О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки
The dependence of a numerical solution of the problem on an interface crack between elastic
 dissimilar media on the frequency of a harmonic loading is studied. It is shown that the solution
 of the dynamic problem with decreasing frequency converges to that of the static one.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4157 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки / И.А. Гузь, А.В. Меньшиков, В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 50-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860239424073236480 |
|---|---|
| author | Гузь, И.А. Меньшиков, А.В. Меньшиков, В.А. |
| author_facet | Гузь, И.А. Меньшиков, А.В. Меньшиков, В.А. |
| citation_txt | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки / И.А. Гузь, А.В. Меньшиков, В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 50-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The dependence of a numerical solution of the problem on an interface crack between elastic
dissimilar media on the frequency of a harmonic loading is studied. It is shown that the solution
of the dynamic problem with decreasing frequency converges to that of the static one.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:28:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2008
И.А. Гузь, А.В. Меньшиков, В.А. Меньшиков
О предельном переходе в динамической задаче
для межфазной трещины при уменьшении частоты
нагрузки
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
The dependence of a numerical solution of the problem on an interface crack between elastic
dissimilar media on the frequency of a harmonic loading is studied. It is shown that the solution
of the dynamic problem with decreasing frequency converges to that of the static one.
Хорошо известно, что решения динамических задач теории упругости и механики деформи-
руемого твердого тела при устремлении частоты нагружения к нулю стремятся к соответст-
вующим статическим (зачастую — аналитическим) решениям, что позволяет использовать
последние для проверки истинности получаемых численных динамических решений [1, 2].
В работах [3, 4] динамическая задача о трещине на поверхности раздела упругих полупро-
странств была сведена к системе граничных интегральных уравнений с гиперсингулярными
ядрами. В работе [5] впервые получено численное решение задачи теории упругости для
круговой трещины в плоскости раздела материалов под действием гармонической нагрузки.
Настоящая работа посвящена исследованию сходимости численного решения динамиче-
ской задачи о стационарной плоской круговой трещине на границе раздела линейно-упру-
гих, однородных и изотропных материалов при уменьшении частоты нагрузки к решению
ее статического аналога.
Постановка задачи. Рассмотрим подверженное гармоническому нагружению состав-
ное бесконечное тело, состоящее из двух линейно-упругих однородных изотропных полу-
пространств, которые плотно сцеплены вдоль общей поверхности всюду, за исключением
круговой области. Последнюю будем ассоциировать с трещиной-расслоением, противопо-
ложные берега которой принадлежат различным материалам. Положим, что трещина яв-
ляется стационарной, т. е. ее фронт неподвижен.
Как было упомянуто выше, система граничных интегральных уравнений для рассматри-
ваемой задачи получена в работах [3, 4]. Интегральные уравнения содержат ядра четырех
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
типов, которые являются фундаментальными решениями теории упругости. В рассматри-
ваемом в настоящей работе случае гармонического нагружения и плоской межфазной по-
верхности эти интегральные ядра имеют следующий вид [4]:
Ujj(x, y, ω) =
1
8πµ(λ + 2µ)r
[
(λ + 3µ) +
(λ + µ)(yj − xj)
2
r2
]
+
+
1
4πµr
∞
∑
1
(−1)n
n!(n + 2)
[
ln
1
c2
2
c2
1
+ ln
2
(n + 1) +
(n − 1)(yj − xj)
2
r2
(
ln
1
c2
2
c2
1
− ln
2
)]
,
U12(x, y, ω) = U21(x, y, ω) =
(λ + µ)(y1 − x1)(y2 − x2)
8πµ(λ + 2µ)r3
+
+
(y1 − x1)(y2 − x2)
4πµr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
(
ln
1
c2
2
c2
1
− ln
2
)
,
U33(x, y, ω) =
(λ + 3µ)
8πµ(λ + 2µ)r
+
1
4πµr
∞
∑
1
(−1)n
n!(n + 2)
[
ln1
c2
2
c2
1
+ ln2 (n + 1)
]
,
Wj3(x, y, ω) =
µ(yj − xj)
4π(λ + 2µ)r3
−
(yj − xj)
4πr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
(
ln1
2c2
2
c2
1
+ ln2 n
)
,
W3j(x, y, ω) = −
µ(yj − xj)
4π(λ + 2µ)r3
−
(yj − xj)
4πµr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
[
ln
1
(λn + 2λ + 2µ)
c2
2
c2
1
− ln
2
2µ
]
,
Kj3(x, y, ω) = −
µ(yj − xj)
4π(λ + 2µ)r3
+
(yi − xi)
4πr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
(
ln
1
2c2
2
c2
1
+ ln
2
n
)
,
K3j(x, y, ω) =
µ(yj − xj)
4π(λ + 2µ)r3
+
(yj − xj)
4πµr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
[
ln
1
(λn + 2λ + 2µ)
c2
2
c2
1
− ln
2
2µ
]
,
Fjj(x, y, ω)=
µ2
2π(λ+2µ)r3
+
3λµ
4π(λ+2µ)
(yj−xj)
2
r5
−
µ
2πr3
∞
∑
1
(−1)n(n−1)
n!(n+2)
(
ln1
2c2
2
c2
1
+ ln2 n
)
−
−
µ
4π
(yj − xj)
2
r5
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)(n − 3)
n!(n + 2)
[
ln1
4c2
2
c2
1
+ ln2 (n − 2)
]
,
F12(x, y, ω) = F21(x, y, ω) =
3λµ
4π(λ + 2µ)
(y1 − x1)(y2 − x2)
r5
−
−
µ
4π
(y1 − x1)(y2 − x2)
r5
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)(n − 3)
n!(n + 2)
[
ln1
4c2
2
c2
1
+ ln2 (n − 2)
]
,
F33(x, y, ω) =
µ(λ + µ)
2π(λ + 2µ)r3
−
−
1
4πµr3
∞
∑
1
(−1)n(n − 1)
n!(n + 2)
{
ln1 [λ(λn + 4µ)(n + 2) + 12µ2]
c2
2
c2
1
+ ln2 4µ2(n − 1)
}
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 51
Рис. 1
U13(x, y, ω) = U23(x, y, ω) = U31(x, y, ω) = U32(x, y, ω) = 0,
W11(x, y, ω) = W12(x, y, ω) = W21(x, y, ω) = W22(x, y, ω) = W33(x, y, ω) = 0,
K11(x, y, ω) = K12(x, y, ω) = K21(x, y, ω) = K22(x, y, ω) = K33(x, y, ω) = 0,
F13(x, y, ω) = F23(x, y, ω) = F31(x, y, ω) = F32(x, y, ω) = 0.
Здесь λ и µ — коэффициенты Ламе; r — расстояние между точками x и y, l1 = iωr/c1,
l2 = iωr/c2; i — мнимая единица; ω — круговая частота; c1 и c2 — скорости продольных
и поперечных волн, j = 1, 2.
Отметим, что в представленных выражениях для интегральных ядер явно выделены
статические и динамические части, что существенно упрощает регуляризацию и численное
вычисление соответствующих расходящихся интегралов.
Расчетные исследования. На основе метода граничных элементов в работе [5] полу-
чено численное решение задачи теории упругости для составного тела сталь — алюминий
с круговой межфазной трещиной радиусом R под воздействием гармонической волны рас-
тяжения — сжатия, распространяющейся перпендикулярно к плоскости раздела сред.
Исследуем поведение полученного динамического решения в зависимости от величины
приведенного волнового числа k2R на интервале [0, 1] при стремлении k2R к нулю (здесь
k2 = ω/c2 — волновое число; c2 — скорость поперечных волн в стали). При этом все прочие
параметры задачи и сетки граничных элементов остаются неизменными. В частности, для
стали: модуль упругости E = 207 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0,288, плотность ρ =
= 7860 кг/м3; для алюминия: модуль упругости E = 70 ГПа, коэффициент Пуассона ν =
= 0,347, плотность ρ = 2700 кг/м3.
На рис. 1, 2 представлены распределения максимальных на периоде нагружения нор-
мальных и касательных перемещений одного из берегов трещины вдоль диаметра трещины
при уменьшении параметра k2R от 1,0 до 0,001 в сравнении с решением статической зада-
чи, которое получено нами численно при k2R = 0. Звездочки — решение при k2R = 1,0,
треугольники — при k2R = 0,75, крестики — при k2R = 0,5, кружки — при k2R = 0,001,
сплошная линия — решение статической задачи.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Рис. 2
Рис. 3
На рисунках 3 и 4 представлены зависимости максимальных на периоде нагружения нор-
мальных и тангенциальных усилий на сцепленных поверхностях от приведенного волнового
числа на разном удалении от фронта трещины, нормированных соответствующим аналити-
ческим статическим решением, полученным В.И. Моссаковским и М.Т. Рыбкой в работе [6].
Здесь использованы следующие обозначения: треугольники — усилия при относительном
удалении от вершины трещины вдоль нормали к ее фронту на расстояние x/R = 0,375,
крестики — на x/R = 0,1875, кружки — на x/R = 0,0625.
Графики, соответствующие оставшимся компонентам решения задачи, не приводятся
из-за ограниченности объема настоящей работы, однако характер их распределения ана-
логичен приведенным.
Таким образом, анализ результатов расчетов показывает, что решение рассматриваемой
динамической задачи теории упругости для составного тела со стационарной дискообразной
трещиной на границе раздела сред при частоте нагружения, стремящейся к нулю, стремится
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 53
Рис. 4
к решению соответствующей статической задачи. Полученные результаты свидетельствуют
о применимости использованного в настоящей работе метода при решении динамических
задач теории упругости для составных тел с трещинами.
1. Гузь А.Н., Зозуля В. В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках: Неклассичес-
кие проблемы механики разрушения: В 4т. / Под ред. А.Н. Гузя – Т. 4. Кн. 2. – Киев: Наук. думка,
1993. – 236 с.
2. Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. С. Атлури. – Москва: Мир, 1990. – 392 с.
3. Меньшиков В.А., Меньшиков А. В. Гранично-контактные интегральные уравнения динамической
задачи теории упругости о трещине на поверхности раздела полупространств // Доп. НАН України. –
2006. – № 6. – С. 51–56.
4. Меньшиков В.А. Сингулярные ядра интегральных уравнений в задаче о трещине на границе раздела
полупространств при гармоническом нагружении // Там само. – № 11. – С. 58–62.
5. Меньшиков В.А. Круговая трещина в плоскости раздела упругих материалов под действием нор-
мальной гармонической нагрузки // Теорет. и прикл. механика. – 2006. – Вып. 42. – С. 166–170.
6. Моссаковский В.И., Рыбка М.Т. Обобщение критерия Гриффитса–Снеддона на случай неоднородно-
го тела // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28. – С. 1061–1069.
Поступило в редакцию 11.09.2007Центр микро- и наномеханики “CEMINACS”,
Абердинский университет, Шотландия
Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4157 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:28:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гузь, И.А. Меньшиков, А.В. Меньшиков, В.А. 2009-07-16T09:29:04Z 2009-07-16T09:29:04Z 2008 О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки / И.А. Гузь, А.В. Меньшиков, В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 50-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4157 539.3 The dependence of a numerical solution of the problem on an interface crack between elastic
 dissimilar media on the frequency of a harmonic loading is studied. It is shown that the solution
 of the dynamic problem with decreasing frequency converges to that of the static one. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки Article published earlier |
| spellingShingle | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки Гузь, И.А. Меньшиков, А.В. Меньшиков, В.А. Механіка |
| title | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| title_full | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| title_fullStr | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| title_full_unstemmed | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| title_short | О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| title_sort | о предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4157 |
| work_keys_str_mv | AT guzʹia opredelʹnomperehodevdinamičeskoizadačedlâmežfaznoitreŝinypriumenʹšeniičastotynagruzki AT menʹšikovav opredelʹnomperehodevdinamičeskoizadačedlâmežfaznoitreŝinypriumenʹšeniičastotynagruzki AT menʹšikovva opredelʹnomperehodevdinamičeskoizadačedlâmežfaznoitreŝinypriumenʹšeniičastotynagruzki |