Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4163 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 32-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859610061596262400 |
|---|---|
| author | Савчук, В.В. |
| author_facet | Савчук, В.В. |
| citation_txt | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 32-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| first_indexed | 2025-11-28T10:17:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ляпунова [2]. В статье [5] описано новое направление в методе матричных функций Ляпу-
нова, суть которого состоит в том, что отдельные компоненты векторной функции (3) сопро-
вождают соответствующие динамические свойства решений исследуемой системы. Упомя-
нутый подход применен здесь для исследования задачи о практической полиустойчивости
движения.
1. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical stability of nonlinear systems. – Singapore: World
Scientific, 1990. – 207 p.
2. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems. – New York: Marcel
Dekker, 1989. – 315 p.
3. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov’s matrix function method with applications. – New York: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
4. Stutson D., Vatsala A. S. Generalized practical stability results by perturbing Lyapunov functions //
J. Appl. Math. Stoch. Anal. – 1996. – 9. – P. 69–75.
5. Мартынюк А.А. Новое направление в методе матричных функций Ляпунова // Докл. АН СССР. –
1991. – 319. – С. 554–557.
Поступило в редакцию 20.12.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.5
© 2007
В.В. Савчук
Наближення деяких класiв голоморфних функцiй
середнiми Фейєра
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О. I. Степанцем )
For the classes L
α
p and D
β
p of functions f holomorphic in a unit disk for which, respectively,
sup
06r<1
(1 − r2)1−αMp(f
′)(r) 6 1 and 2
1∫
0
Mp
p (f ′)(r)(1 − r2)βrdr 6 1, we determine the exact
estimates of upper bounds of deviations of the Fejer means of Taylor series in the Hardy
spaces Hp. We establish a relation between the classes L
α
p and D
β
p .
Нехай D := {z ∈ C : |z| < 1}, T := {z ∈ C : |z| = 1} i Hol(D) — множина усiх функцiй,
голоморфних у крузi D. Для функцiї f ∈ Hol(D) i числа r, 0 6 r < 1, покладемо
Mp(f)(r) :=
(
1
2π
2π∫
0
|f(reit)|pdt
)1/p
, 0 < p < ∞,
i
M∞(f)(r) := max
|z|=r
|f(z)|.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Простiр Гардi Hp складається з усiх функцiй f ∈ Hol(D), для яких
‖f‖p := sup
06r<1
Mp(f)(r) < ∞.
Нехай функцiя f ∈ Hol(D) i f(z) =
∞∑
k=0
f̂kz
k — її розвинення в ряд Тейлора, в якому
f̂k := f (k)(0)/k!. Середнiми Фейєра функцiї f порядку n ∈ N називається алгебраїчний
многочлен σn(f) вигляду
σn(f)(z) :=
n−1∑
k=0
(
1 − k
n
)
f̂kz
k, n ∈ N.
У роботi наводяться результати дослiдження послiдовностi величин
Fn(A,Hp) := sup{‖f − σn(f)‖Hp
: f ∈ A}, n ∈ N,
коли в ролi A вибираються класи L
α
p i D
β
p голоморфних у D функцiй, якi означаються так:
нехай 0 < α 6 1 i −1 < β < ∞, тодi
L
α
p :=
{
f ∈ Hol(D) : sup
06r<1
(1 − r2)1−αMp(f
′)(r) 6 1
}
, 1 6 p 6 ∞,
D
β
p :=
{
f ∈ Hol(D) : 2
1∫
0
Mp
p (f ′)(r)(1 − r2)βrdr 6 1
}
, 1 6 p < ∞,
i D
β
∞ := L
1
∞.
Галузь теорiї наближення, яка пов’язана з дослiдженнями апроксимативних властивос-
тей середнiх Фейєра (методу Фейєра), значною мiрою розвинута для класiв функцiй дiйсної
змiнної, зокрема для 2π-перiодичних функцiй. Про її сучасний стан можна дiзнатися з мо-
нографiї О. I. Степанця [1, 2].
Стосовно функцiй комплексної змiнної подiбних дослiджень проведено значно менше.
Тут слiд згадати основоположнi результати Д. Алексiча [3], А. Зiгмунда [4] i С.Б. Стєчкi-
на [5], з яких, зокрема, випливає, що для кожного натурального n справджується нерiвнiсть
Fn(L 1
∞,H∞) 6
An
n
, (1)
в якiй An — член деякої обмеженої послiдовностi додатних чисел. Найменше з вiдомих на
цей час значень An було знайдене С.Б. Стєчкiним [5]: An = (3n − 1)/(n + 1) < 3. Одна
iз цiлей нашого дослiдження полягала в з’ясуваннi того, наскiльки оптимальною (точною)
є послiдовнiсть {An}∞n=1 = {(3n − 1)/(n + 1)}∞n=1 в нерiвностi (1) та який вигляд матиме
аналог (1) для класiв L
α
p i D
β
p .
Теорема 1. Нехай 0 < α 6 1. Тодi для кожного натурального n
Fn(L α
∞,H∞) = θn,α
Γ(α)Γ
(
n + 1
2
)
Γ
(
n + 1
2
+ α
) ,
1
2
6 θn,α 6 1, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 33
i
Fn(L α
p ,Hp) 6
Γ(α)Γ
(
n + 1
2
)
Γ
(
n + 1
2
+ α
) , 1 6 p < ∞. (3)
Зокрема,
Fn(L α
p ,Hp) = O(1)
1
nα
, n → ∞, 1 6 p 6 ∞.
Тут i нижче Γ(·) — гамма-функцiя Ейлера.
Теорема 2. Нехай 1 < p < ∞ i −1 < β < p − 1 = 1/(q − 1). Тодi:
1) для будь-якого натурального n
Fn(Dβ
p ,Hp) = θn,β,p
Γ(1 − β(q − 1))Γ
(
q
2
(n − 1) + 1
)
Γ
(
q
2
(n − 1) + 2 − β(q − 1)
)
1/q
, (4)
де
q1/q−β/pp1/p
21−β/p(Γ(1 − β(q − 1)))1/q(Γ(1 + β))1/p
6 θn,β,p 6 1, (5)
i, зокрема,
Fn(Dβ
p ,Hp) = O(1)
1
n1−(1+β)/p
, n → ∞;
2) для будь-якої функцiї f ∈ D
β
p справджується спiввiдношення
‖f − σn(f)‖Hp
= o(1)
1
n1−(1+β)/p
, n → ∞. (6)
Зробимо декiлька коментарiв до теорем 1 i 2 у виглядi таких зауважень.
Зауваження 1. При α = 1 iз спiввiдношень (2) i (3) випливає оцiнка
Fn(L 1
p ,Hp) 6
An
n
, n ∈ N, 1 6 p 6 ∞, (7)
в якiй An = 2n/(n + 1) < 2, до того ж 2n/(n + 1) < (3n − 1)/(n + 1) для n = 2, 3, . . . .
З огляду на це нерiвнiсть (7) можна вважати, зокрема при p = ∞, пiдсиленням згаданої
вище оцiнки С.Б. Стєчкiна.
Зауваження 2. При p = 2 i β = 0 спiввiдношення (5) перетворюється в рiвнiсть θn,0,2 = 1,
а вiдтак (4) набуває вигляду
Fn(D0
2 ,H2) =
1√
n + 1
, n ∈ N.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Зауваження 3. Формально спiввiдношення (4) залишається правильним i при p = ∞ :
Fn(Dβ
∞,H∞) = Fn(L 1
∞,H∞) = θn,1
2
n + 1
, n ∈ N.
Однак спiввiдношення (6) у цьому випадку перестає бути правильним, оскiльки середнi
Фейєра, як лiнiйний метод наближення, є насиченими в просторi Hp, 1 6 p 6 ∞, з порядком
насичення n−1 (див., напр., [1, гл. 2]), тобто спiввiдношення ‖f−σn(f)‖Hp
= o(1)n−1, n → ∞
можливе лише для функцiй, якi є сталими в D.
Мiж класами L
α
p i D
β
p iснує певний зв’язок. Цiлком очевидно, що L
1−β/p
p ⊂ D
β
p . З iн-
шого боку, якщо, виходячи з теореми 2, послiдовно скористатися оберненою теоремою на-
ближення функцiй з простору Hp середнiми Фейєра (див., напр., [6, с. 106]) та теоремою
Гардi–Лiттлевуда [7] (див., також [8, с. 78]), отримаємо ланцюжок iмплiкацiй:
f ∈ D
β
p ⇒ ‖f − σn(f)‖Hp
= O(1)
1
n1−(1+β)/p
⇒
⇒ ‖f(eih·) − f(·)‖Hp
= O(1)h1−(1+β)/p, h → 0+ ⇒
⇒ Mp(f
′)(r) = O(1)(1 − r2)−(1+β)/p, r → 1.
В такий спосiб доведено таке твердження.
Теорема 3. Нехай 1 < p < ∞ i −1 < β < p − 1. Якщо функцiя f ∈ D
β
p , то знайдеться
стала K > 0 така, що sup
06r<1
(1−r2)(1+β)/pMp(f
′)(r) 6 K, iншими словами, справджується
включення
D
β
p ⊂
⋃
K>0
KL
1−(1+β)/p
p ,
де KL
1−(1+β)/p
p := {f ∈ Hol(D) : f/K ∈ L
1−(1+β)/p
p }.
У доведеннях теорем 1 i 2 ключовим є таке твердження.
Лема. Нехай f — функцiя, голоморфна в D. Тодi для будь-яких θ ∈ [0, 2π], ̺ ∈ [0, 1)
i n ∈ N виконується рiвнiсть
f(̺2eiθ) −
n−1∑
k=0
(
1 − k
n
̺2(n−k−1)
)
f̂k̺
2keikθ =
einθ
π
̺∫
0
rn
2π∫
0
f ′(reit)e−i(n−1)tP (t − θ, r) dtdr,
в якiй
P (t, r) :=
1 − r2
1 − 2r cos t + r2
.
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. 1. – 427 с.
2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. 2. – 467 с.
3. Alexits G.A. Fourier-sor Cesàro-këzepeivel való approximáció nagyságredjéröl // Mat. és Fiz. Lapok. –
1941. – 48. – P. 410–422.
4. Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejer means // Bull. Amer. Math. Soc. –
1945. – 51. – P. 274–278.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 35
5. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1953. – 17, № 5. – С. 462–472.
6. Butzer P., Nessel J.R. Fourier analysis and approximation. – Basel: Birkhäuser, 1971. – 553 p.
7. Hardy G., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math. Z. – 1931. – 34. – P. 403–439.
8. Duren P. Theory of H
p spaces. – New York: Academic Press, 1970. – 258 p.
Надiйшло до редакцiї 03.05.2007Iнститут математики НАН України, Київ
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4163 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T10:17:38Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Савчук, В.В. 2009-07-16T09:33:36Z 2009-07-16T09:33:36Z 2007 Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра / В.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 32-36. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4163 517.5 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра Article published earlier |
| spellingShingle | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра Савчук, В.В. Математика |
| title | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра |
| title_full | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра |
| title_fullStr | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра |
| title_full_unstemmed | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра |
| title_short | Наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми Фейєра |
| title_sort | наближення деяких класiв голоморфних функцiй середнiми фейєра |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4163 |
| work_keys_str_mv | AT savčukvv nabližennâdeâkihklasivgolomorfnihfunkciiserednimifeiêra |