Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку
The theorem about equivalence in Lyapunov’s sense of two systems of differential equations of the second order which is an analog of the well-known theorem of M. P. Erugin about the equivalence of systems of differential equations of the first order is proved. Using this theorem, several statements...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4160 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку / В.М. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов// Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 21-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859839720860680192 |
|---|---|
| author | Кошляков, В.М. Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. |
| author_facet | Кошляков, В.М. Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. |
| citation_txt | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку / В.М. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов// Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 21-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The theorem about equivalence in Lyapunov’s sense of two systems of differential equations of the second order which is an analog of the well-known theorem of M. P. Erugin about the equivalence of systems of differential equations of the first order is proved. Using this theorem, several statements about structural transformations of systems of differential equations of the
second order which facilitate the research of stability of the trivial solution are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:36:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.4:531.36
© 2008
Академiк НАН України В.М. Кошляков, член-кореспондент НАН
України В.Л. Макаров, Д. В. Драгунов
Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних
рiвнянь другого порядку
The theorem about equivalence in Lyapunov’s sense of two systems of differential equations
of the second order which is an analog of the well-known theorem of M. P. Erugin about the
equivalence of systems of differential equations of the first order is proved. Using this theorem,
several statements about structural transformations of systems of differential equations of the
second order which facilitate the research of stability of the trivial solution are obtained.
Постановка задачi. Розглядається диференцiальне рiвняння вигляду
Jẍ(t) + (D + G)ẋ(t) + (P + Π)x(t) = 0, (1)
де x = col[x1, x2, . . . , xm] — шуканий вектор; J = JT > 0 (верхнiй iндекс T означає опера-
цiю транспонування) — матриця, що характеризує iнерцiйнi властивостi системи; D = DT ,
G = −GT , Π = ΠT , P = −P T — матрицi вiдповiдно дисипативних, гiроскопiчних, потен-
цiйних и неконсервативних позицiйних сил. Усi матрицi вважаються сталими, дiйсними,
розмiрностi m × m.
Застосування структурного перетворення
J
1
2 x(t) = L(t)ξ(t) (2)
з матрицею Ляпунова L(t), L(0) = C, дозволяє, при дотриманнi деяких умов, прийти до
автономного рiвняння
ξ̈(t) + V1ξ̇(t) + W1ξ(t) = 0, (3)
яке не мiстить гiроскопiчних i/або неконсервативних позицiйних сил. Завдяки спецiальнiй
(симетричнiй) структурi рiвняння (3) питання про стiйкiсть (нестiйкiсть) його нульового
розв’язку в рядi випадкiв може бути бiльш зручним порiвняно з рiвнянням (1). Тут i далi,
говорячи, що рiвняння (3) автономне, ми також будемо мати на увазi, що елементи матриць
V1, W1 дiйснi.
Означення. Матричнi диференцiальнi рiвняння другого порядку (1) i (3) називаються
еквiвалентними в сенсi Ляпунова тодi i лише тодi за означенням, коли вони пов’язанi пе-
ретворенням Ляпунова (2).
На можливiсть використання структурного перетворення (2) при дослiдженнi стiйко-
стi нульового розв’язку системи (1) вказувалось ще в роботах [1, 2]. Однак у результатах,
одержаних в роботi [2], була допущена iстотна помилка, пов’язана з неправильним вико-
ристанням псевдооберненої матрицi Мурра–Пенроуза.
Пiзнiше в роботах [3, 4] були одержанi необхiднi i достатнi умови в термiнах матриць
J , D, G, Π, P того, щоб рiвняння (1) за допомогою перетворення Ляпунова (2) могло бу-
ти зведене до автономного вигляду (3) з W1 = W T
1 . Однак в даних роботах вважалося,
що
G = HĜ,
dL(t)
dH
= 0, ∀t > 0, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 21
де H — деякий додатний скалярний параметр, а також приймалося, що D > 0, det(G) 6=
6= 0.
Параметр H може в деяких випадках входити в структуру матрицi потенцiйних сил,
так буде, наприклад, якщо рiвняння (1) описує збурений рух гiроскопiчних систем, вста-
новлених на платформi, що обертається з кутовою швидкiстю ω вiдносно вертикалi мiс-
цевостi. З припущеннями D > 0, det(G) 6= 0, (4), а також з додатковим припущенням, що
Π = Π(0) +HΠ(H), де Π(0), Π(H) — матрицi, не залежнi вiд параметра H, необхiднi i достатнi
умови звiдностi системи (1) до автономного вигляду (3) з W1 = W T
1 одержанi в роботi [5].
Пiзнiше в роботi [6] були одержанi достатнi умови звiдностi рiвняння (1) до автономного
вигляду (3) з V = V T (виключення гiроскопiчних сил) без яких-небудь припущень про
L(t) типу (4). При цьому доведено необхiднiсть одержаних умов у випадку, коли матриця
Z = 4B − A2 має простий спектр.
У данiй роботi ставиться така загальна задача: без яких-небудь додаткових припущень,
знайти необхiднi i достатнi умови в термiнах матриць D, G, Π, P , J , якi повинно задоволь-
няти перетворення Ляпунова (2), щоб рiвняння (1) зводилося до автономного вигляду (3)
i при цьому мало вiдповiднi симетричнi властивостi.
Розв’язок сформульованої задачi складається з двох етапiв:
1. Знаходження в термiнах матриць D, G, Π, P , J множини L матриць Ляпунова L(t),
для яких зведене рiвняння (3) є автономним.
2. Видiлення з множини L такої матрицi L(t), яка забезпечила б симетричнiсть матрич-
них коефiцiєнтiв (3).
У роботi доведено аналог теореми Єругiна про необхiднi i достатнi умови еквiвалентностi
в сенсi Ляпунова систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку з постiйними
коефiцiєнтами. Теорема 2 дає аналогiчнi умови для систем другого порядку. Цей резуль-
тат i надає вiдповiднi необхiднi i достатнi умови з п. 1. Також викладено твердження, що
забезпечують виконання п. 2.
Аналог теореми Єругiна. Нехай A, B, C — довiльнi m×m-матрицi над полем дiйсних
чисел R. Через [A,B] позначимо комутатор матриць A, B, тобто [A,B] = AB −BA, а через
{ABC} — вираз [[A,B], C]. Через AR позначимо дiйсну частину спектра матрицi A (див.
означення в [7, с. 401]), AI = A − AR.
Справедливими є такi твердження.
Лема 1. Нехай A, V , C, Z — фiксованi постiйнi m × m-матрицi, такi що
L(t) = exp(−At)C exp(V t) —
матриця Ляпунова i має мiсце тотожнiсть
[Z,L(t)C−1] = 0, t > 0,
тодi iснує така невироджена m × m-матриця Č, що
VR = Č−1ARČ,
C−1ZC = Č−1ZČ,
Ľ(t) = exp(−At)Č exp(V t), —
матриця Ляпунова i має мiсце тотожнiсть
[Z, Ľ(t)Č−1] = 0, t > 0.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Позначимо через Xn множину всiх розв’язкiв системи матричних рiвнянь
{ZAkX} = 0, k = 0, 1, . . . , n,
де Z, A — заданi m × m-матрицi, X — шукана m × m-матриця.
Теорема 1. Iснує таке невiд’ємне цiле n < m2, що мають мiсце рiвностi множин
Xn = Xk, k = n + 1, n + 2, . . . .
Теорема 2 (аналог теореми Єругiна). Нехай A, B, V , W — сталi m × m-матрицi.
Рiвняння
ẍ(t) + Aẋ(t) + Bx(t) = 0, (5)
ξ̈(t) + V ξ̇(t) + Wξ(t) = 0 (6)
еквiвалентнi в сенсi Ляпунова тодi i лише тодi, коли виконанi умови
VR = C−1ARC, (7)
4W = V 2 + C−1(4B − A2)C, (8)
{(4B − A2)An(CV C−1 − A)} = 0, n = 0, 1, 2, . . . ,m2 − 1, (9)
де C — деяка невироджена матриця.
Доведення. Наведемо iдею доведення. Достатнiсть. Нехай виконанi умови (7)–(9).
Зробимо в рiвняннi (5) замiну
x(t) = L(t)ξ(t), (10)
де
L(2t) = exp(−At)C exp(V t), (11)
одержимо
ξ̈(t) + L−1(t)(2L̇(t) + AL(t))ξ̇(t) + L−1(t)(L̈(t) + AL̇(t) + BL(t))ξ(t) = 0. (12)
Прирiвнюючи в рiвняннях (12) i (6) матричнi коефiцiєнти при ξ̇(t), одержуємо тотож-
нiсть, а при ξ(t) — приходимо до необхiдної тотожностi
[4B − A2, L(t)C−1] = 0, ∀t > 0, (13)
яка випливає з теореми 1 i (9).
Необхiднiсть. Нехай рiвняння (5) i (6) еквiвалентнi в сенсi Ляпунова. Тодi iснує таке
перетворення Ляпунова (10), в результатi якого рiвняння (5) переходить у рiвняння (6), що
збiгається з (12). А отже, мають мiсце спiввiдношення
L−1(t)(2L̇(t) + AL(t)) = V, (14)
L−1(t)(L̈(t) + AL̇(t) + BL(t)) = W. (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 23
Загальний розв’язок рiвняння (14) вiдносно L(t) має вигляд
L(2t) = exp(−At)C exp(V t), (16)
де C — деяка неособлива матриця. Тодi з (15), покладаючи t = 0, одержуємо умову (8), а
з врахуванням останньої — комутацiйну тотожнiсть (13).
Оскiльки виконанi умови леми 1, можна одразу вважати, що матриця C така, що разом
з тотожнiстю (13) i умовою (8) виконується умова (7), i при цьому (16) — матриця Ляпунова.
З тотожностi (13) випливає виконання умов (9). На цьому доведення теореми завершене.
Зауваження 1. Якщо для деякого невiд’ємного цiлого n матриця Zn = {(4B − A2)An}
має простий спектр, то умови (9) еквiвалентнi таким:
[B,CV C−1 − A] = 0,
[A,CV C−1] = 0.
Наслiдки теореми 2. З теореми 2 i зауваження 1 безпосередньо випливають такi на-
слiдки.
Наслiдок 1. Для того щоб рiвняння (1) за допомогою деякого перетворення Ляпуно-
ва (2) можна було звести до автономного вигляду (3) з V1 = V T
1 , достатньо, а при умовi,
що для деякого невiд’ємного цiлого n матриця
Zn = {(4(P1 + Π1) − (D1 + G1)
2)(D1 + G1)
n} (17)
має простий спектр, також i необхiдно, щоб iснувала така дiйсна симетрична матри-
ця V1 i дiйсна невироджена матриця C, якi задовольняють систему умов
[D1 + G1, CV1C
−1] = 0, (18)
[Π1 + P1,D1 + G1 − CV1C
−1] = 0, (19)
CVRC−1 = (D1 + G1)R. (20)
При цьому матриця W1 буде задаватися формулою
4W1 = V 2
1 + C−1Z0C. (21)
Нижнiй iндекс одиниця у матриць D, G, P , Π позначає множення їх справа i злiва на
J−1/2, наприклад Π1 = J−1/2ΠJ−1/2.
Наслiдок 2. Для того щоб рiвняння (1) за допомогою деякого перетворення Ляпуно-
ва (2) можна було звести до автономного вигляду (3) з дiйсною симетричною матри-
цею W1, достатньо, а при умовi, що для деякого невiд’ємного цiлого n матриця (17) має
простий спектр, також i необхiдно, щоб iснували дiйснi матрицi V1, C, det(C) 6= 0, якi
задовольняють систему умов (18)–(20) i
V 2
1 − (V 2
1 )T + C−1Z0C − CT ZT
0 (C−1)T = 0.
Наслiдок 3. Для того щоб рiвняння (1) за допомогою деякого перетворення Ляпуно-
ва (3) можна було звести до вигляду (3) з V1 = V T
1 , W1 = W T
1 достатньо, а при умовi,
що для деякого невiд’ємного цiлого n матриця (17) має простий спектр, також i не-
обхiдно, щоб iснувала така дiйсна симетрична матриця V1 i така дiйсна невироджена
матриця C, якi задовольняють систему умов (18)–(20),
C−1Z0C − CTZT
0 (C−1)T = 0.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
1. Mingori D. L. A stability theorem for mechanical systems constant damping // Trans. ASME. Ser.
E. J. Appl. Mech. – 1970. – 37, No 20. – P. 253–258.
2. Müller P. C. Verallgemeinerung des Stabilitätssatzes von Thomson-Tait-Chetaev auf mechanische Systeme
mit scheinabar nichtkonservativen Lagekräften // Z. angew. Math. und. Mech. – 1972. – 52, H. 4. –
S. T65–T67.
3. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Структурный анализ некоторого класса динамических систем // Укр.
мат. журн. – 2000. – 52, № 8. – С. 1089–1096.
4. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. К теории гироскопических систем с неконсервативными силами //
Прикл. математика и механика. – 2001. – 65, вып. 4. – С. 698–704.
5. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Механические системы, эквивалентные в смысле Ляпунова системам,
не содержащим неконсервативных позиционных сил // Там же. – 2007. – 71, вып. 1. – С. 12–22.
6. Кошляков В.Н., Макаров В.Л. Драгунов Д.В. Механiчнi системи, еквiвалентнi в сенсi Ляпунова
системам, що не мiстять гiроскопiчних сил // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2006. – 3,
№ 1. – С. 111–122.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – Москва: Наука, 1988. – 552 с.
Надiйшло до редакцiї 15.06.2007Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 519.6
© 2008
О.М. Литвин
Iнтерполювання звичайних диференцiальних
операторiв у гiльбертових просторах
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Basic statements of the theory of the interpolation of ordinary differential operators by other
ordinary differential operators in Hilbert’s spaces are given. Approaching operators are equal to
the given operator on a given set of functional knots.
Постановка проблеми. Теорiя наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних вклю-
чає в себе, як важливий частинний випадок, теорiю iнтерполювання. Оператори Lnu(x)
iнтерполювання функцiй u(x) вiдновлюють (взагалi кажучи, наближено) u(x) мiж зада-
ними точками x1, . . . , xm, використовуючи значення функцiї u(x) або (у бiльш загально-
му випадку) деякої системи операторiв (найчастiше використовуються диференцiальнi та
iнтегро-диференцiальнi оператори) вiд u(x) у вказаних точках Bk,su(xk) = γk,s, 1 6 k 6
6 m; 0 6 s 6 ρk − 1;
m∑
k=1
ρk = M . При цьому наближуючий (iнтерполюючий) оператор
Lnu(x) повинен мати тi ж самi властивостi у вказаних точках, що i наближувана функцiя:
Bk,sLnu(xk) = γk,s, 1 6 k 6 m; 0 6 s 6 ρk − 1. Аналогiчно формулюється задача iнтерполю-
вання для функцiй кiлькох змiнних, але у цьому випадку поняття iнтерполювання знайшло
своє узагальнення ще й у виглядi операторiв iнтерлiнацiї та iнтерфлетацiї, у яких iнфор-
мацiя про наближувану функцiю задається на системi лiнiй або поверхонь (якщо змiнних
бiльше двох) [1, 2].
Задачу iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв (ЗДО) у гiльбертових
просторах сформулюємо таким чином. Деякий ЗДО A : U → Γ (взагалi кажучи, невiдомий)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4160 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:36:13Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кошляков, В.М. Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. 2009-07-16T09:31:40Z 2009-07-16T09:31:40Z 2008 Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку / В.М. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов// Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 21-25. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4160 517.925.4:531.36 The theorem about equivalence in Lyapunov’s sense of two systems of differential equations of the second order which is an analog of the well-known theorem of M. P. Erugin about the equivalence of systems of differential equations of the first order is proved. Using this theorem, several statements about structural transformations of systems of differential equations of the second order which facilitate the research of stability of the trivial solution are obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку Article published earlier |
| spellingShingle | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку Кошляков, В.М. Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Математика |
| title | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| title_full | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| title_fullStr | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| title_full_unstemmed | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| title_short | Аналог теореми Єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| title_sort | аналог теореми єругiна для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4160 |
| work_keys_str_mv | AT košlâkovvm analogteoremiêruginadlâsistemdiferencialʹnihrivnânʹdrugogoporâdku AT makarovvl analogteoremiêruginadlâsistemdiferencialʹnihrivnânʹdrugogoporâdku AT dragunovdv analogteoremiêruginadlâsistemdiferencialʹnihrivnânʹdrugogoporâdku |