Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй
An oscillatory nonlinear system whose required parameters vary in time by a nonsinusoidal aperiodic law is considered.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4166 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй / В.В. Грицик, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 37-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859861858411872256 |
|---|---|
| author | Грицик, В.В. Назаркевич, М.А. |
| author_facet | Грицик, В.В. Назаркевич, М.А. |
| citation_txt | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй / В.В. Грицик, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 37-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | An oscillatory nonlinear system whose required parameters vary in time by a nonsinusoidal aperiodic law is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:46:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 681.142
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. В. Грицик, М. А. Назаркевич
Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя
Ateb-функцiй
An oscillatory nonlinear system whose required parameters vary in time by a nonsinusoidal
aperiodic law is considered.
1. Одним з актуальних напрямкiв дослiдження в теорiї нелiнiйних диференцiальних рiв-
нянь є теорiя Ateb-функцiй. Розглядаємо коливну систему з нелiнiйним характером, у якiй
шуканi величини змiнюються в часi за несинусоїдальним неперiодичним законом.
Нехай коливальна система з одним ступенем вiльностi описується диференцiйним рiв-
нянням у виглядi
ẍ + c2xv = εF (x, ẋ, ε), (1)
де ε — малий додатний параметр, постiйна c2 > 0, показник степенi
v =
2v′1 + 1
2v′′1 + 1
(v′1, v
′′
1 , v′2, v
′′
2 = 0, 1, 2, . . .), (2)
а F (x, ẋ, ε) — неперервна функцiя вiдносно своїх змiнних x, ẋ i параметра ε. Причому
F (x, ẋ, ε) = F1(x, ẋ) + εF2(x, ẋ) + ε2F (x, ẋ, ε) + · · · .
Розв’язки рiвняння такого типу розглядались у роботах [1, 2]. У даному випадку рiвняння
розв’язуємо з використанням аперiодичних Ateb-функцiй.
2. Застосування математичного апарату Ateb-функцiй для дослiдження ко-
ливальних систем з нелiнiйним характером. Розв’язок рiвняння (1) запишеться через
Ateb-функцiї, якi є оберненням неповних Beta-функцiй, що зображується у виглядi
B(p, l) =
0<t<1
∫
0
tp−1(1 − t)l−1dt,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 37
якщо t = 1, то неповна Beta-функцiя перетворюється в повну Beta-функцiю [3]. Ця функцiя
виникла як розв’язок задачi iнтерполяцiї факторiальної функцiї.
3. Математичнi моделi аперiодичних Ateb-функцiй. Аперiодична Ateb-функцiя
v = sha(n,m,ω) являє собою обернення iнтеграла
n + 1
2
06v6∞
∫
0
dv
(1 + vn+1)m/(m+1)
= ω, (3)
де ω — незалежна змiнна (−∞ 6 ω 6 ∞), а m i n — параметри, якi визначаються фор-
мулами (2) та
m =
2v′2 + 1
2v′′2 + 1
(v′1, v
′′
1 , v′2, v
′′
2 = 0, 1, 2, . . .). (4)
Функцiя sha(n,m,ω) вiдносно ω — 2Π′(m,n)-перiодична, де 2Π′ = B(1/(n + 1),m/(m +
+1)−1/(n+1)) — Beta-функцiя. Величина Π′(m,n) для всiх значень m i n, якi визначаються
формулами (2) та (4), скiнченна i неперервна, за виключенням значень, що задовольняють
нерiвнiсть
m
m + 1
−
1
n + 1
6 0, (5)
при яких Π′(m,n)перетворюється в безмежнiсть.
Виходячи з (3), розглянемо функцiю
Φ1(w, v) = w −
n + 1
2
v
∫
0
dv
(1 + vn+1)m/(m+1)
, (6)
де
w0 =
n + 1
2
1
∫
0
dv
(1 + vn+1)m/(m+1)
. (7)
Пiдiнтегральний вираз (6) розкладемо в степеневi ряди. Тодi функцiя Φ1(w, v) матиме
вигляд:
Φ1(w, v) = w −
b
2
v
[
1 −
a
1!(b + 1)
vb +
a(a + 1)
2!(2b + 1)
v2b + · · · +
+ (−1)k
a(a + 1) · · · (a + k − 1)
k!(kb + 1)
vkb + · · ·
]
, (8)
де
a =
m
m + 1
, b = n + 1, c = m + 1, d =
n
n + 1
,
w = w0 +
c
2(c(d+1)−1)/c
[
1
cd − 1
+
d
1!2[c(d + 1) − 1]
+ · · · +
d(d + 1)
2!22[c(d + 2) − 1]
+ · · · +
+
d(d + 1) · · · (d + k − 1)
k!2k[c(d + k) − 1]
+ · · ·
]
.
(9)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Розклади в ряди (8) справедливi для всiх m i n, що мають вигляд (4), у припущеннi, що (5)
є нерiвнiсть. Лiва частина (5) не може бути цiлим числом. Звiдси випливає: в розкладах (8)
iнших нулiв у знаменнику немає.
Ряд (8) збiгається рiвномiрно в iнтервалах 0 6 v 6 1 [2].
Тепер для кожного фiксованого значення w iз iнтервалу 0 6 w 6 ω0 шукаємо нулi
функцiї Φ1(w, v), тобто визначаємо v = sha(n,m,w).
4. Математичнi моделi перiодичних Ateb-функцiй. Для одержання значень перi-
одичних Ateb-функцiй передбачено перетворення iнтегралiв
q = −
m + 1
2
1>u>0
∫
1
du
(1 − um+1)n/(n+1)
,
q =
n + 1
2
06u61
∫
0
dv
(1 − vn+1)m/(m+1)
=
1
2
Bv
(
1
m + 1
,
1
n + 1
)
,
де m, n — параметри, якi визначаються з формули (2); u, v — змiннi; Bv(1/(m + 1), 1/(n +
+ 1)) — неповна Beta-функцiя [2, 3].
Перiодичнi Ateb-функцiї Sa(n,m, q) i Ca(m,n, q) задовольняють рiвнiсть [3]:
(
Ca(m,n, q))m+1 + (Sa(n,m, q)n+1
)
= 1.
Звiдси випливає, що достатньо мати числовi значення для однiєї з функцiй Sa(n,m, q) чи
Ca(m,n, q), щоб одержати числовi значення iнших перiодичних Ateb-функцiй.
Зважаючи на те, що Ca(m,n, q) має властивiсть парностi
Ca(m,n,Π(m,n) − q) = −Ca(m,n, q),
a Sa(n,m, q) — таку властивiсть [3],
Sa(n,m,Π(m,n) − q) = Sa(n,m, q), 0 6 q 6
1
2
Π(m,n).
Для знаходження вказаної залежностi пропонуємо шукати нулi функцiї
Φ1(u) = q +
m + 1
2
06u61
∫
1
du
(1 − um+1)n/(n+1)
. (10)
Вважаючи q, m, n параметрами, будемо для кожного з них знаходити таке значення u = u,
щоб Φ1(u) = 0.
Розкладемо пiдiнтегральний вираз (10) в ряд Тейлора навколо значення u = 0 за сте-
пенями um+1:
(1 − um+1)−n/(n+1) = 1 +
n
n + 1
um+1
1!
+
n
n + 1
2n + 1
n + 1
u2(m+1)
2!
+
+
n
n + 1
2n + 1
n + 1
3n + 2
n + 1
u3(m+1)
3!
+ · · · . (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 39
Згiдно з [6], отриманий ряд сходиться рiвномiрно для всiх значень |um+1| 6 1. Пiдстав-
ляючи (11) в (10) та iнтегруючи, одержуємо
Φ1(u) = q − B(p, q) +
+
m + 1
2
u
[
1 +
ab
c
z +
a(a + 1)b(b + 1)
c(c + 1)
z2
2!
+
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2)
c(c + 1)(c + 2)
z3
3!
]
, (12)
де введено позначення:
z = um+1, a =
1
m + 1
, b =
n
n + 1
, c =
m + 2
m + 1
, p =
1
n + 1
, q =
1
m + 1
(13)
(B(p, q) — Beta-функцiя).
Вираз (12) можна записати через гiпергеометричний ряд
Φ1(u) = q −
1
2
Π(m,n) +
m + 1
2
uF (a, b, c, z), (14)
де Π(m,n) — пiвперiод Ateb-функцiї u(m,n, q).
Будемо знаходити нулi функцiї Φ1(u). Для цього використовуємо метод дiлення вiдрiзка
навпiл. Обчислювальний процес продовжується доти, поки s-й вiдрiзок не стає величиною
порядку ε, або
|us+1 − us| 6 ε, (15)
де ε — досить малий додатний параметр. У нашому випадку ε = 10−9. Тодi за наближений
нуль функцiї приймалися величини
u∗ =
1
2
(us+1 + us). (16)
При пiдрахунку значень функцiї Φ1(u) в гiпергеометричному рядi вiдкидувалися s члени,
модулi яких ставали меншi за ε.
Запишемо оцiнку мiж точним нулем u = u функцiї Φ1(u) i наближеним, який визначався
згiдно з формулою (16). Якщо задовольняється нерiвнiсть (15) i Φ1(us)Φ1(us+1) < 0, то
матиме мiсце i нерiвнiсть
|u − u∗| < ε.
У процесi знаходження нулiв функцiї (12) проводилася перевiрка, наскiльки є малими ве-
личини Φ1(u
∗). Таким чином, описано послiдовнiсть табулювання функцiї u = Ca(m,n, q)
для рiзних значень параметрiв m i n.
5. Алгоритм табулювання аперiодичної Ateb-функцiї v = sha(n, m, ω). На по-
чатку роботи алгоритму оголошуємо змiннi та присвоюємо значення константам. Задає-
мо точнiсть для обчислення повної Beta-функцiї. Оголошуємо змiннi циклiв. Наступним
кроком в алгоритмi є модуль створення текстового файлу i запису числових даних, роз-
рахованих у програмному пакетi. Визначаємо сталi значення для v = sha(n,m,ω), до них
вiдноситься iнтеграл повної Beta-функцiї, величини a, b, c, d, згiдно з формулою (9), та
ряд w, який визначається з (8) для повної Beta-функцiї. Обчислення проводиться з точ-
нiстю ε = 10−15. Наступний етап — основний розрахунок. Його блок-схема показана на
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 1
Рис. 2
рис. 1, де F1(w, v) — обчислення ряду (9); ytosh — задання точностi обчислень; y
_step —
задання кроку пошуку неявно заданої функцiї; w3, F1 — шуканi коренi.
6. Результати моделювання. Результати моделювання функцiї v = sha(n,m,ω) за
допомогою розробленого алгоритму на ведено на рис. 2. Результати моделювання v =
= ca(m,n, ω) у виглядi графiкiв iлюструє рис. 3.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 41
Рис. 3
Таким чином, перiодичнi Ateb-функцiї, їх математичнi властивостi i числовi значення
дають можливiсть розв’язувати нелiнiйнi диференцiйнi рiвняння, якi описують коливальнi
процеси для систем рiвнянь.
Для моделювання складних коливних процесiв з iстотною нелiнiйнiстю пропонується
використовувати математичний апарат Ateb-функцiй, який дозволяє описати данi процеси
з пiдвищеною точнiстю без апроксимацiй або будь-яких наближень [2]. Крiм того, матема-
тичний апарат Ateb-функцiй є функцiонально повним, зручним для опису i легко адаптова-
ним до змiни параметрiв i процесiв. Такий математичний апарат дозволяє проводити моде-
лювання перiодичних i неперiодичних процесiв та враховувати характеристики матерiалу
у динамiчних системах. Вiн забезпечує одержання точного розв’язку в автономних нелiнiй-
них системах диференцiйних рiвнянь другого порядку. Апарат Ateb-функцiй є ефектиним
при дослiдженнi динамiки росту i затухання випадкових вiбрацiй у нелiнiйних системах.
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Наука, 1974. – 503 с.
2. Возний А.М. Застосування Ateb-функцiй для побудови розв’язку одного класу iстотно нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1970. – № 9. – С. 971–974.
3. Сеник П.М. Обращение неполной Beta-функции // Укр. мат. журн. – 1969. – 21, № 3. – С. 325–333.
4. Грицик В. В., Назаркевич М.А. Дослiдження перiодичних Ateb-функцiй у математичному моделю-
ваннi // Iнтелектуальнi системи прийняття рiшень та прикладнi аспекти iнформацiйних технологiй:
Матерiали наук. конф. 18–21 травня 2005 p. Євпаторiя, 2005. – С. 142–145.
5. Nazarkevich M. Research of numeral transformations of Ateb-functions in the mathematical design // IV
Sympozjum modelowanie i symulacja komputerowa w technice. Wyzsza szkola informatyki. – Lodz, 2005. –
С. 161–163.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – Москва, 1978.
Надiйшло до редакцiї 18.04.2007Державний науково-дослiдний iнститут
iнформацiйної iнфраструктури НАН України, Львiв
Державний департамент зв’язку
та iнформатизацiї України, Львiв
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4166 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:46:20Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грицик, В.В. Назаркевич, М.А. 2009-07-16T09:37:58Z 2009-07-16T09:37:58Z 2007 Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй / В.В. Грицик, М.А. Назаркевич // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 37-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4166 681.142 An oscillatory nonlinear system whose required parameters vary in time by a nonsinusoidal aperiodic law is considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй Article published earlier |
| spellingShingle | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй Грицик, В.В. Назаркевич, М.А. Інформатика та кібернетика |
| title | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй |
| title_full | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй |
| title_fullStr | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй |
| title_full_unstemmed | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй |
| title_short | Математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя Ateb-функцiй |
| title_sort | математичнi моделi алгоритмiв i реалiзацiя ateb-функцiй |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4166 |
| work_keys_str_mv | AT gricikvv matematičnimodelialgoritmivirealizaciâatebfunkcii AT nazarkevičma matematičnimodelialgoritmivirealizaciâatebfunkcii |