроксимации // Алгебра и ана-
лиз. – 1997. – 9, № 6. – С. 90–108.
4. Горбачук М.Л. Ознаки повноти множини цiлих векторiв експоненцiального типу необмеженого опе-
ратора // Доп. НАН України. – 2001. – № 6. – С. 7–11.
5. Горбачук В.И., Князюк A. В. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравне-
ний // Успехи мат. наук. – 1989. – 44, № 3. – С. 55–91.
6. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. – Berlin; Heidelberg; New York;
Tokyo: Springer, 1995. – 664 p.
7. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces. – Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1976. – 262 p.
8. Dmytryshyn M., Lopushansky O. Vectors of exponential type of operators with discrete spectrum // Ма-
тематичнi студiї. Працi Львiв. мат. т-ва. – 1998. – 9, No 1. – С. 70–77.
9. Dmytryshyn M., Lopushansky O. Operator calculus on the exponential type vectors of the operator with
point spectrum // General Topology in Banach Spaces. – Huntigton, New York: Nova Sci. Publ., 2001. –
P. 137–145.
Надiйшло до редакцiї 02.04.2007Прикарпатський нацiональний унiверситет
iм. Василя Стефаника, Iвано-Франкiвськ
Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
УДК 517.988
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов,
I. I. Демкiв
Про континуальнi вузли iнтерполювання формул типу
Ньютона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах
Interpolation formulas of the Hermite and Newton types on a continual set of knots which
depend on continuous scalar parameters are considered. These formulas for nonlinear operators
in the linear topological space are constructed and investigated. They provide the correspondence
of “input” and “output” continual data as distinct from the previously known interpolation
formulas.
Побудовi та дослiдженню iнтерполяцiйних полiномiв в абстрактних лiнiйних просторах
присвячено ряд робiт [1–8]. Цi питання вивчалися також дослiдниками так званої “Kergin
interpolation” [9–12 та iн.]. Тут слiд вiдзначити, що iнтерполянт Кергiна та подальшi його
узагальнення з точнiстю до замiни змiнних iнтегрування фiгурували ще у статтi С.Ю. Уль-
ма, В.В. Полля [1] у 1969 р. У той час як робота P. Kergin [12] з’явилась тiльки у 1980 р.
Зауважимо, що у бiльшостi з вказаних робiт [1–3, 6–12] для побудови операторних iнтер-
полянтiв використовувалась континуальна iнформацiя про оператор, який iнтерполюється.
Однак цi iнтерполянти задовольняють умови iнтерполювання тiльки на скiнченнiй множинi
вузлiв, тобто має мiсце неузгодженiсть вхiдної та вихiдної iнформацiї, що не є природним.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
У данiй роботi на основi робiт [1, 2] для нелiнiйного оператора F : X → Y будуються та
дослiджуються iнтерполяцiйнi формули типу Ньютона i Ермiта з континуальними вузлами
xk(ξ1, ξ2, . . . ξk) = x0 +
k
∑
i=1
gξi
(xi − xi−1), k = 1, 2, . . . , n, (1)
де xi, i = 0, . . . , n, — фiксованi елементи з X; b > ξ1 > ξ2 > · · · > ξn > a, ξi — параметри,
що неперервно змiнюються на вiдрiзку [a, b]; X, Y — лiнiйнi топологiчнi простори; gξ —
лiнiйний оператор з X в X, який залежить вiд числового параметра ξ ∈ [a, b] i такий, що
ga = 0, gb = I. (2)
Тут 0 — нульовий оператор, I — тотожний оператор. Однопараметричну множину опера-
торiв gξ : X → X з властивостями (2) будемо надалi позначати через G. Те, що множина G
не є пустою, показує такий приклад: gξ = ξI. З приводу iнших прикладiв операторiв gξ ∈ G
див. [2, 3, 7]. При цьому iнтерполяцiйнi умови для формул типу Ньютона повиннi мати
вигляд
PN
n (xk(ξ1, ξ2, . . . ξk)) = F (xk(ξ1, ξ2, . . . ξk)), k = 1, 2, . . . , n, (3)
а для формул типу Ермiта
PE
2n+1(x2k) = FE
2n+1(x2k), (4)
PE′
2n+1(x2k)vk = FE′
2n+1(x2k)vk, ∀vk ∈ X, k = 1, 2, . . . , n, (5)
де PE
2n+1(x) — полiноми типу Ермiта або полiноми типу Ньютона з двократними вузлами
x1 = x0, x3 = x2, . . . , x2n+1 = x2n,
x2k = x2k(ξ2, ξ4, . . . , ξ2k) = x0 +
k
∑
i=1
gξ2i
(x2i − x2i−2). (6)
Нехай F — оператор, що диференцiйований за Гато у точцi zi(τ) за напрямком g′τi
(h),
задовольняє умову
F (zi(τ)) + λg′τi
(hi) − F (zi(τ + λ)) = o(λ), λ → 0, (7)
де zi(τ) = xi−1 + gτi
(hi), xi−1, hi ∈ X, i = 1, 2, . . . , n. Тодi буде мати мiсце формула [7]
F ′(zi(τ))g′τi
(h) =
d
dτ
F (zi(τ)), (8)
з використанням якої показано, що полiном
PN
n (x) = F (x0) +
n
∑
k=1
b
∫
a
τ1
∫
a
· · ·
τk−1
∫
a
F (k)
(
x0 +
k
∑
i=1
gτi
(xi − xi−1)
)
dgτk
(x − xk−1) ×
× dgτk−1
(x − xk−2) · · · dgτ1(x − x0) (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 23
буде полiномом типу Ньютона з вузлами x0, x1, . . . , xn, тобто задовольнятиме умови
PN
n (xi) = F (xi), i = 0, 1, . . . , n, (10)
якщо iнтеграли в (9) iснують.
Проте формула (9), взагалi кажучи, має iстотний недолiк. У нiй континуальна iнфор-
мацiя про оператор не узгоджена iз скiнченною кiлькiстю iнтерполяцiйних умов (10). Щоб
позбутися цього недолiку, треба розв’язати таку задачу.
Задача про континуальне iнтерполювання. Знайти умови, додатковi до (2), при
виконаннi яких мали б мiсце континуальнi iнтерполяцiйнi умови (3).
Очевидно, що якщо цi умови знайденi, то вони одночасно будуть забезпечувати iнтер-
поляцiйнi умови (4), (5) для вiдповiдного полiнома типу Ермiта.
Розв’язок задачi. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай оператор F n разiв диференцiйований за Гато, gτ ∈ G, iснують
iнтеграли, що входять у (9). Тодi для того щоб iнтерполяцiйний полiном (9) задовольняв
континуальнi iнтерполяцiйнi умови (3), достатньо, щоб оператор gτ мав такi власти-
востi:
gτgξ = gs, s = min(τ, ξ),
gτ = 0, τ 6 a, gτ = I, τ > b.
(11)
Доведення. Нехай оператор gτ задовольняє умови теореми. Запишемо залишковий
член формули (9) у виглядi
RN
n (x) =
b
∫
a
τ1
∫
a
· · ·
τn
∫
a
F (n+1)
(
x0 +
n
∑
i=1
gτi
(xi − xi−1) + gτn+1
(x − xn)
)
dgτn+1
(x − xn) ×
× dgτn
(x − xn−1) · · · dgτ1(x − x0).
Пiдставимо в останню формулу замiсть x континуальний вузол
xn(ξ1, ξ2, . . . ξn) = x0 +
n
∑
i=1
gξi
(xi − xi−1)
i врахуємо, згiдно з (11), що dgτi
(xn − xi−1) = 0, ξi 6 τi 6 τi−1. Тодi будемо мати
RN
n (xn) =
ξ1
∫
a
ξ2
∫
a
· · ·
ξn
∫
a
τn
∫
a
F (n+1)
(
x0 +
n
∑
i=1
gτi
(xi − xi−1) + gτn+1
(xn − xn)
)
dgτn+1
(xn − xn) ×
× dgτn
(xn − xn−1) · · · dgτ1(xn − x0).
З урахуванням того, що
τn+1 6 τn 6 ξn 6 ξn−1 6 · · · 6 ξ1 6 b,
маємо
gτn+1
gξi
= gτn+1
, i = 1, 2, . . . , n.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Отже,
dgτn+1
(xn − xn) = dgτn+1
(
x0 +
n
∑
i=1
gξi
(xi − xi−1) − xn
)
=
= dgτn+1
(
x0 +
n
∑
i=1
(xi − xi−1) − xn
)
= dgτn+1
(0) = 0,
що i доводить твердження теореми.
Далi на основi iнтерполяцiйного полiнома типу Ньютона PN
2n+1(x) з вузлами x0, x1, . . .,
x2n+1 ∈ X
PN
2n+1(x) =
2n+1
∑
k=1
b
∫
a
τ1
∫
a
· · ·
τk−1
∫
a
F (k)
(
x0 +
k
∑
i=1
gτi
(xi − xi−1)
)
dgτk
(x − xk−1) ×
× dgτk−1
(x − xk−2) · · · dgτ1(x − x0)
побудуємо полiном з двократними вузлами (полiном типу Ермiта) при x2i+1 = x2i, i =
= 0, 1, . . . , n:
PE
2n+1(x) = F (x0) +
b
∫
a
F ′(x0)dgτ1(x − x0) +
+
b
∫
a
τ1
∫
a
F ′′(x0 + gτ2(x2 − x0))dgτ2(x − x0)dgτ1(x − x0) +
+
b
∫
a
τ1
∫
a
τ2
∫
a
F ′′′(x0 + gτ2(x2 − x0))dgτ3(x − x2)dgτ2(x − x0+)dgτ1(x − x0) + · · · +
+
b
∫
a
τ1
∫
a
· · ·
τ2n
∫
a
F (2n+1)
(
x0 +
n
∑
i=1
gτ2i
(x2i − x2i−2)
)
dgτ2n+1
(x − x2n) ×
× dgτ2n
(x − x2n−2) · · · dgτ2(x − x0)dgτ1(x − x0) (12)
iз залишковим членом у виглядi
RE
2n+1(x) =
b
∫
a
τ1
∫
a
· · ·
τ2n+1
∫
a
F (2n+2)(x0 + gτ2(x2 − x0) + · · · + gτ2n
(x2n − x2n−2) +
+ gτ2n+2
(x − x2n))dgτ2n+2
(x − x2n)dgτ2n+1
(x − x2n) · · · dgτ2(x − x0)dgτ1(x − x0).
У континуальному вузлi
x2n = x2n(ξ2, ξ4, . . . , ξ2n) = x0 +
n
∑
i=1
gξ2i
(x2i − x2i−2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 25
при виконаннi (11) будемо мати
RE
2n+1(x2n) =
ξ1
∫
a
ξ2
∫
a
· · ·
ξ2n
∫
a
τ2n+1
∫
a
F (2n+2)(x0 + gτ2(x2 − x0) + · · · + gτ2n
(x2n − x2n−2) +
+ gτ2n+2
(x2n − x2n))dgτ2n+2
(x2n − x2n)dgτ2n+1
(x2n − x2n) · · · dgτ2(x2n − x0) ×
× dgτ1(x2n − x0) = 0, (13)
що випливає з мiркувань, аналогiчних тим, що були наведенi в доведеннi теореми 1. Таким
чином, буде справедлива
Теорема 2. Нехай оператор F 2n + 1 разiв диференцiйований за Гато, gτ ∈ G, iсну-
ють iнтеграли, що входять у (12). Тодi для того щоб iнтерполяцiйний полiном (12) за-
довольняв континуальнi iнтерполяцiйнi умови (4), (5), достатньо, щоб оператор gτ мав
властивостi (11).
Конкретизацiя операторiв gτ .
П р и к л ад 1 . Нехай X = Q[0, 1] — простiр кусково-неперервних функцiй. Вiзьмемо оператор gτ
у виглядi
gτ (x) = H(τ − t)x(t), x(t) ∈ Q[0, 1].
Неважко перевiрити, що вiн має властивiсть (11). Тодi якщо iснують iнтеграли Стiлтьєса у фор-
мулах (9), (12), то цi формули типу Ньютона та Ермiта задовольняють iнтерполяцiйнi умови на
континуальних вузлах (3) та (4), (5) вiдповiдно. Вiдзначимо, що цi формули принципово вiдрiзня-
ються вiд iнтерполяцiйних формул з робiт [5, 8].
П р и к л а д 2 . Нехай X = H — гiльбертiв простiр, A — самоспряжений оператор, a, b — верх-
ня та нижня границi його спектра. Тодi [14, 15] оператору A вiдповiдає сiмейство самоспряжених
операторiв gτ = H(τI−A), −∞ 6 τ 6 ∞, де H(z) — функцiя Хевiсайда, якi мають властивiсть (11) i
gτ =
b
∫
a
H(τ − λ)dEλ,
де Eλ — спектральна функцiя оператора A.
1. Ульм С.Ю., Поль В. В. О построении обобщенных разделенных разностей // Изв. АН ЭССР. – 1969. –
18, № 1. – С. 100–102.
2. Соболевский П.И. Интерполяция функционалов и некоторые приближенные формулы для интегра-
лов по гауссовой мере // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № 2. – С. 5–12.
3. Янович Л.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. – Минск:
Наука и техника, 1976. – 384 с.
4. Porter W.A. Synthesis of polynomic systems // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
5. Макаров В.Л., Хлобыстов В. В. Интерполяционная формула типа Ньютона для нелинейных функ-
ционалов // Докл. АН СССР. – 1989. – 307, № 3. – С. 534–537.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 406 с.
8. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Кашпур Е.Ф., Михальчук Б.Р. Интерполяционные полиномы типа
Ньютона с континуальными узлами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 779–790.
9. Michelli C.A., Milman P. A formula for Kergin interpolation in ℜ
n // J. Approxim. Theory. – 1980. –
29. – P. 294–296.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
10. Andersson M., Passare M. Complex Kergin interpolation // Ibid. – 1991. – 64. – P. 214–225.
11. Filipsson L. Kergin interpolation in Banach spaces // Ibid. – 2004. – 127. – P. 108–123.
12. Kergin P. A natural interpolation of C
k function // Ibid. – 1980. – 29. – P. 278–293.
13. Макаров В.Л., Хлобистов В.В., Демкiв I. I. Функцiональнi полiноми Ермiта в просторi Q[0, 1] //
Доп. НАН України. – 2007. – № 8. – С. 21–25.
14. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 534 с.
15. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. – Москва: Мир, 1979. – 588 с.
Надiйшло до редакцiї 14.05.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
УДК 531.36
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая
К теории практической устойчивости по трем мерам
We first formulate the general conditions of practical stability with respect to three measures.
We apply the matrix-valued Lyapunov function and the comparison principle.
1. Постановка задачи. Рассматривается система с конечным числом степеней свободы,
которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
dt
= f(t, x), x(t0) = x0, (1)
где t ∈ R+ = [0,+∞), x ∈ R
n, f ∈ C(R+ × R
n, Rn). Вектор-функция f предполагается до-
статочно гладкой, гарантирующей глобальное существование решений задачи (1). Заметим,
что здесь не предполагается, что f(t, 0) = 0 при всех t ∈ R+ и, следовательно, x = 0 не
является решением системы (1).
Далее рассматриваются следующие классы функций:
K = {a ∈ C([α,+∞), R+), a(r) строго возрастает и a(r) → +∞ при r → +∞};
CK = {σ ∈ C(R+ × [α,+∞), R+), σ(t, r) ∈ K для каждого t ∈ R+};
M =
{
ρ ∈ C(R+ × R
n, R+) inf
x∈Rn
ρ(t, x) = 0 при любом t ∈ R+
}
.
Следуя [1, 2], напомним определения практической устойчивости относительно двух мер.
Определение 1. Система (1) при заданных оценках величин (λ,A,B, T ) называется:
1) (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если при заданных 0 < λ < A из условия ρ0(t0, x0) <
< λ следует ρ(t, x(t)) < A для некоторого t0 ∈ R+ и любого решения x(t) = x(t; t0, x0)
системы (1);
2) равномерно (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если условия определения 1.1 выполня-
ются при всех t0 ∈ R+;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4154 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:04:07Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. 2009-07-16T09:26:59Z 2009-07-16T09:26:59Z 2007 Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. Демків // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4154 517.988 Interpolation formulas of the Hermite and Newton types on a continual set of knots which depend on continuous scalar parameters are considered. These formulas for nonlinear operators in the linear topological space are constructed and investigated. They provide the correspondence of “input” and “output” continual data as distinct from the previously known interpolation formulas. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах Article published earlier |
| spellingShingle | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Математика |
| title | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах |
| title_full | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах |
| title_fullStr | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах |
| title_full_unstemmed | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах |
| title_short | Про континуальні вузли інтерполювання формул типу Ньютона та Ерміта в лінійних топологічних просторах |
| title_sort | про континуальні вузли інтерполювання формул типу ньютона та ерміта в лінійних топологічних просторах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4154 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl prokontinualʹnívuzliínterpolûvannâformultipunʹûtonataermítavlíníinihtopologíčnihprostorah AT hlobistovvv prokontinualʹnívuzliínterpolûvannâformultipunʹûtonataermítavlíníinihtopologíčnihprostorah AT demkívíí prokontinualʹnívuzliínterpolûvannâformultipunʹûtonataermítavlíníinihtopologíčnihprostorah |