К теории практической устойчивости по трем мерам
We first formulate the general conditions of practical stability with respect to three measures. We apply the matrix-valued Lyapunov function and the comparison principle.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4158 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К теории практической устойчивости по трем мерам / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859792020850081792 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. |
| citation_txt | К теории практической устойчивости по трем мерам / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We first formulate the general conditions of practical stability with respect to three measures. We apply the matrix-valued Lyapunov function and the comparison principle.
|
| first_indexed | 2025-12-02T12:10:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
10. Andersson M., Passare M. Complex Kergin interpolation // Ibid. – 1991. – 64. – P. 214–225.
11. Filipsson L. Kergin interpolation in Banach spaces // Ibid. – 2004. – 127. – P. 108–123.
12. Kergin P. A natural interpolation of C
k function // Ibid. – 1980. – 29. – P. 278–293.
13. Макаров В.Л., Хлобистов В.В., Демкiв I. I. Функцiональнi полiноми Ермiта в просторi Q[0, 1] //
Доп. НАН України. – 2007. – № 8. – С. 21–25.
14. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 534 с.
15. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. – Москва: Мир, 1979. – 588 с.
Надiйшло до редакцiї 14.05.2007Iнститут математики НАН України, Київ
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
УДК 531.36
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая
К теории практической устойчивости по трем мерам
We first formulate the general conditions of practical stability with respect to three measures.
We apply the matrix-valued Lyapunov function and the comparison principle.
1. Постановка задачи. Рассматривается система с конечным числом степеней свободы,
которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
dt
= f(t, x), x(t0) = x0, (1)
где t ∈ R+ = [0,+∞), x ∈ R
n, f ∈ C(R+ × R
n, Rn). Вектор-функция f предполагается до-
статочно гладкой, гарантирующей глобальное существование решений задачи (1). Заметим,
что здесь не предполагается, что f(t, 0) = 0 при всех t ∈ R+ и, следовательно, x = 0 не
является решением системы (1).
Далее рассматриваются следующие классы функций:
K = {a ∈ C([α,+∞), R+), a(r) строго возрастает и a(r) → +∞ при r → +∞};
CK = {σ ∈ C(R+ × [α,+∞), R+), σ(t, r) ∈ K для каждого t ∈ R+};
M =
{
ρ ∈ C(R+ × R
n, R+) inf
x∈Rn
ρ(t, x) = 0 при любом t ∈ R+
}
.
Следуя [1, 2], напомним определения практической устойчивости относительно двух мер.
Определение 1. Система (1) при заданных оценках величин (λ,A,B, T ) называется:
1) (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если при заданных 0 < λ < A из условия ρ0(t0, x0) <
< λ следует ρ(t, x(t)) < A для некоторого t0 ∈ R+ и любого решения x(t) = x(t; t0, x0)
системы (1);
2) равномерно (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если условия определения 1.1 выполня-
ются при всех t0 ∈ R+;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 27
3) (ρ0, ρ)-практически квазиустойчивой, если для заданных (λ,B, T ) > 0 и некоторого
t0 ∈ R+ из условия ρ0(t0, x0) < λ следует ρ(t, x(t)) < B (B < A) при всех t > t0 + T ;
4) равномерно (ρ0, ρ)-практически квазиустойчивой, если условия определения 1.3 вы-
полняются при любом t0 ∈ R+;
5) строго (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если все условия определений 1.1 и 1.3 выпол-
няются одновременно;
6) строго равномерно (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если все условия определений 1.2
и 1.4 выполняются одновременно;
7) (ρ0, ρ)-эквипритягивающей в целом, если для любых ε > 0, α > 0 и t0 ∈ R+ существует
T = T (t0, α, ε) > 0 такое, что из условия ρ0(t0, x0) < α следует, что ρ(t, x(t)) < ε при всех
t > t0 + T ;
8) равномерно (ρ0, ρ)-притягивающей в целом, если в определении 1.7 величина T не
зависит от t0 ∈ R+;
9) асимптотически (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если при α = λ и ε = A все условия
определений 1.1 и 1.7 выполняются одновременно;
10) асимптотически равномерно (ρ0, ρ)-практически устойчивой, если при α = λ все
условия определений 1.2, 1.8 выполняются одновременно.
Замечание 1. При конкретном выборе мер ρ0 и ρ, применяемых в определениях 1.1–1.10,
можно получить многие известные понятия практической устойчивости. Например, при
ρ0(t, x) = ρ(t, x) = ‖x‖ имеем обычные определения практической устойчивости [1]; при
ρ0(t, x) = ‖x‖ и ρ(t, x) = ‖x‖s, 1 6 s < n, получаем определения практической устойчивости
относительно части переменных [1].
Определение 2. Систему (1) будем называть практически полиустойчивой, если ее
решения имеют одновременно свойства, описанные в одном из определений 1.1–1.10 отно-
сительно мер (ρ0, ρ1) и (ρ0, ρ2).
Целью данной работы является получение условий практической полиустойчивости дви-
жения.
2. Матричнозначная функция Ляпунова и принцип сравнения. Для системы (1)
построим двухиндексную систему функций [3]
U(t, x) = [uij(t, x)], i, j = 1, 2, 3, (2)
где uii ∈ C(R+ × R
n, R+) и uij ∈ C(R+ × R
n, R) при i 6= j. На основе функции (2) построим
векторную функцию
L(t, x, θ) = AU(t, x)θ, θ ∈ R
3
+, (3)
где A — 3×3 постоянная матрица и U : R+×R
n → R
3×3. Вектор-функция (3) вместе с правой
верхней производной Дини D+L(t, x, θ) вдоль решений системы (1) позволяет установить
принцип сравнения [2, 3] в такой формулировке.
Теоремa 1. Пусть L(t, x, θ) ∈ C(R+×R
n×R
3
+, R3) и L(t, x, θ) локально липшицева по x
при всех t ∈ R+. Предположим, что существует вектор-функция g ∈ C(R+ × R
3, R3),
g(t, u) квазимонотонная и неубывающая по u такая, что
D+L(t, x, θ) 6 g(t, L(t, x, θ)), (t, x) ∈ R+ × R
n. (4)
Пусть rM (t) = rM (t; t0, u0) максимальное решение системы
du
dt
= g(t, u), u(t0) = u0, (5)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
существует на интервале J = [t0, t0 + β), 0 6 β < +∞. Тогда вдоль любого решения x(t)
системы (1), существующего на J , выполняется оценка
L(t, x(t), θ) 6 rM (t) при всех t ∈ J, (6)
как только
L(t0, x0, θ) 6 u0. (7)
Оценка (6) выполняется в R
3 покомпонентно.
Доказательство оценки (6) имеется во многих работах (см. [3] и приведенную там би-
блиогр.).
3. Условия практической устойчивости относительно трех мер. Прежде чем
перейти к формулировке основного результата, сделаем некоторые предположения отно-
сительно компонент L0(t, x, θ), L1(t, x, θ), L2(t, x, θ) векторной функции (3) и мер ρ0, ρ1,
ρ2 ∈ M.
A1. Для заданных мер ρ0, ρ1, ρ2 ∈ M существуют функции сравнения ϕ1, ϕ2 ∈ CK-клас-
су такие, что ρ1(t, x(t)) 6 ϕ1(t, ρ0(t, x(t))), ρ2(t, x(t)) 6 ϕ2(t, ρ0(t, x(t))) при всех t > t0
и ρ0(t, x(t)) < λ.
A2. Компонента L0(t, x, θ) ∈ C(R+ × R
n × R
3
+, R+), L0(t, x, θ) локально липшицева по x
и существуют функции a0(t, x) ∈ CK и g0(t, u) ∈ C(R+ × R+, R) такие, что:
(a) L0(t, x, θ) 6 a0(t, ρ0(t, x)) при всех (t, x) ∈ R+ × S(ρ0, λ);
(б) D+L0(t, x, θ)|(1) 6 g0(t, L0(t, x, θ)) на R+ × R
n.
A3. Компонента L1(t, x, θ) ∈ C(R+×Sc(ρ1, λ)
⋂
S(ρ1, A), R+), L1(t, x, θ) локально липши-
цева по x и существуют функции a1, b1 ∈ K-классу и g1(t, w) ∈ C(R+ × R+, R) такие, что:
(a) b1(ρ1(t, x)) 6 L1(t, x, θ) 6 a1(ρ1(t, x)) + L0(t, x, θ);
(б) D+(L1(t, x, θ) + L0(t, x, θ))|(1) 6 g1(t, L1(t, x, θ) + L0(t, x, θ)) на Sc(ρ1, A)
⋂
Sc(ρ1, λ),
где Sc(ρ1, A) и Sc(ρ1, λ) — дополнения множеств S(ρ1, A) и S(ρ1, λ) соответственно.
A4. Компонента L2(t, x, θ) ∈ C(R+ ×S(ρ2, A)
⋂
Sc(ρ2, a(λ))
⋂
S(ρ1, a(λ)), R+), 0 < a(λ) <
< A, L2(t, x, θ) локально липшицева по x и существуют функции a2, b2 ∈ K-классу
и g2(t, v) ∈ C(R+ × R+, R) такие, что:
(a) b2(ρ2(t, x)) 6 L2(t, x, θ) 6 a2(ρ1(t, x)+ρ2(t, x))+L0(t, x, θ) на S(ρ2, A)
⋂
Sc(ρ2, a(λ))
⋂
⋂
S(ρ1, a(λ));
(б) D+(L2(t, x, θ) + L0(t, x, θ))|(1) 6 g2(t, L2(t, x, θ) + L0(t, x, θ)) на множестве S(ρ2, A)
⋂
⋂
Sc(ρ2, a(λ))
⋂
S(ρ1, a(λ)).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что для системы уравнений (1) построена 3 × 3 матрич-
нозначная функция (2) и:
1) выполняются условия А1–А4;
2) при заданных оценках величин (λ,A) > 0, 0 < λ < A, выполняются неравенства:
a) a1(A) + 3a0(t0, λ) < b1(A);
б) a2(2A) + 3a0(t0, λ) < b2(A);
в) ϕ1(t0, λ) < A и ϕ2(t0, λ) < A для некоторого t0 ∈ R+;
3) нулевое решение уравнения
du
dt
= g0(t, u), u(t0,= u0, ) (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 29
практически устойчиво и уравнений
dw
dt
= g1(t, w), w(t0) = w0, (9)
dv
dt
= g2(t, v), v(t0) = v0 (10)
равномерно практически устойчиво.
Тогда система (1) практически устойчива относительно мер (ρ0, ρ1) и (ρ0, ρ2).
Доказательство. Утверждение теоремы 2 доказывается стандартным для метода срав-
нения подходом (см. [1, 4]) с использованием теоремы 1 для компонент L0, L1, L2 век-
тор-функции (3). Покажем вначале, что система (1) (ρ0, ρ1)-практически устойчива.
Из предположения А2 (б) и условия 3 теоремы 2 следует, что нулевое решение уравне-
ния (8) практически устойчиво относительно величин (a0(t0, λ), 3/2a0(t0, λ)). Поэтому для
любого решения u(t) уравнения (8) имеет место оценка
u(t; t0, u0) <
3
2
a0(t0, λ) при всех t > t0 (11)
для некоторого t0 ∈ R+, как только u0 < a0(t0, λ). Пусть решение x(t) = x(t; t0, x0) систе-
мы (1) выходит из области ρ0(t0, x0) < λ. Из предположения A1 и условия 2, в теоремы 2
следует, что ρ1(t0, x0) 6 ϕ1(t0, λ) ≡ β1 < A. Обозначим λ∗ = max(β1, λ). Если система (2)
не является (ρ0, ρ1)-практически устойчивой, тогда найдутся значения t1 и t2 такие, что
t2 > t1 > t0, при которых
ρ1(t1, x(t1)) = λ∗, ρ1(t2, x(t2)) = A,
λ∗
6 ρ1(t, x(t)) 6 A при t ∈ [t1, t2]
(12)
при любых (t0, x0), для которых ρ0(t0, x0) 6 λ. Из теоремы 1 при выполнении условия A2
для компоненты L0(t, x, θ) следует оценка
L0(t, x(t), θ) 6 r0M (t) при всех t ∈ [t0, t1], (13)
где r0M (t) является максимальным решением уравнения (8) с начальным условием u0 <
< a0(t0, λ). Из оценок (11) и (13) следует, что
L0(t, x(t)θ) 6
3
2
a0(t0, λ) при всех t ∈ [t0, t1]. (14)
Так как решение уравнения (9) равномерно практически устойчиво относительно величин
(a1(A) + 3a0(t0, λ), b1(a)), то из условия 0 < w0 < a1(A) + 3a0(t0, λ) следует, что
w(t; t0, w0) < b1(A) при всех t > t0 (15)
при любом t0 ∈ R+. Согласно предположениям A2(a) и A3(a) имеем
L1(t1, x(t1), θ) + L0(t1, x(t1), θ) 6 a1(ρ1(t1, x(t1))) + 2L0(t1, x(t1), θ) 6
6 a1(λ
∗) + 2
(
3
2
a0(t0, λ)
)
6 a1(A) + 3a0(t0, λ). (16)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Из предположения А3(б) и уравнения (9) с начальным условием w0 < a1(A) + 3a0(t0, λ)
получаем оценку
L1(t, , x(t)θ) + L0(t, x(t), θ) 6 r1M (t), (17)
где r1M (t) — максимальное решение уравнения (9). Из неравенств (15), (17) и предположе-
ний А2(а), А3(а) для момента t = t2 имеем
b1(A) 6 L1(t2, x(t2), θ) + L0(t2, x(t2), θ) < b1(A),
что является противоречием. Этим доказана (ρ0, ρ1)–практическая устойчивость систе-
мы (1).
Далее докажем, что система (1) (ρ0, ρ2)-практически устойчива. Как и выше, предполо-
жим, что ρ0(t0, x0) < λ, и согласно предположению А1 имеем ρ2(t0, x0) 6 ϕ2(t0, λ) ≡ β2 < A.
Выберем величину α(λ) так, что max(λ, β2) < α(λ) < A. Так как система (1)
(ρ0, ρ1)-практически устойчива, то для заданных (λ, α(λ)) имеем ρ1(t, x(t)) < α(λ) при
t > t0, как только ρ0(t0, x0) < λ. Пусть система (1) не является (ρ0, ρ2)-практически устой-
чивой. В этом случае найдутся значения t2 и t1 такие, что t2 > t1 > t0 и
ρ2(t1, x(t1)) = α(λ), ρ2(t2, x(t2)) = A,
α(λ) 6 ρ2(t, x(t)) 6 A при t ∈ [t1, t2],
(18)
как только ρ0(t0, x0) 6 λ.
Так как нулевое решение уравнения (10) равномерно практически устойчиво относи-
тельно величин (a2(2α(λ)) + 3a0(t0, λ), b2(A)), то для любого решения v(t) уравнения (10)
верна оценка
v(t; t0, v0) < b2(A) при всех t > t0, (19)
как только v0 < a2(2α(λ))+ 3a0(t0, λ) при любом t0 ∈ R+. Так как L0(t, x(t)θ) 6 3/2a0(t0, λ)
на [t0, t1], то согласно предположению А4(а) имеем
L2(t1, x(t1), θ) + L0(t1, x(t1), θ) 6 a2(2α(λ)) + 3a0(t0, λ). (20)
Из теоремы 1 и предположения А4(б) имеем оценку
L2(t, x(t), θ) + L0(t, x(t), θ) 6 r2M (t) при t ∈ [t1, t2], (21)
где r2M (t) — максимальное решение уравнения (10). Согласно условию 2, б теоремы 2
и неравенствам (19), (20) для t = t2 имеем
b2(A) 6 L2(t2, x(t2), θ) + L0(t2, x(t2), θ) < b2(A),
что является противоречием.
Этим доказано, что система (1) (ρ0, ρ2)-практически устойчива. Следовательно, согласно
определению 2 система (1) является практически полиустойчивой.
Таким образом, при некоторой модификации предположений А1–А4 нетрудно получить
условия других типов практической устойчивости относительно трех мер. В работе [4] для
исследования устойчивости относительно двух мер применяются возмущенные функции
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 31
Ляпунова [2]. В статье [5] описано новое направление в методе матричных функций Ляпу-
нова, суть которого состоит в том, что отдельные компоненты векторной функции (3) сопро-
вождают соответствующие динамические свойства решений исследуемой системы. Упомя-
нутый подход применен здесь для исследования задачи о практической полиустойчивости
движения.
1. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical stability of nonlinear systems. – Singapore: World
Scientific, 1990. – 207 p.
2. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems. – New York: Marcel
Dekker, 1989. – 315 p.
3. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov’s matrix function method with applications. – New York: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
4. Stutson D., Vatsala A. S. Generalized practical stability results by perturbing Lyapunov functions //
J. Appl. Math. Stoch. Anal. – 1996. – 9. – P. 69–75.
5. Мартынюк А.А. Новое направление в методе матричных функций Ляпунова // Докл. АН СССР. –
1991. – 319. – С. 554–557.
Поступило в редакцию 20.12.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.5
© 2007
В.В. Савчук
Наближення деяких класiв голоморфних функцiй
середнiми Фейєра
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О. I. Степанцем )
For the classes L
α
p and D
β
p of functions f holomorphic in a unit disk for which, respectively,
sup
06r<1
(1 − r2)1−αMp(f
′)(r) 6 1 and 2
1
∫
0
Mp
p (f ′)(r)(1 − r2)βrdr 6 1, we determine the exact
estimates of upper bounds of deviations of the Fejer means of Taylor series in the Hardy
spaces Hp. We establish a relation between the classes L
α
p and D
β
p .
Нехай D := {z ∈ C : |z| < 1}, T := {z ∈ C : |z| = 1} i Hol(D) — множина усiх функцiй,
голоморфних у крузi D. Для функцiї f ∈ Hol(D) i числа r, 0 6 r < 1, покладемо
Mp(f)(r) :=
(
1
2π
2π
∫
0
|f(reit)|pdt
)1/p
, 0 < p < ∞,
i
M∞(f)(r) := max
|z|=r
|f(z)|.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4158 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T12:10:07Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. 2009-07-16T09:30:15Z 2009-07-16T09:30:15Z 2007 К теории практической устойчивости по трем мерам / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4158 531.36 We first formulate the general conditions of practical stability with respect to three measures. We apply the matrix-valued Lyapunov function and the comparison principle. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика К теории практической устойчивости по трем мерам Article published earlier |
| spellingShingle | К теории практической устойчивости по трем мерам Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Математика |
| title | К теории практической устойчивости по трем мерам |
| title_full | К теории практической устойчивости по трем мерам |
| title_fullStr | К теории практической устойчивости по трем мерам |
| title_full_unstemmed | К теории практической устойчивости по трем мерам |
| title_short | К теории практической устойчивости по трем мерам |
| title_sort | к теории практической устойчивости по трем мерам |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4158 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa kteoriipraktičeskoiustoičivostipotremmeram AT černeckaâln kteoriipraktičeskoiustoičivostipotremmeram |